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• Angel Ramiro Osco Tello

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA-ENERGIA ESCUELA ACADÉMICA DE INGENIERÍA MECANICA

SEPARATA 5 RESISTENCIA DE MATERIALESI SEMESTRE 2015- V CONTENIDO:

 Barras de pared delgada desarrollable sometida a torsión  Barras de pared delgada no desarrollable sometida a torsión  Barras de pared delgada cerrada sometida a torsión  Flexión pura en barras de sección simétrica  Vigas compuestas sometidas a flexión

PROFESOR DEL CURSO: ING. MARTIN SIHUAY FERNANDEZ

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TORSION EN BARRAS DE PARED DELGADA DESARROLLABLE Cuando se analiza un perfil de pared delgado ( figura 1 ) que es sometido a torsión la variación de tensiones no variara considerablemente si enderezamos el perfil de la sección , es decir las tensiones en un perfil abierto serán aproximadamente las mismas que en el recto , en este ultimo caso se puede aplicar la formula que anteriormente se dieron en el caso de una sección rectangular cuando la relación de los lados es grande por lo que las constantes  =  = 1/3 , por lo que las formulas a utilizar son las siguientes : τ max =

∅=

3T t

2

∑ Si

3 TL 3 Gt ∑ S i

S1 T S2 L S3

t=b

d = a = Si Figura N° 1 Perfil de pared delgada

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Ejercicios: 1.- Se tiene el elemento mostrado sometido a un momento torsor T = 20KN-m , determinar los máximos esfuerzos cortantes .Considere : G= 80GPa

TB

TA

Aplicado equilibrio en el eje se tiene: TA + TB = T ………(1) Aplicando ángulos relativos de B/A se tiene : 3 T B (2.5) 3 G ∑ Si ti

B/A = B - A = 0 = B/C + C/A = 2.5TB = 1.5TA

-

3 T A (1.5) 3 G ∑ Si ti

=0

, TB = 0.6TA …..(2)

Resolviendo la ecuación 1 y 2 se tiene : TA = 0.625T

, TB = 0.375T

Realizando el diagrama de momento torsor en el eje

A

0.375T 0.625T

∑ Si ti =¿ 3

τ max =

B

C

40(5)3 + 150(3)3 +40(5)3 = 14050x10-12 m4

3(0.625)(20 x 103 )(5 x 10−3 ) =13.34 GPa 14050 x 10−12

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TORSION EN BARRAS DE PARED DELGADA NO DESARROLLABLE Cuando se somete a torsión una barra de pared delgada que no se puede desarrollar es decir se haga equivalente a una sección rectangular como el caso anterior ( figura N° 2 ) , se aplicara la siguiente formula :

τ max =

3 T t max

∑ S i ti

3

∅=

3 TL G ∑ Sit i

3

Figura N° 2 Sección transversal de pared delgada no desarrollable Fuente : Feodosiev . Resistencia de materiales

Ejercicios: 1.- Un elemento de acero de 5m de largo , tiene una sección en I de espesor constante de 0.5cm , sabiendo que G= 70GPa y que el máximo esfuerzo cortante no debe exceder a 50MPa , determinar los máximos momentos torsores que se generan en cada tramo de la sección transversal , el ángulo de giro de torsión correspondiente al extremo libre del elemento de acero.

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Analizando cada tramo de la sección transversal se cumplirá lo siguiente: 1 = 2 3 T1 L 3

G t S1

=

3T2L 3

Gt S 2

T 2=T 1

S2 S1

T 3 =T 1

S3 …….(2) S1

…….(1)

1 = 3 3 T1 L 3

G t S1

=

3T3L 3

Gt S 3

Por equilibrio se cumple : T1 + T2 + T3 = T ………(3) T1(Si)= TS1

,

T1 = TS1/Si ,

T2 = TS2/Si

,

T3 = TS3/ Si

Si = 20(2) +(30-1) = 69 T1 = T3 = 0.289T T2 = 0.42T max1 = 3T1/t2S1 = 3(0.289T)/0.0052(0.2) = 173400T max2 = 3T2/t2S2 = 3(0.42T)/0.0052(0.29) = 173793.1T max = adm

, 50x106 = 173793.1T

, T = 287.7Nm

Tmax1 = Tmax3 = 83.15Nm Tmax2 =120.834Nm  = 3T1L/Gt3S1 = 3(83.15)5/70x109(0.005)(0.2) = 0.7127rad

