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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y DE ENERGIA ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA

SEPARATA 5 SEMESTRE 2019-A CONTENIDO:     

Esfuerzos normales en vigas rectas Deformaciones longitudinales debido a flexión Ubicación del eje neutro Flexión axial excéntrica Núcleo central

PROFESOR DEL CURSO: MG. MARTIN SIHUAY FERNANDEZ

Dirección Académica de IngenieríaMecánicaa

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ESFUERZOS NORMALES EN VIGAS RECTAS DEBIDO A FLEXION Hipótesis: 1.- Vigas rectas 2.- Material homogéneo, continuo e isótropo 3.- Material linealmente elástico 4.- Que tenga un plano de simetría respecto a un eje 5.- Las secciones transversales de la viga permanecen planas, durante la deformación. 6.- Cualquier deformación de la sección transversal dentro de su propio plano será despreciada (superficie neutra, no presenta deformación) Análisis de deformación

Analizamos la deformación de la fibra JK Se observa lo siguiente: ρθ = L Dónde:

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L= es la longitud inicial de la fibra JK , antes de deformarse Analizando la longitud final de la fibra JK L’JK = (ρ-Y )θ = ρθ – Yθ = L – Yθ  = JK /L = (L’JK – L ) /L = - Y/ρ Análisis de esfuerzos normales Si el material es linealmente elástico se cumple: x = E  , x = -E (Y/ρ ) …. (1) Ubicación del eje neutro

y dA z

dP

E.N

y

FX = 0 dF = dA

x

F=

∫ dA = ∫

−YEdA = ρ

∫ YdA

=0

Si : ∫ YdA = 0 , eso indica que el eje neutro pasara por el centroide de la sección transversal. Calculo del esfuerzo normal MZ =0 , dMZ = dF (Y ) = -∫ ❑X dA(Y ) = MZ

=

EIZ ρ

MZ E IZ

,

=

2

∫ Yρ

EdA =

E IZ E Y 2 dA = ∫ ρ ρ

1 ρ

Reemplazando en la ecuación 1 , se tiene :

x = -E (Y/ρ )

=-

EY M Z E IZ

,

x =

−M Z Y IZ

Y(+)

x

( compresión) Y(-)

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x ( tracción )

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Distribución de esfuerzos normales

Ejercicios 1.-Una viga de madera consta de cuatro tablones de 2x8pulg ensambladas como se muestra en la figura, si el momento en dicha sección es MZ = -200KLb-pulg, determine los esfuerzos normales en A, B, C y D 8 x 123 4 x 83 – = 981.3pulg4 12 12

IZ =

−M Z Y 200 x 1000(6) = = 1223Lb/pulg2 = 1223Psi(T) máximo en IZ 981.3 tracción 200 x 1000(−4) Xb = = - 815 Psi ( C) 981.3 Xa =

Xc = Xd =

200 x 1000(2) = 408Psi (T) 981.3

200 x 1000(−5) = 1019Psi © 981.3

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2.- Una sección transversal de una máquina de hierro colado está sometida a un par de 3KN-m. Si E = 165Gpa y se desprecia el efecto de la soldadura de filete, determinar los máximos esfuerzos de tensión y de compresión, y el radio de la curvatura.

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Determinando el centroide(eje neutro) de la sección transversal

Y̅

=

( 30 x 40 x 20 )+(20 x 90 x 50) = 38mm 30 x 40+20 x 90

Ix’ =

1 1 (90 x 20 3) + (90x20)(122) + (30 x 403) + (30x40)(182) = 868x10-9 m4 12 12

Xa =

−M Z Y IZ

=

−(−3 KNm)(0.022 m) 868 x 10−9 m4

Xb =

−M Z Y IZ

=

−(−3 KNm)(−0.038 m) 868 x 10−9 m 4

MZ EIZ

=

1 ρ

,ρ=

=

76Mpa (máximo en tracción)

= -131.3Mpa (máximo en compresión)

