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• Oscar Zapata Marquez

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SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

Un aspecto importante en las Ciencias (Matemáticas, Físicas, Ingenierías, etc) es el de intentar sintetizar un problema cotidiano a un modelo matemático haciendo uso de ecuaciones, la cual ayudaría a resolver, interpretar y predecir resultados relacionados con el problema. Este capítulo nos ayudará traducir problemas cotidianos simples a un lenguaje matemático, utilizando para ello ecuaciones y a partir de ellas resolverlas. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

LENGUAJE MATEMÁTICO

TRADUCCIÓN

Una ecuación es la igualdad de dos expresiones algebraicas, en las que intervienen cantidades constantes y cantidades variables llamadas incognitas. Ejms.:

{

5x - 4 x - 3y + 4 = 0 2 2 3 x - 3x + 4 = 5x + 8x ; - 7= 0; 5x + 7y - 10 = 0 2x - 1 Un problema muy remoto que solían plantear nuestros antecesores, decía: PROBLEMA

“Una viuda estaba obligada a repartirse con el hijo que debía nacer una herencia de 3500 monedas que le dejó su marido. Si nacía una niña, de acuerdo con las leyes romanas, debería recibir el doble de la hija. Si nacía un niño. La madre la mitad de la parte del hijo. Pero..., ¡nacieron mellizos: un niño y una niña!”. ¿Cómo repartió dicha herencia la viuda? SOLUCIÓN: Observemos el siguiente esquema: ma má

niña +

niño +

Re cibe el doble de la niña

= 3 500

Re cibe el doble de la mamá

Entonces dividiendo 3500 entre 7 partes nos resulta a S/. 500 cada parte. El reparto debe efectuarse del siguiente modo: Recibe Niña: S/. 500 Mamá: S/. 1000 Niño: S/. 2000

ENUNCIADO (Forma verbal)  3

EXPRESIÓN MATEMÁTICA (Forma simbólica)

La suma de dos números consecutivos más

(x) + (x + 1) + 3 (x)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m



El producto de 5 números consecutivos es m

Otra forma de plantear: (a – 2)(a – 1)(a)(a + 1)(a + 2) = m

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R.MATEMÁTICO



Tres menos de dos veces un número x

2x – 3



Tres menos dos veces un número x

3 – 2x

    

A excede a B en 4 A es mayor que B en 4 El exceso de A sobre B es 4 B es excedido por A en 4 La diferencia entre A y B es 4



Yo tengo S/. 20 más que tú

     

Yo tengo S/. 40 menos que tú Tú tienes S/. 40 más que yo A es el doble de B A es dos veces B B es la mitad A A tiene una vez más de lo que posee B

A: B:

x+ 4 x A= B+ 4

Yo : x+20 Tú : x Yo: x – 40 Tú: x A: B:

2x x A = 2B

La frase “una vez más“ equivale a: el doble.  A tiene el triple de lo que tiene B  A tiene dos veces más de lo que tiene B  A es dos veces mayor que B En resumen: Una vez más

el doble Dos veces más el triple

 Tú tienes el doble de mi dinero que es S/. 30 más que el dinero de él.  Si tú me das S/. 20, entonces tendremos igual cantidad de dinero “la diferencia entre ambos es el doble de 20”  El cuádruplo de lo que tengo, aumentado en 20.  El cuádruplo, de lo que tengo aumentado en 20. 

La suma de los cuadrados de dos números

 El cuadrado de la suma de dos números    

A es a B como 3 es a 5 La relación entre A y B es 3/5 A y B están en la razón de 3 a 5 A es a 3 como B es a 5

A: B:

A = 3B

Tres veces más el cuádruplo Cuatro veces más el quíntuplo Yo: x Tú: 2x Él: x – 30 Yo (A): a Tú (B): a + 40 B - A = 40 Sea “y” lo que tengo: 4y + 20 Sea “y” lo que tengo: 4(y + 20) Sean “x” e “y” los números: x2 + y2 Sean “x” e “y” los números: y)2 A: B:

 Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules.

3x x

Nº fichas rojas: Nº fichas Azules:

3k 5k

(x +

A 3 = B 5

3k 5k

Nº fichas rojas 3 = Nº fichas azules 4

Pro c e dimie nto para plante ar una e c uac ió n :

1.- Leer bien el enunciado del problema. 3.- Fijar la incógnita mediante una variable. 5.- Resolver la ecuación.

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2.- Separar los datos. 4.- Fijar un plan de solución.

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BLOQUE I 1. Yuliani fue al mercado con S/. 850. Si gastó el cuádruple de lo que no gastó.¿Cuanto gastó? a) S/. 340 b) S/. 680 c) S/. 740 d) S/. 540 e) S/. 480 2. Be tty tiene el triple que Ana, y Carmen S/. 4 más que Betty. Si entre las tres tienen S/. 620, ¿cuánto tiene Carmen? a) S/. 264 b) S/. 268 c) S/. 240 d) S/. 320 e) S/. 480 3. En la feria de Huancaro, Jaimito observó que por cada 3 chanchos había 4 pavos. Si en total contó 220 patas. ¿Cuántas alas había en la feria? a) 33 b) 40 c) 44 d) 88 e) 80 4. En una caja registradora hay S/. 2400, en billetes de S/. 10 y de S/. 100. Si hay doble número de billertes de los primeros que los segundos. ¿Cuántos billetes de S/. 10 hay? a) 20 b) 60 c) 30 d) 10 e) 40 5. A un alambre de 130 cm. de longitud se le da tres cortes, cada pedazo mide 5 cm. más que el anterior. Uno de los pedazos mide: a) 20 cm b) 38 cm c) 10 cm d) 24 cm e) 35 cm 6. En una fiesta hay tantos hombres como mujeres. Si se retiran 5 hombres y 10 mujeres, el número de mujeres seríán los 2/3 de los hombres. ¿Cuántos hombres quedan? a) 10 b) 18 c) 15 d) 20 e) 12 7. Un recipiente lleno de leche vale S/. 70. Si se sacan 80 litros vale S/. 14, ¿cuál es la capacidad del recipiente? a) 150 L b) 180 L c) 96 L d) 100 L e) 200 8. Ángel y Beto empiezan a jugar con S/. 80 cada uno. Si Beto tiene ahora el triple de lo que tiene Ángel, ¿Cuántos soles ha perdido Ángel? a) 60 b) 24 c) 10 d) 40 c) 16 9. Si subo una escalera de 5 en 5 doy cuatro pasos más que subiendo de 6 en 6. ¿Cuántos pasos daría al bajar la escalera de 4 en 4 escalones? a) 24 b) 30 c) 20 d) 25 e) 40 10. Tenía S/. 480 y gasté la tercera parte de los 3/5 de lo que no gasté. ¿Cuánto no gasté? a) 400 b) 80 c) 320 d) 160 e) 200 11. Una alumna decía: “De los S/. 60 que tenía, si no hubiera comprado un regalo para mi profesor, que me costó S/. 16, tan solo hubiera gastado los 2/3 de lo que no hubiera gastado”. ¿Cuánto gastó la alumna? a) 20 b) 40 c) 32 d) 24 e) 26 12. Con una misma suma de dinero se puede comprar 24 mesas y 36 sillas o 36 mesas y 12 sillas. ¿Cuántas mesas se podrá adquirir con dicha suma de dinero? a) 40 b) 24 c) 42 d) 20 e) 22

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R.MATEMÁTICO

13. ¿Qué fecha será en un año bisiesto cuando la séptima parte del número de días transcurridos sea igual a la quinta parte de los días que falta transcurrir, disminuido en 6? a) 11 de julio b) 13 de julio c) 15 de julio d) 12 de julio e) 14 de julio 14. Mónica tiene sólo billetes de S/. 10 y Sharli solo de S/. 5 y entre ambos tienen S/. 420. Si Mónica le regalaría 4 billetes a Sharli, entonces ambos tendrían la misma cantidad. ¿Cuánto dinero tiene Mónica? a) S/. 290 b) S/. 160 c) S/. 220 d) S/. 250 e) S/. 120 15. Al jugar naipes con un amigo, me doy cuenta al final, de que él tiene el triple de dinero de lo que yo tenía cuando él tenía el doble de lo que tengo. Si juntamos lo que él tenía y lo que yo tengo, obtendríamos S/. 120. ¿Cuánto tenemos entre ambos? a) S/. 120 b) S/. 160 c) S/. 80 d) S/. 250 e) S/. 100 16. En una familia, el hermano mayor dice: “Mis hermanos son el doble de mis hermanas” y la hermana mayor dice:”Tengo 5 hermanos más que hermanas”. ¿Cuántos hijos (varones) hay en dicha familia? a) 9 b) 7 c) 3 d) 10 e) 8 17. En una fiesta hay tantos varones bailando como mujeres sin bailar y ningún varón sin bailar; una vez que se retiran 70 mujeres y 20 varones y todos salen a bailar, nadie se quedaría sin bailar. ¿Cuántas personas había inicialmente? a) 190 b) 110 c) 160 d) 100 e) 150 18. Entre todos los profesores de un colegio se desea comprar un retro proyector, cuyo costo es de 280 dólares; pero como se incorporan dos profesores a la plana, entonces ahora cada uno debe dar 7 dólares menos. ¿Qué cantidad de profesores hay en dicha plana? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 19. Por el trabajo de un año, a un obrero le prometen pagar S/. 800, un televisor y un equipo de sonido. Pero es despedido a los 10 meses de trabajo, recibiendo un pago de S/. 600 más los dos artefactos. De haber sido despedido a los 8 meses, habría recibido solo S/. 580 y el equipo de sonido. ¿Cuántos soles cuesta el televisor? a) 250 b) 100 c) 120 d) 180 e) 150 20. Cuando compro me regalan un cuaderno por cada docena y cuando vendo regalo 4 cuadernos por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 1000? a) 360 b) 720 c) 320 d) 960 e) 340 BLOQUE II 1. Si Juan recibe S/. 5 tendría el doble que si hubiera gastado S/. 5. ¿Cuánto tiene Juan? a) S/. 18 b) S/. 15 c) S/. 9 d) S/. 10 e) S/. 5 2. Se pesan a un perro, un pavo y una gallina. El perro pesa 3 kg. más que el pavo y la gallina pesa 3 1/2 kg. menos que el pavo, si los tres juntos pesan 13 kg., ¿Cuánto pesa la gallina? a) 1/2 kg. b) 1 kg. c) 1/3 kg. d) 1 1/2 kg. e) 2 kg. 3. Dos personas tienen 200 y 250 dólares. Si hacen el mismo gasto, la relación de los saldos es de 5 a 3; indicar cuánto de saldo tienen entre los dos. a) $ 300 b) $ 200 c) $ 180 d) $ 210 e) $ 320

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4. La cantidad de libros de dos personas son tales que una excede a la otra en 15 libros, además el doble de la tercera parte de la cantidad menor es igual a la mitad de la segunda. ¿Cuántos libros deberá prestar el que tiene más al otro de tal forma que la diferencia sea mínima? a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 8 5. Entre Efraín y Fanny tienen S/. 1600, si Fanny le regalaría a Efraín S/. 45, ambos tendrían la misma cantidad. La mayor cantidad que tiene uno de ellos es: a) 960 b) 780 c) 845 d) 835 e) 815 6. La suma de dos números es 74 y su diferencia dividida entre el menor da 3 de cociente y 4 de residuo. Hallar el producto de los números. a) 840 b) 810 c) 920 d) 960 e) 980 7. Entre 8 personas tienen que pagar en partes iguales la suma de S/. 20000, como algunos de ellos no pueden hacerlo cada uno de los restantes tienen que pagar S/. 1500 más, ¿Cuántas personas no pagaron? a) 3 b) 5 c) 4 d) 6 e) 2 8. María Fernanda fue de compras al mercado de flores llevando S/. 120, pero compró 3 rosas menos porque cada rosa le costó S/. 2 más. ¿Cuántas rosas compró? a) 10 b) 18 c) 12 d) 11 e) 9 9. Dos empleados trabajan juntos, el primero gana diario S/. 10 más que el segundo, si después de laborar el mismo número de días; el primero recibió S/. 270 y el segundo S/. 180. ¿Cuánto gana diariamente el segundo? a) S/. 10 b) S/. 20 c) S/. 30 d) S/. 25 e) S/. 40 10. Don Antonio desea repartir su herencia a sus tres hijas, recibiendo una el doble que la anterior hija más S/. 500 empezando así la repartición por la menor. Si por equivocación les repartió en el orden inverso, recibiendo así la última S/. 2400 menos. ¿Cuánto debió recibir la hija mayor? a) S/. 1100 b) S/. 1200 c) S/. 300 d) S/. 2500 e) S/. 2700 11. Al comprar 10 cuadernos me regalan 2 y al vender 15 regalo 1. ¿Cuántos debo comprar para ganar 24 cuadernos? a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 190 12. Un comerciante compra pavos a 4 por S/. 45 y luego los vende a 3 por S/. 50. Si ha obtenido una ganancia de S/. 650, ¿cuántos pavos vendió? a) 120 b) 150 c) 860 d) 100 e) 980 13. El profesor Alexander puede colocar exactamente 80 libros de R.M. o 120 libros de R.V., si puede colocar igual cantidad de libros de ambos tipos, ¿cuántos colocaría en total el maestro? a) 42 b) 58 c) 52 d) 46 e) 48 14. Cinco amigos van a almorzar, todos comen por igual excepto dos de ellos que pidieron postre y por esa razón sus cuentas salieron S/. 2,50 más que los otros. Si entre los cinco gastaron S/. 45. ¿Cuánto pagaron los que pidieron postre? a) S/. 8,50 b) S/. 11 c) S/. 12,50 d) S/. 10,50 e) S/. 7,50 15. ¿Que fecha será en un año no bisiesto cuando el triple de un número de días transcurridos, sea excedido en 130 por el cuádruple del número de días que faltan transcurrir? a) 9 de julio b) 8 de julio c) 10 de julio d) 12 de julio e) 11 de julio

