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Universidad del Cauca. Burbano, Manquillo, Narváez. Señales y Sistemas.

Práctica Series de Fourier en tiempo discreto. Burbano Jose, Manquillo Duber y Narváez Yenny. [email protected] , [email protected] , [email protected] Universidad del Cauca

Resumen-

este documento muestra el comportamiento de un sistema con su respectiva señal, representado por las series de Fourier, cuyos valores son trabajados por un polinomio característico, encontrando las respuestas o salidas mediante las frecuencias que vienen dadas por raíces, con uso de la herramienta Matlab para los cálculos respectivos y las funciones adecuadas. El resultado del análisis y simulación sobre el cual se plantea el modelo en series de Fourier de una señal cuadrada discreta, necesarias para trabajar, las cuales se dan a conocer. Palabras claves – Señales, diagrama de bloques, series de Fourier, polinomio característico, raíces.

I.

sección 3 presenta el hallazgo de a T , Sección 3.1 explica hallazgo del polinomio característico, Sección 4. Se desarrolla una simulación en Simulink en donde a partir de la representación en series de Fourier de la señal de la Figura 1 se obtenga la salida del sistema, Sección 5 Escriba una función en Matlab de tal manera que se puedan obtener los coeficientes de la serie de Fourier de la señal de salida y su reconstrucción a una señal en el tiempo, Sección 6 Grafique las señales obtenidas en cada caso, Sección 7 se presentan resultados de análisis conclusiones y Sección 8, referencias.



INTRODUCCIÓN

Los sistemas son un conjunto de elementos relacionados entre sí que ordenadamente contribuyen a un objetivo [1]. Al empezar a trabajar en el software resolviendo las ecuaciones dadas por medio de las series de Fourier, y comparar estas por medio de diferentes métodos como el polinomio característico, series de Fourier, se tienen unas salidas que se muestra en el transcurso de la práctica. Una señal es periódica solo si su frecuencia f [ciclos/muestra] es racional. N es el periodo cuando n y N NO tienen factores comunes. Por tanto, este informe se aplican los conocimientos vistos en las clases anteriores a la realización de dicha práctica del curso de señales en series de Fourier de tiempo discreto, generando un sistema, a través de su modelado, se analiza su comportamiento físico. Este documento consta de la siguiente manera. La sección 2 que presenta teoría de la herramienta, la

II. MARCO TEORICO SEÑALES Las señales pueden describir una amplia variedad de fenómenos físicos, se representan matemáticamente como funciones de una o más variables independientes.

Las señales se pueden clasificar en analógicas, discretas en tiempo y digitales. La diferencia principal entre estas es si son continuas o discretas en amplitud y tiempo, en la naturaleza, las señales son analógicas, pero para tratarlas sistemáticamente se transforman en señales digitales. 

MATLAB es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario, la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de

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simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). 

SIMULINK es un entorno de programación visual, que funciona sobre el entorno de programación Matlab. Es un medio de programación de más alto nivel de abstracción que el lenguaje interpretado Matlab (archivos con extensión .m). Simulink genera archivos con extensión. mdl (de "model"). Simulink es una herramienta de simulación de modelos o sistemas de los fenómenos físicos. Se hace hincapié en el análisis de sucesos, a través de la concepción de sistemas (cajas negras que realizan alguna operación). Es empleado en Ingeniería Electrónica, automática, física en temas relacionados con el procesamiento digital de señales (DSP), involucrando temas específicos de ingeniería biomédica, telecomunicaciones, entre otros.

Generalmente, la operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama de bloques que si se revisa el sistema físico. Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. Por esta razón, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques.

 INTERFAZ

GRÁFICA es un programa informático que actúa de interfaz de usuario, utilizando un conjunto de imágenes y objetos gráficos para representar la información y acciones disponibles en la interfaz. Su principal uso, consiste en proporcionar un entorno visual sencillo para permitir la comunicación con el sistema operativo de una máquina o computador.



DIAGRAMA DE BLOQUES es una representación gráfica del modelo matemático de un sistema. En muchos casos, estos diagramas permiten entender el comportamiento y conexión del sistema. En un diagrama de bloques se unen todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales, el cual es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los elementos generalmente se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la dirección del flujo de señales. La señal solo puede pasar en la dirección de las flechas. En la figura 1, se ilustra la representación de un diagrama de bloques.

Figura 2. Interfaz gráfica. 

SOFTWARE es el conjunto de programas, instrucciones y reglas informáticas que permiten ejecutar distintas tareas en una computadora. Se considera que el software es el equipamiento lógico e intangible de un ordenador.

 SERIES DE FOURIER es una serie infinita

Figura 1. Elemento de un Diagrama de bloques

que converge puntualmente a una función periódica y continúa a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples

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(como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). Esta área de investigación se llama algunas veces análisis armónico.

Dado:

x ( 2 ) =x ( 3 ) =0 , y w 0=

2π π = 4 2

Entonces:

 POLINOMIO CARACTERISTICO En álgebra lineal, se asocia un polinomio a cada matriz cuadrada llamado polinomio característico. Dicho polinomio contiene gran cantidad de información sobre la matriz, los más significativos son los valores propios, su determinante y su traza.  RAICES Las raíces de un polinomio son números tales que hacen que un polinomio valga cero. Podemos decir también que las raíces enteras de un polinomio de coeficientes enteros serán divisores del término independiente. Cuando resolvemos un polinomio igualándolo a cero obtenemos como soluciones las raíces del polinomio. Como propiedades de las raíces y factores de los polinomios podemos decir que los ceros o raíces de un polinomio son por los divisores del término independiente pertenecientes al polinomio.

