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• Vidal Crispin Santiesteban

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´ SISTEMAS DE COMUNICACION, FEBRERO 2015

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Series de Fourier Roque Cilia Sergio , FCE, BUAP, Buenabad Acosta Donato, FCE,BUAP, Edgar Ibis Tacuapan Moctezuma, FCE,BUAP, Vidal Crisp´ın Santiesteban , FCE, BUAP, Francisco Galindo Sarmiento , FCE, BUAP

Abstract—En este articulo se calculan los coeficientes de ponderaci´on ck para obtener la serie de fourier de diversas ˜ senales.

∞ X

f (t) =

Index Terms—IEEEtran, journal, LATEX, paper, template.

n

cn ej2π T t .

n=−∞

Los coeficientes ahora seran: ´ I. I NTRODUCCI ON

U

na serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una funci´on peri´odica y continua a trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matem´atica b´asica del an´alisis de Fourier empleado para analizar funciones peri´odicas a trav´es de la descomposici´on de dicha funci´on en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho m´as simples (como combinaci´on de senos y cosenos con frecuencias enteras). Es una aplicaci´on usada en muchas ramas de la ingenier´ıa, adems de ser una herramienta sumamente u´ til en la teor´ıa ´ matem´atica abstracta. Areas de aplicaci´on incluyen an´alisis vibratorio, ac´ustica, o´ ptica, procesamiento de im´agenes y se˜nales, y compresi´on de datos. En ingenier´ıa, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a trav´es del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una se˜nal dada, se puede optimizar el dise˜no de un sistema para la se˜nal portadora del mismo. Las series de Fourier tienen la forma: ∞ X a0 + an cos nω0 t + bn sin nω0 t f (t) = 2 n=1

∞

a0 X 2nπ 2nπ f (t) = + [an cos( ) + bn sin( 2 T t Tt n=1 Donde a0 , an , y bn , son los coeficientes de Fourier que toman los valores: 2 a0 = T

T /2 Z

f (t)dt, −T /2

2 bn = T

T /2 Z

2 an = T

f (t) cos(

2nπ t)dt, T

−T /2

Z

T /2

 f (t) sin

−T /2

 2nπ t dt. T

Por la identidad de Euler, las f´ormulas de arriba pueden expresarse tambi´en en su forma compleja:

n

f (t)e−2πi T t dt.

−T /2

Otra forma de definir la serie de Fourier es: ∞ a0 X (an cos ωn t + bn sin ωn t + f (t) = 2 n=1 donde ωn = nω y ω = 2πf = siendo: 2 a0 = T

tZ 0 +T

2π T

2 an = T

f (t)dt, t0

tZ 0 +T

f (t) cos ωn tdt, t0

bn =

2 T

tZ 0 +T

f (t) sin ωn tdt. t0

a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como la serie trigonom´etrica de Fourier. II. S ERIES DE F OURIER

(1)

Donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la funcin f (x). Si f (t) , es una funcin (o se˜nal) peri´odica y su per´ıodo es T, la serie de Fourier asociada a f (t), es:

T /2 Z

1 cn = T

A. Serie de fourier del seno Sea

∞ X

x(t) =

ck ejkω0 t

k=−∞

Donde Tp

1 ck = Tp

Z2

x(t)e−jkω0 t dt

(2)

−Tp 2

Por definicion del seno sin ωt =

ejωt − e−jωt 2j

− sin x = sin −x Sustituyendo x(t) en la ecuacion 1, por la forma expandida del seno tenemos:

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B. Serie de fourier del coseno Sea

∞ X

x(t) =

ck ejkω0 t

k=−∞

Donde Tp

Fig. 1. Seno

1 ck = Tp

Z2

x(t)e−jkω0 t dt

(5)

−Tp 2 Tp

Z2

1 ck = Tp

Por definicion del coseno

ejωt − e−jωt −jkω0 t ( )e dt 2j

cos ωt =

−Tp 2

ejωt + e−jωt 2

Sea el periodo de la funcion senoidal igual a 2π, sustituyendo y agrupando la integral obtenemos 1 ( ck = j4π