EIZ 165GPa (868 x 10−9 m 4 ) = = 47.7m MZ 3 KNm

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3.- Una viga de acero de perfil S152x19 está apoyada y sometida a cargas como se muestra en la figura. En una sección a 3m a la derecha de A, determine el esfuerzo normal máximo de tracción y de compresión. S152x19 IX= 9.20x106mm4 SX = 121x103 mm3 1m

8(6)=48KN

RA

RB

MB = 0, RA(8) = 20(2) + 48(7) + 10(12) , RA = 62KN Determinando el momento interno en la sección a 3m de A 0.5m 40KN

M = 62(3) -10(7) -40(2.5)

, M= 16KN-m

Cuando existe dos ejes de simetría el esfuerzo normal se determina de la siguiente forma:

=

M S

Dónde:

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S: módulo de sección

max tracción =

M S

max compresión =

=

=

I Y

16 KN −m 121 x 10−3 mm3

=

132.23Mpa

132.23Mpa

FLEXION AXIAL EXCENTRICA

P MZ Y MY Z ❑X= − + A IZ IY

1.-Se aplica una carga vertical de 4.8KN a un poste de madera de sección rectangular , 80 por 120mm , determine el esfuerzo en los puntos A ,B C y D , localice el eje neutro y dibuje la distribución de esfuerzos

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Transladamos la carga de 4.8KN al centroide de la sección transversal MX = 4.8KN(40mm) = 192Nm MZ = 4.8KN(25mm) = 120Nm

Observamos que las mismas fuerzas y momentos son los mismos en la sección transversal que contiene a los puntos A,B,C y D A= 0.08m(0.120m)= 9.60x10-3m2 1 IX = (0.120m)(0.080m)3 = 5.12x10-6m4 12 1 IZ = (0.080m)(0.120m)3 = 11.52.12x10-6m4 12 −P M Z X M x Z + − A IZ IX ❑ XA=¿ -2.625MPa ❑ XA=

=

120 Nm(−60 mm) 192 Nm 40 mm −4.8 KN + − −3 2 IZ IY 9.6 x 10 m

❑ XB=

120 Nm (60 mm) 192 Nm 40 mm −4.8 KN + − = -1.375MPa −3 2 IZ IY 9.6 x 10 m

❑ XC =

120 Nm (60 mm) 192 Nm (−40 mm) −4.8 KN + − = 1.625MPa −3 2 IZ IY 9.6 x 10 m

❑ XD=

120 Nm(−60 mm) 192 Nm(−40 mm) −4.8 KN + − = 0.375MPa −3 2 IZ IY 9.6 x 10 m

Ubicación del eje neutro

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❑ XA=

−P M Z X M x Z + − = 0 , 10.4X -37.5Z-0.5 = 0 ( ecuación del eje neutro) A IZ IX

Si : X= 0 , Z = -0.013m , Z= 0 , X= 0.048m

NUCLEO CENTRAL DE UNA SECCION TRANSVERSAL Es la zona de la sección transversal donde tiene que estar aplicada la carga para que la línea neutra no corte la sección, en otras palabras el núcleo central se define como la zona de la sección transversal donde tiene que estar aplicada la carga para que el eje neutro no corte a la sección transversal y los esfuerzos normales tengan el mismo signo.

Importancia del Núcleo Central Este nos sirve para poder obtener el lugar donde colocar cada carga, sin que el cuerpo tienda a la flexión. También nos ayuda en el estudio de la flexión compuesta en diversos materiales, tales como el hormigón simple o mampostería(tienen una resistencia a la tracción muy pequeña) para poder lograr que trabajen adecuadamente sin deformaciones. Para esto la carga normal debe estar aplicada en el núcleo central. Núcleo central de una sección transversal rectangular P

