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Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

TEMA: PLANTEO

DE

ECUACIONES

OBJETIVO Desarrollar y utilizar en forma adecuada la notación y el vocabulario para poder representar acciones y resultados relacionados con el mundo real y la vida diaria y sus situaciones problemáticas.

PROCEDIMIENTO Para el correcto planteo de una ecuación es necesario tomar en cuenta los siguientes pasos: 1. Lectura detallada del enunciado. 2. Identificación de la(s) incógnita(s) y dados proporcionados. 3. Relacionar las incógnitas y los datos, este paso sería el planteo de la ecuación. 4. Verificar los resultados.

RESPUESTA ACERTADA Dos aeronautas viajan en globo. Un fuerte viento les arrastra durante muchas horas, y se encuentran perdidos. Hacen descender su aerostato en un prado, y, sin apearse del mismo, le preguntan a la única persona que encuentran por allí: - Perdone, buen hombre, ¿dónde nos encontramos? El lugareño lo piensa un rato y responde: - En un globo. Entonces uno de los aeronautas le dice al otro Vámonos de aquí a preguntarle a otro, porque éste es idiota. - No, hombre, no es idiota. Lo que pasa es que es matemático. - Ah, ¿sí?, ¿Y cómo lo sabes? - Pues muy sencillo, porque le hemos hecho una pregunta bien sencilla que cualquier persona normal podría haber respondido inmediata y eficazmente; pero él lo ha pensado largamente, y al final ha dicho algo totalmente cierto, absolutamente exacto, pero que ya sabíamos, y que además no nos sirve para nada.

Razonamiento Matemático

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FORMA VERBAL Un número desconocido El triple de un número Una cantidad aumentada en 20 Un número disminuido en 60 60 disminuido en un número Seis veces el número de lápices El exceso de un número sobre 50 es 10 “x” excede a “y” en 8 El doble de un número aumentado en 3 El doble de la suma de un número con 3 “a” es cuadro veces “b” La relación que hay entre 2 números es 2 a 5 La suma de tres números consecutivos es 18 La suma de tres números impares consecutivos es 33 Tres números son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente El doble del cuadrado de un número El cuadrado del doble de un número La cuarta parte de un número La tercer parte de un número sumada con su quinta parte

Segundo Año FORMA SIMBÓLICA

EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en 18 equivale al triple de su valor. Resolución: • Sea el número: x • Según el enunciado del problema: x + 18 = 3x

7

8

Razonamiento Matemático

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Segundo Año

Segundo Año

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Resolviendo: 18 = 2x . 9=x .

# mayor = x + 15 Según el enunciado # mayor 3  ( # menor ) +  sus  =  4   2     •

∴ . El número es 9 .

x

2. El exceso del doble de un número sobre 18 es igual al triple del número disminuido en 10. ¿Cuál es el número? Resolución: • Sea ”x” el número • El exceso del doble del número sobre 18 es: 2x – 18 • El triple del número disminuido en 10 es: 3(x – 10) • Luego, según el enunciado 2x – 18 = 3(x – 10)

+

3 x 4

=

x + 15 2

Resolviendo 4x + 3x = 2(x + 15) 7x = 2x + 30 5x = 30 . x=6 . •

Resolviendo: 2x – 18 = 3x – 30 . 12 = x .

.

Luego los número son:

# menor = 6 # mayor = 6 + 15 = 21

.

∴ . El número es 12 . 4. Hallar dos números sabiendo que uno excede al otro en 8 unidades y que el menor es 35 unidades menos que el doble del mayor

3. Se tienen dos números, el mayor excede al menor en 15 unidades. Si al menor se le aumenta sus 3/4, resultaría lo mismo que la mitad del mayor Resolución: Recuerda que: Si A excede a B en 15, entonces: . A + B = 15 .

Resolución:

Como nos dicen que uno de los números excede al oto en 8, entonces # menor = x # mayor = x + 8 •

Sean los números: # menor = x

•

•

Razonamiento Matemático

9

10

Del enunciado

Razonamiento Matemático

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# menor menos que el doble del # mayor   = 35     x

2( x + 8) − 35

=

Resolviendo: x = 2x + 16 – 35 . 19 = x . •

.

# menor = 19 # mayor = 27

Finalmente los números son .

Segundo Año

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6. Si se multiplica el menor y el mayor de los tres números pares consecutivos, se obtiene un número que es 96 unidades menos que el producto del mayor y el segundo de los tres mencionados. Halla dichos números. Resolución: • Como los números pares consecutivos se van 11 generando de 2 en 2, entonces serán: x ; x +2 ; x +4        # menor (1er # ) 2do # # mayor ( 3er # ) Del acuerdo a los datos: x (x + 4) = (x + 4) (x + 2) – 96 •

5. La suma de tres números enteros consecutivos es 47 unidades más que el número menor. Hallar el mayor de los tres números. Resolución: •

x  # menor

Sean los tres números enteros consecutivos: ( x + 1) ( x + 2) ; ;     # int ermedio # mayor

Resolviendo: x2 + 4x = x2 + 6x + 8 – 96 88 = 2x . 44 = x .

• • Del acuerdo a los datos del problema x + (x + 1) + (x + 2) ) x + 47

Resolviendo: 3x + 3 = x + 47 2x = 44 . x = 22 . Entonces . # mayor = 22 + 2 = 24 . •

Razonamiento Matemático

Luego dichos números son

. 44; 46 y 48 .

7. Si al triple de la edad que tenía Alfredo hace 10 años, se le resta su edad actual, se obtiene la edad que tendrá dentro de 5 años ¿Cuál es su edad? Resolución: •

Sea “x” la edad actual de Alfredo

Entonces: Su edad hace 10 años era: (x – 10) Su edad dentro de 5 años será: (x + 5)

Razonamiento Matemático

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Segundo Año

25x – 700 = 7x + 560 18x = 1260 . x = 70 .

Según datos: 3(x – 10) – x = x + 5 Resolviendo: 3x – 30 – x = x + 5 12 . x = 35 . •

Luego . Milagros tenía 70 soles . •

• Por lo tanto . la edad actual de Alfredo es 35 años .

8. Milagros dice: “Gasté los 2/7 de lo que tenía y S/. 20 más, quedándome con la quinta parte de lo que tenía y S/. 16 más.” ¿Cuánto tenía Milagros?

