• Author / Uploaded
• Jesus Francisco Collado Escobar

• Categories
• Series de Fourier
• Objetos matemáticos
• Análisis
• Análisis matemático
• Física y matemáticas

Citation preview

Serie de Fourier y Contenido Armónico Modelamiento de Redes No-Lineales

Introducción 



Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811.

La Serie de Fourier La Serie de Fourier tiene la forma:

Donde y an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie y ω0 = 2 π f = 2 π / T Nota: En ocasiones

se expresa como

/2

Obtención de los coeficientes 

Éstos se obtienen multiplicando la fórmula expandida de f(t) dada, al multiplicarla sucesivamente por cos(nω0t) y por sen(nω0t) e integrándolas en un período y la utilización de las fórmulas trigonométricas del producto de senos y cosenos:

Coeficientes de Fourier Los coeficientes se obtienen con:

Coeficientes de Fourier Alternativamente:

Coeficientes de Fourier Alternativamente:

Efecto de la simetría de la señal La serie de Fourier de una función periódica par solo incluye términos cosenos.  La serie de Fourier de una función periódica impar solo incluye términos senos. 

Aproximación por serie de Fourier a la señal cuadrada

Aproximación por serie de Fourier a la señal cuadrada

Aplicaciones en circuitos En la práctica se encuentra que muchos circuitos son excitados por medio de funciones periódicas no senoidales,  Para determinar la respuesta en estado estable de un circuito a una excitación periódica no senoidal se requiere la aplicación de una serie de Fourier, al análisis fasorial de ea y el principio de superposición. El procedimiento suele implicar tres pasos. 

Aplicaciones en circuitos

Aplicaciones en circuitos El primero paso consiste en determinar el desarrollo de la serie de Fourier de la excitación.  Para la fuente de tensión periódica que se muestra en la figura, por ejemplo, la serie de Fourier se expresa como 

Aplicaciones en circuitos 

(Lo mismo podría hacerse para una fuente de corriente periódica.) La ecuación anterior muestra que v(t) está compuesta por dos partes: La componente de CC, V y la componente de c.a., expresable como un fasor con varias armónicas Vn = V/q Lo mismo podría hacerse para una fuente de corriente periódica.)

Aplicaciones en circuitos La ecuación anterior muestra que v(t) está compuesta por dos partes: La componente de CC, V y la componente de c.a., expresable como un fasor con varias armónicas Vn = V/q

Aplicaciones en circuitos Esta representación de la serie de Fourier puede considerarse como un conjunto de fuentes senoidales conectadas en serie, con cada fuente teniendo su propia amplitud y frecuencia, como se indica en la figura.  El segundo paso es determinar la respuesta para cada término en la serie de Fourier. La respuesta a la componente de cd se determina en el dominio

Aplicaciones en circuitos La respuesta a la componente de c.a. se determina en el plano complejo s + jw