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• Mathi Aravena

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Escuela Internacional de Negocios

METODOLOGÍA SEIS SIGMA Green Belt Módulo 2

Fase MEDIR

Dr. Edgardo J.

ESCALANTE  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐1

FASES DE SEIS SEIS‐‐SIGMA ((DMAIC DMAIC)) ACTIVIDAD INICIAL: Identificar el proyecto

DEFINIR (D) ¾Definir a los clientes y sus requerimientos (CTQs) ¾Formar el equipo ¾Definir el “charter” y el plan del proyecto Título, Caso de Negocio (definición del problema, COPQ(*), línea base y potencialidad (baseline/entitlement) CTQs), CTQs) objeti objetivo oy metas, alcance, recursos estimados, beneficios esperados, personal involucrado, aprobación del proyecto y tiempo estimado ¾Desarrollar un mapa del proceso del alto nivel (*) Cost of Poor Quality  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐2

1

Escuela Internacional de Negocios

MEDIR (M) ¾Desarrollar un mapa detallado del proceso ¾Identificar entradas y salidas ¾Evaluar el sistema de medición ¾Evaluar la capacidad inicial del proceso (baseline) y su potencialidad (entitlement)

ANALIZAR (A) ¾Identificar las entradas críticas p potenciales ¾Determinar las entradas críticas ¾Ajustar el proceso ¾Evaluar la capacidad del proceso ajustado

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐3

MEJORAR (I) ¾Optimizar las entradas críticas ¾Generar y probar soluciones posibles j solución ¾Seleccionar la mejor ¾Diseñar un plan de implementación ¾Verificar la capacidad final del proceso

CONTROLAR (C) ¾Desarrollar un p plan de control y monitoreo ¾Obtener la aprobación‐recibo del dueño del proceso ¾Elaborar el reporte final / lecciones aprendidas

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐4

2

Escuela Internacional de Negocios

MEDIR MEDIR (M)  Desarrollar un mapa detallado del proceso  Identificar entradas y salidas  Evaluar el sistema de medición  Evaluar la capacidad inicial del proceso (baseline) y su potencialidad (entitlement)

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐5

FLUJO DMAIC D

Definir problema

M

Describir proceso

M

Medición capaz y estable

M

Proceso estable

Eliminar causas especiales

S N

Proceso capaz

Mejorar

I

A

Optimizar

Determinar y validar variables significativas. Ajustar el proceso

C

Controlar el proceso

Evaluar estabilidad y capacidad del proceso

C

Mejorar continuamente

 Dr. Edgardo J. Escalante

S

N

S

Evaluar estado inicial del proceso y su potencial (baseline/entitlement)

A

N

MEDIR-2

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2‐6

3

Escuela Internacional de Negocios

DEFINIR Y DESCRIBIR EL PROCESO Definir los elementos del proceso, sus pasos, entradas, salidas, y sus variables. Rendimiento d l proceso. del Proceso: interacción de gente, materiales, equipos e información con la finalidad de transformar ciertas entradas en salidas específicas.

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐7

Buscar oportunidades para: ‐eliminar pasos ‐hacerlos más rápidos ‐hacer pasos en paralelo ‐reacomodar pasos ‐simplificar i lifi pasos

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐8

4

Escuela Internacional de Negocios

Elaboración y simbología Definir las fronteras del proceso, y usar los siguientes símbolos como elementos del diagrama de flujo: 10

Usado para indicar una operación

60

Se usa para denotar inspección

30

Indica almacenamiento IIndica di transportación t t ió en donde d d se requiere i control Representa un operador

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

20

Indica demora

10

Productos idénticos múltiples

2‐9

4

Operación con inspección

10

Trayectoria principal Trayectoria secundaria A

5‐1

B

Decisión Entrada (MP)

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐10

5

Escuela Internacional de Negocios

Ejemplo Proceso de fabricación de múltiples de admisión. Pasos del proceso: p 001)) 0. Formular el aluminio ((op 1. Precalentar molde a 400°C (op 010) 2. Limpiar el molde (op 020) 3. Colocar y alinear el corazón en el molde (op 030) 4. Cerrar el molde (op 040) 5. Inspeccionar el ensamble (op 050) 6. Vaciar el aluminio (op 060) 7. Esperar a que solidifique el aluminio (op 070) 8. Extraer la pieza (op 080) 9. Limpiar la pieza (op 090) 10. Inspeccionar la pieza (op 100). Si no hay defectos, llevar al almacén (op 110). Si hay defectos, desechar y elaborar reporte  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐11

MULTIPLE DE ADMISION MA‐W01

Características finales del producto requeridas por el cliente CTQs Q •Dureza final 2 Rc •Sin poros •Sin grietas •Sin arena •Sin fugas •Sin rebabas •Pieza completa •Pieza sólida •Sin golpes

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐12

6

Escuela Internacional de Negocios

Flujo completo

005-2

010

060

020

070

001

110

005-1

030

080

040

090

050

100

Ok Def

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐13

Formato del diagrama de flujo FLUJO

VARIABLES DEL Producto/Proceso

010: Precalentar molde a 400°C

010

Temp. precalto. 400 ±10°C 10°C

020: Limpiar el molde

020

t/P(20 seg. a 3 psi)

OPERACIONES

005-1: Corazón 030: Colocar y alinear el corazón en el molde

005-1

040: Cerrar el molde

040

050: Inspeccionar el ensamble

050

 Dr. Edgardo J. Escalante

Estado del corazón Posición centrada

030

MEDIR-2

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Al tope

(ir a op 060)

Criterio definido Sin destellos 2‐14

7

Escuela Internacional de Negocios

OPERACIONES 001: Formular el aluminio 005-2: Aluminio fundido 060: Vaciar el aluminio

FLUJO 005-2

060

(de op 050)

001

070: Esperar a que solidifique el aluminio

080: Extraer la pieza 090: Limpiar la pieza

Tiempo solidif. 10 s Pieza sólida

080

Pieza completa Pieza sin rebabas Procedimiento def.

090

t/P(25 seg. a 4 psi) Pieza sin arena

MEDIR-2

OPERACIONES

FLUJO (de op 90)

100: Inspeccionar la pieza

110: Llevar al almacén

 Dr. Edgardo J. Escalante

Formulación 3R5 Vel. vaciado 5 seg. Nivel de llenado

070

(ir a op 100)  Dr. Edgardo J. Escalante

VARIABLES DEL Producto/Proceso

Def

100

2‐15

VARIABLES DEL Producto/Proceso

Criterio definido Sin fugas, s/grietas y con dureza adecuada(2 Rc)

110

MEDIR-2

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2‐16

8

Escuela Internacional de Negocios

Ejercicio Realizar el diagrama detallado del proceso de su área de trabajo que fue usado para elaborar el diagrama SIPOC

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐17

FLUJO DMAIC D

Definir problema

M

Describir proceso

M

Medición capaz y estable

M

Proceso estable

Eliminar causas especiales

S N

Proceso capaz

Mejorar

I

A

Optimizar

Determinar y validar variables significativas. Ajustar el proceso

C

Controlar el proceso

Evaluar estabilidad y capacidad del proceso

C

Mejorar continuamente

 Dr. Edgardo J. Escalante

S

N

S

Evaluar estado inicial del proceso y su potencial (baseline/entitlement)

A

N

MEDIR-2

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2‐18

9

Escuela Internacional de Negocios

EVALUAR EL SISTEMA DE MEDICIÓN Todos los sistemas de medición deben poseer las siguientes propiedades estadísticas: 1.‐ Estar en control estadístico (estabilidad estadística). 2.‐ Su variabilidad debe ser pequeña comparada con las especificaciones y con la variación del proceso. 3.‐ Los incrementos de medida no deben ser mayores a 1/10 de la variación del proceso (discriminación o resolución). l ió ) 4.‐ Poco sesgo.

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐19

Evaluación del sistema La evaluación de los sistemas de medición se efectúa a través de la Estabilidad, Sesgo, Linealidad, Repetibilidad, Reproducibilidad (Gage R&R),. Usos de la evaluación ‐Aceptar equipo nuevo. ‐Comparar 2 equipos entre sí. ‐Evaluar Evaluar un calibrador sospechoso sospechoso. ‐Evaluar un calibrador antes y después de repararlo. ‐De manera continua de acuerdo a la frecuencia de medición recomendada en los estudios.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐20

10

Escuela Internacional de Negocios

Resumen de las propiedades de un sistema de medición Propiedades ideales sin variación ni sesgo y clasificación perfecta

Propiedades reales proceso en control estadístico con poca variación y poco sesgo y discriminación adecuada

P b prácticas Pruebas á ti Sesgo

Variación Repetibilidad (Precisión) Reproducibilidad Estabilidad

 Dr. Edgardo J. Escalante

Otras Linealidad Discriminación

MEDIR-2

2‐21

Evaluación de Propiedades Estadísticas... Repetibilidad (Precisión) Es la variación interna(*) del SM en las mediciones hechas por un solo operador en la misma pieza y con el mismo instrumento de medición. Se define como la variación alrededor de la media. Esta variación debe ser pequeña con respecto a las especificaciones y a la variación del proceso. 1 operador, 1 gage 1 pieza medida varias veces (*) pieza, instrumento, método, etc.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐22

11

Escuela Internacional de Negocios

Evaluación de Propiedades Estadísticas...

VR

REPETIBILIDAD Causas posibles: Suciedad, fricción, desajuste, desgaste.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐23

Evaluación de Propiedades Estadísticas... Reproducibilidad Variación entre sistemas(*) entre las medias de las mediciones hechas por varios operarios con las mismas piezas i y con ell mismo i iinstrumento t t d de medición. di ió

VR

XA

XB

XC

1 gage, 2 ó 3 operadores, 10 piezas (*) entre métodos, condiciones, equipos, piezas  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐24

12

Escuela Internacional de Negocios

Repetibilidad y Reproducibilidad Al método de Repetibilidad y Reproducibilidad (RR) se le conoce como Medias y Rangos o Método Largo. Es la combinación de los estudios de Repetibilidad y Reproducibilidad. d ibilid d Pasos para el estudio: 1.‐ Calibrar el instrumento (si esto es parte del proced. normal) 2.‐ Seleccionar p=3 operarios que midan r=3 veces las mis‐ mas n=10 piezas (n>5, numeradas) en orden aleatorio (se d desea que np>15 para calcular l l k1 como 1/d /d2, y en generall para tener más observaciones). 3.‐ Seleccionar las piezas que cubran todo el rango de variación del proceso. 4.‐ Llenar el formato de RR o usar algún software (Minitab).  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐25

Repetibilidad y Reproducibilidad Conclusiones: 1. Si la Repetibilidad es grande comparada con la 1.‐ Reproducibilidad, las razones posibles son: ‐El calibrador necesita mantenimiento. ‐El calibrador debería ser rediseñado para ser más rígido. ‐Mejorar la sujeción o localización de la pieza. ‐Existe mucha variación interna en las piezas.

