SESIÓN 20º FICHA DE MATEMÁTICA LA INSEGURIDAD EN EL PERÚ Y LAS PROBABILIDADES DE SER UNA VÍCTIMA MÁS La delincuencia e
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SESIÓN 20º
FICHA DE MATEMÁTICA LA INSEGURIDAD EN EL PERÚ Y LAS PROBABILIDADES DE SER UNA VÍCTIMA MÁS
La delincuencia en las calles de Perú, especialmente de Lima, ha recrudecido, de tal forma que una persona puede perder la vida, hasta por un celular. Una situación complicada pero que podría llegar a su fin si la población deja de comprar celulares robados. Según un reporte de Osiptel, en el primer trimestre del año 2016 han robado alrededor de 549 000 celulares. Por otro lado, la población de Lima es de 10 000 000, y según el reporte de Osiptel, hay más celulares que personas que habitan en Lima, eso quiere decir que una persona tiene por lo menos un celular. Responde las siguientes preguntas: 1. Si divido 549 000 entre 10 000 000, ¿qué relación encontramos? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2. Si eres una persona que vive en Lima, ¿cuál fue la probabilidad de que te roben tu celular en el primer trimestre del año 2016, según el reporte de Osiptel? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3. Si nos dicen que hay un porcentaje del 6% que nos roben un celular, ¿cómo explicarías en palabras dicha información? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 4. Si tomamos como referencia la información brindada por el reporte de Osiptel, ¿cuál es la probabilidad de que te puedan robar tu celular en un año? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________
Aprendemos: PROBABILIDADES Conceptos básicos: Fenómeno determinístico. Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones iniciales se obtienen siempre los mismos resultados. Fenómeno aleatorio. Cuando al repetirlo bajo idénticas condiciones iniciales no se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: cuando lanzamos una moneda al aire observando la sucesión de caras y sellos que presentan. Experimento aleatorio. Operación que repetimos bajo idénticas condiciones iniciales y no se obtienen siempre los mismos resultados. Ejemplo: Lanzamiento de un dado, una moneda, baraja de cartas, entre otros. Espacio muestral (). Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo Del experimento del dado, el espacio muestral es: {1,2,3,4,5,6} Evento (A, B, C, …). Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplo: Al lanzar un dado cuales son los números primos que aparecen. = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
;
A = {2; 3; 5} ; Se observa que: A
De acuerdo a la regla de Laplace, la probabilidad de un evento A está dada por: 𝑷(𝑨) =
𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒐 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒂𝒍 𝒆𝒗𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔
Del ejemplo anterior, la probabilidad del evento que salga números primos al lanzar un dado es:
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐴
3
1
𝑃(𝐴) = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 = 6 = 2 = 0,5 La probabilidad de que salga un número primo es 50%. PROPIEDADES: 1) 0 P(A) 1 2) Si “A” es un evento imposible: P(A) = 0 3) Si “A” es un evento seguro: P(A) = 1
Analizamos. 1. Al finalizar la transmisión del primer partido del torneo apertura del fútbol peruano, se realizó una encuesta a 80 personas y se obtuvieron los siguientes resultados: A 30 les agradó el juego de sus equipos, a 15 no les agradó, 30 miraron otros programas y 5 no miraron ningún programa. Al elegir al azar a uno de los encuestados que estuvo viendo televisión, ¿Cuál es la probabilidad de que este encuestado haya observado un partido de fútbol?
RESOLUCIÓN Los casos favorables (los que vieron el primer partido) = 30 + 15 = 45 Los casos posibles (son todos los que vieron televisión) = 30 + 15 + 30 = 75 Por lo tanto, la probabilidad que un televidente haya observado un partido de fútbol es: 𝑃=
𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 45 3 = = 𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 75 5
2. La familia Hernández por el cumpleaños de uno de sus hijos acuden al restaurante “Sabor & Color”, observando el menú del día en el siguiente cartel.
a) A partir del diagrama del árbol determina el espacio muestral. b) ¿Cuál es la probabilidad de escoger un menú cuyo segundo sea un filete de pollo?