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R.MATEMÁTICO 16. En una reunión se encuentran tantos caballeros como 3 veces el número de damas; después se retiran 8 parejas. El número de caballeros que aún quedan es igual a 5 veces el de damas. ¿Cuántos caballeros había inicialmente? a) 48 b) 36 c) 24 d) 12 e) 20 17. Un comerciante vende café de dos variedades, si vende 5 kg de la primera variedad y 3 kg de la segunda variedad, el kilo de la mezcla vende a S/. 10, si vende 3 kg de la primera variedad y 2 kg de la segunda variedad, el kilo de la mezcla vende a S/. 12. Hallar el precio de venta del kilo de café de la primera variedad. a) S/. 16 b) S/. 18 c) S/. 20 d) S/. 12 e) S/. 10 18. Al preguntarle a Jaimito cuanto había gastado de los S/. 40 que le dio su madre, él respondió.”Si no hubiera comprado un regalo para mi madre que me costó S/. 10, tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado.” ¿Cuánto gastó Jaimito? a) S/. 15 b) S/. 20 c) S/. 25 d) S/. 30 e) S/. 35 19. Una sala tiene 3 metros más de largo que de ancho. Si el largo fuese 3 metros más de lo que es y el ancho fuese 2 metros menos, la superficie del piso sería la misma. Halle el área de dicha superficie. a) 150 m2 b) 180 m2 c) 160 m2 2 2 d) 170 m e) 120 m 20. De dos velas de igual calidad y del mismo diámetro, una tiene 24 cm. de longitud más que la otra. Se prenden ambas y se observa que 30 minutos antes de terminarse la menor, la longitud de la vela mayor es 4 veces la de la menor. ¿Cuál fue la longitud inicial de la vela mayor, si la menor duró 150 minutos en total? a) 64 cm b) 58 cm c) 52 cm d) 48 cm e) 62 cm 21. En una fiesta, la relación de mujeres y hombres es de 3 a 4. En un momento dado se retiran 6 damas y llegan 3 hombres con lo que la relación es ahora de 3 a 5. Indique cuántas mujeres deben llegar para que la relación sea de 1 a 1. a) 18 b) 22 c) 24 d) 16 e) 20 22. Un caballo y una mula caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos, lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que la mula le dijo: “De qué te quejas, si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble de la que te queda. En cambio, si te doy un saco tu carga se igualaráa la que me queda.” ¿Cuántos sacos llevaban entre los dos? a) 9 b) 13 c) 12 d) 16 e) 19

1. Hallar dos números consecutivos de tal manera que la suma del duplo del menor y el triple del mayor sea 103. a) 20 y 21 b) 21 y 22 c) 19 y 20 d) 18 y 19 e) 22 y 23 2. La suma de tres números enteros consecutivos es “n”. ¿Cuál de estos números representa al mayor? n n 3 a)  1 b)  1 c)  1 3 3 n 3 d)  1 e) F.D. n 3. La diferencia entre el cuadrado del mayor y el cuadrado del menor de dos números consecutivos es igual a 5. Los números son: a) 5 y 6 b) 4 y 5 c) 2 y 3 d) 3 y 4 e) 1 y 2

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4. Hallar el menor de tres números impares consecutivos tales que la suma de los dos últimos sea 29, más que el primero. a) 25 b) 27 c) 23 d) 19 e) 21 5. Hallar tres números naturales consecutivos tales que dos veces el menor sea 53 menos que tres veces el mayor. a) 37, 38, 39 b) 27, 28, 29 c) 17, 18, 19 d) 47, 48, 49 e) 57, 58, 59 6. La suma de tres números pares consecutivos es 366. Hallar los números. a) 110, 112, 114 b) 100, 102, 104 c) 120, 122, 124 d) 130, 132, 134 e) 140, 125, 142 7. La suma de tres números impares consecutivos es 237. Hallar los números. a) 71, 73, 95 b) 73, 75, 77 c) 35, 37, 39 d) 77, 79, 81 e) 79, 81, 83 8. Hallar tres números consecutivos de modo que el mayor entre el menor sea igual a los 3/10 del intermedio. a) 4, 5, 6 b) 5, 6, 7 c) 6, 7, 8 d) 7, 8, 9 e) 8, 9 ,10 9. Sean dos números consecutivos tales que la cuarta parte del mayor exceda en 5 a la sexta parte del menor. El número menor disminuido en uno es: a) 35 b) 48 c) 56 d) 59 e) 49 10. A un cierto número par se le suma los dos números pares que le preceden y los dos números impares que le siguen obteniéndose en total 108 unidades. El producto de los dígitos del número par es: a) 2 b) 10 c) 4 d) 6 e) 8 11. a) 30 d) 60

La suma de 6 números pares consecutivos es 150, encontrar el número mayor. b) 40 e) 70

c) 50

12. A cierto número par se le suma los dos números pares que le preceden y los dos números impares que le siguen, obteniéndose en total 968 unidades. El producto de los dígitos del número par de referencia es: a) 42 b) 38 c) 36 d) 32 e) 34 13. Hallar el mayor de 3 números consecutivos tales que el cuadrado del número medio sea mayor en una unidad que el producto de los dos restantes. a) Infinito b) 35 c) 36 d) 85 e) 60 14. Hallar el menor de 2 números enteros consecutivos tales que la quinta parte del mayor exceda a la séptima parte del menor en 3. a) 45 b) 47 c) 49 d) 51 e) 53 15. La diferencia de dos números más 60 unidades es igual al cuádruple del menor, menos 50 unidades. Hallar los dos números, siendo la suma de ellos 70. a) 20 y 50 b) 40 y 30 c) 10 y 60 d) 65 y 5 e) 35 y 35 16. Si al cuadrado de la cantidad que tengo, le disminuyo el doble de la misma que quedaría S/. 120. ¿Cuánto tengo? a) S/. 8 b) S/. 9 c) S/. 10 d) S/. 11 e) 12

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R.MATEMÁTICO 17. El exceso de 6 veces un número sobre 50 equivale al exceso de 50 sobre 4 veces el número. El número es: a) 8 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18 18. La suma de dos números es 3966, al dividir el primero entre el segundo el cociente es 6 y el residuo 207. La diferencia de estos números es: a) 2490 b) 2892 c) 2846 d) 2932 e) 2967 19. Entre dos personas tienen S/. 1600, si una de ellas diera S/. 45 a la otra, ambas tendrían la misma cantidad. La cantidad mayor entre ellas es: a) S/. 960 b) S/. 845 c) S/. 835 d) S/. 815 e) S/. 780 20. a) 4 d) 16

La suma, el producto y la diferencia de dos números son entre sí como 5, 12 y 1. Hallar el menor. b) 2 c) 8 e) 12

21. Al comprar 11 lapiceros y 9 libros gasté S/. 51. Si hubiera comprado 9 lapiceros y 11 libros habría gastado S/. 49. ¿Cuál es el costo de 3 lapiceros y de 2 libros?. a) S/. 13 b) S/. 10 c) S/. 15 d) S/. 17 e) S/. 19 22. Tenía S/. 480 y gasté los 3/5 de lo que no gasté. ¿Cuánto no gasté? a) S/. 280 b) S/. 310 c) S/. 300 d) S/. 360 e) S/. 350 23. Se llaman números “plutonianos” a aquellos que consecutivamente se van diferenciando en “x” unidades. Jaime toma 5 “plutonianos” consecutivos, el menor de los cuales vale “a + b” y al sumarlos se obtiene 8 veces el valor del que le sigue al primero. ¿Cuánto vale “x”? a) 2(a+b) /3 b) 3(a+b) /2 c) 3(a+b)+2 d) 2(b–a)/3 e) absurdo 24. Juan tiene cuádruple cantidad de soles que Luis, si Juan le diera 45 soles a Luis ambos tendrían la misma cantidad en total. ¿Cuánto tenían ambos al principio? a) S/. 150 b) S/. 120 c) S/. 100 d) S/. 80 e) S/. 230 25. En una reunión familiar hay 50 varones y 30 mujeres, ¿Cuántos varones más deben de llegar cada uno acompañado de 3 chicas, para que el número de mujeres sea el doble de los varones? a) 50 b) 60 c) 40 d) 70 e) 85 26. En una fiesta, el número de chicos excede en 10 al número de chicas. ¿Cuántos chicos más deben de llegar cada uno acompañado por dos chicas, para que el número de varones y mujeres se igualen? a) 20 b) 15 c) 10 d) 30 e) 25 27. En un corral entre gallinas y conejos se cuentan 92 patas y 31 cabezas. ¿Cuál es la diferencia entre el número de gallinas y conejos? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 28. En una haciendo hay ovejas y patos, el número de ojos es 24 menos que el número de patas. Hallar el número de ovejas. a) 6 b) 10 c) 12 d) 16 e) 14 29. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 soles. Cada sombrero costó 2 soles y cada traje 50 soles. ¿Cuántos sombreros compré? a) 13 b) 26 c) 24 d) 36 e) 27

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Este método nos permite resolver un problema en forma directa, para lo cual se realizan operaciones inversas en cada caso, empezando desde el final hacia el inicio. Esta clase de ejercicios se reconocen trabajando con operaciones sucesivas (se trabaja siempre con el nuevo resultado), y si se trata de fracciones, se trabaja con la cantidad con la fracción que es “el complemento de la unidad”. P RO B LEMA

Multiplicando un número por 5, al producto le restamos 2, al resultado le dividimos entre 4 con lo cual obtenemos 12 ¿Cuál era el número inicial?

SOLUCIÓN: Primero ordenamos todo el enunciado: Incógnita

2

5

4 Dato

Número Inicial

12

Luego cambiamos con su operación opuesta a cada operación y enseguida operamos por la parte final: Incógnita

2

5

Dato

10

50

÷5 Entonces el número inicial  10

4 12

48

+2

×4

Rpta.

