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Integrales de línea sobre campos escalares. Aplicaciones Cálculo avanzado para ingeniería Semana 12 Sesión 24 EJERCICI

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Integrales de línea sobre campos escalares. Aplicaciones Cálculo avanzado para ingeniería Semana 12

Sesión 24

EJERCICIOS EXPLICATIVOS 1. Evalúe ∫𝐶 (𝑥 + 2) 𝑑𝑠, donde 𝐶 es la curva representada por: 4 3 𝑡2

𝛼(𝑡) = (𝑡; 𝑡 2 ; ), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 3 2 2. Un alambre tiene forma de una circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 , 𝑎 > 0. Si la densidad en un punto (𝑥; 𝑦) del alambre está dada por la función: 𝑓(𝑥; 𝑦) = |𝑥| + |𝑦|. a. Exprese la integral que permita calcular la masa del alambre. b. Calcule la masa del alambre. 3. Una cerca de un jardín tiene una altura variable y viene dada por 𝑔(𝑥; 𝑦) = 𝑥𝑦, si la base de la cerca viene dada por la trayectoria descrita por la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25, en el primer y segundo cuadrante. Modele la integral que permita calcular el área de la cerca. Janet una alumna del curso de múltiples variables desea pintar la cerca por ambos lados, un pintor le cobra cada metro cuadrado 10 soles ¿Cuánto tendrá que pagar Janet al pintor? 4. Un motor de tractor tiene una pieza de acero con una base circular representada por una función vectorial 𝑟(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠𝑡𝒊 + 3𝑠𝑒𝑛𝑡𝒋. Su altura está dada por 𝑧 = 1 + 𝑦 2 (Todas las medidas en centímetros). Calcule el área de la superficie lateral de la pieza.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. La altura de un edificio está dada por 𝑧 = 20 + 𝑥, y una de las paredes sigue una 2

3

trayectoria representada por: 𝑦 = 𝑥 2 . (Todas las medidas se dan en pies) 3 a. Exprese la integral de línea que permita calcular el área de la superficie de la pared si 0 ≤ 𝑥 ≤ 15. b. Calcular el área de la superficie de la pared. 2. Miguel piensa pintar una cerca de un parque por ambos lados. La cerca tiene como base 2

2

2

la curva 𝐶: 𝑥 3 + 𝑦 3 = (40)3 (𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0) y la altura para cada punto (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐶 está 𝑦 dada por la función 𝑓(𝑥; 𝑦) = 4 + . 2 a. Exprese la integral que permita calcular el área de la ceca del parque. b. Si le proporcionan la pintura y le van a pagar S/.100 por pintar 20𝑚2 , ¿Cuál es su ganancia? 3. Calcule: ∫𝐶 𝑥𝑦 2 𝑧𝑑𝑠, donde 𝐶 es la curva intersección se las superficies 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 16 y 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4, en el primer octante.

@ 2016 Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial.

4. Calcular la siguiente integral de línea ∫(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠 𝐶

siendo 𝐶 el lazo derecho de la lemniscata 𝑟 2 = 𝑎2 cos⁡(2𝜃)

TAREA DOMICILIARIA 1. Calcular el área de la superficie lateral del cilindro parabólico 𝑦 = planos 𝑧 = 0, 𝑧 = 𝑥, 𝑦 = 6

3𝑥 2 8

limitado por los

2. Evalúe la siguiente integral de línea ∫(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑑𝑠⁡ 𝐶

donde la curva 𝐶 está definida por 𝑔(𝑡) = (sen(𝑡); cos⁡(𝑡); 𝑡), 𝑡 ∈ [0; 2𝜋] 3. Evalúe ∫(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)⁡𝑑𝑠⁡ 𝐶

donde la curva 𝐶 está definida por 𝑓: [1; 3] → ℝ3 /⁡⁡𝑓(𝑡) = (𝑡; 3𝑡; 2𝑡)

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4. Evalúe la integral de línea ∫ 𝑥𝑦𝑧⁡𝑑𝑠⁡ 𝐶

donde la curva 𝐶 está definida por ℎ: [1; 3] → ℝ3 /⁡⁡ℎ(𝑡) = (e𝑡 ⁡; e−𝑡 ; e2𝑡 ) 5. Calcular la masa de un alambre que tiene la forma de la curva intersección de las superficies 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 , ⁡𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, si la función de densidad lineal es 𝜌(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥 2 . RESPUESTAS - TAREA DOMICILIARIA 1. 2. 3. 4. 5.

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(10√10 − 1) 2𝜋 2 24√14 (e3 − 1)/3 2𝜋/3 27

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