Zπ e

jt(ω−ω0 k

−π

Zπ dt −

e−jt(ω+ω0 k dt)

−π

1 ejt(ω−ω0 k e−jt(ω+ω0 k iπ [ + ] j4π j(ω − ω0 k) j(ω + ω0 k) −π

=

Fig. 2. Coseno

Evaluando los limites =

e−jπ(ω−ω0 k e−jπ(ω+ω0 k 1 ejπ(ω−ω0 k [ − + ] j4π j(ω − ω0 k) j(ω − ω0 k) j(ω + ω0 k)

Sustituyendo x(t) en la ecuacion 1, por la forma expandida del coseno tenemos: Tp

ejπ(ω+ω0 k − j(ω + ω0 k)

1 ck = Tp

ejπ(ω+ω0 k e−jπ(ω+ω0 k + )] j(ω + ω0 k) j(ω + ω0 k)

−π

1 sin(ω − kω0 ) sin(ω + kω0 ) [ − ] j2π ω − ω0 k ω + ω0 k

e−jt(ω+ω0 k iπ 1 ejt(ω−ω0 k [ − ] j4π j(ω − ω0 k) j(ω + ω0 k) −π

=

sin(x ∗ π) = Sinc(x) (x ∗ π)

ejπ(ω−ω0 k e−jπ(ω−ω0 k 1 [( − ) j4π j(ω − ω0 k) j(ω − ω0 k) +(

Por lo tanto 1 [Sinc(ω − ω0 k) − Sinc(ω + ω0 k)] 2j

(3)

Con lo cual la serie de Fourier del seno es

x(t) =

=

∞ 1 X Sinc(ω−ω0 k)−Sinc(ω+ω0 k)ej2πkF0 t (4) 2j k=−∞

−π

Evaluando los limites

Sabemos que la funcion muestreo esta definida como:

ck =

ejωt + e−jωt −jkω0 t )e dt 2

Sea el periodo de la funcion es igual a 2π, sustituyendo y agrupando la integral obtenemos Zπ Zπ 1 jt(ω−ω0 k ck = ( e dt + e−jt(ω+ω0 k dt) 4π

Agrupando observamos que existe la forma de un seno, por lo tanto =

( −Tp 2

1 ejπ(ω−ω0 k e−jπ(ω−ω0 k = [( − ) j4π j(ω − ω0 k) j(ω − ω0 k) +(−

Z2

ejπ(ω+ω0 k e−jπ(ω+ω0 k − )] j(ω + ω0 k) j(ω + ω0 k)

Agrupando observamos que existe la forma de un seno, por lo tanto 1 sin(ω − kω0 ) sin(ω + kω0 ) = [ + ] 2π ω − ω0 k ω + ω0 k Sabemos que la funcion muestreo esta definida como: sin(x ∗ π) = Sinc(x) (x ∗ π)

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3

Por lo tanto ck =

1 [Sinc(ω − ω0 k) + Sinc(ω + ω0 k)] 2 1 = [Sinc(ω) + Sinc(ω] 2 ck = Sinc(ω)

=

2 −1 1 {[ sin 0 − sin (−nπ)] + [ (sin(nπ) − sin 0)]} T nω0 nω0 = 0 para n 6= 0

(6)

Sea

Con lo cual la serie de Fourier del coseno es ∞ X

x(t) =

Sinc(ω) ∗ ej2πkF0 t

ω0 t = (2π/T )T = 2π T

(7)

2 bn = T

k=−∞

f (t)(sin nωt)dt −T 2

C. Serie de fourier de tren de pulsos de amplitud A y ancho T La funcion f (t) para un pulso cuadrado esta definida por

Z2

2 = [ T

T

Z0

Z2 −A(sin nωt)dt +

Fig. 3. Pulso cuadrado

=

= cuadrado.PNG

f (t) =

  −A 

(8)

A

;0 < t