Problema 11 A un número se le multiplica por 2, al resultado se le suma 10, enseguida dividimos entre 5 y, finalmente, se le resta 6 para obtener como resultado 20. Hallar el número original. a) 50 b) 70 c) 60 d) 40 e) 30

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10

R.MATEMÁTICO Problema 2 Elías dispone su sueldo de la siguiente manera: la tercera parte en la academia; los 4/7 del resto en el vestido de su hija Trudy y los 2/5 del nuevo resto en el pago de su vivienda, si aún le queda S/. 90. ¿Cuál es el sueldo de Elías? a) S/. 450 b) S/. 500 c) S/. 625 d) S/. 525 e) S/. 600 Problema 3 Un grifo vende combustible de 92 octanos, cada día vende los 2/3 partes más 150 galones de su stock. Si al cabo de 3 días vendió todo el combustible. ¿Cuántos galones tenía inicialmente? a) 6 850 b) 5 850 c) 4 850 d) 7 850 e) 5 580 Problema 4 Mario cada día gasta la mitad de lo que tiene más S/.20 . Si gastó todo en 4 días, su promedio de gasto por día fue: a) S/.150 b) S/.180 c) S/.200 d) S/.250 e) S/.300

1. Antonio quería conocer la edad de su profesor, y este le respondió diciendo: “Si a mi edad le multiplicas por 2, al resultado lo divides por 18, luego lo elevas al cubo, finalmente, le sumas 13, obtendras como resultado 21 años.” ¿Hace cuántos años nació el profesor? a) 14 b) 16 c) 18 d) 20 e) 12 2. Un recipiente de agua está lleno, al abrirse el caño, cada hora se desagüa la tercera parte de su contenido más 12 litros, hallar la capacidad del recipiente, si al cabo de 3 horas quedó 12 litros. a) 192 L b) 168 L c) 160 L d) 130 L e) 126 L 3. Mijael entra a una iglesia donde le pide a San Judas Tadeo que le haga el milagro de duplicar el dinero que lleve. San Judas Tadeo le contesta que le va a realizar 4 milagros, pero con una condición, que por cada milagro qué le haga ha de devolver 20 nuevos soles, Mijael acepto la propuesta. ¿Con qué cantidad ingresó inicialmente si salió con 100 nuevos soles? a) S/. 40 b) S/. 30 c) S/. 25 d) S/. 20 e) S/. 15 4. Un estudiante escribe cada día, la mitad de hojas en blanco más 35 hojas, si al cabo de tres días gastó todas las hojas .¿Cuántas hojas tenía el cuaderno ? a) 510 b) 500 c) 490 d) 480 e) 540 5. Antonio compró cierta cantidad de naranjas, a su hermano Henry le vende la mitad de lo que compró más 5 naranjas, a su otro hermano Andrés le vende la mitad de lo que le queda más 3 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró Antonio si aún le quedan 18 naranjas? a) 80 b) 84 c) 94 d) 82 e) 96

11

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

6. Patty fue de compras a una feria, primero gasto 1/4 de su dinero en ropa, luego con los 2/3 del resto compró un reloj, más tarde compró un helado de S/.10, finalmente con los 3/7 del último resto compró un regalo para su esposo. Quedándose únicamente con S/.16 para el cine. ¿De cuántos soles disponía Patty? a) S/. 140 b) S/. 130 c) S/. 150 d) S/. 120 e) S/. 152 7. Efraín compró cierta cantidad de caramelos; 1/3 de ellos regaló a su hermanito menor, los 2/5 del resto a su primo Carlos y 1/4 del último resto a su prima Lelia, quedándose únicamente con 9 caramelos. ¿Cuántos caramelos regaló Efraín? a) 30 b) 25 c) 18 d) 24 e) 21 8. Un almacenero de la empresa Kamisea despacha el primer día la tercera parte de la mercadería más 10 cajas, el segundo día despacha los 2/5 de la mercadería que le quedaba más 10 cajas y por último el tercer día despacha la cuarta parte más 10 cajas. ¿Cuántas cajas despachó en total si al final solo le quedaron 5 cajas? a) 90 b) 85 c) 80 d) 75 e) 70 9. Un árbol de pino crece cierta altura el primer año, 4 metros el segundo año, el tercer año triplicó la altura que alcanzó el segundo año, el cuarto año crece hasta duplicar la altura que tenía al final del tercer año y 5 metros más, alcanzando así al final 41 metros de altura. Calcular la longitud que creció el primer año. a) 4 m b) 5 m c) 2 m d) 3 m e) 1 m 10. Tres jugadores Alex, Lucho y Walter convienen en que el que pierde la partida triplicará el dinero de los otros dos. Pierden cada uno en orden alfabético y cada uno se queda con 36, 57 y 55 soles respectivamente. Dar como respuesta la suma de las cifras de la cantidad con que empezó Walter. a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 1

El método del rombo es una regla práctica del método de FALSA SUPOSICIÓN, se caracteriza por presentar 2 incógnitas y 4 datos. M

()

(× )

N

()

R

m

Nº de elementos de m=

5to grado

12

N M R M m

R.MATEMÁTICO Donde: N M m R

: : : :

Nº de elementos que intervienen. Cantidad unitaria mayor. Cantidad unitaria menor. Total recaudado o acumulado

P RO B LEMA

En un corral donde existen conejos y gallinas se cuentan 60 cabezas y 150 patas. Determinar el número de conejos. SOLUCIÓN :

Conejos 4 patas ()

Total 60 cabezas

() ()

150 patas

2 patas Gallinas

60  4  150  45 42 N  de Conejos: 60  45= 15 Rpta. N de gallinas:

Problema 11 Para pagar una deuda de S/. 130 empleo billetes de S/. 10 y S/.5, ¿cuántos billetes de los 25 con que pago dicha suma son de S/. 5? a) 24 d) 40

b) 30 e) 22

c) 20

Problema 2 Jorge propone resolver 12 problemas a Hernan con la condición de que por cada problema que resuelva recibirá 10 soles y por cada problema que no resuelva perderá 6 soles después de trabajar con los 12 problemas recibirá 72 soles. ¿Cuántos problemas resolvió? a) 4 d) 5

b) 9 e) 10

c) 12

Problema 3 Una señora vendió 120 manzanas de 2 calidades a S/. 67, si las de primera vendió a S/. 7,20 la docena y las de segunda a S/. 5 la decena. ¿Cuántas manzanas vendió de las de segunda calidad? a) 40 d) 70

b) 50 e) 80

13

c) 60

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

1. Vicente ha sido contratado por el colegio parroquial, por 3 años en la siguiente condición; por cada mes que trabaje le pagan S/. 300 y por cada mes que no trabaje debe pagar S/. 320 ¿Cuántos meses ha trabajado si recibió S/. 2120? a) 28 b) 26 c) 24 d) 22 e) 14 2. Se desea pagar una deuda de 130 soles con 50 monedas de 5 y 2 soles. ¿Cuántas monedas de 5 soles debo emplear? a) 25 b) 30 c) 40 d) 20 e) 10 3. En un examen por cada respuesta bien contestada se gana un punto y por cada respuesta mal contestada pierde un punto, si la calificación por las 30 preguntas que contestó el alumno fue de 14 ¿Cuántas preguntas contestó fue mal contestada? a) 8 b) 7 c) 6 d) 9 e) 10 4. A un concierto en el coliseo cerrado asistieron 2000 personas. El valor de las entradas era S/.10 para adultos y S/.7 para niños. Finalmente se recaudó S/.1 8500, ¿cuántos adultos asistieron? a) 700 b) 1500 c) 1000 d) 1200 e) 1400 5. En un corral se contaron 114 ojos y 178 patas entre conejos y gallinas, ¿cuántos conejos existe en el corral? a) 35 b) 37 c) 32 d) 21 e) 22 6. Un barril contiene 154 litros de vino que deben ser envasados en 280 botellas, unas de 0,75 litros y otras de 0,40 litros. ¿Cuántas botellas de 0,75 litros se van a necesitar? a) 120 b) 170 c) 150 d) 180 e) 160 7. Se contrata a un cocinero por 335 días con la condición de que le abonarían S/. 200 por cada día que cocine rico, pero le descontarían S/. 50 por cada día que no cocine rico. ¿Cuántos días cocinó rico si al final no recibió nada? a) 72 b) 75 c) 60 d) 67 e) 66 8. A la academia concurrían algunos con su triciclo y otros con sus bicicletas. El guardián para saber que no le faltaba ninguno, contaba siempre 860 ruedas y 608 pedales. Entonces: I. Las bicicletas son 104 II. La diferencia entre el número de triciclos y bicicletas es 204 III. Hay 252 triciclos Entonces son ciertas: a) Sólo I b) II y III c) Sólo II d) I y III e) I y II

5to grado

14

R.MATEMÁTICO

Caso I: Opuestos:

a

A (gana, pierde)

()

() B (pierde, gana)

b

Nº de elementos =

A B ab

Caso II: De la misma índole:

a

A (pierde, gana)

()

() B (pierde, gana)

b

Nº de elementos =

AB ab

NOTA:  En los casos anteriores las diferencias son positivas, es decir la diferencia siempre debe ser de un número mayor respecto del número menor.  Si se observa detenidamente los casos anteriores, en el gráfico la operación que va a la izquierda y que en la operación va siempre en el denominador es siempre una sustracción.

P RO B LEMA

Cuando Fernando va a la librería, observa que si compra 5 libros, le sobra 7 soles, pero si quiere comprar dos más le faltarían tres soles. ¿De cuánto dinero dispone Fernando?

SOLUCIÓN: Sea “L” el precio de un libro 7 (sobra)

5L ()

()

7L

3 (falta)

Resolviendo: 7+ 3 L= 5 L=  7 5 El costo del libro es: S/. 5 El dinero que dispone Fernando: 5 L + 7 5(5)+ 7 =

S/. 32

15

Rpta.

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

Problema 11 Para comprar 16 televisores me faltan “2n” soles, pero si compro 10 me sobran “n” soles. ¿Cuánto dinero tengo? a) 4 n b) 8 n c) 5 n d) 6 n e) 2 n Problema 2 Si pago 7 00 soles a cada uno de mis empleados me faltan 400 soles, pero si les pago 550 soles me sobran 5 600 soles. ¿Cuántos empleados tengo? a) 39 b) 40 c) 50 d) 60 e) 80 Problema 3 Un empleado es contratado por una empresa y le prometen pagar S/. 6 400 por un año de trabajo más un incentivo especial, al cabo de 8 meses abandona el trabajo y recibe S/. 2 400 más el incentivo especial. ¿A cuanto asciende el incentivo especial? a) S/. 4 800 b) S/. 5 200 c) S/ 5 600 d) S/. 3 600 e) S/. 3 200 Problema 4 Para realizar el sorteo de un minicomponente se imprimieron 640 boletos pensando ganar $. 845, pero sólo vendieron 210 boletos, originandose una pérdida de $. 15. ¿Cuál es el precio del minicomponente? a) $. 525 b) $. 2 200 c) $. 2 125 d) $. 450 e) $. 435

1. Si pago S/.12 a cada uno de mis empleados me faltan S/.340, pero si sólo les pago S/.4, me sobraría S/.100. ¿cuánto dinero tengo? a) S/. 340 b) S/. 500 c) S/. 320 d) S/. 420 e) S/. 430 2. Me faltan “a” soles para comprar “x” cuadernos y me sobran “b” soles si quisiera comprar " x  1" cuadernos. Si compro un cuaderno, ¿cuánto debo pagar? a) a–b b) a+x c) b+x d) b–a e) a+b 3. En la plaza San Francisco se observa que en cada banca están bien sentadas 3 personas, pero si en cada banca se sentaran 5 personas habrían 4 bancas vacías, ¿cuántas personas se encuentran en esta plaza? a) 40 b) 50 c) 20 d) 10 e) 30 4. Para ganar S/. 360 en la rifa de un televisor se imprimieron 160 boletos, vendiéndose únicamente 95 boletos dando una pérdida de S/. 30. ¿Cuál era el costo del televisor? a) S/. 380 b) S/. 570 c) S/. 960 d) S/. 450 e) S/. 600

5to grado

16

R.MATEMÁTICO 5. Jesús decía: “Si a cada uno de mis discípulos les entrego tantos panes como discípulos tengo me sobrarían 17 panes, pero si les daría 2 panes más a cada uno me faltarían 5 panes.” ¿Cuántos panes tenía Jesús para repartir? a) 111 b) 124 c) 161 d) 138 e) 121 6. La academia contrata un empleado por 40 días de trabajo con la condición de pagarle S/.420 y un incentivo económico, pero a los 25 días se anula el contrato recibiendo así el empleado S/.195 más el incentivo económico. ¿A cuánto asciende el Incentivo? a) S/. 150 b) S/. 140 c) S/. 160 d) S/. 180 e) S/. 200 7. Se quiere rifar una calculadora a un precio determinado, emitiendo para ello un cierto número de boletos. Si vende a dos dólares cada boleto se perderá 30 dólares, y vendiendo a tres dólares cada boleto se ganara 70 dólares. ¿Cuánto cuesta la calculadora? a) $. 200 b) $. 230 c) $. 170 d) $. 240 e) $. 220 8. Se realizó una colecta para obsequiar un arreglo floral a la directora de un colegio por el día de su cumpleaños. Si cada profesor colabora con S/. 8 sobrarían S/. 6; pero si cada uno diera S/. 6 faltarían S/. 12; luego: I. Son 9 profesores II. El arreglo floral cuesta S/.66 III. Si cada uno diera S/.5, estarían faltando S/.21 para comprar el arreglo floral De estas afirmaciones son ciertas: a) I y III b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) Todas 9. En la Iglesia San Francisco, los feligreses se sientan exactamente en un número de bancas con capacidad para 6 personas, si se les coloca en bancas con capacidad para 4 personas se necesitarán 3 bancas más. ¿Cuántos feligreses hay en la Iglesia? a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 32 10. Un capataz contrata un obrero ofreciéndole un sueldo anual de 3000 soles y si tiene un buen rendimiento en el trabajo de premio recibirá una bicicleta. Al cabo de 7 meses el obrero renuncia y recibe 1500 soles y por su buen rendimiento recibe de premio la bicicleta. ¿Cuál era el valor de la bicicleta? a) S/. 500 b) S/. 450 c) S/. 480 d) S/. 550 e) S/. 600