MENÚ DEL DÍA Entrada: Sopa de casa (S) Ensalada (E) Segundo: Tallarín verde (T) Filete de Pollo (F) Ají de Gallina (A) Postre:
Helado (H) Gelatina (G) Mazamorra (M)
RESOLUCIÓN a) Para determinar el espacio muestral es más conveniente utilizar el diagrama del árbol. E n tra d a
Segundo
P o s tre H
T
S
F
A
T
E
F
A
E s p a c io M u e s tra l ( S , T, H )
G
( S , T, G )
M
( S , T, M )
H
( S , F, H )
G
( S , F, G )
M
( S , F, M )
H
(S ,A ,H )
G
(S ,A ,G )
M
(S ,A ,M )
H
( E , T, H )
G
( E , T, G )
M
( E , T, M )
H
( E , F, H )
G
( E , F, G )
M
( E , F, M )
H
(E ,A ,H )
G
(E ,A ,G )
M
(E ,A ,M )
El espacio muestral tiene 18 elementos. b) Nº de casos favorables: 6 Nº de casos posibles: 18 Por lo tanto, la probabilidad de escoger un menú cuyo segundo sea un filete de pollo es: 𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 6 1 𝑃= = = 𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 18 3
3. Una empresa telefónica ofrece los siguientes beneficios a sus clientes al participar en la “Ruleta Gana” por la compra de un celular en cualquiera de sus planes. - Si al hacer girar la ruleta obtienen un número primo se le otorga un bono de 1GB de internet por un mes. - En cualquier otro caso se le obsequia un lapicero. Juan ha adquirido un celular y quiere el bono de 1GB de internet por un mes ¿cuál es la probabilidad de obtener ese premio?
RESOLUCIÓN Nº de casos favorables: 9 Nº de casos posibles: 24 Por lo tanto, la probabilidad de escoger un bono de 1GB de internet por un mes es: 𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 9 3 𝑃= = = 𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 24 8 4. En el taller de mecánica “Lumix” frecuentemente se atienden, por la mañana, cinco automóviles con problemas eléctricos, seis con problemas mecánicos y tres por planchado; por la tarde, se atienden tres automóviles con problemas eléctricos, nueve con problemas mecánicos y cuatro por planchado. El dueño de la mecánica desea saber: a) El porcentaje de los automóviles que atiende por la tarde. b) El porcentaje de los automóviles que atiende por problemas mecánicos. c) La probabilidad que un automóvil con problemas eléctricos sea atendido por la mañana. RESOLUCIÓN Ordenamos los datos en una tabla. Eléctrico
Mecánico
Planchado
Total
Mañana
5
6
3
14
Tarde
3
9
4
16
Total
8
15
7
30
a) El porcentaje de los automóviles que atiende por la tarde. Nº de casos favorables (tarde): 16 Nº de casos posibles: 30 𝑃=
𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 16 . 100% = . 100 = 53% 𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 30
b) El porcentaje de los automóviles que atiende por problemas mecánicos. Nº de casos favorables (problemas mecánicos): 15 Nº de casos posibles: 30 𝑃=
𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 15 . 100% = . 100 = 50% 𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 30
c) La probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos sea atendido por la mañana. Nº de casos favorables (mañana): 5 Nº de casos posibles (problemas eléctricos): 8 𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 5 𝑃= = = 0,625 𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 8
Practicamos.
1. La profesora Jennifer, del área de matemática del tercer grado de secundaria ,luego de corregir sus evaluaciones de salida lo registra en la siguiente tabla: Inicio
Proceso
Satisfactoria
0 - 10
11 - 13
14 - 20
12
10
8
Nota Cantidad de estudiantes
Al elegir a un estudiante del aula al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga una nota satisfactoria? (2) a) b) c) d)
11/15 4/15 2/5 1/3
EXTRAYENDO BOLAS DE COLORES Carlos y Pamela tienen una urna cada uno, que contienen bolas de color rojo y verde, como se muestra en la figura.
R
R
V
V
R
V
R
V
V R
V
R
Con la información dada responde las preguntas 2 y 3.
2. Determina el espacio muestral si se extraen tres bolas, sin devolución, de la urna de Carlos. (3)
3. Si Mario quiere extraer una bola verde. ¿En cuál de las urnas tiene más probabilidad de obtenerla? Representa tu respuesta en porcentaje. (2) a) b) c) d)
50% 86% 57% 40%
ELECCIÓN DE ESTUDIANTES La docente de comunicación organiza un debate entre las secciones A y B, escribe los nombres de sus estudiantes en tiras de papel y las coloca en una urna, para que la participación de los estudiantes sea al azar. Masculino
Femenino
Sección A
16
12
Sección B
9
15
Con la información dada responde las preguntas 4 y 5. 4. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el nombre de un estudiante sea alguien de la sección A? (2) a) b) c) d)
4/13 7/13 4/7 3/13
5. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer el nombre de un estudiante sea una chica de la sección B? (2) a) b) c) d)
3/8 5/8 5/9 15/52
6.