MZ= Pe

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Eje neutro A = bh

, IZ =

−P M Z Y − x = A IZ

b h3 12 =0

−P Pe (Y )12 − ,0= , 3 bh bh

h2 Y=12e

Cuando e es pequeña, el eje neutro n-n se encuentra fuera de la columna en la dirección y negativa y toda la sección transversal está a compresión. Si: Y = -h/2 , e = h/6 Se puede realizar el mismo análisis para una carga en compresión Que se aplica en el eje Y negativa, en este caso el eje neutro está en el lado de la columna donde y es positivo y el valor del límite será: Si: Y = h/2 , e = -h/6 Por lo tanto si la excentricidad sea menor que h/6 toda la sección transversal estará en compresión. Se puede realizar el mismo análisis con la carga P de compresión que actúa en el eje Z, encontraremos los límites de la excentricidad Z= ±b/6, esta zona se denomina Núcleo central

Núcleo central de una sección transversal circular

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A = R2, IX = R4/4 Eje neutro z =

−P M X Y − A IX

=

−P PeY −P PeY 4 −R2 − − = = 0, Y = A IX R2 R4 4e

Si: Y = -R, e= R/4 Si la carga P estuviera en el eje Y negativo e = -R/4 El análisis es similar si la carga estuviera en el eje X, e=±R/4, de la simetría se deduce que el núcleo central deberá ser de configuración circular. Núcleo central de una sección transversal doble T

Analizando cuando la carga P está en el eje Y positivo con una excentricidad e en el eje Y positivo, el esfuerzo normal será: −P M Z Y − x = A IZ

−P M Z Y − 2 = A rZ A

rZ2 r Z2 = 0, Y = , Si: Y = -h/2 , e= 2 e h

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Analizando la carga P en el eje Y negativo con la excentricidad e negativa se r Z2 tendrá e= −2 h Analizando la carga P en el eje Z positivo y la excentricidad e en z positivo se r 2 tendrá, e= 2 Y b Por lo tanto la envolvente del núcleo central será un rectángulo como se muestra en la figura.

Problemas propuestos 1.- La viga en cantiléver mostrada en la figura está sujeta a un momento M en su extremo libre. Si los esfuerzos admisibles son de 110MPa (T) y de 170MPa(C), determinar el momento máximo que puede aplicarse a la viga

2.- Un tubo de acero con un diámetro exterior de 4pulg y un diámetro interior de 3pulg está simplemente apoyado en los extremos y soporta dos cargas concentradas. En una sección a 5pies del apoyo derecho determine el esfuerzo normal en el punto A y el punto B de la sección transversal.

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3.- Una columna corta de 120x80mm soporta las tres cargas axiales. Sabiendo que la sección ABD está suficientemente alejada de las cargas para que permanezcan plana, determine los esfuerzos normales en el punto A y B.

4.- Una viga T esta soportada y cargada como se ve en la figura. La sección transversal tiene un ancho b= 2 ½ pulg y una altura de h= 3pulg y espesor t= ½ pulg . Determine los esfuerzos máximos de tracción y de compresión en la viga.

5.- Una viga en voladizo AB con sección transversal rectangular tiene un agujero longitudinal en toda su longitud . La viga soporta una carga P= 600N . La sección transversal es de 25mm de ancho y 50mm de altura , el agujero tiene un diámetro de 10mm , determine los esfuerzos de flexión en la parte superior de la viga , en la parte superior del agujero y en la parte inferior de la viga.

6.- Una palmera inclinada a un ángulo de 60º pesa alrededor de 1000Lbf . El peso de la palmera puede resolverse en dos fuerzas resultantes , una fuerza

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P1= 900Lbf que actúa en un punto a 12 pies de la base y otra fuerza P 2 = 100Lbf que actúa en la parte superior de la palmera , que tiene 30pies de largo . El diámetro en la base de la palmera es de 14pulg , calcule los esfuerzos máximos de tracción y de compresión en la base de la palmera debido a su peso.

7.-Una columna corta construida con un perfil W12x35 de patín ancho está sometida a una carga resultante de P= 25KLb aplicado en el punto medio de un patín, determine los esfuerzos máximos normales de tracción y de compresión en la columna, ubique el eje neutro.

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8.- Determine el núcleo central de la sección transversal rectangular de las siguientes medidas d= 40mm, b= 80mm

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9.- Determine el núcleo central de la sección transversal circular de diámetro 200mm.

10.- Determine el núcleo central del perfil W12x87 de acero estructural.

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