TORSION DE PARED DELGADA DE SECCION TRANSVERSAL CERRADA Se observa la figura N° 3 (a) que representa una sección no circular con una pared de espesor variable t sometido a un momento torsor T en los extremos y la figura N° 3 (b) muestra una porción de la sección transversal donde se observa la variación del esfuerzo cortante que

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produce el momento torsor externo , aplicando equilibrio en dicha porción se cumple la siguiente igualdad : V1 = V2 1(tA)dx = 2(tB )dx t = q = flujo por cortante

Figura N°3 Pared delgada de sección transversal cerrada sometida a torsión Fuente: Riley . Mecánica de materiales ,2001

Para determinar el esfuerzo cortante en elemento de pared delgada se observa en la figura N° 4 , el momento interno en dicha sección transversal se determina analizando una pequeña porción donde se cumple lo siguiente : T r =∫ ( dF ) ρ=∫ ( τ tds ) ρ=τt ∫ ρ ds

De la figura se observa : d A m=

ds ρ , ρ ds=2 d Am 2

τ max =

Tr 2t min A m

T L ∅= r 4 GA m

2

Lm

∫ dst 0

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Figura N°3 Sección transversal cerrada sometida a torsión Fuente: Riley . Mecánica de materiales ,2001

Ejercicios: 1.- El eje mostrado esta sometido a momento de torsión t 0 = 40Nm/m y a un momento de torsión T , el esfuerzo cortante admisible del material es adm = 10MPa y el G = 80GPa , determine el valor de T , el esfuerzo cortante máximo y el giro de la sección C. 40(1.2) TA

TB

Aplicando equilibrio en el eje se tiene : T + TA + TB = 40(1.2) …………….(1) Con respecto al ángulo de giro se cumple lo siguiente: B/A = B/C + C/A = 0 Determinando los momentos internos en cada tramo se tiene lo siguiente :

Analizando el tramo BC

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TCB

TB

TCB = -TB Analizando el tramo AC se tiene : 40X TCA TA TCA = TA – 40X

X

B/A = B/C + C/A = 0 =

−T B ( 0.8 ) ∑ 4 G Am 2

S i 1.2 ∑ t ∫ ( T A −40 X ) dx Si i 0 + =0 ti 4 G Am 2

-0.8TB + 1.2TA – 40(1.2)2/2 = 0 1.2TA -0.8TB = 28.8 ……..(2) Resolviendo 1 y 2 se tiene : TB = 14.4 – 0.6T TA = 33.6 – 0.4T Realizando el diagrama de momento torsor TA +

C

A

B -

TB

S

π 51 + =0.105 m ∑ t i = 100 4 2 i

2

Am=

π (0.051) −3 2 =4.08 x 10 m 2

τ max =

T 33.6−0.4 T 6 = =10 x 10 2 A m t min 2(4.08 x 10−3 )(2 x 10−3)

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T = - 308Nm τ max =

T 14.4−0.6 T 6 = =10 x 10 −3 −3 2 A m t min 2(4.08 x 10 )(2 x 10 )

T = -237.3Nm (Rpta ) Por lo tanto reemplazando este valor se tiene : TB = 14.4 – 0.6T = -127.98 Nm TA = 33.6 – 0.4T = -61.32Nm τ max =

T −127.98 Nm = =8.16 MPa 2 A m t min 2(4.08 x 10−3 )(2 x 10−3)

ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS RECTAS DEBIDO A FLEXION Hipótesis: 1.- Vigas rectas 2.- Material homogéneo, continuo e isótropo 3.- Material linealmente elástico 4.- Que tenga un plano de simetría respecto a un eje 5.- Las secciones transversales de la viga permanecen planas , durante la deformación. 6.- Cualquier deformación de la sección transversal dentro de su propio plano será despreciada ( superficie neutra , no presenta deformación ) Análisis de deformación

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Analizamos la deformación de la fibra JK Se observa lo siguiente: ρθ = L donde: L= es la longitud inicial de la fibra JK , antes de deformarse Analizando la longitud final de la fibra JK L’JK = (ρ-Y )θ = ρθ – Yθ = L – Yθ  = JK /L = (L’JK – L ) /L = - Y/ρ Análisis de esfuerzos normales Si el material es linealmente elástico se cumple : x = E  , x = -E (Y/ρ ) …. (1) Ubicación del eje neutro

y d A d P z ∫ YdA

=0

y

FX = 0 dF = dA

x

F=

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−YEdA = ∫ dA = ∫ ρ

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Si : ∫ YdA = 0 , eso indica que el eje neutro pasara por el centroide de la sección transversal. Calculo del esfuerzo normal MZ =0 , dMZ = dF (Y ) = E IZ ρ MZ=