(MÉTODO DE LA CADENA) A este método también se denomina como el “Método de las equivalencias”. Para resolver un problema utilizando el método de la regla de conjunta, uno debe reconocer que en el enunciado del problema se mensionan cantidades que son equivalentes. Y luego se sigue el siguiente procedimiento:   

Se ordenan los datos verticalmente en una serie de equivalencia. En las equivalencias, las cantidades de un misma especie deben estar en miembros distintos. Se debe procurar que el primer miembro de la primera equivalencia y el segundo

17

5to grado

SAN LUCAS

 

“Por siempre los mejores”

miembro de la última equivalencia deben ser siempre cantidades de la misma especie. Se multiplica miembro a miembro las igualdades, cancelando las unidades de medida. Resolviendo al final una igualdad, con la variable incognita que se despejará

A continuación con el siguiente problema se detallará mejor el procedimiento. P RO B LEMA

Con tres desarmadores se obtiene un alicate, con tres alicates un martillo, ¿cuántos martillos se obtendrán con 117 desarmadores? SOLUCIÓN: Sea “x” la cantidad de martillos Del enunciado, agrupandolas en equivalencias:

3 desarmadores  1 alicate 3 alicates  1 martillo

x martillos  117 desarmadores 3  3  x  1  1  117

117 x  13  3  3 El número de martillos que se obtienen es:



x 

13

Rpta.

Problema 11 Sabiendo que 4 litros de RV cuestan lo mismo que 9 libros de RM; 6 libros de Trigonometría equivalen a 7 de RM, además 3 libros de Trigonometría cuestan 21 nuevos soles. ¿Con cuántos nuevos soles se podrá comprar 2 libros de RV? a) 19 b) 18 c) 27 d) 20 e) 30 Problema 2 En una feria local, 4 caballos cuestan lo mismo que 8 ovinos, 3 toros cuestan lo mismo que 6 chanchos y un toro cuesta lo mismo que 3 ovinos. ¿Cuántos chanchos cuestan lo mismo que 3 caballos? a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 Problema 3 En una feria se puede canjear 5 monitores por una impresora, impresoras? a) 315 d) 270

teclados por 11 mouses, 2 monitores por 45 teclados, 3 entonces ¿cuántos mouses se pueden canjear por 2 b) 297 e) 225

c) 300

Problema 4 En la feria agropecuaria de Vilcabamba hacen el trueque de la siguiente manera: por 3 kg de maíz dan 5 kg de papa, por 4 kg de oca dan 6 kg de papa. ¿Cuántos kg de maíz darán por 10 kg de oca? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

5to grado

18

R.MATEMÁTICO

1. En una feria agropecuaria por 3 patos dan 2 pollos, por 3 gallinas dan 4 pollos, por 8 monos dan 12 gallinas y si 5 monos cuestan S/.150, ¿cuánto tengo que gastar para adquirir 5 patos? a) S/. 45 b) S/. 50 c) S/. 60 d) S/. 35 e) S/. 30 2. En una librería, 4 lapiceros equivalen a 10 reglas; 9 reglas equivalen a 3 crayolas, del mismo modo, que 8 crayolas es a 6 cuadernos, por S/.160 dan 4 cuadernos. ¿Cuántos lapiceros dan por S/.150? a) 4 b) 12 c) 6 d) 10 e) 8 3. Sabiendo que 6 varas de paño cuestan lo mismo que 5 metros de este mismo material y que 2 metros valen 30 soles. ¿Cuánto costarán 4 varas? a) S/. 50 b) S/. 40 c) S/. 60 d) S/. 80 e) S/. 70 4. En el mercado de Vilcabamba se realiza el trueque de la siguiente manera: por 3 kilos de arroz, dan 5 kilos de azúcar, de la misma manera por 4 kilos de frijoles dan 8 kilos de azúcar; por 2 kilos de carne dan 10 kilos de frijoles. Si Valery se va de compras, ¿cuántos kilos de carne le darán por 30 kilos de arroz? a) 4 b) 5 c) 2 d) 12 e) 8 5. Con 14 canicas se pueden canjear 4 vasos, con 5 canicas sólo se obtienen 3 boletos. Si cada boleto cuesta S/.6, ¿Cuál es el costo de 5 vasos? a) S/. 54 b) S/. 56 c) S/. 63 d) S/. 72

e) S/. 45

6. En un poblado se realiza el trueque de la siguiente manera: por 3 kilos de papa dan 5 kilos de maíz; de la misma manera, por 8 kilos de maíz dan 4 kilos de pallar; por 10 kilos de pallar dan 2 kilos de carne. ¿Cuántos kilos de carne darán por 30 kilos de papa? a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 12 7. ¿El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 8 niños?, si se sabe que: el trabajo de 4 niños equivale al de 3 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 8. En la feria agropecuaria de Sicuani se observa que 7 gallinas cuestan lo mismo que 2 pavos; 14 patos lo mismo que 5 pavos, 8 patos lo mismo que 3 conejos. ¿Cuánto costarán 4 gallinas si un conejo cuesta 30 soles? a) S/. 28 b) S/. 36 c) S/. 42 d) S/. 54 e) S/. 26 9. ¿Qué suma de dinero necesitará el director de un colegio particular para pagar el sueldo a 4 de sus profesores?, si el sueldo de 6 profesores equivalen al de 10 secretarias, el de 12 auxiliares al de 5 secretarias; el de 9 porteros al de 6 auxiliares y si 4 porteros ganan S/. 2400 al mes. a) S/. 14 400 b) S/. 13 200 c) S/. 15 000 d) S/. 11 400 e) S/. 16 800

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5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

Fue Diofanto, quien por primera vez introdujo letras y signos para los cálculos, de allí que a su Álgebra se le ha llamado “Álgebra Sincopada”, que antecede al Álgebra Simbólica actual. Un problema atribuido a Hipatia de Alejandría y colocada en la lápida de su tumba nos señala con precisión la edad que tuvo al morir: “¡Caminante, esta tumba contiene a Diofanto!, ¡Oh, gran maravilla! – Y la tumba dice con arte la medida de su vida – Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Lo encendió el fuego nupcial después de un séptimo, y en el quinto año después de su boda le concedió un hijo. Pero ¡ay!, niño tardío y desgraciado, a la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida.” Dime, ¿cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó su muerte?

SOLUCIÓN: Este epitafio plantea la siguiente ecuación, donde "x" representa la edad que tuvo cuando murió:

1 1 1 1 x  x  x  5  x  4  x  x  84 6 12 7 2 La solución de esta ecuación nos dice que Diofanto murió a los 84 años de edad. Además, podemos deducir que fue niño hasta los 14 años, le salió la barba a los 21, se casó a los 33 y tuvo un hijo a los 38, el cual murió cuando su padre tenía 80 años. Diofanto murió a los

84 años Rpta.

EXPRESIONES

TIEMPOS Tiempo Presente En todo problema existe un único tiempo presente y generalmente uno se refiere a ella mediante las siguientes expresiones:

5to grado

    

20

Tengo... Tenemos La suma de nuestras edades es... Tienes... Hoy la edad de...

R.MATEMÁTICO Tiempo Pasado Un problema puede referirse al tiempo pasado uno o más veces y si ocurriese así estos se tomarían en tiempos distintos. Al tiempo pasado se alude mediante estas palabras:

     

Hace... Teníamos... Tuvimos... La suma de nuestras edades fue... Tenía, tuve... Tenías, tuviste...

Tiempo Futuro En un problema puede mensionarse al tiempo futuro uno o varias veces, así como en el caso anterior estos deben tomarse como tiempos distintos. Se las nombrará implícitamente mediante las siguientes locuciones.

    

Dentro de... Tendré... La suma de nuestras edades será... Tendremos, tuviésemos... Tendrás...

Esquema: Si mi edad actual es “x” años, entonces, dentro de “a” años y hace “b” años, mi edad se expresará así.

PAS ADO hace "b" años

PRES EN TE FUTURO hoy tengo dentro de "a" años

xb

x

xa

CONCLUSIÓN

Cuando en el enunciado de un problema se mencionan: “hace...” o “dentro de…”, se debe tomar como punto de referencia el tiempo presente; a partir de allí se cuenta el tiempo transcurrido “hace...” o el tiempo por transcurrir “dentro de...” Problema 11 Dentro de 20 años, tendré 3 veces la edad que tuve hace 10 años. ¿Cuál fue mi edad hace 3 años? a) 22 años d) 37 años

b) 25 años e) 26 años

c) 34 años

Problema 21 Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos tres veces la edad que tenía hace 5 años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuántos años me falta para cumplir 60 años? a) 9 d) 5

b) 2 e) 8

c) 3

21

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

En este tipo de problemas se recomienda utilizar un cuadro de doble entrada, como el que mostramos a continuación: Tiempos

Sujetos

Pasado Pr esente Futuro Yo

A

Tú

B C

Él

Edades y condiciones

Edades y condiciones

Damos dos observaciones importantes que ayudaran a la resolución de los problemas.

OBS. 1 La diferencia de las edades de dos personas siempre permanece constante en el tiempo. Hace 3 años

Dentro de 8 años

Pasado Pr esente Futuro Tú Yo

23 17

26 20

34 28

Vemos por ejemplo en el cuadro anterior, que la diferencia de las edades es siempre 6 y no importa el tiempo en que sea. En el pasado

En el presente

23 - 17 =

26 - 20

En el futuro

=

34 - 28 = 6

OBS. 2 La suma de las edades ubicadas diagonalmente es la misma que la suma de las edades ubicadas diagonalmente simétricas. (Las sumas en aspa). Hace 3 años

Dentro de 8 años

Pasado Pr esente Futuro Tú Yo

23 17

26 20

34 28

Las posibles sumas en aspa que podemos obtener del cuadro de doble entrada anterior son:

23 + 28 = 17 + 34 23 + 20 = 17 + 26 26 + 28 = 20 + 34 En los problemas que resolveremos, nos referiremos a esta observación diciendo que aplicamos “el criterio de las sumas en aspa”. Tomando en cuenta las observaciones anteriores, a los problemas de edades donde intervienen varios sujetos los podemos clasificar a dos tipos:

5to grado

22

R.MATEMÁTICO

En este tipo de problemas se especifica cuándo ocurrió o va a ocurrir una determinada condición; es decir, mencionan “hace cuánto tiempo ocurrió” o “dentro de cuánto tiempo ocurrirá” la condición del problema. Problema 11 Hace 4 años, la edad de Paola era el cuádruplo de la edad de Marco, pero dentro de 5 años será el triple. Hallar la suma de las edades actuales. a) 60 años b) 76 años c) 87 años d) 98 años e) 68 años Problema 21 Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple de la mía. Si dentro de 6 años, él va a tener el cuádruplo de la edad que tú tengas, ¿dentro de cuántos años tendré 26 años? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

En este tipo de problemas no se especifica cuándo ocurrió u ocurrirá una determinada condición; es decir, no se puede determinar el tiempo exacto que ha transcurrido o transcurrirá para que se cumpla la condición del problema, sólo se limita a decir que ocurrió en el pasado o que ocurrirá en el futuro. Problema 11 Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años. Hallar la suma de las edades actuales. a) 36 años b) 49 años c) 54 años d) 37 años e) 60 años Problema 21 Yo tengo los 13/9 de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tengas la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades será 6 años. ¿Qué edad tuve yo hace 10 años? a) 18 años b) 19 años c) 25 años d) 28 años e) 29 años

1. Hace 20 años tenía la sexta parte de la que tendré dentro de 10 años. ¿Qué edad tengo? a) 16 años b) 26 años c) 6 años d) 23 años e) 36 años 2. A Valery le preguntaron por su edad y ella respondió: ”Si al cuádruplo de la edad que tendré dentro de 8 años, le restamos el doble de la edad que tenía hace 5 años, resultaría 19 años más el triple de mi edad”. ¿Cuál es la edad actual de Valery? a) 16 años b) 18 años c) 31 años d) 23 años e) 41 años