9. Un estudiante lee 64 página de la novela “Cien años de soledad”, y al día siguiente lee 1/3 de lo que le falta; si todavía le quedan por leer los 4/7 del total de páginas, ¿Cuántas páginas tiene dicha novela? Resolución:

Sea “x” el total de páginas. • Según datos: El 1er día lee 64 páginas, entonces le falta leer (x - 64) páginas x − 64 El 2do día lee páginas 3 4 Y todavía le quedan por leer x páginas. 7 •

Resolución: •

Sea “x” el dinero que tenía Milagros

•

Si gasta los

2 de lo que tenía y S/. 20 más, le 7

quedan: 2 5 2  x −  x + 20  = x − x − 20 = x − 20 7 7 7  •

... (I)

• Se deduce que: Lo que lee el primer día, más lo que lee el segundo y más lo que le quedan por leer, será igual al total de páginas. Entonces: x − 64 4 64 + + x =x 3 7

La quinta parte de lo que tenía y S/. 16 más es: 1 x + 16 ... (II) 5

De acuerdo al enunciado expresiones (I) y (II) son equivalentes, o sea: 5 1 x − 20 = x + 16 7 5 •

Resolviendo:

Razonamiento Matemático

del

problema,

las

Resolviendo: MCM (3; 7) = 21 1 344 + 7(x – 64) + 12x = 21x 1 344 + 7x – 448 + 12x = 21x 896 = 2x . 448 = x .

Razonamiento Matemático

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• Por lo tanto . La novela tiene 448 páginas .

1. La edad de Juan aumentada en 8 es 27 ¿Cuál es la edad de Juan? Rpta.

2. El

doble

de

un

5. El número de hombres es 5 veces más que el número de mujeres, si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿Cuántos hombres hay?

6. El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”?

Rpta.

3. El triple de la suma

Rpta.

de un número con 6 es 48 ¿Cuál es el número?

7. El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45 ¿Cuánto tengo?

Rpta.

Rpta. 4. El

número

de

Razonamiento Matemático

mujeres

¿Cuántas

hombres

y

mujeres

agregarle 432 obtengamos su triple disminuido en 8. Rpta.

Rpta. 9. Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que ésta queda 2 disminuida en sus partes. 9 ¿Cuántas quedaron? Rpta.

10. A Gildder le preguntan la hora y responde: “Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas”. ¿Qué hora es? Rpta.

11. ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre 3 los del número y sexta 5 parte del mismo? Rpta.

hombres es 5 veces el número de mujeres, si en total hay 42

entre

13. Doce es excedido por 18 en la misma medida que el número 15 es excedido por su triple. Hallar el exceso de 20 sobre el número. Rpta.

Rpta.

número disminuido en 70 es 48. ¿Cuál es el número?

personas, hay?

PROBLEMAS PARA LA CLASE 13 14

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8. Hallar un número, tal que al

14. Tenía S/. 85, gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo que gasté ¿Cuánto gasté? Rpta.

15. El martes gané el doble de lo que gané el lunes, el miércoles el doble de lo que gané el martes, el jueves el doble

de

lo

que

gané

el

miércoles; el viernes S/. 30 menos que el jueves y el

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sábado S/. 10 más que el 12. Noventa soles se reparten entre tres hermanos proporcionalmente a sus edades que son como 5, 3 y 1; si se repartiera equitativamente, ¿Cuánto más recibiría el menor?

viernes. Si en los 6 días he

la

16 escalera de tres en tres, Rosa da 6 pasos más que subiendo de cinco en cinco. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera.? Rpta.

cuádruple caballos

del que

el

número de

de

vacas.

Si

hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas mas tendría el triple de número de caballos que

el

de

caballos

y

vacas.

¿Cuántos

cuántas

el miércoles?

tercera parte de la suma de los mayores

Rpta.

sea

tales

que

10

la

C. Colton

unidades

menos que la suma de los dos primeros.

19. Al preguntar un padre a su hijo cuanto había gastado de los 350 soles que le dio, éste 3 respondió: “He gastado las 4 partes de lo que no gasté”. ¿Cuánto gastó?

20. AL comprar 20 naranjas, me sobra S/. 480, pero al adquirir 24 naranjas, me faltarían S/. 120 ¿Cuánto cuesta cada naranja? Rpta.

vacas

compré? Rpta. “El estudio de la matemática

Razonamiento Matemático

números

consecutivos

Rpta. 17. Compré

cuatro

ganado S/. 911 ¿Cuánto gané

Rpta. 16. Subiendo

18. Calcular

es como el Nilo, que comienza por la modestia y termina por la magnificencia”.

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. 5 Veces la suma de un número con 3 es igual a 40. hallar el número. A ) 1 D ) 4

B ) 2 E ) 5

C ) 3

5. Hallar el mayor de cinco números enteros consecutivos; sabiendo que el exceso de la suma de los tres menores sobre la suma de los dos mayores es 28.

6 2. El óctuplo de un número, mas 5 es igual al quíntuplo de la suma del número con 10. Hallar el número. A ) 1

B ) 1

0

C ) 1

A ) 3 D ) 3

4

8

B ) 3

2

C ) 3

E ) 2

Hallar el menor de tres números consecutivos; si sabemos que 6.

Razonamiento Matemático

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2

5

1 D ) 1

6

4 del mayor exceden a 5 3 los del intermedio, en una 4 cantidad igual a la sexta parte del menor disminuida 1 en 5

0

los

E ) 1

3. El exceso del triple de un número sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre el número. ¿Cuál es el número?

2

6

A ) 1 D ) 4

2

0

B ) 2

2

C ) 8

E ) 3

0º

D )

0º

B ) 4

B ) 6 E ) 9

5º

A ) 3

C ) 7

am

pm

0º

40

C ) 1

70

D ) 3

B ) 3 50

E ) 3

0º

6

A ) 8

am

D ) 5

am

B ) 6

pm

10. Se ha gastado $148, utilizando 72 billetes de $1 y $5 ¿Cuántos de $1 se utilizó? C ) 8

3

E ) 7

6

A ) 5 D ) 5

4

7

B ) 5

5

C ) 5

E ) 5

hermanos pesan 7 juntos 152 kg y los del peso del 8 3 menor exceden en 3 kg a los 4 del peso del otro ¿Cuánto pesa cada uno? 9.

C ) 3 60

Dos

A) 8 y 80 C) 0 y 82 E) 5 y 50

80

E )

7 8

B) 2 y 80 D) 6 y 81

7 7

4

CLAVES 17

Razonamiento Matemático

1

8. ¿A qué hora las horas transcurridas es igual al décuplo de la midan de las que faltan transcurrir?