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐26

13

Escuela Internacional de Negocios

Repetibilidad y Reproducibilidad 2.‐ Si la Reproducibilidad es mayor comparada con la Repetibilidad las causas posibles son: Repetibilidad, ‐El operario necesita entrenamiento en el uso del calibrador. ‐Las calibraciones en la escala del instrumento no están claras. ‐Tal vez sea necesario usar algún dispositivo de fijación del calibrador para que el operario lo pueda usar con facilidad.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐27

Ejemplo Se desea realizar un estudio largo de Repetibilidad y Reproducibilidad, para lo cual se seleccionaron 3 operadores y un calibrador para medir la altura de 7 flares, cuya especificación es de 2.4 a 2.6 cms. Dichos flares fueron medidos aleatoriamente tres veces por cada operador.

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐28

14

Escuela Internacional de Negocios

ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD PIEZA Oper REPLICA A

1

2

3

4

5

6

7

1

2.67

2.45

2.50

2.61

2.35

2.55

2.40

8

9

10

PROMEDIO

2

2.67

2.45

2.50

2.61

2.35

2.56

2.39

2.5043

3

2.66

2.44

2.49

2.61

2.35

2.56

2.39

2.5000

2.5043

PROM 2.6667

2.4467

2.4967

2.6100

2.3500

2.5567

2.3933

2.5029

RANGO 0.0100

0.0100

0.0100

0.0000

0.0000

0.0100

0.0100

0.0071

Xb1=(2.5043+2.5043+2.5)/3=2.5029 B

Rb1=(suma de rangos)/7=0.0071

1

2.65

2.45

2.51

2.60

2.35

2.56

2.39

2

2.64

2.46

2.49

2.60

2.33

2.55

2.39

2.4943

3

2.64

2.46

2.51

2.61

2.34

2.54

2.41

2.5014

2.5014

PROM 2.6433

2.4567

2.5033

2.6033

2.3400

2.5500

2.3967

2.4990

RANGO 0.0100

0.0100

0.0200

0.0100

0.0200

0.0200

0.0200

0.0157

Xb2=(2.5014+2.4943+2.5014)/3=2.4990 C

Xb1 Rb1

Xb2 Rb2

Rb2=(suma de rangos)/7=0.0157

1

2.65

2.44

2.50

2.60

2.34

2.54

2.40

2.4957

2

2.67

2.44

2.50

2.60

2.34

2.55

2.40

2.5000

3

2.66

2.45

2.50

2.60

2.34

2.55

2.40

2.5000

PROM 2.6600

2.4433

2.5000

2.6000

2.3400

2.5467

2.4000

2.4986

RANGO 0.0200

0.0100

0.0000

0.0000

0.0000

0.0100

0.0000

0.0057

PROMEDIO DE 2.65667 2.44889 2.50000 2.60444 2.34333 2.55111 2.39667

Xb3 Rb3

Rp

PIEZA (Xbp)

0.3133

Xb3=(2.4957+2.5+2.5)/3=2.4986

Xbp1=(2.6667+2.6433+2.66)/3=2.65667

Rb3=(suma de rangos)/7=0.0057

Rp=Max(Xbp)-Min(Xbp)=2.65667-2.34333=0.3133

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐29

Gage Run Chart of Altura by Flare, Operador Reported by : Tolerance: M isc:

Gage name: Date of study :

1

2

3

4

5

6

7

O perador 1 2 3

2.65 2.60

Altura

2.55 Mean

2.50 2.45 2.40 2.35

Operador Panel variable: Flare

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐30

15

Escuela Internacional de Negocios

Gage R&R (Xbar/R) for Altura Reported by : Tolerance: M isc:

G age name: D ate of study :

Xbar Chart by Operador

Sample Mean

2.7

1

2

3

2.6

UCL=2.5099 _ X=2.5002 LCL=2.4904

2.5 2.4

R Chart by Operador Sample Range

1

2

3

UCL=0.02452

0.02 0.01

_ R=0.00952

0.00

LCL=0

 Dr. Edgardo J. Escalante

Rb (OP)=

MEDIR-2

0.00952

r= No.répl=

Xbdiff=MAX(Xb)-MIN(Xb)=

2‐31

p=No.op=

3

0.0043

D4=

3 2.58

n=No. piezas= LSC(R)=D4(Rb)=

0.02457

LIC(R)=0

LIC(Xb)=Xbb-A2Rb=

LSC(Xb)=Xbb+A2Rb=

2.5099

LSC(R) representa el límite para rangos individuales.

Xb fuera No. pts

85.71

18 21

% de los puntos están

fuera de los límites de medias. instrumento para detectar la variación.

No. del calibrador

Nombre de la parte

Flare

Nombre del calibrador

Característica

Altura

Tipo de calibrador

Especificación

2.5002

1.023

Más de la mitad indica la capacidad del

Señalar los valores que exceden este límite y volver a realizar dichas mediciones. No. de parte

7

D4=3.27 y A2=1.88 para 2 réplicas D4=2.58 y A2=1.023 para 3 réplicas

2.49042

Xbb= A2=

2.4-2.6

Tol/6= 0.03333

X =Xbb=(Xb1+Xb2+Xb3)/3=(2.5029+2.499+2.4986)/3=2.5002 R =Rb(OP)=(Rb1+Rb2+Rb3)/3=(0.0071+0.0157+0.0057)/3=0.0095 Xdiff = Xbdiff=max(Xb1,Xb2,Xb3)-min(Xb1,Xb2,Xb3)=2.5029-2.4986=0.0043 LSC(R)=D4(Rb)=2.58(0.00952)=0.02456

LIC(R)=0

(para 2 y 3 réplicas)

LIC ( Xb ) = Xbb − A 2 ( Rb )= 2.5002‐1.023(0.0095)=2.4904 LSC ( Xb ) = Xbb + A 2 ( Rb )= 2.5002+1.023(0.0095)=2.5099  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐32

16

Escuela Internacional de Negocios

Gage R&R (Xbar/R) for Altura Reported by : Tolerance: M isc:

G age name: D ate of study :

Altura by Flare 2.7

2.6

2.5

2.4

2.3 1

2

3

4 Flare

 Dr. Edgardo J. Escalante

5

6

7

MEDIR-2

2‐33

VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD) VE=Rb*k1=

0.00563

k1=0.8862, r=2 k1=0.5908, r=3

k1=

0.5908

k2=

0.5231

k3=

0.3534

k1=Inverso de d2 usando m=r

VO = ((Xbdiff )(k 2))2 −

VE2 nr

= ((0.0043)(0.5231))2 −

(0.0056) 2 7(3)

VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) VO=Raíz(((Xbdiff)(k2))^2 (VE^2/nr))= VO=Raíz(((Xbdiff)(k2))^2-(VE^2/nr))=

0 00188 0.00188

= 0.001888

Si VO es negativo dentro de la raíz, hacer VO=0. k2=0.7071 p=2 operad. k2=0.5231 p=3 operad.

k2=Inverso de d2*, m=p, g=1

REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD RR=Raíz(VE^2+VO^2)=

0.00593 n

k3

VARIACION DE PIEZAS (VP)

2

0.7071

VP=(Rp)(k3)=

3

0.5231

k3=Inverso de d2*, m=n, g=1

4

0.4467

VARIACION TOTAL (TOT)

5

0.4030

6

0.3742

7

0.3534

8

0.3375

0.11073

TOT=Raíz(RR^2+VP^2)=

 Dr. Edgardo J. Escalante

n=No. de piezas=7 r=No. de réplicas=3

0.11089

9

0.3249

10

0.3146 MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

RR = VE 2 + VO 2 = (0.00563) 2 + (0.00188) 2 = 0.00593 TOT = RR 2 + VP 2 = (0.00593) 2 + (0.11073) 2 = 0.11089

2‐34

17

Escuela Internacional de Negocios

Si se conoce la variación del

VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD) EN %

proceso (6sigma) usarla en VE(%)=100(VE/TOT)=

5.074

VE(%)=100(VE/TOL)=

16.882

lugar de TOT haciendo TOT=6sigma/6. Si se quiere usar la tolerancia, poner

VE (%) = 100 ( VE / TOT )

TOL=tolerancia/6

= 100 (0.00563 / 0.11089 ) = 5.07 VE (%) = 100 ( VE / TOL ) = 100 (0.00563 / 0.03333 ) = 16 .89 VO (%) = 100 ( VO / TOT )

VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) EN % VO(%)=100(VO/TOT)=

1 692 1.692

VO(%)=100(VO/TOL)=

5.628

Generalmente se usa TOT para el control del proceso y TOL para el

= 100 (0.00188 / 0.11089 ) = 1.69 VO (%) = 100 ( VO / TOL ) = 100 (0.00188 / 0.03333 ) = 0.564

control del producto REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD EN % RR(%)=100(RR/TOT)=

5.349

RR(%)=100(RR/TOL)=

17.795

RR (%) = 100 ( RR / TOT ) = 100 (0.00593 / 0.11089 ) = 5.348 RR (%) = 100 ( RR / TOL ) = 100 (0.00593 / 0.03333 ) = 17 .79 VP (%) = 100 ( VP / TOT ) = 100 (0.11073 / 0.11089 ) = 99 .86

VARIACIONDE PIEZAS EN % VP(%)=100(VP/TOT)=

99.857

VP(%)=100(VP/TOL)=

332.229

NOTAS

RR(%) menor a 10, ok. Entre 10 y 30 depende de la aplicación.

Mayor a 30 necesita calibrarse. DISCRIMINACION 1.41*(VP/RR)=

Mayor o igual a 5 es aceptable. (si r=2, 4 ó más es aceptable)

26.324

TOT=variación del estudio (no del proceso) Tolerancia=LSE-LIE

 Dr. Edgardo J. Escalante

VP (%) = 100 ( VP / TOL ) = 100 (0.11073 / 0.03333 ) = 332 .22

MEDIR-2

2‐35

Gage R&R Study - XBar/R Method %Contribution Source

VarComp

(of VarComp)

0.0000352

0.29

Repeatability

0.0000316

0.26

R Reproducibility d ibilit

0 0.0000035 0000035

0 0.03 03

Part-To-Part

0.0122586

99.71

Total Variation

0.0122938

100.00 Study Var

%Study Var

%Tolerance

Source

StdDev (SD)

(6 * SD)

(%SV)

(SV/Toler)

Total Gage R&R

Total Gage R&R

0.005931

0.035584

5.35

17.79

Repeatability

0.005625

0.033752

5.07

16.88

Reproducibility i i i

0.001878

0.011270

1.69

5.63

Part-To-Part

0.110718

0.664311

99.86

332.16

Total Variation

0.110877

0.665263

100.00

332.63

Number of Distinct Categories = 26  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐36

18

Escuela Internacional de Negocios

Gage R&R (Xbar/R) for Altura Reported by : Tolerance: .2 Misc:

Gage name: Date of study :

Components of Variation 350

% Contribution % Study Var % Tolerance

300

TOT=variación del estudio (no del proceso)

Percent

250 200 150

Tolerancia =LSE-LIE

100 50 0

Gage R&R

Repeat

Reprod

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Ejercicio OP Replica

Part-to-Part

2‐37

Aunque este ejemplo no cumple con np>15, se presenta por propósitos ilustrativos.