23

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

3. Si al año en que tuve 20 años, le restamos el año en que cumplí 8 años, obtendrás la tercera parte de mi edad, ¿cuántos años tengo? a) 8 b) 18 c) 24 d) 23 e) 36 4. Ángel tiene 30 años y su hijo Rossel 3 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de Ángel será el cuádruplo de la edad de su hijo? a) 8 b) 10 c) 6 d) 3 e) 5 5. Un padre tuvo su único hijo a los 28 años, ¿cuántos años tenía el padre cuando la relación de edades era de 7 a 3? a) 21 b) 49 c) 62 d) 53 e) 70 6. Dentro de 4 años la edad de Antuane será un cuadrado perfecto, pero hace 3 años era el cuadrado perfecto anterior al inicial. ¿Cuál era su edad hace 6 años? a) 8 años b) 10 años c) 6 años d) 12 años e) 9 años 7. Las edades de 2 hermanos son tales que dentro de 15 años sumarán 53 años y hace 4 años, la edad del mayor era 4 veces la del menor. Hallar la diferencia de edades. a) 24 años b) 15 años c) 6 años d) 12 años e) 9 años 8. La edad de Yenn es la mitad de la edad de Lenin, pero hace 20 años la edad de Lenin era el triple de Yenn. ¿Cuál será la suma de edades dentro de 7 años? a) 136 años b) 120 años c) 130 años d) 128 años e) 134 años 9. Si 3 veces la edad de mi hermano es 2 veces mi edad, y hace 3 años; 3 veces su edad era la mía. ¿Cuántos años tengo? a) 9 b) 12 c) 6 d) 15 e) 4 10. Hace 6 años la edad de un tío era 8 veces la edad de su sobrino, pero dentro de 4 años será sólo el triple. ¿Cuánto sumarán sus edades dentro de 5 años? a) 53 años b) 64 años c) 56 años d) 58 años e) 48 años 11. Dentro de 5 años, tu edad será a mi edad como 5 es a 4, si hace 5 años esa relación era como 3 es a 2. ¿Hace cuántos años nací? a) 5 b) 15 c) 45 d) 20 e) 30 12. Jesús decía a uno de sus discípulos: “Discípulo mío dentro de 4 años nuestras edades sumarán 64 años, además hace 4 años tu edad era la tercera parte de la edad que tenía en ese entonces”. ¿Qué edad tenía Jesús cuando nació su discípulo? a) 25 años b) 16 años c) 20 años d) 10 años e) 24 años 13. Leonor tuvo su primer hijo a los 18 años, 3 años después tuvo a su segundo hijo y 5 años después a su tercer hijo. En el año 2006 las edades de los 4 suman 79 años. ¿En qué año nació Leonor? a) 1956 b) 1966 c) 1970 d) 1969 e) 1975 14. En 1963 la edad de Julio era 9 veces la edad de Juan. En 1968 era solamente el quíntuplo. En 1993, el número de años que cumplió Julio fue: a) 75 b) 70 c) 83

5to grado

24

R.MATEMÁTICO d) 80

e) 74

15. Patricia en el año 1969 cumplió tantos años como lo que indicaba la mitad del número formado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento. Hallar su edad en ese entonces. a) 49 b) 51 c) 28 d) 23 e) 36 16. Lo que se cuenta sucedió en 1932, tenía yo entonces tantos años como expresan las últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelo, esta coincidencia me dejo impresionado al contestarme que con su edad ocurría lo mismo. Indique en cuántos años fue mayor el abuelo respecto a su nieto. a) 45 b) 50 c) 60 d) 55 e) 40 17. Ronald tiene 80 años y su edad es el cuádruplo de lo que tenía Janeth, cuando Ronald tenía lo que tiene Janeth. ¿En que año nació Janeth, sabiendo que el año actual es 2006? a) 1945 b) 1940 c) 1960 d) 1950 e) 1956 18. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 45 años. ¿Cuál era la suma de nuestras edades hace 3 años? a) 27 años b) 32 años c) 29 años d) 28 años e) 30 años 19. Efraín le dice a Fanny: “Cuando tú tenías 7 años menos de la edad que yo tengo, yo tenía 3 años menos de la edad que tú tienes y cuando tenga el doble de la edad que tú tienes, nuestras edades sumarán 66 años”. ¿Qué edad tiene Fanny? a) 19 años b) 18 años c) 20 años d) 17 años e) 16 años 20. Ángel le dice a Rosa: “La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací”. Entonces, ¿cuántos años tiene Rosa actualmente? a) 19 b) 18 c) 20 d) 26 e) 24

1. La edad que tengo es el cuádruplo de la edad que tuve hace 15 años. ¿Cuántos años tengo? a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 2. La edad que tendrá Angélica dentro de dos años será siete veces más que la edad que ella tenía hace cinco años. ¿Qué edad tendrá Angélica dentro de cinco años? a) 6 años b) 8 años c) 10 años d) 11 años e) 13 años 3. Hace 2 años Isabel tenía “a” años. ¿Hace cuántos años tenía la tercera parte de la edad que tendrá dentro de “b” años? 2a  b  8 2a  b  4 2a  b  4 a) b) c) 3 3 3 2a  2b  3 ab3 d) e) 3 3

25

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

4. El cuádruplo de la edad que tendré dentro de 4 años, menos el cuádruplo de la edad que tenía hace 4 años resulta mi edad actual. ¿Cuántos años faltan para cumplir 45 años? a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 17 5. Al profesor Carlos sus alumnos le preguntaron por su edad; éste, como buen matemático, respondió: ”Si al triple de la edad que tendré dentro de 3 años le restan el triple de la edad que tuve hace 3 años, obtendrán mi edad”. ¿Cuántos años tiene Carlos? a) 6 b) 14 c) 16 d) 20 e) 18 6. Actualmente la edad de María es 4 veces la edad de Rosa y cuando Rosa nació, María ya tenía 12 años. Hallar la edad actual de Rosa. a) 3 años b) 33 años c) 4 años d) 5 años e) 22 años 7. Julio nació 6 años antes que Víctor. En 1948 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1963. ¿En qué año nació Julio? a) 1935 b) 1938 c) 1940 d) 1942 e) 1932 8. Dentro de 15 años, la edad de Roberto será el doble de la de Antonio. Si hace 6 años la edad de Roberto era el triple de la de Antonio, dar la suma de las edades actuales de ambos. a) 60 años b) 38 años c) 90 años d) 96 años e) 102 años 9. Cuando César nació Manuel tenía 30 años; ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Pablo que tiene 50 años. ¿Qué edad tiene Guillermo que nació cuando César tenía 11 años? a) 10 años b) 12 años c) 13 años d) 15 años e) 17 años 10. Si la edad de un padre con la de su hijo suman 88 años y hace 12 años la edad del padre era el triple de la edad del hijo, determinar la edad del hijo hace 4 años. a) 12 años b) 18 años c) 28 años d) 22 años e) 24 años 11. En 1961, decía un padre a su hijo: “Mi edad es el quíntuplo de tu edad, pero en 1982 no será más que el duplo”. ¿En qué año nació el hijo? a) 1962 b) 1958 c) 1954 d) 1998 e) 1948 12. La edad actual de Víctor es el doble de la edad de Pedro y hace 15 años la edad de Víctor era el triple de la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad actual de Pedro? a) 28 años b) 30 años c) 40 años d) 50 años e) 70 años 13. El cuádruple de la edad que tendré dentro de 4 años, menos el cuadruple de la edad que tenía hace 4 años resulta mi edad actual. ¿Cuántos años tengo? a) 26 b) 28 c) 30 d) 32 e) 40 14. Dentro de 15 años la edad de un padre será el doble de la de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 6 años, la edad del padre era el triple de la del hijo? a) 23 años b) 21 años c) 22 años d) 24 años e) 27 años 15. Un padre tiene su primer hijo a los 18 años. Si actualmente su edad es el doble de la edad de su hijo, ¿cuál es la suma de las edades? a) 39 años b) 54 años c) 60 años d) 65 años e) 78 años

5to grado

26

R.MATEMÁTICO 16. Juan tenía 5 años cuando Walter tenía la cuarta parte de lo que tiene Juan. Si Walter tiene 30 años, ¿cuál es la edad de Juan? a) 20 años b) 22 años c) 28 años d) 30 años e) 35 años 17. El quíntuplo de mi edad, aumentada en 8 es 63. ¿Cuál será la edad de Carolina, si cuando ella nació yo tenía 6 años? a) 4 años b) 5 años c) 7 años d) 8 años e) 11 años 18. Dentro de 10 años, la suma de nuestras edades será 96; pero hace 10 años la diferencia sólo fue de 14. Hallar ambas edades en el presente y dar como respuesta la edad del mayor. a) 45 años b) 55 años c) 60 años d) 52 años e) 62 años 19. Si la edad de Rafael cuando nació Jorge era 7 años y la edad de Jorge cuando nació Ricardo era 3 años, ¿cuál será la diferencia entre la edad de Rafael y la edad de Ricardo en la actualidad, si Jorge tiene “n” años? a) (n + 10) años b) (n – 10) años c) n años d) (10 - n) años e) 10 años 20. Tú tenías la mitad de lo que tienes y tendrás el triple de lo que tenías. Si tuvieras lo que tenías, tienes y tendrás, tendrías lo que yo tengo que es 12 años más de los que tú tendrás. ¿Cuántos años tenemos entre ambos? a) 26 b) 30 c) 18 d) 28 e) 32 21. La edad de Manuel es la mitad de la de Pablo; la de José es el triple de la de Manuel y la de Felipe es el doble de la de José. Si las cuatro edades suman 108 años, ¿qué edad tiene Manuel? a) 9 años b) 18 años c) 27 años d) 54 años e) 12 años 22. Cuando yo nací tú tenías la edad que yo tengo ahora. Cuando yo tenga el triple de la edad que tú tienes, nuestras edades sumarán 130 años. ¿Cuántos años tienes tú? a) 10 b) 20 c) 34 d) 60 e) 15 23. Víctor tiene 32 años; su edad es el cuádruplo de la edad que tenía Juan cuando Víctor tenía la tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué edad tiene Juan? a) 36 años b) 26 años c) 32 años d) 30 años e) 28 años 24. Tú tienes 16 años, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 44 años. ¿Qué edad tengo? a) 20 años b) 16 años c) 18 años d) 22 años e) 19 años 25. A tiene tantas semanas como C, días; B tiene tantos años como C, meses. Si entre A, B y C tienen 80 años, ¿cuántos años tiene A? a) 48 b) 28 c) 36 d) 42 e) 32 26. Juanita tuvo a los 30 años, quintillizos. Hoy las edades de los 6 suman 60 años. ¿Qué edad tiene uno de los quintillizos? a) 5 años b) 7 años c) 9 años d) 15 años e) 20 años

27

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

La fracción a / b es un ente matemático que puede definirse como una pareja ordenada de números enteros que resuelve la ecuación b.x  a , donde b  0 . N o tac ió n

Fracción:

ayb  b0

Dónde:

a b

+

A los términos de una fracción se les conocen como: Numerador a Denominador b

NOTA: Por la notación y la interpretación que se da a una fracción, muchos textos definen una fracción como: “Fracción es el cociente indicado de dos números enteros, cuyo divisor es distinto de cero”.

CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES

Fracciones Propias: Son aquellas fracciones en las cuales el numerador es menor que el denominador. Ejemplo:

5 , 10

1 , 4

13 , 16

17 517

 Las fracciones propias son menores que la unidad.  La interpretación de este tipo de fracciones es una relación entre la parte y el todo en la que se incluye esa parte.

Fracción 

Parte Todo

Podemos usar gráficos para representar este tipo de fracciones. En cada ejemplo que damos a continuación, determinaremos la fracción que representa la sección sombreada respecto de la figura total. Ejemplo: 1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

El todo: 7 cuadros (iguales) Parte : 3 cuadros

5to grado

28

R.MATEMÁTICO 1 del total. 7



Cada cuadrado representa



La parte sombreada, expresada en fracción representa los

3 del total. 7

Ejemplo:

1 8 1 8

 

1 8

1 8

1 1 8 8

1 8 1 8

El todo: 8 secciones (iguales)

Parte : 5 secciones

1 del área total. 8 5 La sección sombreada representa los del área total. 8 Cada sección representa

Ejemplo:

El todo: 27 cubitos (iguales) Parte : 2 cubitos sombreados

 

1 del volumen total. 27 2 Los cubitos sombreados representan los del volumen total. 27 Cada cubito representa

Fracciones Impropias: Se dice de aquellas fracciones en las que el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo:

17 , 3

8 , 7

13 , 5

238 17

 Toda fracción impropia es mayor que la unidad.  Estas fracciones sólo pueden adoptar una interpretación como expresión de una medida.