7. Hallar dos números cuya suma es 1060 y su diferencia es 320.

4. Hallar la medida de un ángulo, tal que el exceso del triple de su suplemento sobre el doble de su complemento es igual a 320º A ) 2

A ) 5 D ) 8

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18

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4/9 del total. ¿Cuál es la longitud total del alambre? 1. E

6. E

2. D

7. D

3. C

8. C

4. B

9. B

5. A

1 0. A

PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS 1. Hallar un número que, aumentado en 14 equivale al triple del mismo número Rpta. 7

19 5. Un número más su mitad igual al exceso del doble del mismo sobre 9. Hallar el doble de dicho número. Rpta. 36

3. Hallar dos números sabiendo que uno excede en 8 unidades al otro y que el menor aumentado en su 3/5 es 5 unidades menos que el mayor. Rpta. 13 y 5

4. El triple de un número aumentado en 16 equivale al exceso de 60 sobre el mismo número. Hallar dicho número Rpta. 3

Rpta. 17 y 18

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6. A un alambre se le da dos cortes de manera que la longitud del primer trozo es los 2/9 del total, y la del segundo 6 metros más que el primero y la del tercero los

7. La edad de Ernesto dentro de 8 años será el doble de la edad que tuvo hace 5 años. ¿Cuál es su edad actual? Rpta. 18 años

8. Hallar un número cuyos 7/8 excedan a sus 3/4 en 5. Rpta. 40

9. Si

un

número

12. Ángel

tiene

18

20 aumentado en 8 se multiplica por el mismo número

años más que Frank. hace 18

disminuido en 3, resulta el

equivalía a los 5/2 de la edad

cuadrado del número, más 76. ¿Cuál es el número?

2. La suma de dos números consecutivos enteros es 35 ¿Cuáles son esos números?

Rpta. 54 m

Rpta. 20

10.La suma de tres números enteros consecutivos,

años

la

edad

de

Ángel

de Frank. Hallar la edad que tiene Ángel. Rpta. 48 años

13. Si al cuádruple de

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es lo mismo que el exceso de

la edad que tenía hace 3 años,

39 sobre el menor de los

le resto el doble de la edad

números. ¿Cuál es el número

que tendré dentro de 4 años,

mayor?

obtengo mi edad. ¿Cuál es mi

BUEN

Rpta. 20 años 11.Si a un número se le suma 5, se multiplica por la suma por 3, se le resta 6 del producto

y

se

divide

la

diferencia por 7, se obtiene un número que tiene 5 unidades

14. Las

edades

CONTADOR,

PERO...

Un matemático pasea por el campo, sin nada que hacer, aburrido. Encuentra a un pastor que cuida un numeroso rebaño de ovejas, y decide divertirse un poco a costa del paleto. Buenos días, buen pastor. Buenos días tenga usted. Solitario oficio, el de pastor, ¿no? Usted es la primera persona que veo en seis días. Estará usted muy aburrido. Daría cualquier cosa por un buen entretenimiento. Mire, le propongo un juego. Yo le adivino el número exacto de ovejas que hay en su rebaño, y si acierto, me regala usted una. ¿Qué le parece? Trato hecho. El matemático pasa su vista por encima de las cabezas del ganado, murmurando cosas, y en unos segundos anuncia: 586 ovejas. El pastor, admirado, confirma que ése es el número preciso de ovejas del rebaño. Se cumple en efecto el trato acordado, y el matemático comienza a alejarse con la oveja escogida por él mismo. Espere un momento, señor. ¿Me permitirá una oportunidad de revancha? Hombre, naturalmente. Pues ¿qué le parece, que si yo le acierto su profesión, me devuelva usted la oveja? Pues venga. El pastor sonríe, porque sabe que ha ganado, y sentencia: Usted es matemático. ¡Caramba! Ha acertado. Pero no acierto a comprender cómo. Cualquiera con buen ojo para los números podría haber contado sus ovejas. Sí, sí, pero sólo un matemático hubiera sido capaz, entre 586 ovejas, de llevarse el perro.

edad?.

Rpta. 11

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de

Ángel, Beto y Carlos suman 53 años. la edad de Beto es 1/3 de la edad de Carlos y la edad

menos que el número inicial.

de Ángel es 4 años más que la

Hallar el número aumentado en

edad de Carlos ¿Cuál es la

3.

edad de Beto?

Rpta. 14

Rpta. 7 años

15.Andrea tiene cierta suma de dinero. Gastó S/. 30 en libros y los 3/4 de lo que le quedaba después del gasto anterior, en ropa, si todavía le quedan S/. 30 ¿Cuánto tenía al principio?

16. En 3 días Fiorella ganó 185 soles. Si cada día 21 ganó 3/4 de lo que ganó el día anterior ¿Cuánto ganó el primer día?

¿AVERIGUA EL RESULTADO

Rpta. S/. 80

22

SAGRADA CRIATURA

Rpta. S/. 150 En el mayestático salón encontré un hombre alto, de cara ancha y facciones acusadas. Era un famoso catedrático visitante que llegaba a nuestra universidad, y

Razonamiento Matemático

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. a1 + a2 + a3 + ... + an = S .

yo tuve el privilegio de conversar con él. Cuando surgió el inevitable tema de la fe; afirmó con absoluta convicción:

-

Cree en lo que quieras, pero cree. El divino sentido de la fe no está en su objeto en sí, sino en el hecho de que exista. Se levantó, tras cruzar el salón se puso a mirar por la ventana. Una bandada de tordos formaba una negra cadena en el firmamento y en lo alto de la montaña vecina el sol acariciaba la copa de los árboles, haciendo una encendida hoguera con las hojas ya coloradas. El famoso maestro, aunque hablaba animadamente de muchos temas, derramaba esa calma interior característica de los hombres que han llegado a un profundo conocimiento de sí mismo y del universo. Creo que todo recién nacido –continuó– llega a la Tierra con un mensaje que entregar a la humanidad. En su puño diminuto trae alguna partícula de una verdad aún no revelada, quizá un indicio, hasta ahora desconocido, que acaso resuelva el enigma del destino del hombre. El nuevo ser tiene el tiempo limitado para llevar a cabo su cometido y nunca dispondrá de una segunda oportunidad... como tampoco los dispondremos nosotros. Puede que se recién nacido sea nuestra última esperanza, y como a tal deberíamos tratarlo... como a algo sacratísimo. Al medio día, en los alrededores de graduación había una gran algarabía. Ha estado bien difícil el examen de graduación – comentaba un graduado que regresaba feliz. ¿Y cuantos se presentaron? –indagó uno de los familiares. Entre alumnos de distintos profesores éramos 35, y, como era de esperarse, todos los alumnos del profesor David aprobaron el examen. ¿Y cuantos eran éstos? Pues, exactamente, el 5% de todos los que aprobaron. Diga usted cuántos alumnos aprobaron el examen, y cuántos eran del profesor David.