1

2

PIEZA 3 4

5

PROMEDIO

1 21 24 20 27 24 A 2 20 23 21 27 23 PROM 20.5000 23.5000 20.5000 27.0000 23.5000 RANGO 1.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000

23.2000 22.8000 23.0000 0.8000

1 20 22 24 28 19 B 2 20 22 23 26 18 PROM 20.0000 22.0000 23.5000 27.0000 18.5000 RANGO 0.0000 0.0000 1.0000 2.0000 1.0000

22.6000 21.8000 22.2000 0.8000

1 C 2 PROM RANGO

21.0000 20.2000

19 18

 Dr. Edgardo J. Escalante

23 22

20 19

25 24

18 18

Xb1 Rb1

Xb2 Rb2

Xb3 Rb3 MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐38

19

Escuela Internacional de Negocios

X =Xbb=(Xb1+Xb2+Xb3)/3= Rb(OP)=(Rb1+Rb2+Rb3)/3= Xbdiff=max(Xb1,Xb2,Xb3)-min(Xb1,Xb2,Xb3)= LSC(R)=D4(Rb)=

LIC(R)=0 (para 2 y 3 réplicas)

LIC(Xb)=Xbb-A2(Rb)= LSC(Xb)=Xbb+A2(Rb)=  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐39

Promedio de la

Rp

PIEZA (Xbp) Rb (OP)=

r= No.répl=

Xbdiff=MAX(Xb)-MIN(Xb)= LSC(R) D4(Rb) LSC(R)=D4(Rb)=

D4 3 27 y A2 D4=3.27 A2=1.88 1 88 para 2 réplicas é li

LIC(R)=0

D4=2.58 y A2=1.023 para 3 réplicas

LIC(Xb)=Xbb-A2Rb=

LSC(Xb)=Xbb+A2Rb=

LSC(R) representa el límite para rangos individuales. Señalar los valores que exceden este límite y volver a realizar dichas mediciones.

N o .o p =

Xbb=

D 4=

A 2=

n = N o . p ie z a s =

X b fu e ra N o . p ts % d e lo s p u n t o s e s t á n

f u e r a d e lo s lí m it e s d e m e d ia s . M á s d e la m it a d in d ic a la c a p a c id a d d e l in s t r u m e n t o p a r a d e t e c t a r la v a r ia c ió n .  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐40

20

Escuela Internacional de Negocios

No. de parte Nombre de la parte Característica Especificación

20-30

No. del calibrador Nombre del calibrador Tipo de calibrador Tol/6=

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐41

VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD) VE=Rb*k1=

k1= k2=

k1=0.8862, r=2 k1=0.5908, r=3

k3= k1=Inverso de d2 usando m=r

VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) VO=Raíz(((Xbdiff)(k2))^2-(VE^2/nr))= Si VO es negativo dentro de la raíz, hacer VO=0. k2=0.7071 p=2 operad. k2=0.5231 p=3 operad.  Dr. Edgardo J. Escalante

VO =

(( Xbdiff )( k 2 )) 2 −

VE 2 nr

k2=Inverso de d2*, m=p, g=1 MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐42

21

Escuela Internacional de Negocios

REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD RR=Raíz(VE^2+VO^2)= n

k3

VARIACION DE PIEZAS (VP)

2

0.7071

VP=(Rp)(k3)=

3

0.5231

k3=Inverso de d2*, m=n, g=1

4

0.4467

VARIACION TOTAL (TOT)

5

0.4030

6

0.3742

7

0 3534 0.3534

8

0.3375

9

0.3249

10

0.3146

TOT R í (RR^2 VP^2) TOT=Raíz(RR^2+VP^2)=

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD) EN %

2‐43

Si se conoce la variación del proceso (6sigma) usarla en

VE(%)=100(VE/TOT)=

lugar de TOT haciendo TOT=6sigma/6. Si se quiere

( ) ( ) VE(%)=100(VE/TOL)=

usar la tolerancia,, poner p TOL=tolerancia/6

VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) EN % VO(%)=100(VO/TOT)=

Generalmente se usa TOT para el control del

VO(%)=100(VO/TOL)=

proceso y TOL para el control del producto

Si se conoce y se usa la variación del proceso, Var.Parte = TOT 2 − RR 2  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐44

22

Escuela Internacional de Negocios

REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD EN % RR(%)=100(RR/TOT)= RR(%)=100(RR/TOL)= VARIACIONDE PIEZAS EN % VP(%) 100(VP/TOT) VP(%)=100(VP/TOT)= VP(%)=100(VP/TOL)= NOTAS RR(%) menor a 10, ok. Entre 10 y 30 depende de la aplicación. Mayor a 30 necesita calibrarse. DISCRIMINACION 1.41*(VP/RR)=

 Dr. Edgardo J. Escalante

Mayor o igual a 5 es aceptable. (si r=2, 4 ó más es aceptable)

MEDIR-2

2‐45

Análisis de Atributos El análisis de atributos es la evaluación de un sistema de medición cuyos datos son atributos de los siguientes tipos: a) Escala nominal ‐ resultados clasificados en categorías no ordenadas (2 ó más) para juzgar alguna característica como partido politíco de su preferencia, supermercado preferido, etc. Un caso particular es la escala binaria (defectuosa‐no defectuosa, éxito‐fracaso, etc.)

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐46

23

Escuela Internacional de Negocios

b) Escala ordinal ‐ resultados clasificados en categorías ordenadas (3 ó más) para juzgar alguna característica como nivel de ingreso anual, evaluación de un servicio, etc. siendo la escala numérica o no. Existen 2 tipos de análisis de atributos (ambas escalas): ‐Análisis de Concordancia ‐Método Analítico En ambos estudios tomar un mínimo de 3 operadores, 30 piezas/eventos (algunas ligeramente fuera de especificación), y 3 evaluaciones por operador.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐47

Análisis de Concordancia Ejemplo SSe realizará li á un estudio t di d de atributos t ib t a un sistema it d de medición di ió para evaluar cierta característica en una muestra de 30 piezas. Se seleccionaron a 3 operadores y cada uno evaluó 3 veces las mismas piezas en orden aleatorio. También se tiene la evaluación de un experto (referencia).

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐48

24

Escuela Internacional de Negocios

Pza 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Operador 1 ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND ND D D D D D D D ND ND D D D ND ND ND D D D ND ND D ND ND ND D D D ND ND ND D ND D

Operador 2 ND ND ND D ND D D ND ND ND ND ND D D D D D D ND ND ND D D D ND ND ND D D D ND ND ND ND ND D D D D ND ND ND D ND ND

Operador 3 ND ND ND D ND ND ND ND ND D ND ND D D D D D D ND ND ND D D ND ND ND ND D D D ND ND ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND D D

Experto ND D ND ND D D ND D ND D ND ND D ND ND

continúa...  Dr. Edgardo J. Escalante

Pza 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Operador 1 D ND ND ND ND ND ND ND ND D D D ND ND D ND ND ND ND ND ND ND ND ND D D D ND ND ND D ND D D ND ND ND ND ND ND ND ND D D D

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Operador 2 ND ND ND D ND ND ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND ND D D ND ND ND D ND ND ND ND ND D ND ND ND ND ND ND D D

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐49

Operador 3 ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND D D ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND ND

Experto ND ND ND ND ND ND ND ND D ND ND ND ND ND D

2‐50

25

Escuela Internacional de Negocios

Intervalo de confianza (IC) de 95% usado por Minitab es (LII=límite inferior del IC, LSI=límite superior del IC) ν1s F0.975,ν1s ,ν 2 s ν1i F0.025,ν1i ,ν 2 i LSI = LII = ν 2s + ν1s F0.975,ν1s ,ν 2 s ν 2i + ν1i F0.025,ν1i ,ν 2 i

ν1i = 2m

ν1s = 2( m + 1)

ν 2i = 2( N − m + 1) ν 2 s = 2( N − m ) m=No. de aciertos, N=No. total de pruebas Si el % es cero, LII = 0. Si el % es 1, usar alfa en lugar de alfa/2

Transformación de F

Fprob, n -1, n -1 = 1

2

1 F1-prob, n -1, n -1 2

 Dr. Edgardo J. Escalante

1

MEDIR-2

2‐51

1. Concordancia interna (operadores): ‐Operador 1: 22 de 30, 73.3%, ν 1i = 2 ( 22 ) = 44

ν 1s = 2 ( 22 + 1) = 46

ν 2 i = 2 ( 30 − 22 + 1) = 18

ν 2 s = 2 ( 30 − 22 ) = 16

LII =

44 F 0 . 025

, 44 , 18

18 + 44 F 0 . 025

LSI

, 44 , 18

=

46 F 0 . 975

, 46 , 16

16 + 46 F 0 . 975

44 ( 0 . 4824 ) LII = = 0 . 5411 18 + 44 ( 0 . 4824 )

LSI

, 46 , 16

46 ( 2 . 485 ) = = 0 . 8772 16 + 46 ( 2 . 485 )

así, IC=(54.11, 87.72)% En forma semejante, ‐Operador Operador 2: 18 de 30, 60%, IC IC=(40.6, (40.6, 77.34)% ‐Operador 3: 24 de 30, 80%, IC=(61.43, 92.29)% 2. Concordancia operadores vs. experto (%COE): ‐Operador 1: 21 de 30, 70%, IC=(50.6, 85.27)% ‐Operador 2: 18 de 30, 60%, IC=(40.6, 77.34)% ‐Operador 3: 22 de 30, 73.3%, IC=(54.11, 87.72)%  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐52

26

Escuela Internacional de Negocios

Análisis detallado de errores: ‐Operador 1 (9 equivocadas): Mezcla=8, D‐ND=1, ND‐D=0 ‐Operador 2 (12 equivocadas): Mezcla=12, D‐ND=0, ND‐D=0 ‐Operador Operador 3 (8 equivocadas): Mezcla=6 Mezcla=6, D D‐ND=0, ND=0 ND ND‐D=2 D=2 Op 1

D-D 23

2

21

3

14

ND-D 1 4.17% 3 12.5% 10 41.7%

Total 24

D-ND 12 18.2% 10 15.2% 5 7.6%

24 24

ND-ND 54

Total 66

56

66

61

66

(en base a las 90 evaluaciones de cada operador) D-ND significa que el operador dijo que la pieza era D cuando en realidad era ND  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐53

3. Concordancia global entre operadores 10 de 30, 33.3%, IC=(17.29, 52.81)% 4. Concordancia global operadores vs. experto ( , 52.81)% ) 10 de 30,, 33.3%,, IC=(17.29, Tabla de Decisión (para el operador) (MSA, 2002):

Decisión Aceptable Marginal Inaceptable

 Dr. Edgardo J. Escalante

%COE ≥ 90 ≥ 80 < 80

%ND-D ≤2 ≤5 >5

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

%D-ND ≤5 ≤ 10 > 10

2‐54

27

Escuela Internacional de Negocios

Para este ejemplo,

Op 1 2 3

%COE 70 60 73.3

 Dr. Edgardo J. Escalante

%ND-D 4.17 12.5 41.7

%D-ND 18.2 15.2 7.6

Conclusión Inaceptable Inaceptable Inaceptable

MEDIR-2

2‐55

Attribute Agreement Analysis for 1, 1_1, 1_2, 2, 2_1, 2_2, 3, 3_1, 3_2 Within Appraisers Assessment Agreement Appraiser 1 2 3