E IZ ρ

,

MZ E IZ

=

2

∫ ❑X dA(Y ) = ∫ Yρ

EdA

=

E Y 2 dA ∫ ρ

=

1 ρ

Reemplazando en la ecuación 1 , se tiene :

x = -E (Y/ρ ) Y(+) Y(-)

=-

EY M Z EIZ

,

x =

−M Z Y IZ

xcompresión) x ( tracción )

Ejercicios 1.-Una viga de madera consta de cuatro tablones de 2x8pulg ensambladas como se muestra en la figura , si el momento en dicha sección es MZ = -200KLb-pulg , determine los esfuerzos normales en A,B,C y D

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IZ=

8 x 123 4 x 83 – 12 12

= 981.3pulg4

−M Z Y 200 x 1000(6) = = 1223Lb/pulg2 = 1223Psi(T) máximo en IZ 981.3 tracción 200 x 1000(−4) Xb = = - 815 Psi ( C) 981.3 Xa =

Xc =

200 x 1000(2) 981.3

Xd =

200 x 1000(−5) 981.3

= 408Psi (T) = 1019Psi ©

2.- Una sección transversal de una maquina de hierro colado esta sometida a un par de 3KN-m . Si E = 165Gpa y se desprecia el efecto de la soldadura de filete , determinar los máximos esfuerzos de tensión y de compresión , y el radio de la curvatura.

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Determinando el centroide(eje neutro) de la sección transversal

Y̅=

( 30 x 40 x 20 ) +(20 x 90 x 50) 30 x 40+20 x 90

1 ( 90 x 203 ) + (90x20)(122) + 12 = 868x10-9 m

1 ( 30 x 40 3 ) + (30x40)(182) 12

Ix’ =

Xa =

−M Z Y = IZ

−M Z Y = IZ compresión ) Xb =

MZ E IZ

=

1 ρ

−(−3 KNm)(0.022 m) 868 x 10−9 m4 −(−3 KNm)(−0.038m) 868 x 10−9 m4

,ρ=

E IZ MZ

=

= 38mm

=

76Mpa ( máximo en tracción )

= -131.3Mpa ( máximo en

−9

4

165 GPa (868 x 10 m ) = 47.7m 3 KNm

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3.- Una viga de acero de perfil S152x19 esta apoyada y sometida a cargas como se muestra en la figura . En una sección a 3m a la derecha de A , determine el esfuerzo normal máximo de tracción y de compresión. S152x19 IX= 9.20x106mm4 SX = 121x103 mm3 1m

8(6)=48KN

RA

RB

MB = 0 , RA(8) = 20(2) + 48(7) + 10(12) , RA = 62KN Determinando el momento interno en la sección a 3m de A 0.5m 40KN

M = 62(3) -10(7) -40(2.5)

, M= 16KN-m

Cuando existe dos ejes de simetría el esfuerzo normal se determina de la siguiente forma : Donde :

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S : modulo de sección

max tracción =

M S

max compresión =

=

=

I Y 16 KN −m −3 3 121 x 10 mm

=

132.23Mpa

132.23Mpa

VIGAS COMPUESTAS SOMETIDAS A FLEXION Con el propósito de ahorro de material , peso , alta resistencia y rigidez , se fabrican las vigas compuestas que son vigas elaboradas de varios materiales como por ejemplo puertas , paneles de pared , cajas cartón , etc.

M

Figura 1

Viga compuesta de dos materiales y distribución de deformaciones y esfuerzos normales debido a momento flector Fuente: Gere y Timoshenko, mecánica de materiales .1998

Se observa en la figura 1(a) una viga compuesta sometida a un momento externo M , la distribución de deformaciones longitudinales se puede observar en la figura 1(c) , esta distribución será la misma de una viga recta sometida a flexión simple es decir :  = -y/ρ en toda su sección transversal , si los materiales son linealmente elásticos se cumplirá  = -yE/ρ , pero cabe mencionar que la distribución no será la misma que para una viga recta puesto que la viga compuesta varia su rigidez eso quiere decir que su distribución variara en la zona de cambio de material , tal como se muestra en la figura 1(d) . Para determinar el eje neutro de la viga compuesta se tiene que aplicar la ecuación de equilibrio FX = 0 , en cada diferencial de área de cada material ósea: ∫ σ x 1+∫ σ x2=0 La cual nos dará la posición del eje neutro de la viga compuesta utilizando la siguiente ecuación :