TEMA: CUATRO OPERACIONES 23

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an : Sumandos S : Suma total Observación: 1 + 2 + 3 + ... + n =

n (n + 1) 2

SUSTRACCIÓN . S+D=M . S : Sustraendo D : Diferencia M : Minuendo OBSERVACIÓN: COMPLEMENTO ARITMÉTICO

Número a

Complemento A. 10 – a 100 – 1 000 –

OBSERVACIÓN: CONOCIENDO LA SUMA Y DIFERENCIA

24

ADICIÓN

Razonamiento Matemático

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S +D M + N = S M = 2   M − N = D  N = S − D 2

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PROBLEMAS QUE SE DAN CON LAS 4 OPERACIONES Calcular 2 Cantidades conociendo la Suma (S) y la Diferencia (D) Podemos utilizar las siguientes relaciones:

MULTIPLICACIÓN

. CANTIDAD MAYOR =

S +D 2

. CANTIDAD MENOR =

S −D . 2

. M.m=P . Ejemplos:

M : Multiplicando m : Multiplicador P : Producto

1. Rosa y Antonio tienen entre los 2 S/. 850; Rosa gasta S/. 75 y entonces Antonio tiene S/. 85 más que rosa. ¿Cuánto tiene ahora Rosa? Resolución: Luego que Rosa gasta sus S/. 75 • Entre los 2 tienen 850 – 75 = 775 soles • Además Antonio tiene S/. 85 más que Rosa • ⇒ tenemos la suma : 775 y la diferencia : 85

DIVISIÓN División Exacta ⇒

. D = d . q .; r = 0

∴ Lo que tiene Rosa es la cantidad menor:

D : Dividendo d : Divisor q : Cociente r : Residuo

Cantidad Menor =

División Inexacta

= ⇒

. D=d.q+r .

775 − 85 2 690 = 2

. Rpta.: S/. 345 .

Residuo máximo: d – 1 Residuo mínimo: 1

Razonamiento Matemático

.

2. Una camisa con su corbata cuestan 54 soles, si la corbata cuesta 16 soles menos que la camisa. ¿Cuánto cuesta la camisa? 25

Razonamiento Matemático 26

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Resolución: La suma es 54 soles. La diferencia es 16 soles. Si la corbata cuesta menos entonces la camisa tiene costo mayor. • •

∴ Cantidad Mayor =

54 − 16 70 = = 35 2 2

. ∴ El # mayor aumentado en 15 es 330 . 2. Un televisor y una radio grabadora cuestan S/. 1200. Si el televisor cuesta el cuádruple de lo que vale la radio grabadora; ¿Cuento 27 cuesta cada artefacto? Resolución: La suma es S/. 1200 El cuádruple indica que el cociente es 4. • Entre el Tv y la radio grabadora. La radio grabadora es: S 1200 1200 # menor = = = = 240 q +1 4 +1 5 •

. Rpta.: S/. 35 .

•

Calcular 2 Cantidades conociendo la Suma (S) y el cociente (q) de una división exacta Se utilizan las siguientes relaciones . CANTIDAD MAYOR =

S .q q +1

. CANTIDAD MENOR =

S . q +1

# menor = 240 . ∴ La radio grabadora cuesta 240 soles .

.

Calcular 2 Cantidades conociendo la Diferencia (D) y el cociente (q) de una división exacta Se utilizan las siguientes relaciones

Ejemplos:

1. La suma de 2 números es 420 si uno de ellos es el triple del otro; calcular el mayor de dichos números aumentado en 15. Resolución: •

La suma “S” es 420 Si uno de ellos es el triple entonces su cociente es

•

Luego calculando el número mayor

•

30.

S .q 420 . 3 420 . 3 # mayor = ⇒ = = 315 q +1 3+1 4 # mayor = 315

Razonamiento Matemático

. CANTIDAD MAYOR =

D .q . q −1

. CANTIDAD MENOR =

D . q −1

. CANTIDAD MENOR = # MAYOR - D . Ejemplos: 1. Entre los cargamentos de 2 camiones hay una diferencia de 1800 kilogramos. Si uno de ellos tiene el triple de carga de lo que tiene el otro. ¿Cuál es la carga de uno de ellos?

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# mayor =

Resolución:

Hay una diferencia de 1800 Kg. Hay un cociente de 3 (triple). Luego calculando el camión con carga mayor.

• •

28

•

∴

900 # mayor =

D .q 1800 . 3 1800 . 3 ⇒ = = 2700 Kg q −1 3−1 2 1

Y el camión con carga menor: D 1800 1800 # menor = ⇒ = = 900 Kg q −1 3−1 2

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D .q 32 . 3 96 ⇒ = = 48 Kg q −1 3−1 2 Si en el futuro ambos tienen 48 y 16 años y hoy tienen 43 y 11 años, se observa que han pasado 5 años para que la edad del padre sea el triple de la del hijo.

Calcular 2 Cantidades conociendo la Suma (S), el cociente (q) y el Residuo (R) de una división inexacta Se utilizan las siguientes relaciones . CANTIDAD MAYOR =

S . q +R q +1

. ∴ La carga de cada uno de ellos es 2700 Kg y 900 Kg . . CANTIDAD MENOR = 2. Un padre tiene 43 años y su hijo 11 años. ¿Dentro de cuánto tiempo la edad del padre será el triple de la edad de su hijo? Resolución: • Hay una diferencia (D) de edades: 43 – 11 = 32 años. •

cociente 3. •

En el futuro el triple de una de las edades es el

.

. CANTIDAD MENOR = S - # MAYOR . Ejemplos:

1. La suma de 2 números es 74, su cociente es 9 y su residuo es 4. Hallar el número mayor. Resolución:

Aplicando la relación respectiva: S . q +r Cantidad mayor = q +1 •

Luego hallando los años del padre e hijo en el

futuro:

Hijo =# menor =

S −R q +1

.

D 32 32 ⇒ = = 16 años q −1 3−1 2

Razonamiento Matemático

=

74 . 9 + 4

q +1

=

74 . 9 + 4 10

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

29 30

=

666 + 4 10

=

670 10

= 67

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

# menor =

540 − 30 510 = = 102 4 +1 5

. ∴ El divisor es 102. . Calcular 2 Cantidades conociendo la Diferencia (D) el cociente (q) y el Residuo (R) de una división inexacta 31 Se utilizan las siguientes relaciones:

. ∴ El número mayor es 67. .

. CANTIDAD MAYOR =

2. El cociente y el resto de una división inexacta son 4 y 30 respectivamente. Si se suman todos los términos el resultado es 574. calcular el divisor:

D . q −R q −1

. CANTIDAD MENOR =

D −R q −1

.

.

. CANTIDAD MENOR = # mayor – D .

