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• Danny Hernandez

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1.2

SENSIBILIDAD Y SEÑALES DE DISTURBIO EN UN SISTEMA EN LAZO CERRADO

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN SISTEMA REALIMENTADO La función de transferencia es utilizada para obtener la relación entre la señal de entrada y de salida de un sistema. La función de transferencia de sistemas dinámicos (representada por ecuaciones diferenciales), es la relación entre la transformada de Laplace de la señal de entrada y la salida, con todas las condiciones iniciales asumidas como cero. En la Figura 1, G(s) representa la función de transferencia del controlador y del proceso y H(s) representa la función de transferencia del sensor. 𝑅(𝑠)

+

𝐺(𝑠)

𝑌(𝑠)

_ 𝐻(𝑠) Figura 1. Diagrama en bloques de un sistema realimentado. Teniendo en cuenta la figura anterior la señal de salida Y(s) está dada por: 𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)[𝑅(𝑠) − 𝐻(𝑠)𝑌(𝑠)] Organizando términos,

𝑌(𝑠)[1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)] = 𝐺(𝑠)𝑅(𝑠)

Por lo tanto la función de transferencia del sistema realimentado es, 𝑌(𝑠) 𝐺(𝑠) = 𝑅(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) En un sistema de control en lazo cerrado el objetivo es que la señal de salida 𝑌(𝑠) sea igual a la señal de entrada o señal de referencia 𝑅(𝑠). 𝑌(𝑠) =

𝐺(𝑠) 𝑅(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

Si 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) ≫ 1, entonces la señal de salida se aproxima a, 𝑌(𝑠) ≈

1 𝑅(𝑠) 𝐻(𝑠)

De la ecuación anterior se aprecia que la salida sólo se afecta por 𝐻(𝑠), en muchos casos 𝐻(𝑠) es igual a 1 o una constante distinta de 1. La constante explica una conversión de unidad. Si consideramos el caso de realimentación unitaria, es decir, 𝐻(𝑠) = 1, entonces 𝑌(𝑠) = 𝑅(𝑠), lo Sensibilidad y señales de disturbio

cual implicaría que la señal de salida sigue a la referencia o señal de entrada, obteniéndose el resultado deseado. Sin embargo, el requisito impuesto de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) ≫ 1 puede hacer que la respuesta del sistema sea altamente oscilatoria y aún inestable, pero el hecho de que conforme se incremente la magnitud de 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) se reduce el efecto sobre la salida es un concepto muy útil que se aplicará en lo sucesivo. Un proceso, representado por la función de transferencia 𝐺(𝑠), está sujeto a variaciones de parámetros debidos a un medio cambiante, al envejecimiento y al desconocimiento de parámetros exactos y otros factores que afectan el proceso. Una ventaja importante de un sistema de control en lazo cerrado es su capacidad para reducir la sensibilidad del sistema. Con el objetivo de ilustrar el efecto de las variaciones de parámetros, se considerará un cambio en el proceso, de forma que el nuevo proceso es 𝐺(𝑠) + ∆𝐺(𝑠) y que la señal de salida cambia a 𝑌(𝑠) + ∆𝑌(𝑠). En el caso de un sistema en lazo abierto, 𝑌(𝑠) + ∆𝑌(𝑠) = (𝐺(𝑠) + ∆𝐺(𝑠))𝑅(𝑠) Por lo tanto, la variación en la salida es, ∆𝑌(𝑠) = ∆𝐺(𝑠)𝑅(𝑠) La ecuación anterior nos dice que existe una relación directa entre cualquier cambio en 𝐺(𝑠) y la variación de la señal de salida. En el caso de un sistema en lazo cerrado se tiene, 𝑌(𝑠) + ∆𝑌(𝑠) =

𝐺(𝑠) + ∆𝐺(𝑠) 1 + (𝐺(𝑠) + ∆𝐺(𝑠))𝐻(𝑠)

𝑅(𝑠)

Reemplazando 𝑌(𝑠), el cambio en la salida es, 𝐺(𝑠) + ∆𝐺(𝑠) 𝐺(𝑠) ∆𝑌(𝑠) = [ − ] 𝑅(𝑠) 1 + (𝐺(𝑠) + ∆𝐺(𝑠))𝐻(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) Reorganizando términos, ∆𝑌(𝑠) =

∆𝐺(𝑠) [1 + (𝐺(𝑠) + ∆𝐺(𝑠))𝐻(𝑠)][1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)]

𝑅(𝑠)

Considerando que 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) ≫ ∆𝐺(𝑠)𝐻(𝑠), se tiene ∆𝑌(𝑠) =

∆𝐺(𝑠) 𝑅(𝑠) [1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)]2

En un sistema en lazo cerrado las variaciones se reducen por el factor [1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)], el cual generalmente es mucho mayor que uno en el intervalo de frecuencias de interés.