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∑ Y´ =

Ei A i Y´ i

∑ Ei A i

Para determinar los esfuerzos normales en cada material emplearemos la segunda ecuación de equilibrio M =−[∫ dF 1 y +∫ dF2 y ] Resolviendo esta integral obtendremos la formula de los esfuerzos normales en cada material de la viga compuesta sometida a flexión σ xi=

−My E i

∑ Ei I i

En el caso particular de dos materiales se utiliza las siguientes ecuaciones: Si : E1 E2 n = E1 / E2 A n Y´ + A Y´ Y´ = 1 1 2 2 n A 1+ A 2

σ x1 =

−Myn n I 1+I 2

σ x 2=

−My n I 1+ I 2

Donde :

σ x1 =n σ x2

Ejercicios: 1.-En la figura mostrada en la figura el valor de la carga triangular distribuida en x= 4m es w 0 =2KN/m , la viga compuesta consta de dos vigas fabricadas de una aleación de aluminio material A (E A = 70GPa) que se encuentran unidas a una viga de madera material B ( E B = 12GPa) , determine la magnitud de los esfuerzos normales máximos en la aleación de aluminio y en la madera , grafique la distribución de estos esfuerzos en la sección de máximos esfuerzos normales. 2x4/2 = 4KLb W0

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y x

RB

RA 4m

MB = 0

(4)/3

, RA ( 4 ) = 4 (4/3)

RA = 1.33KLb Realizando el Diagrama de cuerpo libre de la viga X2/4

x/3 y

1.33KLb x Por semejanza se cumple lo siguiente:

MAB VAB

2 y = 4 x Y = x/2 MAB = 1.33X – (X2/4)(X/3) = 1.33X – X3/12 Determinando en que zona el momento interno de AB toma el máximo valor d M AB x2 =0 , 1.33− =0 , x=2.3 m dx 4 Mmax = 1.33(2.3) – 2.33 / 12 = 2,052KNm Realizando el diagrama de momento flector de la viga 2.3m

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2,052KNm Determinando el eje neutro

∑ Y´ =

Ei A i Y´ i

∑ Ei A i

70 ( 0.1 )( 0.025 ) Y´ =

+70 ( 0.1 )( 0.025 )( 0.1375 ) +12(0.1)(0.05)(0.075) ( 0.025 2 ) =0.075 m 70 ( 0.1 )( 0.025 ) 2+12(0.1)(0.05)

0.025 ¿ ¿ ¿3 ¿ 0.0625 ( 0.1) ¿ ¿ I A=¿ 0.1 ¿ ¿ ¿3 (0.05)¿ I B =¿ EI = 70x109x1,479x10-5 + 12x109x4,16x10-6 = 1435220Nm2 Determinando los esfuerzos normales en el aluminio σ max tracc=

−( 2,05 x 103 ) (−0.075 ) 70 x 10 9 =7,506 MPa ∑ EI

σ max compr =

−( 2,05 x 103 ) ( 0.075 ) 70 x 109 =−7,506 MPa ∑ EI

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Determinando los esfuerzos normales en la madera −( 2,05 x 103 ) (−0.05 ) 12 x 109 σ max tracc= =0,857 MPa ∑ EI

σ max compr =

−( 2,05 x 103 ) ( 0.05 ) 12 x 10 9 =−0,857 MPa ∑ EI maxcompr

0.857M Pa

5MPa

maxtracc

Ejercicios propuestos 1.-Se tiene un elemento rígido sometido a torsión, formado por un elemento macizo CD de longitud de 1m y de una parte tubular BA de longitud igual a 0.90m , la parte BA tiene dos placas rígidas soldadas en B y C . La parte DC pasa atraves de la placa colocada en B y se suelda a la placa colocada en C , si el material del elemento tiene G= 80GPa y las dimensiones de la parte macizas son 80mmx40mm y de la parte hueca la longitud entre sus líneas medias es de 500mm x 300mm , determine : a) El valor del momento torsor T b) Los momentos en A y D c) Los máximos esfuerzos cortantes en ambos ejes

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2.-Un ángulo de acero L 203x152x12.7 de 3m de longitud ( A= 4350mm2 , IX = 9.03x106 mm4 , G = 77GPa , adm = 50MPa ) , se pide determinar el máximo torque T que puede aplicarse y el ángulo de torsión correspondiente.