Resolución:

• Sabemos que sumando todos los términos da 5784 y estos términos de la división inexacta son: D = dividendo q = cociente d = divisor R = residuo Es decir: D + d + q + R = 574 •

D+ D+ D+ D+

d d d d

= = = =

Podemos concluir que: 574 – q – R 574 – 4 – 30 574 – 34 540

Ejemplos: 1. Hallar 2 números cuya diferencia sea 180, su cociente sea 6 y su residuo 20. Resolución: Aplicando las relaciones

=

Aplicando la relación y sabiendo que el divisor es el

número menor. S −R # menor = q +1

Razonamiento Matemático

D . q − R 180 . 6 − 20 = q −1 5

1800 − 20 1060 = 5 5

= 212

⇒ D + d = 540 es la suma conocida •

# mayor =

•

# menor =

•

=

D − R 180 − 20 = q −1 5

160 = 32 5

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

⇒ # menor = 32

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Ejemplos:

. ∴ Los #s son: 212 y 32 . 2. Calcular las edades de dos personas sabiendo que entre éstas hay una diferencia de 40 años y que al dividirlas su cociente es 3 y 32 su residuo 10.

1. Hallar 2 números tales que su producto sea 500 y la suma de ambos 60. Resolución: Al

•

tener

los

datos

directos

aplicamos

relaciones respectivas:

Resolución: Como tenemos los datos del caso aplicamos las relaciones respectivas: • Edad mayor = # mayor •

⇒ # mayor =

D . q − R 40 . 3 − 10 120 − 10 110 = = = = 55 q −1 2 2 2

las 33

Cantidad mayor = # mayor

⇒ # mayor =

# mayor =

Edad menor = # menor D − R 40 − 10 30 = = = 15 ⇒ # menor = q −1 2 2

60 + 60 2 − 4( 500 ) 2 60 + 3600 − 2000 2

•

=

. ∴ Las edades son 55 y 15 años. .

•

60 + 1600 60 + 40 = = 50 2 2 Para el # menor

# menor = S – # mayor Calcular 2 Cantidades conociendo la Suma (S) y el Producto (P) Se utilizan las siguientes relaciones: . CANTIDAD MAYOR =

. CANTIDAD MENOR =

S + S 2 − 4P 2

.

S − S 2 − 4P 2

.

. ∴ Los números son 50 y 10 .

Calcular 2 Cantidades conociendo la Diferencia (D) y el Producto (P)

. CANTIDAD MENOR = S - # MAYOR .

Razonamiento Matemático

# menor = 60 – 50 = 10

Se utilizan las siguientes relaciones: . CANTIDAD MAYOR =

D 2 − 4P − D . 2

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

. CANTIDAD MENOR =

D 2 + 4P − D . 2

. CANTIDAD MENOR =

. CANTIDAD MENOR = # MAYOR – D .

P q

.

Ejemplos: 1. El producto de 2 números es 180 y su cociente 20; hallar la

Ejemplos: 34

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

1. Calcular la suma de 2 números tales que su diferencia sea 10 y su producto 375. •

Resolución: Teniendo los datos directos aplicamos relaciones35

•

Al

tener

los

datos

directos,

aplicamos

relaciones: # Mayor =

suma de estos números

las

P .q

# Mayor =

( 10 ) 2 + 4( 375) + 10

180 . 20 = 3600 = 60

=

2

# Mayor =

100 + 1500 + 10 2

# Mayor = 60

# Mayor =

1600 + 10 40 + 10 50 = = = 25 2 2 2

# Menor =

•

# menor = 3

Para el # menor:

# menor = 25 – 10 = 15

∴

Calcular 2 Cantidades conociendo el Producto (P) y el cociente (q) Se utilizan las siguientes relaciones:

Razonamiento Matemático

Si los números son 60 y 3, luego, la suma de ambos es 63.

. ∴ La suma de los 2 números 25 + 15 = 40 .

. CANTIDAD MAYOR = P . q

P 180 = = 9 =3 q 20

COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A.) DE UN NÚMERO El C.A. de un número natural es lo que le falta a este número para ser igual al número formado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras

.

tenga el número. Así por ejemplo

Razonamiento Matemático

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Segundo Año

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

⇒

Con el número 6 El C.A. de 6 es lo que le falta para convertirse en 10. Es decir C.A. 6:

= 544

10 – 6 = 4

. ∴ Luego el C.A. es 456 es 544 . 2. Hallar el C.A. de 95427

⇒ C.A. de 6 = 4 Con el número 84 El C.A. de 94 es lo que le falta para convertirse en 100. 36 Es decir C.A. 84:

37

⇒

100 – 84 = 16 ⇒ C.A. de 84 = 16

Con el número 385 El C.A. de 385 es lo que le falta para convertirse en 1000. Es decir C.A. 385:

En forma general podemos concluir que: Si N es un número de 3 cifras: Es decir N = abc , donde c es diferente de 0, entonces: El Complemento Aritmético será: . ∴ C.A.( abc ) = ( 9 − a ) ( 9 − b) ( 10 − c ) .

1000 – 385 = 615 ⇒ C.A. de 385 = 615

NOTA: SI EL NÚMERO

Con el número 2998 El C.A. de 2998 es lo que le falta para convertirse en 10000. Es decir C.A. 2998:

TERMINA EN VARIOS CEROS, LA REGLA PRÁCTICA SE APLICA

A PARTIR DEL NÚMERO DE ORDEN INFERIOR DIFERENTE DE

Ejemplos: 1. Hallar el C.A. de 4100

10000 – 2998 = 7002 ⇒ C.A. de 2998 = 7002

0.

⇒

REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL C.A. Para cualquier número natural a la cifra de las unidades se le resta 10 y a las demás cifras (centenas, millares, etc.) se les restará de 9. Ejemplos: 1. Hallar el C.A. de 456

Razonamiento Matemático

= 5900 . ∴ Luego el C.A. de 4100 = 5900 . 2. Hallar el C.A. de 251000

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

respectivamente ¿Cuál es el

⇒

jornal de c/u?

= 479000

Rpta.

. ∴ Luego el C.A. de 251000 = 749000 .

PROBLEMAS PARA LA CLASE 38 En un examen Pepe gana dos 1. puntos por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber

contestado

50

preguntas, obtiene 64 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió mal?

4. El chofer de un micro observa que en su recorrido han subido sólo adultos pagando S/. 22 c/u y cuando baja uno suben 3, llegando al paradero final con 56 adultos. ¿Con cuantos inició su recorrido?, si recaudó S/. 1760 en total Rpta.

Rpta.

2. Al

multiplicar

Rpta. 7. Si a un número entero se le agrega dos ceros a la derecha, dicho

por

36

un

número, este aumenta en 175 unidades ¿cuál es el número? Rpta.

3. Un gerente gana S/. 1 300 más

S/. 131 100 y S/. 106 400

Razonamiento Matemático

aumenta

en

Rpta.