Fracción 

Unidades consideradas Patrón de medida

En el ejemplo que damos a continuación determinaremos la fracción que representa la sección sombreada respecto de una de las figuras que se toma como unidad de medida. Ejemplo: Unidades a considerar 10 cuadros

7 cuadros (iguales) Patrón de medida

29

5to grado

SAN LUCAS



“Por siempre los mejores”

La fracción que representa el área sombreada es

10 7

respecto de la figura tomada

como patrón de medida.

Número Mixto Es una forma de representar una fracción impropia. Ejemplos:

16 3

5

1 3

20 7

2

6 7

19 2

9

1 2

NOTA: Como leer un número mixto 





71

Se lee: “Siete enteros un quinto”

5

17 2 Se lee: “Diecisiete enteros dos tercios” 3

51 7

Se lee: “Cinco enteros un séptimo”

Fracciones Aparentes: Dícese de las fracciones en las cuales tanto el numerador como el denominador son iguales. Ejemplos:

3 , 3

48 , 48

315 , 315

1238 1238

Fracciones aparentes  El valor de una fracción aparente es la unidad.

Fracciones Heterogéneas: Diremos que el grupo de fracciones son heterogéneos, cuando sus denominadores son todos diferentes.

5to grado

30

R.MATEMÁTICO Ejemplo:

3 , 5

17 , 14

23 , 21

777 100

Fracciones heterogéneas

Fracciones Homogéneas: Al grupo de fracciones les denominamos homogéneos, cuando sus denominadores son todos iguales. Ejemplo:

1 , 7

12 , 7

20 , 7

333 7

Fracciones homogéneas

Fracciones Equivalentes: Dos fracciones o más fracciones son equivalentes, si éstas representan el mismo valor. Ejemplo:

5 8 10 16 Como se observa,

5 8

y

10 representan el mismo valor, por lo tanto, estas fracciones son 16

equivalentes.

Representación algebraica de Fracciones Equivalentes Sea

a una fracción dada cualquiera. b

Si queremos representar algebraicamente una fracción equivalente a

a , se haría de la b

siguiente manera:

ak bk donde:

“k” es número entero

k0

NOTA Si se desea obtener fracciones equivalentes a una fracción dada cualquiera, esto se puede lograr multiplicando al numerador y al denominador por un mismo número entero distinto de cero.

31

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

Fracción Irreductible: Diremos que una fracción es irreductible o irreducible si el numerador y el denominador son primos entre sí (Pesi), es decir, ambos numerador y denominador, no poseen divisores comunes. Ejemplos:

3 , 11

6 , 23

57 21

Fracciones irreducibles

Fracción Reductible: A la fracción en la que su numerador y denominador tienen divisores comunes, se le denominará “fracción reductible o reducible”. Ejemplos:

4 , 16

9 , 27

30 42

Fracciones reducibles

NOTA: “De toda fracción reductible se puede obtener fracciones equivalentes irreductibles.” Esto se logra simplificando los factores comunes de ambos términos.

Ejemplo:

18 es una fracción reductible 66

La fracción

Pues, 18 y 66 poseen divisores propios comunes (2 y 3), por lo tanto, se podrá simplificar hasta llegar a una fracción equivalente irreductible. 3

Es decir:

9

18  66

18 66



3 11

33 11

Por lo tanto:

18 3  66 11 Son equivalentes

Fracción Inversa: Dada una fracción cualquiera no nula. A toda fracción que al multiplicarla con la fracción dada resulte la unidad, se le denominará “fracción inversa”. Una forma práctica de obtener una fracción inversa de la fracción dada, es simplemente invertir la fracción; esto es, el numerador pasa a ser el denominador y el denominador a ser el numerador. A esta fracción se le denomina como la fracción recíproca de la fracción inicial.

5to grado

32

R.MATEMÁTICO

Ejemplo: Dada la fracción

3 14

Una fracción inversa de dicha fracción es:

14 3

Fracciones Ordinarias o Fracciones Comunes: A aquellas fracciones que sus denominadores no son potencias de 10 se las denominan “fracciones ordinarias o comunes”. Ejemplos:

2 , 3

7 , 5

10 , 7

1 6

Fracciones ordinarias

Propiedades de las Fracciones Ordinarias:



En un grupo de fracciones homogéneas (con iguales denominadores), el mayor es aquel que tiene mayor numerador. Ejemplo:

6 , 5

De la sucesión,

La fracción mayor es:



7 , 5

19 5

19 5

En un grupo de fracciones que tienen sus numeradores iguales, el mayor es aquel que tiene menor denominador. Ejemplo: De la sucesión:

5 5 5 ; ; 6 9 16 La fracción mayor de los tres es:



5 6

Si a los términos de una fracción propia, se les suma (o resta) un mismo número, la fracción resultante es mayor (o menor) que la fracción original. Ejemplo: Sea la fracción propia

5 12

Agreguemos 2 al numerador y al denominador

Se tiene:

52 7  12  2 14

5 7  12 14

33

5to grado

SAN LUCAS



“Por siempre los mejores”

Si a los términos de una fracción impropia, se les suma (o resta) un mismo número, la fracción es menor (o es mayor) que la fracción original. Ejemplo: Sea la fracción impropia

11 , restemos 3 al numerador y al denominador: 6

Tenemos que:

8 3



11  3 8  63 3

11 6

Fracciones Decimales: Es toda fracción (o quebrado) que tiene por denominador potencias de 10. Ejemplos:

3 9 17 346 , , , 10 10 100 1000 Fracciones decimales

Lectura de Fracciones Decimales

1 10 1 100 1 1000

: un décimo : un centésimo

: un milésimo

NÚMEROS DECIMALES

El número decimal es el resultado de efectuar la división con los términos de la fracción decimal. Ejemplos:

3  0, 3 10 187  0, 0187 10000

PROPIEDADES



El valor de un número decimal no se altera escribiendo a la derecha cualquier número de ceros. Ejemplo: 0, 0187  0, 0187000...

5to grado

34

R.MATEMÁTICO



Todo número natural puede considerarse como decimal, escribiendo a su derecha un punto seguido de cualquier número de ceros. Ejemplo: 125  125, 000...0



Si en un número natural o decimal se corre el punto “n” lugares a la derecha, el número queda respectivamente multiplicado por 10

n

.

Ejemplo: 23, 578  2357, 8  10



2

Si en un número natural o decimal se corre el punto “n” lugares a la izquierda, el n

número queda respectivamente multiplicado por 10 . Ejemplo: 23, 578  0, 023578  10

3

Representar en su notación científica A continuación presentamos la forma como se debe representa un número decimal en notación científica: 

Si un número es múltiplo de 10 Se coloca el número entero que no tiene ceros a la derecha y se le multiplica con la potencia de 10 elevada al exponente igual al número de ceros de derecha del número. Ejemplos:



*

10200  102  10

*

16000  16  10

*

10000  1  10

2

3

4

Si un número es decimal menor que 1 Se escribe el número entero de la parte decimal y se le multiplica con la potencia de 10 elevada al exponente negativo del número de cifras de la parte decimal. Ejemplos:



1

*

0, 2  2  10

*

0,12  12  10

2

Si un número es decimal mayor que 1 Se toma todo el número sin la coma y se le multiplica con la potencia de 10 elevado a la potencia negativa del número de cifras de la parte decimal. Ejemplos: 1

*

1, 2  12  10

*

2, 25  225  10

*

3, 4618  34618  10

2 4

35

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

Fracción Generatriz:

Es la expresión fraccionaria del número decimal.

FRACCIÓN DECIMAL EXACTA: Es aquel número decimal que posee un número limitado de dígitos en su parte decimal, el último de los cuales necesariamente es distinto de cero. Ejemplos: 2, 45 ;

0, 48 ;

125, 0987

Fracciones decimales exactas La generatriz de una fracción decimal exacta Para hallar la fracción generatriz, se coloca en el númerador el número decimal sin considerar la coma y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Ejemplo: Hallar la fracción generatriz de 2, 547 Número decimal sin la coma

Fracción generatriz:

2 547 1 000

Tantos ceros como cifras tenga en la parte decimal

NOTA: Si la fracción que se forma es una fracción reducible, se procederá a simplificar para obtener una fracción irreductible. FRACCIÓN DECIMAL PERIÓDICA PURA Son aquellas fracciones decimales que en su parte decimal están formadas por bloques de dígitos que se repiten indefinidamente y periódicamente a partir del punto decimal. Ejemplos: 0, 3  0, 33333... 

(El periodo es: 3)

0, 483  0, 483483...



(El periodo es: 483)

Generatriz de un decimal periódico puro Para hallar la fracción generatriz, se toma como numerador la diferencia entre el número decimal (sin considerar la coma) y la parte entera; en el denominador, tantos nueves como cifras tenga el periodo. Ejemplos:





Hallar la generatriz de 0, 13



Fracción generatriz:

13  0  99

13 99

Hallar la generatriz de 4, 423 Fracción generatriz:

5to grado

4423  4  999

4419 999

36

R.MATEMÁTICO FRACCIÓN DECIMAL PERIÓDICA MIXTA

Son aquellas fracciones decimales que tienen cierto número de dígitos a la derecha del punto decimal, además de un número de cifras que se repiten periódica e indefinidamente. Ejemplos: 

0,12573



0, 5 23

Periodo: 573 Parte no periódica:12 Periodo: 23 Parte no periódica: 5

Generatriz de un decimal periódico mixto Para hallar la fracción generatriz, se pone en el numerador la diferencia entre el número decimal sin considerar la coma y la parte no periódica y, como denominador, tantos nueves como cifras tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica. 

Hallar la fracción generatriz de 0, 4 06 Fracción generatriz:



406  4 402   990 990

201 445

Hallar la generatriz de 4,12 73 Fracción generatriz:

41273  412  9900

40861 9900

M.C.D. Y M.C.M. DE FRACCIONES El M.C.D. de varias fracciones es igual al M.C.D. de los numeradores entre el M.C.M. de los denominadores. 5 15 y Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 32 11

M.C.D.(5 ; 15) 5  5 15  M.C.D.  ,   352  32 11  M.C.M.(32 ; 11) El M.C.M. de varias fracciones es igual al M.C.M. de los numeradores entre el M.C.D. de los denominadores. 5 15 y Ejemplo: Hallar el M.C.M. de 32 11  5 15  M.C.M.(5 ; 15) 5 M.C.M.  ,    5  32 11  M.C.D.(32 ; 11) 1 Problema 11 Cuánto le falta a 2 3 para ser igual al cociente de 2 3 entre 3 4 .

2 9 1 d) 2 Problema 2 a)

Hallar lo que le falta a

9 4 7 d) 3 a)

2 3 7 e) 3 b)

c)

3 2

4 2 4 6 5 para ser igual a los de los de los de los de 7. 3 9 7 11 11 4 3 b) c) 9 7 5 e) 3

37

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

Problema 3 Al retirarse 14 personas de una reunión, se observa que ésta disminuye a sus número de personas que habian al inicio. ¿Cuántas personas quedaron? a) 2 b) 4 d) 18 e) 9 Problema 4 Determinar la fracción que dividida por su inversa nos dé

13 17 17 d) 13 Problema 5 a)

41 91 15 e) 13 b)

2 partes del 9 c) 5

1369 . 2304 c)

37 48

¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada si se agrega a sus dos términos su denominador? 4 1 3 a) b) c) 9 9 7 1 5 d) e) 5 3 Problema 6 Si a los términos de una fracción ordinaria irreducible, se le suma el cuádruple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original? 4 1 3 a) b) c) 9 9 7 1 5 d) e) 5 3 Problema 7 Hallar una fracción tal que si se le agrega su cubo, la suma que resulta es igual al cubo de la 113 misma fracción multiplicada por . 49 7 8 6 a) b) c) 8 9 7 9 10 d) e) 10 11 Problema 8 2 Hallar una fracción equivalente a , tal que la suma de los cuadrados de sus términos sea 1 5 044. 22 8 10 a) b) c) 55 20 25 12 14 d) e) 30 35 Problema 9 Los 3/5 de “a” es “b” y los 8/9 de “b” es “c”. ¿Qué parte de “a”es “c”? 8 8 3 a) b) c) 15 23 25 4 11 d) e) 15 13

5to grado

38

R.MATEMÁTICO

(RENDIMIENTOS) En este tipo de problemas, se homogeneiza lo hecho por cada objeto (caños, grifos) o personas a “un día“, “1 minuto”, etc., para poder solucionar el problema dado. Por ejemplo, si nos dicen que: “una piscina es llenada por un caño en 8 horas”, entonces debemos considerar que en 1 hora la piscina tendra agua hasta 1/8 parte. P RO B LEMA

Un tanque puede ser llenado por un caño en 3 horas y por un segundo caño en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque, si los 2 caños funcionan abiertos simultáneamente? Solución : Homogeneicemos los datos: * En una hora, cada caño llena: 1 1er. caño: del tanque 3 1 2do. caño: del tanque 4 * En una hora, ambos caños hacen: 1 1  del tanque 3 4

7 12

Es decir,

del tanque

* El tanque completo lo hace en:

12  7

1

5 hora 7

12 7

hora.