# Inspected 30 30 30

# Matched 22 18 24

Percent 73 73.33 33 60.00 80.00

95 % CI (54 (54.11, 11, 87 87.72) 72) (40.60, 77.34) (61.43, 92.29)

# Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials. Each Appraiser vs Standard Assessment Agreement Appraiser # Inspected 1 30 2 30 3 30

# Matched 21 18 22

Percent 70.00 60.00 73.33

95 % CI (50.60, 85.27) (40.60, 77.34) (54.11, 87.72)

# Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with the known standard.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐56

28

Escuela Internacional de Negocios

Assessment Disagreement Appraiser # ND / D Percent # D / ND Percent # Mixed Percent 1 0 0.00 1 4.55 8 26.67 2 0 0.00 0 0.00 12 40.00 3 2 25.00 0 0.00 6 20.00 # ND / D: Assessments across trials = ND / standard = D. # D / ND: Assessments across trials = D / standard = ND. # Mixed: Assessments across trials are not identical. 4.55%=1 triada equivocada con D de 22 NDs del experto. 26.67%=8 de 30 piezas. 40%=12 de 30 piezas. 25%=2 triadas equivocadas con ND de 8 Ds del experto. 20%=6 de 30 piezas Between Appraisers # Inspected # Matched 30 10

Percent 33.33

95 % CI (17.29, 52.81)

# Matched: All appraisers' assessments agree with each other. All Appraisers vs Standard # Inspected # Matched 30 10

Percent 33.33

95 % CI (17.29, 52.81)

# Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐57

Date of study: Reported by : Name of product: Misc:

Assessment Agreement

Within Appraisers

Appraiser vs Standard 95.0% C I P ercent

90

80 Percent

80 Percent

95.0% C I P ercent

90

70 60

50

70 60

50

40

40 1

2 Appraiser

 Dr. Edgardo J. Escalante

3

1

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2 Appraiser

3

2‐58

29

Escuela Internacional de Negocios

Ejercicio Se realizó un estudio para evaluar cierto sistema de medición visual (por atributos) y se obtuvo la siguiente información:

Pieza 1 2 3 4 5 6 7 8

Operador 1 D ND ND ND D D D D ND ND D D ND ND D D

Operador 2 ND ND ND D D D ND ND ND ND D D ND ND D D

Experto ND ND D D ND ND ND D

La muestra tomada es muy pequeña, al igual que el número de operadores. Se tomó así por propósitos ilustrativos solamente.  Dr. Edgardo J. Escalante

LII =

MEDIR-2

ν1i F0.025,ν1i ,ν 2 i ν 2i + ν1i F0.025,ν1i ,ν 2 i

ν1i = 2m

LSI =

2‐59

ν1s F0.975,ν1s ,ν 2 s ν 2s + ν1s F0.975,ν1s ,ν 2 s

ν1s = 2( m + 1)

ν 2i = 2( N − m + 1) ν 2 s = 2( N − m ) m=No. de aciertos, N=No. total de pruebas 1. Concordancia interna (operadores): ‐Operador 1:

IC=

‐Operador 2:

IC=

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐60

30

Escuela Internacional de Negocios

2. Concordancia operadores vs. experto (%COE):

‐Operador 1:

IC=

‐Operador 2:

IC=

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐61

Análisis detallado de errores: ‐Operador 1 ( ‐Operador 2 (

Op 1

equivocadas): Mezcla= equivocadas): Mezcla=

D-D

ND-D

Total

, D‐ND= , D‐ND=

D-ND

, ND‐D= , ND‐D=

ND-ND

Total

2 ( b (en base a llas 16 evaluaciones l i d de cada d operador) d )

D-ND significa que el operador dijo que la pieza era D cuando en realidad era ND  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐62

31

Escuela Internacional de Negocios

3. Concordancia global entre operadores

4. Concordancia global operadores vs. experto

Tabla de Decisión (para el operador) (MSA, 2002):

Decisión Aceptable Marginal Inaceptable

%COE ≥ 90 ≥ 80 < 80

 Dr. Edgardo J. Escalante

%ND-D ≤2 ≤5 >5

%D-ND ≤5 ≤ 10 > 10

MEDIR-2

2‐63

Para este ejercicio,

Op 1 2

%COE

%ND-D %D-ND

prob

Valores Tabla F F(0.025, 14, 4)=0.2569 F(0 025 12, F(0.025, 12 6)=0 6)=0.2682 2682 F(0.025, 10, 8)=0.2594 F(0.025, 8, 10)=0.2328

num

Conclusión

denom

F(0.975, 16, 2)=39.435 F(0 975 14, F(0.975, 14 4)=8.68 4)=8 68 F(0.975, 12, 6)=5.366 F(0.975, 10, 8)=4.295

Minitab: Calc-prob.distr.-F-Inverse cum.prob.-gl num-gl denom-Input constant (0.025 ó 0.975)-ok Excel: “=FINV(1-prob, num, denom)”  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐64

32

Escuela Internacional de Negocios

Ejercicio Se desea evaluar el sistema de evaluación de facturas con errores. Se seleccionaron a dos auditores y se les pidió que contaran el número de facturas con errores en una muestra de 10 facturas por grupo, dos veces cada grupo. También se agregó la evaluación hecha por un experto. Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Experto 2 0 3 4 1 2 3 5 8 2

Aud1 1 0 2 3 1 2 3 4 9 1

 Dr. Edgardo J. Escalante

Aud1 1 0 1 2 1 1 3 9 8 1

Aud2 3 1 3 4 1 2 3 5 8 2

Aud2 3 1 3 4 1 2 3 5 8 2

MEDIR-2

2‐65

%consistencia interna (Aud1)= %consistencia interna (Aud2)=

%consistencia vs experto para pares completos (Aud1)= %consistencia vs experto para pares completos (Aud2)= %consistencia entre auditores (pares completos)= %consistencia entre auditores vs experto (pares completos)=

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐66

33

Escuela Internacional de Negocios

FLUJO DMAIC D

Definir problema

M

Describir proceso

M

Medición capaz y estable

M

Proceso estable

Eliminar causas especiales

S N

Proceso capaz

Mejorar

I

A

Optimizar

Determinar y validar variables significativas. Ajustar el proceso

C

Controlar el proceso

Evaluar estabilidad y capacidad del proceso

C

Mejorar continuamente

 Dr. Edgardo J. Escalante

S

N

S

Evaluar capacidad inicial del proceso y su potencial (baseline/entitlement)

A

N

MEDIR-2

2‐67

CAPACIDAD INICIAL Y POTENCIALIDAD (Baseline/Entitlement) En este punto se estima la línea base y la potencialidad del proceso en forma más profunda y completa que durante la definición del problema. Recordando, Entitlement MÉTRICAS Variable Nombre Obtención Especificación (Número de múltiples con defectos / Número Y % desperdicio Cero total de múltiples producidos)*100 Y1 Dureza Medición 1 a 3 Rc (No. de múltiples con dureza inadecuada No existe Y1 Dureza //No. total de múltiples p p producidos)*100 ) (No. de múltiples con fugas /No. total de Y2 Fugas Cero múltiples producidos)*100 Prom. 8% de la gráfica de tendencias 3%=8% ‐ 62.5%(8%). 62.5%=Reducción de 8% a 3% 3.37%=42.1% de 8%. 3% es 37.5% (de fugas) de 8%

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

Actual

Meta

Prom. 8%

3%

3.37%

1.26%

3.00%

Baseline

2‐68

34

Escuela Internacional de Negocios

Rendimiento de Primera‐Vez (FTY=First‐Time Yield, YFT ) El rendimiento de primera vez corresponde al número de piezas h h bi hechas bien lla primera i vez en cada d ffase d dell proceso Ejemplo Obtener el YFT (FTY) del siguiente proceso YFT=197/200=0.9850 177/197=0.8985 172/177=0.9718 172/172=1.00

200

197

3

177

172

20

172

5

0

Unidades defectuosas  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐69

Rendimiento En‐Cadena (RTY=Rolled Throughput Yield, YRT ) El rendimiento en cadena es el producto del rendimiento en cada paso del proceso proceso. Dicho rendimiento no incluye retrabajos. retrabajos Ejemplo YRT=RTY=(0.985)(0.8985)(0.9718)(1)=0.86 YFT=197/200=0.9850 177/197=0.8985 172/177=0.9718 172/172=1.00

200

197 3

177 20

172 5

172 0

Unidades defectuosas  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐70

35

Escuela Internacional de Negocios

Rendimiento En‐Cadena (Rolled Throughput Yield, YRT ) ‐‐incluyendo retrabajo‐‐ El rendimiento en cadena es el producto del rendimiento en cada paso del proceso. Dicho rendimiento sí incluye retrabajos. Ejemplo YFT=192/200=0.96 177/197=0.8985 172/177=0.9718 169/172=0.9826

YRT=(0.96)(0.8985)(0.9718)(0.9826)=0.8237 200

197 5 3

Retrabajo  Dr. Edgardo J. Escalante

177

172

20 5 Unidades defectuosas MEDIR-2

0

172 3

2‐71

La fabrica “oculta” El concepto de la fábrica oculta surge cuando una compañía está utilizando recursos adicionales por no hacer bien sus productos a la primera vez. Al retrabajo o al desperdicio se le considera como la fábrica oculta.