10. Una casa se pintó por S/. 7500; pero si se hubiese 39 ganado S/. 2,5 menos por cada m2, el costo de la pintura habría sido S/. 5000 ¿Cuánto pagó por cada m2? Rpta.

8. En un salón de 40 alumnos, el profesor Oscar suma los años de nacimiento de todos, y luego sus

continuación resultados

edades; suma

y los

a dos

obteniéndose

78868. si la suma se hizo en 1972 ¿cuántos cumplieron ya este año? Rpta.

11. Para una sala de teatro se había proyectado cierto número de filas de 16 asientos cada fila pero al resultar los asientos muy juntos y las filas muy separadas se pensó distribuir nuevamente el mismo número de asistentes, aumentando 4 filas y disminuyendo 4 asientos en cada fila. Hallar el número de asistentes. Rpta.

Rpta. 9. En una fiesta a la que fueron

que otro por día, si al cabo de igual número de días recibieron

número

78 111 unidades. El número es:

suma 5. Quince personas tienen que pagar por partes iguales S/. 1500; como algunos de ellos son insolventes cada uno de los restantes tiene que poner S/. 50 más para cancelar la deuda ¿Cuántas personas no pagaron?

¿Cuántos días les tomaría empastar 560 libros, si cada uno trabaja en días alternados?

6. Marco empasta 112 libros en un día y Pepe la cuarta parte.

53 personas, en un momento determinado, 8 mujeres, no

12. Se ha enrollado un cable con un carrete de 1 de diámetro, dándole 100 vueltas. Si el

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

bailaban

y

15

hombres

tampoco.

¿Cuántas

mujeres

asistieron a la reunión?

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

mismo cable es enrollado en otro carrete dándole 50 vueltas, si diámetro es:

llenar las ánforas que falta por llenar de la primera es el triple de la que falta a la segunda? 3 7

Rpta. 3 h

Rpta.

Rpta. 13. Dos secretarias tienen que escribir 600 cartas cada una. 40 La primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 13 cartas por hora. Cuado la primera haya terminado su trabajo. ¿Cuántas cartas le faltarán escribir a la segunda?

PROBLEMAS PARA LA CASA

15. Se paga S/. 10 por cada 3 manzanas y se venden 5 por S/. 20. el número de manzanas que se debe vender para ganar S/. 100 es:

1. Lido compra libros a 3 por S/. 5 y los vende a 5 por S/. 10. si los 50 libros que le

Rpta.

quedan

representan

ganancia

¿Cuántos

su

14. La suma de dos números naturales es 1043, su cociente es 27 y el resto es el mayor posible. Hallar el dividendo. 2.

libros

A)

B)

C)

250 D)

300 E)

350

150

280

0

Un poste de 25 m de altura

5.

que extremo superior fue a ubicarse a 15 m de la base. ¿A

Dos ánforas de “Cedro” de igual tamaño se comienzan a llenar simultáneamente, el primero se llena en 6 horas y el segundo se llena en 4 horas. Suponiendo que cada ánfora se llena constantemente con una misma clase de moneda ¿Cuántas horas después de haberse comenzado a

Razonamiento Matemático

5

8

2

se rompe a cierta altura, tal

CALCULANDO EL TIEMPO

41 Pedro tenía S/. 120, compró 3 rosas menos porque cada rosa le costó S/. 2 más ¿Cuántas rosas compró?

compra?

Rpta.

Rpta.

4.

que altura ocurrió la ruptura? A

B

C

)

)

)

8 D

9 E

7

2 turistas están alojados en el mismo lugar, pero uno de ellos paga diariamente S/. 48 menos que el otro. Después de igual número de días pagan S/. 1476 y 2052 respectivamente. ¿Cuántos días transcurrieron?

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

1 0

3.

1

1 3

2

Si por S/. 20 dieron 6

2

manzanas más, cada docena

4

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

5

8

0

1

4

2 D

E

)

)

2

2

0

11.

1

costaría S/. 36 menos. ¿Cuánto cuesta

una

docena

de

6.

manzanas?

0

A

B

C

)

)

)

5

4

3

D

0

E

)

)

7

6

0

0

Entre 8 personas tienen que pagar en partes iguales S/. 200, como algunos de ellos un pueden hacerlo, c/u de los restantes tiene que pagar S/. 15 más. ¿cuántas personas no pagaron?

8.

agregan 3 ceros a la derecha, dicho número queda aumentado en 522 477 unidades. ¿Cuál es el número?

jugadores

10.

42 acuerdan que después de cada partida, el perdedor pague al otro S/. 600. Después de 30 juegos uno de ellos ha ganado

B

C

)

)

)

6

5

9

En una división de enteros, el divisor es 37 y el resto 12. ¿En cuanto disminuye el resto cuando se agregan 179 unidades al dividendo?

23

73

D

E

)

)

7

6

43

Escribe el número 10 con 5 números tres (3)

39

Rpta.

9.

33 3 + = 10 3 3

La suma de 2 números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división el más

S/. 7 200. ¿Cuántos juegos

grande posible. ¿Cuál es la

lleva perdiendo el otro?

diferencia de los números?

A

B

C

)

)

)

Razonamiento Matemático

A

38

0

7. 2

Si a un número entero se le

Entre 8 personas tienen que pagar en partes iguales S/. 200, como algunos de ellos un pueden hacerlo, c/u de los restantes tiene que pagar S/. 15 más. ¿cuántas personas no pagaron?

A

B

C

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

5 25

75

5 15

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

5 72

D

E

)

)

5

5 05

43

CLAVES PROFUNDIZA TUS CONOCIMIENTOS 1. B

6. A

2. A

7. E

3. E

8. B

4. D 5. D

Razonamiento Matemático

9. D 1 0. B

44

1. La suma de dos números excede en 16 a 64 y la diferencia excede 12 a la mitad de la suma ¿Cuáles son estos números? A) 6 6 y 14

Andrea le dice a su papá “de los 280 soles que me diste, gasté 116 soles más de lo que no gasté” ¿Cuánto no llego a gastar Andrea?

B) 7 4 y 66

C) 7 7 y 64

4.

E) 7

D) 6 4 y 77

2

1

9

8

La

diferencia

0

7 y 54

2. La suma de los 3 términos de una sustracción es 240. si el sustraendo es la

5.

de

2

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

tercera parte del minuendo. Hallar la diferencia. A ) 7 0

B ) 6 0

D ) 9 0

C ) 8

tengo más lo que debo da 3400

E ) 5

5

6

7

quedarían 1660 soles” ¿Cuánto debe Luis?

A ) + 17

B ) – 16

D ) +

6.

