• Author / Uploaded
• Rosa Maria Arrese Rojas

Citation preview

FICHA DE MATEMÁTICA LOS GRÁFICOS ESTADÍSTICOS, LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y LAS DISPERSIONES QUE SE DAN La entrenadora del Colegio “Todos Unidos” deberá escoger dos de sus cuatro mejores atletas para los Juegos Deportivos Escolares Nacionales 2016, para ello les pone 10 pruebas de 100 metros planos a cada una de ellas y le pide a su asistente que registre el tiempo para luego tomar una decisión. El registro es el siguiente: e

Responde las siguientes preguntas: 1. Basándose en los datos que aparece en el gráfico, ¿cómo podría la Maestra tomar su decisión? _____________________________________________________________________ 2. Calcula el promedio, la mediana y la moda de los tiempos de cada una de ellas. ¿A quién escogerías tú?, ¿Por qué? PROMEDIO

MEDIANA

MODA

Diana Sofía Carolina Laura _____________________________________________________________________ 3. Además de las medidas de tendencia central que has calculado, ¿qué otras medidas podrías considerar, tomando en cuenta los datos anteriores, para elegir a las dos mejores atletas?. Explica. _____________________________________________________________________

Medidas de dispersión Las medidas de dispersión nos indican cuan dispersos están los datos; mientras mayor sea su valor, más dispersos se encuentran los datos. Las más utilizadas son aquellas que indican la concentración de los valores del conjunto de datos alrededor del promedio. Los más usados son: La Varianza y la Desviación estándar. Para un conjunto de datos no agrupados. La varianza

La desviación Estándar

La varianza se calcula así:

Se utiliza la siguiente fórmula:

Dónde: xi es la “i” – ésima observación n es el total de datos Ejemplo: De la situación inicial en la que la entrenadora tiene que escoger entre sus estudiantes a dos para competir en atletismo, llegamos a calcular el rango que nos indica cuán disperso se encuentran los datos entre los valores extremos, tal como se aprecia en el cuadro: Diana Sofía Carolina Laura Rango 4 8 12 2 Vemos que los tiempos de Laura y carolina son menos dispersos, pero el rango no es suficiente para que la entrenadora tome una decisión, es por ello es preciso calcular las desviación estándar de los tiempos de cada una de ellas para tomar una decisión más justa. Primero hallamos la varianza, y nos apoyaremos de un cuadro: Recordemos que la media para esta situación, ya lo hallamos y es 19,9 (𝑥1 − 𝑥̅ )2 Diana Sofía Carolina Laura

(𝑥2 − 𝑥̅ )2

1,21 1,21 0,01 0,01

(𝑥3 − 𝑥̅ )2

0,01 0,81 0,81 0,01

0,01 15,2 1,21 1,21

(𝑥4 − 𝑥̅ )2

0,81 9,61 1,21 0,01

(𝑥5 − 𝑥̅ )2

0,01 1,21 16,8 0,01

(𝑥6 − 𝑥̅ )2

(𝑥7 − 𝑥̅ )2

1,21 0,01 3,61 0,81

0,01 9,61 16,8 0,01

(𝑥8 − 𝑥̅ )2

0,81 3,61 15,2 0,81

(𝑥9 − 𝑥̅ )2

0,01 0,01 3,61 0,01

(𝑥10 − 𝑥̅ )2

0,81 3,61 3,61 0,01

Luego calculamos las varianzas de cada estudiante. 𝜎 2 (𝐷𝑖𝑎𝑛𝑎) =

4,9 10

𝜎 2 (𝐶𝑎𝑟𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎) =

= 0,49

𝜎 2 (𝑆𝑜𝑓í𝑎) =

44,89

62,87

𝜎 2 (𝐿𝑎𝑢𝑟𝑎) =

2,9

10

= 6.287

10

10

= 4,489

= 0,29

Finalmente calculamos la desviación estándar: 𝜎(𝐷𝑖𝑎𝑛𝑎) = √0,4 = 0,63 𝜎(𝑆𝑜𝑓í𝑎) = √4,489 = 2,12 𝜎(𝐶𝑎𝑟𝑜𝑙𝑖𝑛𝑎) = √6.287 = 2,51 𝜎(𝐿𝑎𝑢𝑟𝑎) = √0,29 = 0,54 Podemos concluir que los tiempos de Diana y Laura están más cercanos a la media.