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐72

36

Escuela Internacional de Negocios

Ejemplo Para el proceso anterior la fábrica “escondida” se encuentra en los pasos 1 y 4 y representan área de oportunidad de mejoramiento en ese mismo orden. YFT=192/200=0.96 177/197=0.8985 172/177=0.9718 169/172=0.9826

200

1

197 5 3

2

177

3

172

4

20 5 Unidades U dades defectuosas

0

172 3

YRT=82.37% representa el porcentaje de piezas que serán producidas sin defectos la primera vez. Retrabajo  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐73

Elementos de la Métrica de Seis‐Sigma dpu dpmu dpo dpmo YFT

dpu=defectos por unidad (promedio) dpu=Número de defectos/Número de unidades dpmu=defectos por millón de unidades = (dpu)(106) dpo=defectos por total de oportunidades(i) dpo=Número de defectos/Número de oportunidades totales dpmo=defectos por millón de oportunidades dpmo=dpmu/Número de oportunidades por unidad=(dpo)(106) YFT= rendimiento de primera‐vez YFT=[1-dpmo/106]n (Mangin, 1999) (n=número de oportunidades de defectos por unidad) Número de oportunidades totales=(No. de oportunidades)(No. Unidades)

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐74

37

Escuela Internacional de Negocios

La diferencia entre dpmu y dpmo es que una unidad puede tener varias oportunidades de cometer defectos. Por ejemplo si en cierto proceso se encontraron 10 defectos en una muestra de 100 unidades, dpu=10/100=0.1 p / ((defectos p por unidad)) dpmu=(dpu)(106)=100,000 (defectos por cada millón de unidades) Si en cada unidad, existen 10 posibilidades (pasos del proceso, número de partes que lo forman, etc.) de ocurrencia de un defecto, dpo=10/1000=0.01 dpmo=dpmu/10=10,000 (defectos por cada millón de oportunidades)

Si cada unidad solamente tiene una oportunidad en la que pueda ocurrir algún defecto, dpmo=dpmu.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐75

Originalmente ppm significa unidades defectuosas por cada millón, independientemente del número de defectos en dichas unidades. Actualmente el objetivo de Motorola es tener 3.4 ppm considerando ppm como el número de defectos(*) por cada millón de unidades. En este caso, ppm ppm=dpmu. dpmu. Si cada unidad se compone de cierto número de oportunidades de ocurrencia de un defecto, entonces ppm=dpmo. YFT=[1‐dpmo/106]n =[1‐10,000/106]10=0.904

(*)si cada unidad defectuosa tiene solamente un defecto entonces ppm significa tanto unidades defectuosas como número de defectos por millón de unidades

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐76

38

Escuela Internacional de Negocios

Ejemplo de atributos En la fabricación de cierto tipo de tarjetas electrónicas impresas, se tienen las siguientes oportunidades de cometer errores: ‐componentes equivocados ‐componentes mal soldados ‐componentes mal insertados ‐soldadura faltante OPORTUNIDADES TOTALES

100 20 10 120 250

De una muestra de 3000 tarjetas se encontró un total de 85 defectos dpu=85/3000=0.0283 dpmo=(0.0283/250)(106)=(0.0001132)(106)=113.2 YFT=(1‐113.2/106)250=0.972=e‐dpu=e‐0.0283  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐77

Transformación de dpmo a nivel sigma 113.2 ppm=113.2/106=0.0001132=1.13(10‐4) Buscando en la tabla Z del apéndice se obtiene Z=3.69 Usando aproximación a la dist. Normal

0.0001132

0

Z=3.69

Este proceso tiene un nivel de calidad de 3.69 sigma  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐78

39

Escuela Internacional de Negocios

Ejemplo de variables En la fabricación de cierto tipo de barras de acero, se desea monitorear la longitud de las mismas. La especificación es 10 +/‐ 1 pulgadas. Se tomó una muestra de 100 barras y se verificó su estabilidad y su normalidad. Se obtuvo una media de 9.62 pulg. y una desviación estándar de 0.32 pulg. Para calcular la fracción defectuosa

p(X > 11) + p(X < 9) 11 − 9.62   9 − 9.62   = p Z >   + p Z < 0.32   0.32   = p( Z > 4.31) + p( Z < −1.94) = 8.16(10 −6 ) + 2.62(10 − 2 ) = 0.00000816 + 0.0262 = 2.62(10 − 2 ) Z = 1.94  Dr. Edgardo J. Escalante

El tema de estabilidad a través de gráficas de control se verá más adelante MEDIR-2

2‐79

Ejercicio Un proceso produce 250 botellas en un día. Cada botella tiene 3 características de interés y representan oportunidad de defectos. Una muestra de 50 botellas fue inspeccionada y la siguiente información fue recolectada:

‐ 43 botellas tienen las 3 características sin defecto ‐ 4 botellas tienen exactamente dos características sin defecto ‐ 3 botellas tienen exactamente una características sin defecto ¿Cuáles son los DPMO y DPU para este proceso?

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐80

40

Escuela Internacional de Negocios

Cálculo de la Capacidad del Proceso Una vez que el proceso se encuentra bajo control, es decir, no hay puntos fuera de los límites de control ni patrones, se procede d all cálculo ál l d de lla capacidad id d d dell proceso ( la l capacidad del proceso para producir piezas dentro de especificaciones). El índice de capacidad potencial es una comparación entre los límites de especificación (tolerancia) y los límites del proceso sin tomar en cuenta la ubicación del mismo. El índice de capacidad real sí toma en cuenta la localización del centro del proceso en comparación con los límites de especificación. Si un proceso no es potencialmente capaz, definitivamente tampoco tiene capacidad real.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐81

Evaluación de la Capacidad Una manera de evaluar la capacidad del proceso para producir dentro de especificaciones, p p , es comparar p el ancho de la especificación con el ancho del proceso LIE

LSE

Tolerancia (ancho de la especificación) b=Ancho del proceso=6 σ

a= LSE‐LIE  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐82

41

Escuela Internacional de Negocios

LIE

LSE

LIE

a/b=1 a/b 1

LSE

a/b es mayor a 1

Comparando ambos procesos, vemos que el proceso para el cual a/b es mayor a 1, es mejor que el otro.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐83

Indice de Capacidad Potencial Así podemos definir el Indice de Capacidad Potencial como a LSE − LIE Cp = = s = σ$ b 6s que representa una comparación de anchos, sin tomar en cuenta la ubicación del proceso. Indica el número de veces que ell proceso ““cabe” b ”d dentro t d de lla especificación. ifi ió

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐84

42

Escuela Internacional de Negocios

Indice de Capacidad Real Como Cp no toma en cuenta la ubicación (centrado) del proceso, es necesario definir otro índice que sí la considere sea considere, LIE

c

LSE

d Se puede decir que Cpk es la tolerancia disponible cuando el proceso necesita 100%. Gunter (1989)  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐85

Al comparar c/d se puede ver el centrado del proceso en relación con la mitad de la variación del mismo. c = la distancia entre el centro del proceso (media) y el límite de especificación más cercano. d = la mitad del ancho del proceso. El Indice de Capacidad Real queda definido como Cpk =

LE − X

Cpk = −

3s LE − X 3s

LIE ≤ X ≤ LSE

si si

X > LSE

o

X < LIE

siendo LE el límite de especificación más cercano a X .  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐86

43

Escuela Internacional de Negocios

En el caso de tolerancia unilateral,

C k= Cpk

LE − X

3s en este caso LE es el único límite de especificación.

Otra forma f equivalente l d de calcular l l Cpkk es: Cpk=min(Cpu, Cpl). Cpu=(LSE‐Xb)/3s, Cpl=(Xb‐LIE)/3s Xb=“X barra” (promedio del proceso)  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐87

Ejemplos. Evaluación gráfica de Cp y Cpk LIE

LSE

LIE

LSE

C C k 2 Cp=Cpk=2

a

Cp=Cpk=1

a

a

LIE

a

LSE

Cp=2 Cpk=1 a  Dr. Edgardo J. Escalante

a

a MEDIR-2

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a 2‐88

44

Escuela Internacional de Negocios

Ejercicios. Evaluación gráfica de Cp y Cpk LIE

LSE

Cp=

Caso 1

Cpk= a

a

a

LIE

a

a

LSE

Cp= Caso 2 Cpk= a

a

 Dr. Edgardo J. Escalante

a

a

MEDIR-2

2‐89

Seis Sigma (proceso centrado) Cp=Cpk=2 LIE

LSE ±1. 5σ

− 6σ

‐3 σ

0

Proceso 6σ

3σ

6σ

6σ  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐90

45

Escuela Internacional de Negocios

Seis Sigma (proceso no‐centrado) Cp=2, Cpk=1.5 LIE

LSE ±1. 5σ

Proceso 6σ

− 6σ

‐1.5 σ 0 1.5σ

4.5σ 6σ 4.5σ

DEFINICIÓN OFICIAL  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐91

Estudios a largo/corto plazo ‐Los estudios a largo plazo se realizan en un período de tiempo más largo de tal forma que se incluyan todas l ffuentes las t d de variación i ió en ell proceso (dif (diferentes t llotes, t diferentes trabajadores, etc.). ‐La ventaja de los estudios a corto plazo es que son rápidos y más sencillos que los estudios a largo plazo. ‐Para realizar un estudio a corto plazo, se acostumbra tomar 20 subgrupos de 5 muestras c/u y estimar la desviación estándar interna como se muestra a continuación  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐92

46

Escuela Internacional de Negocios

Estimación de

σ interna (corto plazo)

Para una gráfica P áfi d de medias di y rangos o d de llecturas t individuales usar

s = σˆ =

 Dr. Edgardo J. Escalante

R d2

MEDIR-2

2‐93

Subgrupos para calcular la desviación estándar interna (Cp y Cpk) Capacidad 6

Datos

5

4

3

2 Index

10

20

30

s (corto plazo)  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐94

47

Escuela Internacional de Negocios

Subgrupos para calcular la desviación estándar global (Pp y Ppk) Desempeño 6

Datos

5

4

3

2 Index

10

20

30

s (largo plazo)  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐95

Ejemplo Se evaluará la capacidad y el desempeño de la dimensión 125 del puerto de escape, molde 14 cuya especificación es LIE=112.119, LIE 112.119, LSE LSE=113.619. 113.619. Después de verificar la estabilidad y la normalidad de las 100 muestras de dicha dimensión (se deja como ejercicio):

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

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2‐96

48

Escuela Internacional de Negocios

I-MR Chart of PD125 UC L=113.238

Indiv idual V alue

113.2 112.8

_ X=112.523

112.4 112.0

LC L=111.808 1

11

21

31

41

51 Observation

61

71

81

91

UC L=0.8779 M oving Ran nge

0.8 0.6 0.4

__ MR=0.2687

0.2 0.0

LC L=0 1

11

21

31

41

51 Observation

 Dr. Edgardo J. Escalante

61

71

81

91

MEDIR-2

2‐97

Probability Plot of PD125 Normal 99.9

Mean StDev N AD P-Value

99 95

Percent

90

112.5 0.2515 100 0.279 0.640

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

112.0

 Dr. Edgardo J. Escalante

112.5 PD125

113.0

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

113.5

2‐98

49

Escuela Internacional de Negocios

X = 112.523

R = 0.2687

0.2687 σˆ ( corto ) = s ( corto ) = R = = 0.2382 1.128 d2 LSE − LIE = 113.619‐112.119 =1.05 1.05 Cp = 6s ( corto ) 6 (0.2383 ) s=

LE - X 3 s ( corto )

=

112.119-112.523 3 ( 0.2383)

= 0.565

∑1N ( x i − X ) 2 (112.41− 112.523)2+ ... + (112.03−112.523)2 = = 0.2515 n −1 100 − 1

c 4 ( N = 100) =

Pp =

Cpk =

4(100 − 1) = 0.9974 4(100) − 3

s( larg o) =

s 0.2515 = = 0.2522 c 4 ( N ) 0.9974

112.119-112.523 LE - X 113.619-112.119 LSE − LIE = 0.534 = = = 0 . 9913 Ppk = 3 ( 0.2522) 6 ( 0 . 2522) 3 s ( l argo ) 6s ( largo)

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐99

Interpretación clásica de Cp y Cpk Si Cp es mayor que Cpk, el proceso no está centrado en el objetivo objetivo. Si son aproximadamente iguales, iguales entonces el proceso está centrado. Si Cp o Cpk es menor a 1, el proceso es incapaz. Si Cp o Cpk está entre 1 y 1.33, el proceso es apenas capaz. Si Cp o Cpk es mayor a 1.33 el proceso es capaz. El índice Cpk prevalece sobre Cp para tener la evaluación real (actual) del proceso.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐100

50

Escuela Internacional de Negocios

De acuerdo a los resultados, se observa que el proceso es apenas capaz potencialmente hablando solamente. El porcentaje defectuoso se puede estimar como: p(X < 112.119) + p(X > 113.619) 112.119 − 112.523   113.619 − 112.523   = p Z <  + p Z >  0.2382 0.2382     = p( Z < −1.7) + p( Z > 4.6) ≈ 0.0446 = 4.46% = 44,600 ppm

Las probabilidades normales se obtuvieron usando la tabla Z del apéndice.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐101

Process Capability of PD125 LSL

USL Within Ov erall

P rocess D ata LS L 112.119 Target * USL 113.619 S ample p M ean 112.523 S ample N 100 S tDev (Within) 0.238198 S tDev (O v erall) 0.25211

P otential (Within) C apability Cp 1.05 C P L 0.57 C P U 1.53 C pk 0.57 O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm

112.2 O bserv ed P erformance P P M < LS L 70000.00 PPM > USL 0.00 P P M Total 70000.00

112.5

E xp. Within P erformance P P M < LS L 44936.22 PPM > USL 2.10 P P M Total 44938.32

 Dr. Edgardo J. Escalante

112.8

113.1

0.99 0.53 1.45 0.53 *

113.4

E xp. O v erall P erformance P P M < LS L 54525.48 PPM > USL 6.89 P P M Total 54532.37

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐102

51

Escuela Internacional de Negocios

Ejercicio Evaluar la capacidad y el desempeño del % Apertura de válvula cuya especificación (ficticia) es LIE=182.75, LSE=184.25.