9

C

)

)

8

6

6

80

90

D

E

)

)

6

6

60

Si la diferencia de 2 números es 12360 y el duplo del mayor es 6000. ¿En cuanto excede el número 29821 al menor de los 2 números? A) 12

15 E ) –

181

0

50

811

E) 12

10.

responde: “Quedan del, día 6 horas

45

que

las

A

B

C

)

)

)

1

1

1

1h

4h

Carlos y Antonio tienen S/.

menos

transcurridas” ¿Qué hora es?

211

118

11.

Lidia por la hora y ésta le

218 D) 18

2

8. Rosa le pregunta a

B) 11

C) 12

19

Razonamiento Matemático

B

)

1

C ) +

7. Luis dice: “lo que

A

70

0 8

3587 y S/. 993 respectivamente, se ponen a jugar ajedrez a S/. 7 por partida y al final Carlos que ha ganado todas las partidas, tiene el cuádruple de lo que tiene Antonio. ¿Cuántas partidas de ajedrez se jugaron?

soles; si pagara lo que debo me

0

3. Si al minuendo de una sustracción le aumentamos 10 unidades y al sustraendo lo disminuimos en 8 unidades ¿En cuanto varía la diferencia?

18

números es 64 y la división del mayor entre el menor da cociente 3 y por residuo 18. ¿Cuál es el número mayor?

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

2h

3h

D

E

)

)

1

1 5h

12.

Luzmila tiene 1800 soles y Paula 300 soles. Cada una de ella ahorran 10 soles mensuales ¿Dentro de cuántos meses la cantidad que tiene Luzmila es el cuádruple de lo que tiene Paula?

7

8

0

1

9

Un comerciante divide la

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

9. A una reunión social

cantidad de dinero que tiene en un bolsillo entre 100 y resultando un número entero “n” si da “n” monedas de 10 soles a un mendigo, aun le quedan 2250 soles ¿Cuánto dinero tenía en el bolsillo?

a la que fueron 106 personas, en un momento determinado, 16 mujeres no bailaban y 24 hombres hombres

tampoco.

¿Cuántos

asistieron

a

la

reunión? A

B

C

)

)

)

5

5

5

5

6

7

D

E

)

)

5

5

8

2470

2480

9

84

87

D ) 2

B ) 2 85

E ) 2

C ) 2 86

88

14. Si N = abb y su

Razonamiento Matemático

C) S/. E) S/.

2460

2500

25

65

35

2

C.A. = ( a + 1) a ( a + 1) . Calcular la suma de las cifras de N. A ) 1 1

B) S/. D) S/.

4

D ) 1

B ) 1 2

E ) 1

C ) 1 3

5

CLAVES

15. Si N = bab y su: C.A. = c ( a + 3)( a + 2) Calcular N.

13.Hallar el número de 46 3 cifras que restado de su complemento aritmético (C.A.) nos da 428. A ) 2

2450

A) S/.

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

45

1. A

6. A

1 1. D

2. C

7. A

3. D

8. E

4. A

9. C

1 3. C

5. C

1 0.

1 4.

1 2. D

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

D

D

Usted hace lo siguiente: 2969 – 365 = 2604

1 5. B

Conclusión: Para saber la fecha que se busca hay que restarle 365 al número final

TEMA: EDADES

¿SABÍAS... COMO ADIVINAR EL DÍA Y EL MES DE NACIMIENTO?47 Propóngale a un(a) compañero(o) que escriba en una hoja de papel el día del mes en que nació y luego las operaciones siguientes: Que duplique el número escrito, que multiplique por 10 lo obtenido, que le sume 73 al producto, que multiplique por 5 la suma, y que al total le añada el número de orden del mes en que nació. Él(ella) le dice a usted, el resultado final de todas las operaciones y usted le dice la fecha en que nació ¿cómo puede usted hacer esto? Ejemplo: Si Roberto nació el 26 de abril, es decir, el día 26 del mes 04. él hace lo siguiente: 26 x 2 = 52 52 x 10 = 520 520 + 73 = 593 593 x 5 = 2965 2965 + 4 = 2969 Roberto le dice a usted el número 2969

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

48 PROBLEMAS SOBRE EDADES Problemas sobre edades es un caso particular de Planteo de Ecuaciones, pero debido a la diversidad de problemas y a la existencia de formas abreviadas de soluciones se les trata como un tema a aparte. En estos problemas intervienen personas, cuyas edades se relacionan a través del tiempo bajo una serie de condiciones que deben cumplirse. Estas relaciones se traducen en una o más ecuaciones según el problema. En el proceso de solución se asigna una variable a la edad que se desea hallar, luego, si hubieran otras edades desconocidas se tratará de representarlas en función de la variable ya asignada, en caso contrario con nuevas variables. La información que contiene el problema se debe organizar con ayuda de diagramas que faciliten el planteo de ecuaciones.

DIAGRAMAS LINEALES Se emplean cuando se trate de un solo personaje cuya edad a través del tiempo debe marcase sobre una línea que representará el transcurso del tiempo.

Razonamiento Matemático

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Segundo Año

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

2. Si se intenta retroceder en el tiempo se restarán los años deseados a la edad de referencia Ejemplo: Si Juana tiene actualmente 20 años, hace 8 años,

•

Juana tenía:

20 – 8 = 12 años

DIAGRAMAS CON FILAS Y COLUMNAS Se emplean cuando se trata de dos o más persona con edades 49 relacionadas en diferentes tiempos. En las filas (horizontales) se anota la información de cada personaje y en las columnas (verticales) se distribuyen los datos sobre el pasado, presente o futuro.

3. La diferencia de edades entre dos persona es una constante, en cualquier tiempo Ejemplo: Pas.

Pte.

Fur.

A

10

12

16

B

6

8

12

Dif.

4

4

4

50

Ejemplos:

PROPIEDADES 1. Para avanzar en el tiempo, se suman los años por transcurrir a la edad que se toma como punto de partida.

4. Cuando a un alumno le preguntan por su edad, respondió: “Si al triple de la edad que tendré dentro de tres años le restan el triple de la edad que tenía hace 3 años, resultará mi edad actual” ¿Cuántos años tiene? A) 27

B) 36

C) 18

D) 12

E) N.A.

Resolución:

Ejemplo: Si Roberto tiene actualmente 30 años, dentro d 10 años, Roberto tendrá: 30 + 10 = 40 años •

Razonamiento Matemático

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6. Hace 10 años tenía la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. ¿Dentro de cuantos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años?

Según los datos: 3(x + 3) – 3(x - 3) = x 3x + 9 – 3x + 9 = x 18 = x

A) 8 . Rpta. Tiene 18 años .

B) 10

C) 12

D) 14

E) N.A.