Rpta.

Problema 11 Ana hace un trabajo en 15 días y Mary lo hace en 30 días. ¿En cuánto tiempo harán dicho trabajo juntas? a) 10 días b) 12 días c) 15 días d) 20 días e) 25 días Problema 21 Una piscina puede ser llenada por un primer caño en 5 horas y por un segundo caño en 8 horas. En cuántas horas se llenará el tanque completamente si ya posee agua hasta su séptima parte y funciona un tercer caño, el cual lo desagüa completamente en 4 horas (los 3 caños funcionan simultáneamente). 1 1 3 a) 13 b) 11 c) 13 9 7 7 1 1 d) 6 e) 15 9 3 Problema 31 Dos grifos llenan juntos un estanque en 30 horas, si uno de los grifos fuera desagüe, se tardaría en llenar el estanque 60 horas. En cuánto tiempo uno de los grifos llenará el estanque, si éste está vacío. a) 30 horas b) 90 horas c) 40 horas d) 50 horas e) 45 horas

39

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

En este tema se debe tener en cuenta que una pelota, bola o esfera cae sobre una superficie plana y los rebotes se dan sobre un mismo punto.

H

h1 h2 h3 P

Este gráfico lo representaremos de otra manera para su mejor entendimiento:

H h1

P

h2

P

h3

P

h4

P

P

Re cordar que el punto "P" no se desplaza a ningun lado P RO B LEMA

Se hace caer una pelota de ping pong sobre una mesa desde cierta altura, si se conoce que en cada rebote se eleva 2/5 de la altura anterior. Hallar la altura inicial si se conoce que en el tercer rebote alcanzó una altura de 16 cm.

Solución : Para su mejor entendimiento, construiremos un gráfico, veamos:

H h1

h2

H : Altura de donde se deja caer la pelota de ping pong Según el enunciado y observando el gráfico, tenemos: 2 h1  H …(I) 5

5to grado

40

h3

R.MATEMÁTICO 2 h1 5 2 h3  h2 5

h2 

… ( II ) … ( III )

Reemplazamos ( I ) en ( II )

h2 

2 2   H 55 

h3 

2  2  2   H 5  5  5  

… ( IV )

Reemplazamos ( IV ) en ( III ) …(*)

Por dato: h 3  16 cm , reemplazando en ( * )

16  8 H  125

16 

2. 2. 2. H 5 5 5

H= 250 cm Rpta.

MÉTODO PRÁCTICO Si la fracción que se eleva en cada rebote es constante se puede utilizar la siguiente fórmula:

n

hn = f × H Donde: H : Altura inicial, de la cual se suelta o se tira la pelota. f

: Fracción que se "eleva" en cada rebote. (Esta fracción es constante).

n

: Número de rebotes.

h n : Altura que se eleva en el ené-simo

rebote (altura final). Aplicación: Datos:

Para el problema anterior Fórmula: n

hn  f  H

H= ?

f

2 5

Reemplazando: 3

n= 3 h n  16

2 16     H 5 Efectuando: H  250 cm Rpta.

Problema 1 Se deja caer una pelota desde una altura de 81 cm, si en cada rebote que da, alcanza una altura que es los 2/3 de la altura anterior. ¿Qué altura se elevará la pelota en el cuarto rebote? a) 10 cm b) 14 cm c) 16 cm d) 18 cm e) 200 cm

41

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

Problema 2 Una bolita de caucho se deja caer desde anterior, si en el tercer rebote alcanzó bolita de caucho inicialmente? a) 100 cm b) d) 175 cm e)

cierta altura y en cada rebote pierde 2/5 de la altura una altura de 27 cm. ¿De qué altura se dejó caer la 125 cm 200 cm

c)

150 cm

Problema 3 Se deja caer una pelota desde 31,25 m si en el quinto rebote que dio alcanzó 2,43 m, además en cada rebote que da pierde la misma fracción que la altura anterior. Hallar la fracción que alcanza en cada rebote que da. 1 2 8 a) b) c) 2 3 9 3 1 d) e) 5 7 Distancia de la trayectoria recorrida hasta un determinado número de rebotes

D Traye c to ria Donde: H n f :

H 1 + f - 2 f = 1-f

n



: Altura inicial : Número de rebotes Fracción que se "eleva" en cada rebote

Problema 5 Una bolita de caucho se deja caer desde cierta altura y en cada rebote se eleva 3/5 de la altura anterior, si en el cuarto rebote alcanzó una altura de 81 cm. Hallar la longitud de la trayectoria que hizo la bolita de caucho desde que se dejó caer hasta chocar al suelo por cuarta vez. a) 2095 cm b) 2345 cm c) 2445 cm d) 2218 cm e) 2365 cm Distancia total recorrida hasta detenerse

D hasta

detenerse



H 1  f 1f

Problema 6 En el problema anterior, ¿qé distancia recorrera la bolita de caucho hasta que ésta se detenga por completo? a) 1200 b) 2750 c) 2500 d) 2950 e) 2540

5to grado

42

R.MATEMÁTICO

PROBLEMAS VARIADOS 1. Si a los términos de una fracción ordinaria irreducible se les suma el cuádruple del denominador y al resultado se le resta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original? a) 3/5 b) 3/8 c) 3/7 d) 4/5 e) 4/9 2. Si son las 2 p.m. ¿Qué parte del día falta por transcurrir? a) 2/5 b) 5/8 d) 5/12 e) 7/12

c) 3/7

3. Los 3/5 de “P” es “Q” y los 8/9 de “Q” es “R”. ¿Qué parte de “P” es “R”? a) 2/5 b) 8/15 d) 4/11 e) 2/9

c) 3/5

4. Gloria llega tarde al cine cuando había pasado 1/8 de la película, 6 minutos después llega Patty y sólo ve los 4/5. Si la película empezó a las 4 p.m., ¿a qué hora termina? a) 5:20 p.m. b) 5:30 p.m. c) 5:15 p.m. d) 5:18 p.m. e) 5:17 p.m. 5. Con los S/.65 que tenía compré libros por S/.15 y gasté en un traje los 7/10 del resto. ¿Cuánto me queda? a) S/. 15 b) S/. 20 c) S/. 12 d) S/. 24 e) S/. 30 6. De un salón de la academia sólo asisten a un examen los 2/3 de los alumnos, y de éstos aprueban los 3/7; si los desaprobados son 24. ¿Cuántos alumnos hay en dicho salón? a) 65 b) 80 c) 72 d) 63 e) 75 7. Un tanque de gasolina está lleno en sus 3/5 partes. Si se sacara 100 galones quedarían sus 4/7 partes. ¿Cuántos galones faltan para llenar el tanque? a) 1400 b) 2100 c) 2800 d) 6300 e) 7500 8. En un bus donde viajaban 100 personas ocurre una volcadura. De los sobrevivientes la onceava parte eran niños y la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos casados biajaban en totaln? a) 15 b) 9 c) 45 d) 55 e) 5 9. Un recipiente se llena con 60 litros de vino. Se consume 1/3 del contenido y se vuelve a llenar con agua, luego se consume 2/5 del contenido y se vuelve a llenar con agua. ¿Qué cantidad de agua hay en la mezcla final? a) 40 L b) 28 L c) 36 L d) 24 L e) 20 L 10. Si los 11/20 del volumen de un depósito están ocupados por cierta sustancia, para llenar el depósito se necesita S/. 540. ¿Cuánto cuesta 5/3 de litro de dicha sustancia, sabiendo que la capacidad del depósito es de 400 litros? a) S/. 15 b) S/. 20 c) S/. 12 d) S/. 24 e) S/. 30

43

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

11. Un cartero dejó 1/5 de las cartas que lleva en una oficina, los 3/8 en un banco, si aún le quedaban 34 cartas por distribuir. ¿Cuántas cartas tenía para distribuir? a) 90 b) 120 c) 70 d) 60 e) 80 12. En una batalla resultaron muertos la vigésima parte del número de hombres de un ejército, y heridos la doceava parte del mismo número más 60. Los que quedaron ilesos representan la mitad de los que entraron en acción, más 820. ¿Cuántos hombres se conformaban este ejército? a) 4200 b) 3000 c) 2400 d) 4000 e) 2800 13. Los 2/3 de los miembros de un club son mujeres y la cuarta parte de los varones están casados. Si hay 9 varones solteros, ¿cuántas mujeres hay en total? a) 36 b) 20 c) 48 d) 30 e) 24 14. Una camioneta cargada totalmente con arroz pesa 5300 kg., pero si sólo lleva los 5/7 de su capacidad pesa los 9/5 de la camioneta vacía. Hallar el peso de la camioneta vacía, en toneladas. a) 3,2 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 1,5 15. Un gato trepa hasta la copa de un árbol en 3 saltos consecutivos, siendo cada salto los 3/5 del salto anterior. Si el tercer salto con el que llega a la copa es 45 cm, hallar la altura total del árbol. a) 105 cm b) 350 cm c) 245 cm d) 75 cm e) 205 cm 16. Un conejo da 2 1/3 saltos por segundo y tiene ya caminados 20 1/3 saltos; en ese instante se suelta un galgo detrás de él. Este galgo da 3 1/2 saltos por segundo. Calcular en qué tiempo alcanzará el galgo al conejo. a) 17 s b) 18 s c) 17 3/7 s d) 18 2/7 s e) 16 2/5 s 17. Un depósito está lleno de agua, se saca la mitad y se llena con alcohol, la operación se realiza dos veces más. Hallar la relación final entre el agua y el alcohol. a) 1/7 b) 1/8 c) 3/7 d) 4/7 e) 2/5 18. Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí, luego recupero 1/3 de lo que no recupero y tengo entonces 42 soles. ¿Cuánto me quedaría luego de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? a) S/. 36 b) S/. 39 c) S/. 42 d) S/. 48 e) S/. 91 19. a) b) c) d) e)

¿Qué parte de la región sombreada representa la región no sombreada?

1 4 1 3 2 3 3 4 1 2

5to grado

44

R.MATEMÁTICO

20. En el rectángulo ABCD, qué parte de la fracción que representa a la región sombreada es la fracción que representa a la región no sombreada. 2 a) B C 3 2 b) 5 5 c) 4 4 d) 5 3 e) A D 5 REDUCCIÓN A LA UNIDAD 21. Un caño “A” llena un tanque en 2 horas y otro caño “B” lo desaloja en 6 horas, funcionando juntos. ¿En cuántas horas se llenara el tanque? a) 4 b) 3 c) 6 d) 9 e) 5 22. Ana puede hacer una obra en 20 días y Braulio lo podría hacer en 60 días. Si Ana y Braulio trabajan juntos, ¿en cuántos días terminarán la obra? a) 10 b) 12 c) 15 d) 9 e) 18 23. Un caño llena un estanque en 12 horas y una llave vacía el mismo estanque en 15 horas. ¿En cuantas horas se llenarán los 2/3 del estanque, si ambas llaves empiezan a funcionar al mismo tiempo? a) 40 b) 60 c) 30 d) 20 e) 50 24. Un grifo de agua puede llenar 1/5 del tanque en 2 horas; 1/3 del tanque se puede vaciar por un desagüe en 4 horas. Si ambos se abren a la vez, la mitad del tanque se llenará en: a) 30 h b) 120 h c) 15 h d) 45 h e) 60 h 25. Un caño llena un tanque en cierto tiempo y un desagüe lo vacía en la mitad de tiempo. Si el tanque estuviera lleno en sus 2/3 partes y se abriera simultáneamente caño y desagüe, se vaciaría en 8h. ¿En cuánto tiempo llenaría el tanque, si el caño trabajára solo? a) 8 h b) 6 h c) 12 h d) 9 h e) 11 h 26. Dos obreros pueden realizar un trabajo en 15 días. Si uno de ellos se demora 16 días más que el otro trabajando solo, ¿en quá tiempo haría el trabajo el otro, si tambien trabajaría solo? a) 40 d b) 16 d c) 35 d d) 24 d e) 18 d 27. Tres grifos proveen de agua a un estanque, estando vacío el estanque; el primero y el segundo funcionando juntos lo llenan en 6 horas; el segundo y el tercero lo harían en 3 horas, el primero y el tercero lo llenarían juntos en 4 horas. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque si sólo funciona el tercer grifo, estando el depósito inicialmente vacío? a) 3 h b) 3 h 38 m c) 4 h d) 4 h 40 m e) 4 h 48 m 28. Para preparar un pavo al horno, Patty se demora una hora, Lelia dos horas y Liseth tres horas. ¿Cuánto tiempo tardarán las tres personas juntas, en preparar dos pavos y medio?