∑

4,9 44,89 62,87 2,9

Para un conjunto de datos no agrupados. Varianza

La desviación Estándar

Dónde: Xi = marca de clase del intervalo “I”. K = número de intervalos de clase. fi = frecuencia absoluta del intervalo “I”. n = total de datos. Ejemplo: La siguiente tabla corresponde a las notas de 30 estudiantes de cuarto grado de secundaria en un examen de matemática. Intervalo de clase [02 – 05> [05 – 08> [08 – 11> [11 – 14> [14 – 17> [17 – 20> Total Calculando la media:

Marca de clase xi = (Lt +Ls)/2

Frecuencia absoluta fi

3,5 6,5 9,5 12,5 15,5 18,5

1 3 6 11 5 4 30 𝑛

̅=∑ 𝒙 𝑖=1

Frecuencia absoluta acumulada Fi 1 4 10 21 26 30

xi.fi 3,5 19,5 57 137,5 77,5 74 369

𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 369 = = 12,3 𝑛 30

Calculando la varianza:

Calculando la desviación estándar: 𝜎 = √14,36 = 3,789 Podemos concluir que las notas de los estudiantes pueden variar por debajo o por encima de 3,789 de la media. La desviación estándar nos permite saber que tanto están dispersos los datos respecto a la media. Cuanto menos sea el valor de la desviación estándar, podemos decir que los datos son más homogéneos y cuanto más es el valor, los datos son dispersos.

Midiendo las pulsaciones en los estudiantes. Las pulsaciones cardíacas por minuto de un grupo de 40 estudiantes de tercero de secundaria son las siguientes: 56 66 66 87

71 50 54 53

66 73 64 72

79 84 75 61

81 51 71 74

57 88 90 53

72 69 67 68

83 78 83 69

50 82 71 86

54 56 76 52

Responde las siguientes preguntas: a) Agrupa los resultados en ocho intervalos en una tabla de frecuencia. b) Grafica el histograma de frecuencia absoluta y ubica la moda en el gráfico construido. c) Grafica la frecuencia acumulada y ubica aproximadamente la mediana en el gráfico. d) Halla la media de las pulsaciones. e) Calcula la desviación estándar de las pulsaciones del grupo de estudiantes. Resolución: a) Construyendo la tabla de frecuencia con los datos que voy a utilizar. intervalo [50 -55> [55 - 60> [60 - 65> [65 - 70> [70 - 75> [75 - 80> [80 - 85> [85 - 90> TOTAL

xi 52.50 57.50 62.50 67.50 72.50 77.50 82.50 87.50

fi 8 3 2 7 7 4 5 4 40

Fi 8 11 13 20 27 31 36 40

xi.fi 420 172.5 125 472.5 507.5 310 412.5 350 2770

Número de estudiantes

b) Graficamos el histograma y buscamos la moda en el gráfico.

50

53 55

60

65

70

75

80

85

90

Pulsaciones cardiacas

Trazamos segmentos en aspa que vayan desde los vértices superiores de la barra hacia los vértices contiguos, luego trazamos una línea paralela al eje “y” para encontrar el valor de la moda aproximadamente, tal como apreciamos en el gráfico es de 53 pulsaciones

Número de estudiantes

c) Graficamos la frecuencia acumulada y hallamos la mediana.

50

55

65

60

70

75

80

85

90

Pulsaciones cardiacas

 Calculamos el dato central (n/2) e identificamos el intervalo donde se ubica la mediana. 40/2 = 20, el cual se ubica en el intervalo [70 – 75>  Unimos los extremos superiores derechos de cada rectángulo y obtenemos el polígono de frecuencias acumuladas  Trazamos una recta horizontal que corte al eje “y” en el dato 20.  En el punto de intersección con el polígono de frecuencias acumuladas, bajamos una perpendicular que corte el eje “x” en el valor aproximado de la mediana.  Concluimos que la mediana es 70 pulsaciones. d) Hallando la media de las pulsaciones: De la tabla de frecuencia obtenemos los datos que necesitamos: 𝑛

̅=∑ 𝒙 𝑖=1

𝑥𝑖 . 𝑓𝑖 2770 = = 69,25 𝑛 40

e) Calculamos la desviación estándar de las pulsaciones del grupo de estudiantes  Calculamos primero la varianza: 𝜎2 (52,5 − 69.25)2. 8 + (57,5 − 69.25)2. 3 + (62,5 − 69.25)2. 2 + (67,5 − 69.25)2. 7 + (72,5 − 69.25)2. 7 + (77,5 − 69.25)2. 4 + (82,5 − 69.25)2. 5 + (87,5 − 69.25)2. 4 = 40

𝜎2 =

2244,5 + 414,1875 + 91,125 + 21,4375 + 73.9375 + 272,25 + 877,8125 + 1332,25 5327,5 = 40 40 = 133,1875

 Ahora calculamos la desviación estándar: 𝜎 = √133,1875 = 11,54 Concluimos que los datos están bien dispersos.