Resolución:

5. ¿Cuántos años tiene Jessica, sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 5 años mas la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 11? A) 30

B) 24

C) 20

D) 14

Resolución:

Según los datos se plantea: x − 5 + x + 6 = 11

x − 5 = 11 -

x +6

Elevando al cuadrado m.a.m. x- 5 = 121 – 22 x + 6 + x + 6 ⇒ x +6 =6 x = 30 . Rpta. Tiene 30 años .

Razonamiento Matemático

E) N.A. 51

Según los datos: 1 x – 10 = (x + 8) 52 2 2 (x – 10) = x + 8 2x – 20 = x + 8 ⇒ x = 28 (edad actual) Hace 8 años tuvo: 28 – 8 = 20 años. El doble de esta edad: 40 años Esta edad la tendrá dentro de: 40 – 28 = 12 años . Rpta. Dentro de 12 años .

USANDO EL INGENIO Mi abuelita me contó que un famoso comediante español Don Francisco de Quevedo y Villegas (1580 – 1645) apostó a unos amigos, que él diría en su cara a la reina de España, Doña Isabel de Borbón, que era coja. Imagínate que audacia... ¿Cómo decirle a la reina que es coja? ¿Qué hubieras hecho tu?... PIENSA

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

Cuando pasaba la reina por el jardín, Don Francisco se acercó con un clavel y una rosa en la mano, se inclinó como correspondía y le dijo a su majestad: “ENTRE EL CLAVEL Y LA ROSA SU MAJESTAD ESCOJA” Ya te diste cuenta... el truco está en la palabra ”ESCOJA”, si la pronuncias despacio te darás cuenta que convierte en dos palabras: “ES COJA”, o sea que Don Francisco ganó la apuesta, porque logró decirle a la reina que era coja:

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

tenía

6

años

¿Dentro

de

cuantos años la edad de Pepe será el triple de su edad actual? Rpta.

4. Dentro de 10 años

“ENTRE EL CLAVEL Y LA ROSA SU MAJESTAD ES COJA”

la edad de Rosario será 38. ¿Hace cuantos años tenía 20?

PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. El

señor

Pérez

tendrá “a” años a partir de la fecha ¿Cuantos años tuvo hace 6 años?

53 5. Cuando Felipe tenía 8 años, Ricardo tenía 5. ¿Cuál será la edad de Ricardo cuando Felipe tenga 17 años? Rpta.

Rpta.

Rpta. 9. En el momento que 54 Felipe tenga 31 años, Andrés tendrá 22 años. ¿Cuál es la edad actual de Andrés, si Felipe hace 2 años tenía 11 años de edad? Rpta.

años tendrá dentro de 8 años?

6. Cuando César tenga 19 años, Andrea tendrá 14 años. ¿Cuál será la edad de César cuando Andrea 22 años?

Rpta.

Rpta.

2. Jaime

tendrá

8

años hace 5 años ¿Cuántos

3. Hace 6 años Pepe

Razonamiento Matemático

7. Dentro de 7 años

10.La diferencia de las edades de Carmen y Amelia es 3 años actualmente ¿Cuál será la diferencia de sus edades dentro de 17 años? Rpta.

Jorge tendrá 27 años ¿Cuál era su edad hace 7 años? Rpta.

8. Cuando Silvia tenga 22 años, Maritza tendrá 29. ¿Cuál es la edad actual de Silvia si Maritza tiene ahora 20 años? Rpta.

13.En el problema anterior, ¿Cuál es la edad del menor dentro de 8 años? Rpta.

14.Rosario es mayor que Carolina por 4 años; si la suma de sus edades actuales es 52 años: ¿Cuál es la edad de Rosario? Rpta.

15.En el problema anterior, ¿Cuál será la suma

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

de las edades dentro de 6 años?

11.Pepe es mayor que Coco por 5 años, ¿En cuantos años será menor Coco que Pepe dentro de 25 años?

2 8

3 0

5. Un auto tiene ahora la mitad de años que tenía Luis cuando el auto era nuevo. Luis tiene ahora 36 años. ¿Cuántos años tiene el auto?

Rpta. 2. En

el

problema

anterior: ¿Cuál era la suma de

Rpta.

las edades hace 20 años?

CONTRADICCIÓN

12.La suma de las edades actuales de Esteban y Manuel es 26 años. Si la diferencia de las mismas es 2 años. ¿Cuál es la edad del mayor?

¿Por qué la palabra “SEPARADO” se escribe todo junto, y las palabras “TODO JUNTO” se escribe separado?

0

Rpta.

PROBLEMAS PARA LA CASA 1. La edad de Víctor hace 15 años la edad de Víctor era el triple de la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de Pedro?

A

B

C

)

)

)

7

5

4

D

0

E

)

)

5

6

4

4. En 1980 la edad de Jorge era 4 veces la edad 55 de Ricardo; en 1988 la edad de Jorge fue el doble de la edad de Ricardo. ¿Cuál fue la edad de Jorge en el 2003?

es el doble de la de Pedro y

5

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

6

8

B

C

)

)

)

2

4

4

D

0

)

Razonamiento Matemático

E )

0

8

5 9

6

8

6

4

0 6. Hace 6 años Gerardo era 4 veces mayor que David. Hallar la edad actual de Gerardo sabiendo que dentro de 4 años, la edad de éste sólo será 2 veces mayor que David

3. La edad de Gladis es 1/2 de los 2/3 de la edad de Norma. Si esta tiene 24 años ¿cuántos años tendrá Gladis dentro de 4 años?

A

2

A

B

C

)

)

)

8

1

1

D

2

E

2

6

0

0

Razonamiento Matemático

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

1

6

62

4 0 7. El tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la 56 tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene: ¿Cuántos años tiene ella? A ) 5 2

D ) 5

4

B ) 3 6

E ) 5

C ) 4 0

10.Un padre tiene “a” años y su hijo “b” años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el doble de la edad de su hijo?

8. La edad en años de una tortuga es mayor en 20 años que el cuadrado de un número natural “m” y menor en 5 que el cuadrado del número siguiente a “m”. ¿Cuántos años tendrá la tortuga el próximo año?

Razonamiento Matemático

B ) 1

63

9. Dentro de 3 años le dad de Javier será un cuadrado perfecto, pero hace tres años era la raíz de ese cuadrado ¿Qué edad tenía Javier el año antepasado?

0

A ) 1

6

2b

A) a –

2b

C) a + C ) 1

b

E) 2a

-b

Segundo Año

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO

60 D ) 1

65

64

+b

E ) 1

¿SABÍAS ESTO? TEOREMA: Todos los números enteros son iguales. DEMOSTRACIÓN: Es suficiente demostrar que para todo A y B, A=B, es decir, que para todo N, si max(A,B)