Función Sensibilidad Según Bode, la sensibilidad del sistema se define como el cambio porcentual de la función de transferencia del sistema 𝑇(𝑠) con respecto al cambio porcentual en la función de transferencia del proceso 𝐺(𝑠) o parámetro de 𝐺(𝑠): ∆𝑇(𝑠)/𝑇(𝑠) ∆𝐺(𝑠)/𝐺(𝑠)

𝑆𝐺𝑇 =

También podemos definir la sensibilidad utilizando el cálculo diferencial, tomando el límite para pequeños cambios con el incremento, 𝑆𝐺𝑇 =

𝜕𝑇(𝑠) 𝐺(𝑠) 𝜕𝐺(𝑠) 𝑇(𝑠)

Aplicando la definición anterior, se puede verificar que en el caso de un sistema en lazo abierto la función sensibilidad es igual a 1. En el caso de un sistema en lazo cerrado tenemos, 𝑆𝐺𝑇 =

𝜕𝑇(𝑠) 𝐺(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) − 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) = 𝐺(𝑠) [1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)]2 𝜕𝐺(𝑠) 𝑇(𝑠) 𝐺(𝑠)

Por lo tanto, cancelando términos, 𝑆𝐺𝑇 =

1 [1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)]

La expresión anterior verifica que la sensibilidad se disminuye al aumentar 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠). Es decir, que frente a un cambio en 𝐺(𝑠) si 𝐺(𝑠) es mucho mayor que uno en el intervalo de frecuencias de interés la función sensibilidad sería pequeña y por lo tanto el desempeño del sistema se mantiene en presencia de incertidumbres en el modelado. La sensibilidad del sistema con respecto a cambio en la función de realimentación 𝐻(𝑠) es, 𝑆𝐻𝑇 =

𝜕𝑇(𝑠) 𝐻(𝑠) 𝐺(𝑠)2 1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) =− 𝐻(𝑠) 2 [1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)] 𝜕𝐻(𝑠) 𝑇(𝑠) 𝐺(𝑠)

Por lo tanto, cancelando términos, 𝑆𝐻𝑇 = −

𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) [1 + 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)]

Cuando 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) ≫ 1 la sensibilidad tiende a la unidad y los cambios en 𝐻(𝑠) afectan directamente a la respuesta de salida. Por lo tanto es muy importante utilizar componentes de realimentación que no varíen con los cambios del ambiente y que puedan mantenerse constantes. Ejemplo: En la Figura 2, la función de transferencia representa el modelo matemático de un vehículo. El objetivo es poder fijar la posición del vehículo reduciendo el efecto de perturbaciones y con baja sensibilidad ante cambios en K.

𝐷(𝑠) +

+

𝑅(𝑠)

1 𝑠(𝑠 + 2)

𝐾 _

𝑌(𝑠)

Figura 2. Sistema ejemplo La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es: 𝑇(𝑠) =

𝐾 𝑠(𝑠 + 2) + 𝐾

La función sensibilidad del sistema en lazo cerrado es, 𝑆𝐺𝑇 =

𝑠(𝑠 + 2) 𝑠(𝑠 + 2) + 𝐾

Considerando 𝐾 = 1, en la Figura 3 se aprecia el gráfico de bode de magnitud de la función sensibilidad y de la función de transferencia de lazo cerrado. Se observa que la magnitud de la función sensibilidad es pequeña para bajas frecuencias y la función de transferencia se comporta como un filtro pasabajos. Bode Diagram

20 S T

Magnitude (dB)

0

-20

-40

-60

-80 10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

Frequency (rad/s)

Figura 3. Diagrama de magnitud función sensibilidad La respuesta ante una entrada escalón del sistema en lazo cerrado se presenta en la Figura 4 para diferentes valores de 𝐾.