− jT

a τ =x ( 0 ) + x ( 1 ) e

π 2

Para τ=0

a 0=

1 [ x ( 0 ) + x ( 1 ) ]= A 4 2

Para τ =1 π

[

−j 1 a 1= x ( 0 ) + x ( 1 ) e 2 4

]

¿

1 π π A+ A∗cos − j∗A sin 4 2 2

¿

1 [ A− j∗A ] 4

[

( )]

()

Para τ =2

a 1=

III.

PROCEDIMIENTO

OBTENCION DE

LOS aτ .

Se muestra la figura de inicio, que se considera la señal.

¿

1 [ x ( 0 ) + x ( 1 ) e− jπ ] 4

1 [ A− A ] =0 4

Para τ =3 π

[

− j3 1 a 3= x ( 0 ) + x ( 1 ) e 2 4

¿

]

1 π π A+ A∗cos 3 − j∗A sin 3 4 2 2

[

( )

( )]

1 ¿ [ A + A∗ j ] 4 Figura 3. Señal cuadrad discreta. Y la respectiva ecuación que se nos brinda es:

a T =x ( 0 ) + x ( 1 ) e− jw 0 + x ( 2 ) e− j 2 w 0 + x ( 3 ) e− j3 w 0

De esta manera se halla los a T requeridos para la continuación del ejercicio HALLAZGO DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO

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Para este segundo punto como contábamos anteriormente hallaremos el polinomio característico que rige a dicha serie entonces:

es comprender las características de la señal de salida.

0.6 ∓ 0.5 j=¿ ¿¿

(m−0.6)2 + [ ( m−0.6 ) +0.5 j ] − [( m−0.6 ) +0.5 j ] +0.25 m2−m+0.36+ 0.25

Figura 5. Diagrama primer punto.

m 2−1,2 m+ 0,61

Con el código y diagrama de bloques creados se crea una figura de que representa una señal discreta con respuesta al impulso y en dominio de la frecuencia:

De esta manera se obtiene el polinomio característico con el cual se válida para la solución del taller, tanto para sacar la parte matemática y resolver las raíces, como también para la simulación.

IV.

SIMULACIÓN EN SIMULINK DONDE A PARTIR DE LA REPRESENTACIÓN EN SERIES DE FOURIER DE LA SEÑAL DE LA FIGURA 1 SE OBTIENE LA SALIDA DEL SISTEMA

Debido a los parámetros encontrados con la ecuación resuelta anteriormente y de ahí se desarrolla una simulación para representar las series de Fourier por medio de la salida del sistema. Se analiza que de la solución de las ecuaciones planteadas se puede hallar los valores para el código de Matlab donde se observa lo siguiente:

Figura 4. Código primer inciso. Obteniendo este código se direcciona para crear el respectivo diagrama de bloques, ya que su finalidad

Figura 6. Simulación del código.

Posteriormente se corre el diagrama de bloques y en la señal del scope se logra una figura escalinata, así:

Figura 7. Simulación scope diagrama de bloques. De esta manera se concluye el primer punto de la práctica; al resolver el polinomio característico de

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esta serie de Fourier se ve reflejada claramente la frecuencia, amplitud y otros parámetros importantes que estaban incorporados por medio de la señal cuadrada a pasarlos a la señal de pulsos como la de la figura 6.

V.

ESCRIBA UNA FUNCIÓN EN MATLAB DE TAL MANERA QUE SE PUEDAN OBTENER LOS COEFICIENTES DE LA SERIE DE FOURIER DE LA SEÑAL DE SALIDA Y SU RECONSTRUCCIÓN A UNA SEÑAL EN EL TIEMPO

En este punto se realiza alteraciones al código para la representación de las series de Fourier que requiere el ejercicio, por medio de una función donde se obtiene los coeficientes de la serie en la señal de salida reconstruida a través de una señal de tiempo.

Con este resultado se infiere que el sistema por medio de las series de Fourier mediante una función la gráfica auxiliar (complementaria), representa nuevamente los coeficientes de la señal de salida con respecto a una de tiempo.

VI.

GRAFIQUE LAS SEÑALES OBTENIDAS EN CADA CASO

A medida que se desarrolla la actividad se anexa cada señal generada representando los casos citados.

Figura 8. Código segundo punto.

Figura 9. Figuras de los puntos anteriores.

Y arrojara la siguiente gráfica: La práctica contribuye al análisis por cualquier método utilizado para resolver esta serie, son notoriamente efectivos pues se logra el objetivo propuesto

VII. 

Figura 9. Figura segundo punto.

Conclusiones En esta actividad se ratifica que es posible trabajar un sistema como practica anterior donde se presenta una serie finita representada en serie de Fourier ya sea por medio de polinomio característico, raíces e invocación de funciones.

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Se emplea la funcionalidad de la herramienta simulink un adentrando a la simulación estructurada y referenciada con parámetros y condiciones iniciales. Se introduce al concepto de función de transferencia con respecto a la función polinomial inmerso en toda la actividad realizada

VIII. REFERENCIAS

https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caract er%C3%ADstico  https://es.wikipedia.org/wiki/Interfaz_gr %C3%A1fica_de_usuario  https://definicion.de/software/  https://matematica.laguia2000.com/general/raic es-de-un-polinomio  https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fo  https://www.youtube.com/watch?v=9bY 