3.- La viga en cantiléver mostrada en la figura esta sujeta a un momento M en su extremo libre . Si los esfuerzos admisibles son de 110MPa(T) y de 170MPa(C) , determinar el momento máximo que puede aplicarse a la viga

4.- Un tubo de acero con un diámetro exterior de 4pulg y un diámetro interior de 3pulg esta simplemente apoyado en los extremos y soporta dos cargas concentradas . En una sección a 5pies del apoyo derecho determine el esfuerzo normal en el punto A y el punto B de la sección transversal.

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5.- Una viga T esta soportada y cargada como se ve en la figura . La sección transversal tiene un ancho b= 2 ½ pulg y una altura de h= 3pulg y espesor t= ½ pulg . Determine los esfuerzos máximos de tracción y de compresión en la viga.

6.- Una viga en voladizo AB con sección transversal rectangular tiene un agujero longitudinal en toda su longitud . La viga soporta una carga P= 600N . La sección transversal es de 25mm de ancho y 50mm de altura , el agujero tiene un diámetro de 10mm , determine los esfuerzos de flexión en la parte superior de la viga , en la parte superior del agujero y en la parte inferior de la viga.

7.- La viga AB esta articulada en B a la viga BC que esta empotrada en A , determine los máximos esfuerzos normales de tracción y de compresión que se presentan en el sistema.

8.- Una viga de acero de sección transversal T (WT305x77)(A=9870mm2 , IXX= 78,7x106mm4 , IYY = 54,1x106mm4 , Yc = 65,8 ) que se le adhieren

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dos perfiles L de acero (L51x51x9,5) (A= 877mm2 , IXX = IYY = 0,199x106mm4 , Xc = Yc = 16,2 ) . La viga presenta en B una rotula y se pide determinar : a) El máximo esfuerzo normal de tracción y de compresión b) En la zona de máximo momento flector representar la distribución de esfuerzos normales.

9.- Una viga ahusada en voladizo AB con sección transversal rectangular esta sometida a una carga centrada P= 50Lbf y a un par M0 = 800Lb pulg actúa en el externó libre . El ancho de la viga es constante e igual a 1pulg pero la altura varia linealmente desde hA= 2pulg hasta hB = 3pulg en el empotramiento. A que dsitancia x desde el e libre se presenta el esfuerzo máximo normal por flexión y cual es su valor , cual es la razón del esfuerzo máximo al esfuerzo máximo en la zona de empotramiento.

10.- Una viga ABC esta articulada en C y apoyada en B . Las secciones transversales son circulares con diámetro constante d B entre B y C y diámetro dA en el extremo libre A . Entre los puntos A y B , el diámetro varia linealmente con la distancia x . Una carga concentrada P actúa en el extremo A ¿ A que distancia x del extremo libre se presenta el esfuerzo máximo de flexión debido a la carga P si dB/ dA = 2.25 ¿Cuál es la magnitud del esfuerzo normal máximo de flexión? ¿Cuál es la razón del esfuerzo máximo de flexión al esfuerzo normal en B?

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11.- Una viga en voladizo de longitud L= 6pies soporta una carga uniforme de intensidad q=250Lbf/pies y una carga concentrada P= 3000Lbf , determine el modulo de sección requerido S si adm = 16000Psi , luego seleccione una viga adecuada de patín ancho (perfil W) de la tabla de perfiles que se adjunta y recalcule S tomando en cuenta el peso de la viga. Escoja una nueva viga si es necesario.

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Bibliografía consultada de los problemas propuestos:

Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr., John T. DeWolf, David F. Mazurek. Mecánica de Materiales. Segundaedición. Mc Graw Hill Interamericana Editores S.A. de C.V. México, 1996.738 páginas. William F. Riley, Leroy D. Sturges, Don H. Morris. Mecánica de Materiales. Editorial Limusa S.A. de C.V., México. 2001. 708 páginas. James M. Gere, Mecánica de Materiales. Séptima edición.CENGAJE Learning . de C.V., México. 2009. 1024 páginas. A.Volmir . Problemas de resistencia de materiales . Editorial Mir Moscú .Moscú 1986. 477 paginas.

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