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐103

I-MR Chart of PD126 %Apertura

Indiv vidual V alue

U C L=183.730 183.5 _ X=183.191 183.0

LC L=182.653 182.5 1

11

21

31

41

51 O bser vation

61

71

81

91

U C L=0.6614 M oving R Range

0.60 0.45 0.30

__ M R=0.2024

0.15 0.00

LC L=0 1

11

21

 Dr. Edgardo J. Escalante

31

41

51 O bser vation

61

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

71

81

91

2‐104

52

Escuela Internacional de Negocios

%Apertura Probability Plot of PD126 Normal

99.9

Mean StDev N AD P-Value

99

Percent

95 90

183.2 0.2053 100 0.415 0.328

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

182.50

182.75

183.00

183.25

183.50

183.75

184.00

PD126 %Apertura  Dr. Edgardo J. Escalante

X=

2‐105

MEDIR-2

2‐106

R=

s(corto ) =

Cp =

MEDIR-2

R = d2

LSE − LIE = 6s(corto )

Cpk =

LE − X 3s(corto )

 Dr. Edgardo J. Escalante

=

Prohibida su reproducción total o parcial

53

Escuela Internacional de Negocios

∑

s=

N

1

(x i − X) 2 n −1

c 4 ( N = 100) =

Pp =

4(N − 1) = 4(N ) − 3

LSE ‐ LIE

s (largo ) =

s c4 (N)

=

6 s ( largo )

LE - X Ppk

=

= 3 s ( l arg o )

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐107

Representación del proceso LIE

LSE

Escala

X + 3σ corto = X − 3σ corto =  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐108

54

Escuela Internacional de Negocios

Cálculo de la fracción defectuosa

p(X < LIE) + p(X > LSE) =  LIE − X   LSE − X  =  + p z > p z <    σ σ corto corto    

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐109

Múltiples de admisión Se tomo una muestra de 100 múltiples y se midió su dureza. Se evaluó su estabilidad por medio de una gráfica de lecturas individuales I-M R C ha r t o f D ur e z a i ni c i a l

Individual Value e

U C L= 3 . 4 8 5 3 _ X= 2 .1 3 7

2

1

LC L= 0 .7 8 9 1

11

21

31

41

51 O b s e r v a tio n

61

71

81

91

U C L= 1 . 6 5 6

M oving Range e

1 .6 1 .2 0 .8

__ M R = 0.507

0 .4

2

0 .0

LC L= 0 1

11

21

31

41

51 O b s e r v a tio n

61

71

81

91

El tema de estabilidad a través de gráficas de control se verá más adelante  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐110

55

Escuela Internacional de Negocios

Evaluación de la normalidad de la dureza Minitab: STAT‐BASIC STAT‐NORMALITY TEST Probability Plot of Dureza inicial Normal 99.9

Mean StDev N AD P-Value

99

Percent

95 90

2.137 0.4512 100 0.178 0.918

80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1

1.0

1.5

2.0 2.5 Dureza inicial

 Dr. Edgardo J. Escalante

3.0

3.5

MEDIR-2

2‐111

Estudio de capacidad Process Capability of Dureza LSL

Target

USL

Valor inicial 3.37% (Z=1.83) Meta 0.8425% (Z=2.39) W ithin O v erall

P rocess D ata LS L 1 Target 2 3 USL S ample M ean 2.13714 S ample N 100 S tD ev (Within) 0.449447 S tD ev (O v erall) 0.451199

P otential (Within) C apability Cp 0.74 C P L 0.84 C P U 0.64 C pk 0.64 O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm

1.2 O bserv ed P erformance P P M < LS L 0.00 P P M > U S L 30000.00 P P M Total 30000.00

1.6

2.0

2.4

2.8

E xp. Within P erformance P P M < LS L 5701.59 P P M > U S L 27440.27 P P M Total 33141.86

E xp. O v erall P erformance P P M < LS L 5863.22 P P M > U S L 27914.57 P P M Total 33777.78

3.31%

3.38%

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

3.2

0.74 0.84 0.64 0.64 0.71

Potential (Within) Capability ZB h Z.Bench 1 84 1.84 Z.LSL 2.53 Z.USL 1.92 Cpk 0.64 Overall Capability Z.Bench 1.83 Z.LSL 2.52 Z.USL 1.91 Ppk 0.64 Cpm 0.71

2‐112

56

Escuela Internacional de Negocios

Capacidad actual del proceso (baseline) Potential (Within) Capability Z.Bench 1.84 Z.LSL 2.53 Z.USL 1.92 Cpk 0.64 Overall Capability Z.Bench 1.83 Z.LSL 2.52 Z.USL 1.91 Ppk 0.64 Cpm 0.71

Z.Bench is the combination of the two tail areas into one and their corresponding Z or sigma value. Then 33142 ppm=0.033142 which correspond to z=1.835 aprox. (potential or within capability). Cp=0.74, Cpk=0.64

Potencial del proceso (entitlement) Representa p un cumplimiento p excelente q que el p proceso haya y tenido en el p pasado cercano.

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐113

APÉNDICE É

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐114

57

Escuela Internacional de Negocios

Resumen Considerando un valor objetivo (nominal) de cero: Calidad 3σ

a) Proceso centrado en cero con Cp=Cpk=1. FD=0.27%=2700 ppm. b) Proceso centrado en ± 15 . σ con Cp=1 y Cpk=0.5. FD=6.68%=66800 ppm. Calidad 6σ

a) Proceso centrado en cero con Cp=Cpk=2. FD=0.00198 ppm. . σ con Cp=2 y Cpk=1.5. b) Proceso centrado en ± 15 FD=3.4 ppm.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐115

Para otros valores: Calidad 4σ a)) P Proceso centrado d en cero con C Cp=Cpk=1.33. C k 1 33 FD=31.65 ppm. b) Proceso centrado en ± 15 . σ con Cp=1.33 y Cpk=0.83. FD=6210 ppm. Calidad 5σ a) Proceso centrado en cero con Cp=Cpk=1.66. FD=0.2867 ppm. . σ con Cp=1.66 y Cpk=1.16. b) Proceso centrado en ± 15 FD=233 ppm.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐116

58

Escuela Internacional de Negocios

TABLAS ESTADÍSTICAS ™Tabla Z (Normal Estándar) ™Tabla F

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐117

TABLA NORMAL ESTANDAR N(0,1). AREA A LA DERECHA DE Z Z 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0 60 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1 80 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.60 2.70

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.50000 0.46017 0.42074 0.38209 0.34458 0.30854 0 27425 0.27425 0.24196 0.21186 0.18406 0.15866 0.13567 0.11507 0.09680 0.08076 0.06681 0.05480 0.04457 0 03593 0.03593 0.02872 0.02275 0.01786 0.01390 0.01072 0.00820 0.00621 0.00466 0.00347

0.49601 0.45620 0.41683 0.37828 0.34090 0.30503 0 27093 0.27093 0.23885 0.20897 0.18141 0.15625 0.13350 0.11314 0.09510 0.07927 0.06552 0.05370 0.04363 0 03515 0.03515 0.02807 0.02222 0.01743 0.01355 0.01044 0.00798 0.00604 0.00453 0.00336

0.49202 0.45224 0.41294 0.37448 0.33724 0.30153 0 26763 0.26763 0.23576 0.20611 0.17879 0.15386 0.13136 0.11123 0.09342 0.07780 0.06426 0.05262 0.04272 0 03438 0.03438 0.02743 0.02169 0.01700 0.01321 0.01017 0.00776 0.00587 0.00440 0.00326

0.48803 0.44828 0.40905 0.37070 0.33360 0.29806 0 26435 0.26435 0.23270 0.20327 0.17619 0.15151 0.12924 0.10935 0.09176 0.07636 0.06301 0.05155 0.04182 0 03363 0.03363 0.02680 0.02118 0.01659 0.01287 0.00990 0.00755 0.00570 0.00427 0.00317

0.48405 0.44433 0.40517 0.36693 0.32997 0.29460 0 26109 0.26109 0.22965 0.20045 0.17361 0.14917 0.12714 0.10749 0.09012 0.07493 0.06178 0.05050 0.04093 0 03288 0.03288 0.02619 0.02068 0.01618 0.01255 0.00964 0.00734 0.00554 0.00415 0.00307

0.48006 0.44038 0.40129 0.36317 0.32636 0.29116 0 25785 0.25785 0.22663 0.19766 0.17106 0.14686 0.12507 0.10565 0.08851 0.07353 0.06057 0.04947 0.04006 0 03216 0.03216 0.02559 0.02018 0.01578 0.01222 0.00939 0.00714 0.00539 0.00402 0.00298

0.47608 0.43644 0.39743 0.35942 0.32276 0.28774 0 25463 0.25463 0.22363 0.19489 0.16853 0.14457 0.12302 0.10383 0.08691 0.07214 0.05938 0.04846 0.03920 0 03144 0.03144 0.02500 0.01970 0.01539 0.01191 0.00914 0.00695 0.00523 0.00391 0.00289

0.47210 0.43251 0.39358 0.35569 0.31918 0.28434 0 25143 0.25143 0.22065 0.19215 0.16602 0.14231 0.12100 0.10204 0.08534 0.07078 0.05821 0.04746 0.03836 0 03074 0.03074 0.02442 0.01923 0.01500 0.01160 0.00889 0.00676 0.00508 0.00379 0.00280