Step Response 1 K=1 0.9

K = 1.1 K = 0.9

0.8 0.7

Amplitude

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time (seconds)

Figura 4. Respuesta al escalón, diferentes valores de K Un sistema robusto debería exhibir esencialmente el mismo comportamiento ante la señal de entada. La meta del control mantener la señal de salida del sistema ante la presencia de cambios en el modelo y disturbios. Notar que 𝑆𝐺𝑇 + 𝑇(𝑠) = 1. Es importante que |𝑆𝐺𝑇 | sea pequeña para robustez, y para que el sistema sea físicamente realizable se requiere que |𝐺(𝑠)| sea pequeño para altas frecuencias. Esto significa que |𝑆𝐺𝑇 (𝑗𝑤)| tiende a 1 a altas frecuencias. Para poder lograr el objetivo de minimizar los efectos de incertidumbres en la señal de salida se debe diseñar un sistema de control de modo que la ecuación característica del sistema tenga una alta ganancia para así minimizar la magnitud de la función sensibilidad a bajas frecuencias (tener en cuenta que el denominador de la función sensibilidad y de la función de transferencia es el mismo). Por otra parte, es necesario que la función de transferencia en lazo cerrado permita a alta frecuencia atenuar las señales de ruido e incertidumbres de modelado del sistema.

SEÑALES DE DISTURBIO DE UN SISTEMA EN LAZO CERRADO Otro de los efectos importantes de la realimentación es la eliminación parcial de los efectos de las señales de disturbio. Un disturbio es una señal indeseada que afecta la señal de salida del sistema. Muchos sistemas de control están sujetos a perturbaciones que hacen que afectan la exactitud de la respuesta del sistema. En la Figura 5, se puede apreciar perturbaciones que afectan a la planta y a la medida de la variable controlada.

𝐷(𝑠) +

+

𝑅(𝑠)

𝐺𝑐 (𝑠)

𝑌(𝑠)

𝐺(𝑠)

_ 𝐻(𝑠)

+

𝑁(𝑠)

Figura 5. Diagrama en bloques de un sistema realimentado con señales de disturbio. La señal de salida del sistema es, 𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠) [𝐷(𝑠) + 𝐺𝑐 (𝑠)[𝑅(𝑠) − 𝐻(𝑠)[𝑌(𝑠) + 𝑁(𝑠)]]] Organizando términos, 𝑌(𝑠) =

𝐺𝑐 (𝑠)𝐺(𝑠) 𝐺(𝑠) 𝐺𝑐 (𝑠)𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 𝑅(𝑠) + 𝐷(𝑠) − 𝑁(𝑠) 1 + 𝐺𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 1 + 𝐺𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) 1 + 𝐺𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠)

Analicemos como afectan a la salida dichas perturbaciones: Para disminuir el efecto de la perturbación 𝐷(𝑠) el diseñador puede elegir un compensador 𝐺𝑐 (𝑠) de magnitud grande, de manera que se reduzca el efecto de la perturbación sobre la salida. Si se selecciona 𝐺𝑐 𝐺(𝑠)𝐻(𝑠) de magnitud grande con el fin de lograr seguimiento de la referencia y disminuir el efecto de la perturbación 𝐷(𝑠), el diseñador no tiene forma de reducir el efecto del ruido 𝑁(𝑠) en la medida de la variable controlada. Cabe observar aquí que para los sistemas retroalimentados debemos escoger un muy buen sensor. Lectura Adicional Richard Dorf y Robert Bishop. Sistemas Modernos de Control 10 Edición. 4.1 Sistemas de control en lazo abierto y en lazo cerrado 4.2 Sensibilidad de los sistemas de control a variaciones de parámetros 4.4 Señales de perturbación en un sistema de control con realimentación

TAREA: En la Figura 1a) se muestra un sistema para el control de nivel de un tanque y en la Figura 1b) su correspondiente diagrama en bloques. La función de transferencia de lazo abierto del sistema alrededor del punto de equilibrio es, 𝐺(𝑠) =

∆𝐻 𝑅 = ∆𝑄1 𝑅𝐶𝑠 + 1

Considere que 𝑄3 (𝑠) es un disturbio tipo escalón unitario, que se aplica en t = 5sg.

Figura 1a)

Figura 1b) Se desea regular el nivel h en respuesta a cambios de perturbación y errores de modelado. Sea R = 10 y C = 0.1. a) Considerando la Figura 1b) con 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾,  Seleccione K para seguimiento de la referencia en lazo abierto y en lazo cerrado.  Realice una variación en el coeficiente R y compare las respuestas en lazo cerrado y en lazo abierto.  Obtenga el diagrama de Bode de la función sensibilidad. Analice la sensibilidad del sistema. b) Repita el punto a) considerando 𝐺𝑐 (𝑠) = 𝐾/𝑠. Resuelva y realice la simulación en Matlab. Explique los resultados obtenidos.