El dueño de una empresa Textil con motivo de celebrar el día de trabajo organizó un almuerzo para sus trabajadores. Asistieron al almuerzo 28 hombres y 20 mujeres; en el momento del postre se observó que 12 hombres y 8 mujeres pidieron flan; los demás asistentes pidieron torta helada. ¿Cuántos de los siguientes enunciados son verdaderos? (1) I) II) III)
a) b) c) d)
La probabilidad de escoger al azar a un trabajador que sea hombre es 7/12. El 60% de hombres comió flan. El 40% de los trabajadores comieron torta helada.
1 2 3 Ninguno
EL DADO Y LA RULETA Lucia tiene un dado numerado del 1 al 6 y Emma tiene una ruleta dividido en 8 secciones, ellas proponen a sus amigos lanzar el dado y girar la ruleta.
8
1
2
7
3 6
5
4
De acuerdo a la información dada responde las preguntas 7 y 8. 7. ¿Cuántos resultados posibles hay, al lanzar primero el dado y luego girar una vez la ruleta? (3)
8. Si Lucia y Enma deciden regalar un lapicero a los que obtengan una diferencia de 2. ¿Cuál es la probabilidad de llevarse el lapicero? (1) a) b) c) d)
1/2 2/3 1/8 1/36
9. Una entidad financiera realiza un estudio sobre el número de tarjetas de crédito que tienen los trabajadores del sector público. La probabilidad que estos trabajadores tengan cierta cantidad de tarjetas de crédito se distribuye en la siguiente tabla. Nº Tarjetas de crédito Probabilidad
0 0,15
1 0,50
2 0,20
3 0,10
4 0,05
¿Cuál de los siguientes enunciados es falso? (4) a) El 15% de los trabajadores del sector público no tienen tarjeta de crédito. b) La probabilidad de que un trabajador del sector público tenga más de una tarjeta de crédito es 0,35. c) El 50% de los trabajadores del sector público tienen más de tres tarjetas de crédito. d) La probabilidad de que los trabajadores del sector público tengan una o dos tarjetas de crédito es 7/10. 10. Carlos ahorra su propinas semanales en una alcancía y tiene un total de 30 monedas, entre las que hay 5 de S/ 1 y las demás son de S/ 2 y S/ 5. Si la probabilidad de extraer una moneda de S/ 2 es 0,6. ¿Cuántas monedas de S/ 5 hay en la alcancía? (1) a) b) c) d)
18 14 5 7
JUGANDO CON LOS DADOS Dos amigos, Juan y Carlos, hacen rodar un dado dos veces, Juan gana si la suma de los puntos obtenidos en ambos lanzamientos es mayor que 7, en el resto de los casos gana Carlos. De la información dada responde la pregunta 11; 12 y 13. 11.
¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que se obtiene al rodar el dado dos veces? (3) a) b) c) d)
6 12 15 36
12.
¿Cuál de los dos amigos tiene mayor probabilidad de ganar? (4) a) b) c) d)
Juan Carlos Ambos Ninguno
13. Verifica si los siguientes eventos son correctos, al rodar dos veces un dado. (3) I) El primer número sea par y la suma sea menor o igual que 5 : {(1; 2), (2; 2), (3; 2), (4,1)} II) Los resultados obtenidos sean iguales: {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4,4) } III) Que los resultados obtenidos presenten una diferencia de dos unidades: {(1; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 5), (4,2), (4; 6), (5; 3), (6; 4) } 14.
En una Institución Educativa, el 45% de los estudiantes practica fútbol, el 30% practica básquet y el 20% practica ambos deportes. Con la información dada completa la tabla. Fútbol
Total
No fútbol
Básquet No basquet 100 %
Total
Si se elige a un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no juegue al fútbol ni al básquet? (1) a) b) c) d) 15.
9/20 9/11 9/14 7/10
En el centro de salud de una comunidad, la enfermera presenta gráficamente la cantidad de vacunas contra la influenza, aplicadas a los niños menores de edad en el mes de Julio como se muestra a continuación. N º Va c u n a s
180
120
90
50
2
4
6
8
Edad
Si se elige a un niño vacunado al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga 2 años? (1) a) b) c) d)
1/90 2/3 9/22 9/20