0.46812 0.42858 0.38974 0.35197 0.31561 0.28096 0 24825 0.24825 0.21770 0.18943 0.16354 0.14007 0.11900 0.10027 0.08379 0.06944 0.05705 0.04648 0.03754 0 03005 0.03005 0.02385 0.01876 0.01463 0.01130 0.00866 0.00657 0.00494 0.00368 0.00272

0.46414 0.42465 0.38591 0.34827 0.31207 0.27760 0 24510 0.24510 0.21476 0.18673 0.16109 0.13786 0.11702 0.09853 0.08226 0.06811 0.05592 0.04551 0.03673 0 02938 0.02938 0.02330 0.01831 0.01426 0.01101 0.00842 0.00639 0.00480 0.00357 0.00264

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐118

59

Escuela Internacional de Negocios

TABLA Z (cont.) Z 2.80 2.90 3.00 3 10 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00 4.10 4.20 4.30 4.40 4.50 4.60 4.70 4.80 4.90 5.00 5.10

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.00256 0.00187 0.00135 0 000968 0.000968 0.000687 0.000483 0.000337 0.000233 1.592E-04 1.079E-04 7.248E-05 4.822E-05 3.179E-05 2.076E-05 1.344E-05 8.619E-06 5.478E-06 3.401E-06 2.114E-06 1.303E-06 7.931E-07 4.796E-07 2.882E-07 1.696E-07

0.00248 0.00181 0.00131 0 000935 0.000935 0.000664 0.000467 0.000325 0.000224 1.532E-04 1.038E-04 6.961E-05 4.627E-05 3.048E-05 1.989E-05 1.286E-05 8.240E-06 5.233E-06 3.243E-06 2.014E-06 1.240E-06 7.567E-07 4.553E-07 2.733E-07 1.605E-07

0.00240 0.00175 0.00126 0 000904 0.000904 0.000641 0.000450 0.000313 0.000216 1.474E-04 9.974E-05 6.685E-05 4.440E-05 2.921E-05 1.905E-05 1.231E-05 7.878E-06 4.998E-06 3.093E-06 1.919E-06 1.180E-06 7.191E-07 4.321E-07 2.591E-07 1.539E-07

0.00233 0.00169 0.00122 0 000874 0.000874 0.000619 0.000434 0.000302 0.000208 1.418E-04 9.587E-05 6.420E-05 4.260E-05 2.800E-05 1.824E-05 1.177E-05 7.530E-06 4.773E-06 2.949E-06 1.827E-06 1.123E-06 6.834E-07 4.100E-07 2.455E-07 1.457E-07

0.00226 0.00164 0.00118 0 000845 0.000845 0.000598 0.000419 0.000291 0.000200 1.364E-04 9.214E-05 6.165E-05 4.086E-05 2.684E-05 1.747E-05 1.126E-05 7.198E-06 4.558E-06 2.811E-06 1.740E-06 1.068E-06 6.492E-07 3.890E-07 2.327E-07 1.379E-07

0.00219 0.00159 0.00114 0 000816 0.000816 0.000577 0.000404 0.000280 0.000193 1.312E-04 8.855E-05 5.919E-05 3.920E-05 2.572E-05 1.672E-05 1.077E-05 6.879E-06 4.353E-06 2.680E-06 1.657E-06 1.016E-06 6.167E-07 3.719E-07 2.224E-07 1.305E-07

0.00212 0.00154 0.00111 0 000789 0.000789 0.000557 0.000390 0.000270 0.000186 1.262E-04 8.509E-05 5.682E-05 3.760E-05 2.465E-05 1.601E-05 1.031E-05 6.574E-06 4.156E-06 2.554E-06 1.577E-06 9.706E-07 5.857E-07 3.528E-07 2.108E-07 1.234E-07

0.00205 0.00149 0.00107 0 000762 0.000762 0.000538 0.000376 0.000260 0.000179 1.214E-04 8.175E-05 5.455E-05 3.606E-05 2.362E-05 1.533E-05 9.857E-06 6.282E-06 3.968E-06 2.434E-06 1.501E-06 9.230E-07 5.582E-07 3.346E-07 1.997E-07 1.167E-07

0.00199 0.00144 0.00103 0 000736 0.000736 0.000519 0.000362 0.000251 0.000172 1.167E-04 7.854E-05 5.236E-05 3.458E-05 2.263E-05 1.467E-05 9.426E-06 6.002E-06 3.787E-06 2.319E-06 1.429E-06 8.776E-07 5.300E-07 3.173E-07 1.891E-07 1.104E-07

0.00193 0.00139 0.00100 0 000711 0.000711 0.000501 0.000350 0.000242 0.000165 1.123E-04 7.545E-05 5.025E-05 3.316E-05 2.168E-05 1.404E-05 9.014E-06 5.734E-06 3.615E-06 2.209E-06 1.359E-06 8.343E-07 5.032E-07 3.009E-07 1.791E-07 1.043E-07

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐119

TABLA Z (cont.) Z 5.20 5.30 5.40 5.50 5 60 5.60 5.70 5.80 5.90 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

1.006E-07 5.793E-08 3.331E-08 1.910E-08 1 071E-08 1.071E-08 6.000E-09 3.321E-09 1.816E-09 9.872E-10 1.277E-12 6.218E-16 1.129E-19 7.621E-24

9.430E-08 5.478E-08 3.152E-08 1.791E-08 1 000E-08 1.000E-08 5.648E-09 3.119E-09 1.713E-09 9.283E-10

8.941E-08 5.191E-08 2.978E-08 1.689E-08 9 547E-09 9.547E-09 5.331E-09 2.941E-08 1.612E-09 8.718E-10

8.478E-08 4.909E-08 2.821E-08 1.598E-08 9 000E-09 9.000E-09 5.010E-09 2.772E-09 1.509E-09 8.197E-10

8.029E-08 4.651E-08 2.658E-08 1.512E-08 8 498E-09 8.498E-09 4.732E-09 2.609E-09 1.434E-09 7.712E-10

7.594E-08 4.398E-08 2.523E-08 1.427E-08 8 010E-09 8.010E-09 4.459E-09 2.458E-09 1.342E-09 7.237E-10

7.212E-08 4.159E-08 2.379E-08 1.349E-08 7 571E-09 7.571E-09 4.212E-09 2.312E-09 1.262E-09 6.811E-10

6.810E-08 3.941E-08 2.248E-08 1.271E-08 7 139E-09 7.139E-09 3.961E-09 2.183E-09 1.888E-09 6.399E-10

6.479E-08 3.719E-08 2.129E-08 1.202E-08 6 731E-09 6.731E-09 3.740E-09 2.045E-09 1.123E-09 6.011E-10

6.117E-08 3.522E-08 2.000E-08 1.138E-08 6 349E-09 6.349E-09 3.518E-09 1.927E-09 1.048E-09 5.652E-10

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐120

60

Escuela Internacional de Negocios

TABLA F TABLA F (Alfa 5%) Num.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

18

Denom.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 242.98 243.90 244.69 245.36 245.95 246.47 247.3

19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.40 19.41 19.42 19.42 19.43 19.43 19.44 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.76 8.74 8.73 8.71 8.70 8.69 8.67 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.94 5.91 5.89 5.87 5.86 5.84 5.82 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.70 4.68 4.66 4.64 4.62 4.60 4.58 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.03 4.00 3.98 3.96 3.94 3.92 3.90 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.60 3.57 3.55 3.53 3.51 3.49 3.47 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.31 3.28 3.26 3.24 3.22 3.20 3.17 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.10 3.07 3.05 3.03 3.01 2.99 2.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.94 2.91 2.89 2.86 2.85 2.83 2.80 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.82 2.79 2.76 2.74 2.72 2.70 2.67 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.72 2.69 2.66 2.64 2.62 2.60 2.57 3 81 3.41 3.81 3 41 3.18 3 18 3.03 3 03 2.92 2 92 2.83 2 83 2.77 2 77 2.71 2 71 2.67 2 67 2.63 2 63 2.60 2 60 2.58 2 58 2.55 2 55 2.53 2 53 2.51 2 51 2.48 2 48 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.57 2.53 2.51 2.48 2.46 2.44 2.41 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.38 2.35

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐121

TABLA F (cont.) TABLA F (Alfa 5%) Num.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

18

3.63 3.59 3.55 3.20 3.20 3.20 3.19 3.19 3.18 3.18 3.18 3.17 3.17 3.16 3 16 3.16 3.16 3.16 3.15 3.15

3.24 3.20 3.16 2.81 2.81 2.80 2.80 2.79 2.79 2.79 2.78 2.78 2.78 2.77 2 77 2.77 2.77 2.76 2.76 2.76

3.01 2.96 2.93 2.58 2.57 2.57 2.57 2.56 2.56 2.55 2.55 2.55 2.54 2.54 2 54 2.54 2.53 2.53 2.53 2.53

2.85 2.81 2.77 2.42 2.42 2.41 2.41 2.40 2.40 2.40 2.39 2.39 2.39 2.38 2 38 2.38 2.38 2.37 2.37 2.37

2.74 2.70 2.66 2.31 2.30 2.30 2.29 2.29 2.29 2.28 2.28 2.28 2.27 2.27 2 27 2.27 2.26 2.26 2.26 2.25

2.66 2.61 2.58 2.22 2.22 2.21 2.21 2.20 2.20 2.20 2.19 2.19 2.18 2.18 2 18 2.18 2.18 2.17 2.17 2.17

2.59 2.55 2.51 2.15 2.15 2.14 2.14 2.13 2.13 2.13 2.12 2.12 2.12 2.11 2 11 2.11 2.11 2.10 2.10 2.10

2.54 2.49 2.46 2.10 2.09 2.09 2.08 2.08 2.07 2.07 2.07 2.06 2.06 2.06 2 05 2.05 2.05 2.05 2.04 2.04

2.49 2.45 2.41 2.05 2.04 2.04 2.03 2.03 2.03 2.02 2.02 2.01 2.01 2.01 2 00 2.00 2.00 2.00 2.00 1.99

2.46 2.41 2.37 2.01 2.00 2.00 1.99 1.99 1.99 1.98 1.98 1.97 1.97 1.97 1 96 1.96 1.96 1.96 1.96 1.95

2.42 2.38 2.34 1.97 1.97 1.96 1.96 1.96 1.95 1.95 1.94 1.94 1.94 1.93 1 93 1.93 1.93 1.92 1.92 1.92

2.40 2.35 2.31 1.94 1.94 1.93 1.93 1.93 1.92 1.92 1.91 1.91 1.91 1.90 1 90 1.90 1.90 1.89 1.89 1.89

2.37 2.33 2.29 1.92 1.91 1.91 1.90 1.90 1.89 1.89 1.89 1.88 1.88 1.88 1 87 1.87 1.87 1.87 1.86 1.86

2.35 2.31 2.27 1.89 1.89 1.88 1.88 1.88 1.87 1.87 1.86 1.86 1.86 1.85 1 85 1.85 1.85 1.84 1.84 1.84

2.33 2.29 2.25 1.87 1.87 1.86 1.86 1.85 1.85 1.85 1.84 1.84 1.83 1.83 1 83 1.83 1.82 1.82 1.82 1.82

2.30 2.26 2.22 1.84 1.83 1.83 1.82 1.82 1.81 1.81 1.81 1.80 1.80 1.79 1 79 1.79 1.79 1.78 1.78 1.778

Denom.