Practicamos 1. Juan presentó y sustentó un trabajo que le dejó su maestro. El trabajo consistía en realizar una encuesta sobre el número de horas por día que le dedican los estudiantes de tercer grado de secundaria a las redes sociales. La muestra debería ser como mínimo 30 estudiantes. El estudiante presentó los siguientes cuadros: Horas/diarias (xi) 1 2 3 4 5 6 10 TOTAL

fi

Fi

xi.fi

4 5 5 6 5 4 1 30

4 9 14 20 25 29 30

4 10 15 24 25 24 10 112

Luego de explicar su informe, concluyó que no se puede decir que los estudiantes dedican 3,73 horas diarias a las redes sociales porque el rango salió 9 y está muy lejos de la media, por lo tanto los datos están muy dispersos. ¿Estás de acuerdo con la conclusión de Juan? ¿Por qué? 2. La siguiente tabla de frecuencias muestra la cantidad de colesterol total de un grupo de 130 pacientes cuya edad es de 40 a 50 años. Además se adjunta un gráfico de la frecuencia absoluta acumulada. Colesterol total (mg/dl)

fi

Fi

[170 – 180> [180 – 190> [190 – 200> [200 – 210> [210 – 220> [220 – 230> [230 – 240> [240 – 250>

29 15 20 22 25 15 2 2

29 44 64 86 111 126 128 130

Si se considera un nivel deseable de colesterol bajo 200 mg/dl. y el laboratorista calculó la media que es 199,77 mg/dl. ¿Crees que con esa información, se puede afirmar que la mayoría de los 130 pacientes están en el intervalo de colesterol deseable? ¿Por qué?

3. La siguiente gráfica muestra la edad de los empleados de una empresa.

30

20

50

40

60

¿Cuál es la moda aproximada, según el gráfico dado? a) 37,5 años b) 35 años c) 40 años

d) 30 años

4. La siguiente gráfica registra las estaturas en centímetros de 40 estudiantes de segundo de secundaria. Calcula el valor estimado de la mediana.

140

a) 160 cm.

145

b) 155 cm.

150

155

160

c) 156,88 cm.

165

170

175

d) 157,5 cm.

Peso ideal de los recién nacidos. En la maternidad de Lima se han tomado los pesos, en kilogramos, de 20 recién nacidos: 2,8 1,8 3,8 2,5 2,7 2,9 3,5 3,8 3,1 2,2 3,0 2,6 1,8 3,3 2,9 3,7 1,9 2,6 3,3 2,3 El peso ideal de un recién nacido con las condiciones normales esta entre 2,5 a 4 kilogramos. Con la situación “Peso ideal de los recién nacidos”, responde las preguntas 8 y 9. 5. Elabora una tabla de frecuencia con datos agrupados, calculando la mediana, media y moda. ¿Con cuál de las medidas de tendencia central se puede asegurar que la

mayoría de los 20 recién nacidos están dentro del rango del peso ideal?. Señale también el valor de dicha medida central. a) La mediana; su valor es 2,86. b) La media; su valor es 2,84. c) La moda; su valor es 2,83. d) El rango; su valor es 2. 6. Averigua si están dispersos o no los pesos de los recién nacidos, respecto a su media. Explique por qué. Analizando el peso de los estudiantes de tercero de secundaria El profesor de Educación Física clasifica los datos obtenidos en una tabla de frecuencia al pesar a sus 100 estudiantes, tal como se aprecia a continuación: intervalo [48 -51> [51 - 54> [54 - 57> [57 - 60> [60 - 63> TOTAL

Xi 49.5 52.5 55.5 58.5 61.5

fi 4 50 32 12 2 100

fi.xi 198 2625 1776 702 123 5424

Luego calcula la media de los pesos de sus estudiantes: ∑ 𝑓𝑖. 𝑥𝑖 5424 𝑥̅ = = = 54,24 𝑛 100 Finalmente halla el rango para averiguar si el peso de sus estudiantes están homogéneos o no. Rango = 62 - 48 = 14 Concluye diciendo que el peso de sus estudiantes no es homogéneo. Con la situación “Analizando el peso de los estudiantes de tercero de secundaria”, responde las preguntas 10, 11 y 12 7. ¿Estás de acuerdo con la conclusión del profesor de Educación Física? ¿Por qué?

Número de estudiantes

8. Luego de obtener el siguiente gráfico estadístico del peso de sus estudiantes, ¿cuál es la mediana estimada?

Peso (kilogramos)

a) 50 kilogramos

b) 86 kilogramos

c) 85 kilogramos

d) 53 kilogramos

9. En el siguiente Histograma, calcula la moda estimada.

48

51

54

57

60

63

. a) 50 kilogramos

b) 52 kilogramos

c) 53 kilogramos

d) 54 kilogramos