16 17 18 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐122

61

Escuela Internacional de Negocios

SOLUCIONES Módulo 2

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐123

Ejercicio de RR PROMEDIO DE LA

19.6667

22.6667

21.1667

26.1667

20.0000

Rp

PIEZA (Xbp) Rb (OP)=

6.5000 0.8000

r= No.répl=

Xbdiff=MAX(Xb)-MIN(Xb)=

p=No.op=

2

2.4000

D4=

3 3.27

n=No. piezas= LSC(R)=D4(Rb)= SC( ) ( )

2 6160 2.6160

LIC(R)=0

LIC(Xb)=Xbb-A2Rb=

LSC(Xb)=Xbb+A2Rb=

23.4373

LSC(R) representa el límite para rangos individuales.

1.88 Xb fuera No. pts

73.33

11 1 15

% de los puntos están

fuera de los límites de medias. Más de la mitad indica la capacidad del

Señalar los valores que exceden este límite y volver a realizar dichas mediciones. No. de parte

instrumento para detectar la variación.

No. del calibrador

Nombre de la parte

x

Nombre del calibrador

Característica

x

Tipo de calibrador

Especificación

5

D4=3.27 3 2 y A2=1.88 2 1 88 para 2 réplicas é D4=2.58 y A2=1.023 para 3 réplicas

20.4293

Xbb= 21.9333 A2=

20-30

 Dr. Edgardo J. Escalante

Tol/6=

1.6666

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐124

62

Escuela Internacional de Negocios

VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD)

VARIACION DEL EQUIPO (REPETIBILIDAD) EN %

VE=Rb*k1=

VE(%)=100(VE/TOT)=

23.78

VE(%)=100(VE/TOL)=

42.54

Si se conoce la variación del proceso (6sigma) usarla en

0.7090

k1=0.8862, r=2 k1=0.5908, r=3

k1=

0.8862

k2=

0.5231

k3=

0.403

lugar de TOT haciendo TOT=6sigma/6. Si se quiere usar la tolerancia, poner

k1=Inverso de d2 usando m=r

TOL=tolerancia/6

VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) VO=Raíz(((Xbdiff)(k2))^2-(VE^2/nr))=

VARIACION DE OPERADORES (REPRODUCIBILIDAD) EN %

1.2353 VO(%)=100(VO/TOT)=

41.43

Generalmente se usa

Si VO es negativo dentro de la raíz, hacer VO=0.

TOT para el control del

k2=0.7071 p=2 operad. k2=0.5231 p=3 operad.

VO(%)=100(VO/TOL)=

74.12

proceso y TOL para el

k2=Inverso de d2*, m=p, g=1

control del producto

REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD

REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD EN %

RR=Raíz(VE^2+VO^2)=

RR(%)=100(RR/TOT)=

47.77

RR(%)=100(RR/TOL)=

85.46

1.4243 n

k3

VARIACION DE PIEZAS (VP)

2

0.7071 VARIACIONDE PIEZAS EN %

VP=(Rp)(k3)=

3

0.5231 VP(%)=100(VP/TOT)=

87.85

k3=Inverso de d2*, m=n, g=1

4

0.4467 VP(%)=100(VP/TOL)=

157.18

VARIACION TOTAL (TOT)

5

0.4030 NOTAS

6

0.3742 Mayor a 30 necesita calibrarse.

2.6195

TOT=Raíz(RR^2+VP^2)=

2.9817

RR(%) menor a 10, ok. Entre 10 y 30 depende de la aplicación.

7

0.3534 DISCRIMINACION

8

0.3375

9

0.3249 1.41*(VP/RR)=

10

0.3146

 Dr. Edgardo J. Escalante

2.593

Mayor o igual a 5 es aceptable. (si r=2, 4 ó más es aceptable)

MEDIR-2

2‐125

Gage R&R Study - XBar/R Method %Contribution Source

VarComp

(of VarComp)

Total Gage R&R

2.01444

22.68

0.48393

5.45

Repeatability

1.53051

17.23

Part-To-Part

Reproducibility

6.86947

77.32

Total Variation

8.88391

100.00 Study Var

%Study Var

%Tolerance

StdDev (SD)

(6 * SD)

(%SV)

(SV/Toler)

1.41931

8.5159

47.62

85.16

Repeatability

0 0.69565 69565

4 4.1739 1739

23 23.34 34

41 41.74 74

Reproducibility

1.23714

7.4228

41.51

74.23

Part-To-Part

2.62097

15.7258

87.93

157.26

Total Variation

2.98059

17.8835

100.00

178.84

Source Total Gage R&R

Number of Distinct Categories = 2  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐126

63

Escuela Internacional de Negocios

Gage R&R (Xbar/R) for Valor Reported by : Tolerance: M isc:

G age name: Date of study :

Xbar Chart by Operario

Sample Mean

28

1

2

3

24

UCL=23.44 _ _ X=21.93 LC L=20.43

20

R Chart by Operario Sample Range e

3

1

2

3 UCL=2.614 UCL 2.614

2 1

_ R=0.8

0

LC L=0

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐127

Gage R&R (Xbar/R) for Valor Reported by : Tolerance: M isc:

G age name: D ate of study :

Valor by Operario 28

26

24

22 20

18 1

 Dr. Edgardo J. Escalante

2 Operario

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

3

2‐128

64

Escuela Internacional de Negocios

Gage R&R (Xbar/R) for Valor Reported by : Tolerance: Misc:

Gage name: Date of study :

Operario * Pieza Interaction 28

Operario p 1 2

26

3

A verage

24

22

20

18 1

2

3 Pieza

 Dr. Edgardo J. Escalante

4

5

MEDIR-2

2‐129

Gage R&R (Xbar/R) for Valor Reported by : Tolerance: M isc:

G age name: Date of study :

Components of Variation 175

% Contribution % Study Var % Tolerance

150

Percent

125 100 75 50 25 0

Gage R&R

 Dr. Edgardo J. Escalante

Repeat

Reprod

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

Part-to-Part

2‐130

65

Escuela Internacional de Negocios

Attribute Agreement Analysis for Evaluación Within Appraisers Assessment Agreement Appraiser 1 2

# Inspected 8 8

# Matched 7 7

Percent 87.50 87.50

95 % CI (47.35, 99.68) (47.35, 99.68)

# Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials. Each Appraiser vs Standard Assessment Agreement Appraiser 1 2

# Inspected 8 8

# Matched 6 5

Percent 75.00 62.50

95 % CI (34.91, 96.81) (24.49, 91.48)

# Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with the known standard.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐131

Assessment Disagreement Appraiser

# ND / D

Percent

# D / ND

Percent

# Mixed

Percent

1

0

0.00

1

20.00

1

12.50

2

1

33.33

1

20.00

1

12.50

# ND / D:

Assessments across trials = ND / standard = D.

# D / ND:

Assessments across trials i l = D / standard d d = ND.

# Mixed: Assessments across trials are not identical. Between Appraisers Assessment Agreement # Inspected 8

# Matched 5

Percent 62.50

95 % CI (24.49, 91.48)

# Matched: All appraisers' appraisers assessments agree with each other other. All Appraisers vs Standard Assessment Agreement # Inspected # Matched 8 4

Percent 50.00

95 % CI (15.70, 84.30)

# Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard.  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐132

66

Escuela Internacional de Negocios

Date of study : Reported by : Name of product: Misc:

Assessment Agreement

Within Appraisers

Appraiser vs Standard 100

95.0% C I P ercent

90

90

80

80

70

70

Percent

Percent

100

60

60

50

50

40

40

30

30 1

95.0% C I P ercent

2

1

Appraiser

2 Appraiser

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐133

Para este ejercicio, Op 1

D-D 6

2

4

Op 1 2

%COE 75 62.5

 Dr. Edgardo J. Escalante

ND-D 0 0.00% 2 33.3%

Total 6 6

D-ND 3 30.0% 3 30.0%

%ND-D %D-ND 0 33.33

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

ND-ND 7

Total 10

7

10

Conclusión

30

Inaceptable

30

Inaceptable

2‐134

67

Escuela Internacional de Negocios

Atributos‐Facturas con errores %consistencia interna (Aud1)= 5/10=50% %consistencia interna (Aud2)= 10/10=100%

%consistencia vs experto para pares completos (Aud1)= 3/10=30% %consistencia vs experto para pares completos (Aud2)= 8/10=80% %consistencia entre auditores (pares completos)= 2/10=20% %consistencia entre auditores vs experto (pares completos)= 2/10=20% 

© I n Dr. g. EEdgardo d g a r d J. o Escalante J. E s c a l a n t e

MEDIR-2

2‐135

Ejercicio Un proceso produce 250 botellas en un día. Cada botella tiene 3 características de interés y representan oportunidad de defectos. Una muestra de 50 botellas fue inspeccionada y la siguiente información fue recolectada:

‐ 43 botellas tienen las 3 características sin defecto ‐ 4 botellas tienen exactamente dos características sin defecto ‐ 3 botellas tienen exactamente una características sin defecto ¿Cuáles son los DPMO y DPU para este proceso?

dpmo=dpmu/Número de oportunidades por unidad=(dpo)(106) ddpo=Número Nú de d defectos/Número d f t /Nú dde oportunidades t id d totales t t l Número de oportunidades totales=(No. de oportunidades)(No. Unidades) Número de oportunidades totales=(No. de oportunidades)(No. Unidades)=3(50)=150 dpo=Número de defectos/Número de oportunidades totales=(4(1)+3(2))/150=0.066666 dpmo=dpmu/Número de oportunidades por unidad=(dpo)(106)=0.066666(106)=66,666 dpu=Número de defectos/Número de unidades=10/50=0.2  Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐136

68

Escuela Internacional de Negocios

Solución a los ejercicios gráficos de capacidad Caso 1 Cp=2 Cpk=0

Caso 2 Cp=1 Cpk=‐1

 Dr. Edgardo J. Escalante

MEDIR-2

2‐137

%Apertura Process Capability of PD126 LSL

Target

USL W ithin Ov erall

P rocess D ata LS L 182.75 Target 183.5 USL 184.25 S ample M ean 183.191 S ample N 100 S tD ev (Within) 0.179454 S tD ev (O v erall) 0.205829

P otential (Within) C apability Cp 1 39 1.39 C P L 0.82 C P U 1.97 C pk 0.82 O v erall C apability Pp PPL PPU P pk C pm

1.21 0.71 1.71 0.71 0.67

182.8 183.0 183.2 183.4 183.6 183.8 184.0 184.2 O bserv ed P erformance P P M < LS L 10000.00 PPM > USL 0.00 P P M Total 10000.00

E xp. Within P erformance P P M < LS L 6974.63 PPM > USL 0.00 P P M Total 6974.64

 Dr. Edgardo J. Escalante

E xp. O v erall P erformance P P M < LS L 16035.33 PPM > USL 0.13 P P M Total 16035.47

MEDIR-2

Prohibida su reproducción total o parcial

2‐138

69