45

5to grado

SAN LUCAS a) 8/11 h d) 51 2/11 h

“Por siempre los mejores” b) 1/2 h e) 1 4/11 h

c) 49 1/11 h

29. Hebert es doblemente veloz que Juan y éste es doblemente veloz que Julio. Si los tres juntos construyen un muro en 6 días. ¿En cuántos días podrá construir la mitad del muro si trabajase Juan solo? a) 21/4 b) 20 c) 21 d) 21/2 e) 22 30. Se tienen 2 desagües ubicados en la tercera parte y en el fondo de un recipiente, que vacían en 6 h y 9 h, respectivamente. Si abrimos los dos simultáneamente, ¿en qué tiempo quedara vacío todo el recipiente? a) 7 h b) 7,2 h c) 8 h d) 8,1 h e) 7,5 h 31. Un recipiente de 720 litros de capacidad está vacío y a su vez está cerrado el desagüe que posee. En cuánto tiempo se llenará si, abrimos al mismo tiempo el desagüe que desocupa 24 litros en 3 minutos y otras dos llaves que llenarán la primera 72 litros en 12 minutos y la otra 36 litros en 9 minutos. a) 7 h b) 6 h c) 8 h d) 5 h e) 9 h 32. Una cañería llena una piscina en 4 horas y otra puede dejar la vacía en 6 horas, ¿en qué tiempo puede llenarse la piscina, si la cañería de desagüe se abre una hora después? a) 11 h b) 10 h c) 9 h d) 12 h e) 13 h 33. Efraín trabajando solo, puede hacer un trabajo en 12 días, pero a los 5 días de iniciado el trabajo le ponen un ayudante, trabajan juntos 3 días y concluyen la obra, ¿qué tiempo habría demorado en concluir ese trabajo, si el ayudante trabaja solo? a) 9 días b) 8 días c) 6 días d) 12 días e) 7 días 34. Un tanque puede ser llenado por la cañería “A” en 6 horas y vaseado por otra cañeria “B” lo puede vaciar en 8 horas. Se abren ambas cañerías durante 2 horas y luego se cierra “B”, y “A” continúa abierta por 3 horas, al final de las cuales se reabre “B”. Desde la reapertura de “B”, ¿qué tiempo demora el tanque en llenarse? a) 7 h b) 10 h c) 9 h d) 12 h e) 6 h 35. Tres grifos M, N y P pueden llenar un estanque en 60 h, 48 h y 80 h, respectivamente. Estando vacío el reservorio, se abren los grifos M, N y P con intervalos de 4 horas, ¿en cuántas horas podrán llenar todo el estanque? a) 80/3 b) 72/3 c) 45/3 d) 52/3 e) 71/3 REBOTES 36. Una pelota de jebe cada vez que rebota se eleva los 3/4 de la altura de donde cayo; después de 5 rebotes la pelota se ha elevado 4,86 m. ¿De qué altura cayo al inicio la pelota de jebe? a) 2016 cm b) 2048 cm c) 4860 cm d) 4680 cm e) 2118 cm 37. Una pelota cae desde cierta altura y en cada rebote que da siempre pierde 2/5 de altura anterior de donde cayó. Si en el cuarto rebote se eleva a 9 cm. ¿Desde qué altura cayó la primera vez? a) 70 cm b) 36 7/16 cm c) 69 4/9 cm d) 35 5/16 cm e) 60 cm

5to grado

46

R.MATEMÁTICO 38. Una bola cae desde cierta altura y se observa que en cada rebote pierde 2/5 de su altura anterior, alcanzando 81 cm de altura en el cuarto rebote. Señalar la altura que alcanzó en el segundo rebote. a) 6,25 m b) 2,50 m c) 135 cm d) 2,25 m e) 220 cm 39. Se deja caer una bola sobre una mesa desde cierta altura. Sabiendo que en el tercer rebote alcanza una altura de 27 cm y que después de cada rebote pierde 2/5 de altura. Hallar la longitud de la trayectoria que describe la bola hasta el punto en que alcanza la máxima altura después del segundo rebote. a) 320 cm b) 230 cm c) 235 cm d) 325 cm e) 125 cm 40. Una bola es soltada desde cierta altura y cada vez que da un bote siempre pierde los 2/3 de la altura anterior de donde cayó. Si después del cuarto rebote se ha elevado 8 cm. Hallar la longitud de la trayectoria que hizo la bola hasta chocar al suelo por cuarta vez. a) 1252 cm b) 1024 cm c) 1224 cm d) 1272 cm e) 1248 cm

1. Una fracción es equivalente a 3/7, cuya suma de sus términos es 150. diferencia de sus términos. a) 55 b) 60 c) 45 d) 75 e) 50

Hallar la

2. Hallar la fracción equivalente a 2/5, tal que la suma de los cuadrados de sus términos sea 1044. 18 12 12 a) b) c) 45 30 35 6 4 d) e) 15 10 3. Un auto tiene que recorrer 780 km. Si ya recorrió la tercera parte de todo su recorrido. ¿Cuántos kilómetros le faltan por recorrer? a) 300 b) 250 c) 260 d) 600 e) 520 4. En una jaula se encuentran 20 loros, 15 monos y 10 papagayos. ¿Qué parte del total de animales corresponden a los monos? 1 2 1 a) b) c) 2 3 3 1 3 d) e) 5 5 5.

1 a) 2 3 d) 5

Si ya son las 6 a.m., ¿qué parte del día falta por transcurrir? 3 b) 4 1 e) 4

c)

2 3

6. Un padre de familia reparte su fortuna entre sus 3 hijos de la siguiente manera: al primer hijo le dio la cuarta parte, al segundo la tercera y al tercero la sexta parte y aún así le quedó S/. 2400. ¿Cuánto le tocó al segundo hijo?

47

5to grado

SAN LUCAS a) S/. 3200 d) S/. 3600

“Por siempre los mejores” b) S/. 7200 e) S/. 5400

c) S/. 4800

7. Una piscina está llena hasta sus 3/5 partes. Si se sacara 2000 litros quedaría llena hasta sus 4/7 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenar la piscina? a) 28 000 b) 30 000 c) 32 000 d) 40 000 e) 42 000 8. Una piscina tiene agua hasta la séptima parte de su capacidad total. Si añadimos 200 litros, ahora el tanque tiene la quinta parte de su capacidad llena de agua. ¿Cuál es la capacidad total de la piscina? a) 1 700 L b) 2 000 L c) 2 500 L d) 3 500 L e) 3 000 L 9. En la Academia, de una cierta cantidad de alumnos se observa que 1/3 de los alumnos están en el grupo “D”, 1/4 del total en el grupo “C”, 1/5 del total en el grupo "B” y 65 alumnos en el grupo “A”. ¿Cuántos alumnos hay en los grupos C y D? a) 200 b) 150 c) 140 d) 145 e) 175 10. Si de los profesores de la academia los 2/3 son mujeres y los 3/5 de los varones son casados, en tanto que los otros 6 varones son solteros. ¿Cuántos profesores son en total? a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 70 11. Si se mezclan 4 copas de cuba libre y 12 copas de gaseosa. ¿Qué fracción de la mezcla representa el cuba libre? a) 5/6 b) 1/6 c) 1/2 d) 1/4 e) 3/4 12. Si se mezclan 2 litros de Kan-Kun, 4 litros de Pomalca y 3 litros de gaseosa. ¿Qué parte de la mezcla representa Pomalca? 2 4 2 a) b) c) 5 9 7 1 3 d) e) 2 7 13. Se tiene un tanque con tres llaves, la primera llena el estanque en 6 horas, la segunda llena el mismo en 4 horas y la tercera llave vacía en 8 horas. ¿En cuántas horas se llenará el estanque, si las tres llaves empiezan a funcionar al mismo tiempo? a) 24/7 b) 22/7 c) 7/24 d) 15 e) 13 14. Un estanque puede ser llenado por un primer caño en 3 horas y por otro segundo caño en 4 horas. Si funcionan a la vez los dos caños y el estanque está vacío. ¿En cuánto tiempo se llenará el estanque? a) 12/7 h b) 7/12 h c) 4/12 h d) 4 h e) 3 h 15. Rodrigo puede pintar una casa en 12 días, mientras que Marcos pinta la misma casa en 60 días. Los dos juntos, en cuántos días pintarían la casa. a) 5 b) 6 c) 10 d) 8 e) 9 16. Un tanque de petróleo se llena en 4 horas abriendo la válvula A y se descarga en 5 horas operando la válvula B. En cuanto tiempo se llenaría si el operador comete el error de dejar abierta la válvula B. a) 6 h b) 7 h c) 9 h d) 19 h e) 20 h

5to grado

48

R.MATEMÁTICO 17. “ A ” puede construir una pared de ladrillos en 6 días, trabajando juntos “A” y “B” pueden completar el trabajo en 4 días. Si “B” trabaja solo en cuántos días podrá contruir la pared. a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16 18. Dos grifos llenan un tanque en 6 horas, pero si el segundo hace las veces de un desagüe, el tanque es llenado en 12 horas. En cuántas horas solo el primer grifo llena todo el tanque. a) 8 b) 16 c) 20 d) 24 e) 30 19. David es el doble de rápido que Yuri además entre los dos hacen un trabajo en 6 días. ¿Én cuántos días Yuri haría solo el trabajo? a) 9 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36 20. Una bola elástica cada vez que da un bote se eleva a una altura igual a 1/3 de la altura anterior. ¿Desde qué altura fue soltada, si después de 3 rebotes se elevó 4 metros? a) 118 m b) 81 m c) 27 m d) 108 m e) 109 m 21. Se deja caer una pelota desde una altura de 9 metros y al rebotar siempre pierde la cuarta parte de la altura anterior de donde cayó, ¿después de cuántos rebotes la altura final es 729/256 metros? a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4 22. Una bola cae desde una altura de 6,25 metros y en cada rebote la altura anterior. Luego del cuarto rebote se elevó a una altura de: a) 16 cm b) 8 cm d) 40 cm e) 48 cm

alcanza

2/5

de

c) 80 cm

23. Una bolita de plástico es soltada desde una altura de 81 cm y en cada rebote que da siempre se eleva la misma fracción de altura. Si después de 3 rebotes se elevó 24 cm. ¿Qué fracción pierde después de cada rebote? 1 3 2 a) b) c) 4 4 3 1 1 d) e) 3 7 24. Un padre, en su agonía le hace saber su última voluntad a su esposa embarazada, y es que si el bebé que ella espera, nace varón, quiere que éste reciba 1/3 de su herencia, y los 2/3 para la madre; pero si nace mujer, los 3/4 serán para ella y 1/4 para la madre, pero enorme fue la sorpresa de la madre que tuvo mellizos (un varón y una mujer). Determine, ¿cuánto recibió la madre, si la herencia asciende a 1800 dólares? a) $. 200 b) $. 400 c) $. 600 d) $. 800 e) $. 1000 25. Sergio se casó en 1986, cuando 1/3 del tiempo transcurrido era igual a la tercera parte del tiempo que faltaba por transcurrir. ¿En qué fecha exacta se casó Sergio? a) 1 de Julio b) 2 de Julio c) 4 de Agosto d) 3 de Agosto e) 7 de Julio 26. A un alambre de 91 metros de longitud se le hace tres cortes, de manera que la longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior aumentado en la mitad. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? a) 10 m b) 11,2 m c) 41,2 m d) 35 m e) 37,8 m 27.

Teresa tiene S/.180, pierde y gana alternadamente

¿Al final con cuánto se quedó? a) S/. 90

b) S/. 80

49

1 4 4 , , de lo que iba quedando. 2 5 9 c) S/. 120

5to grado

SAN LUCAS

“Por siempre los mejores”

d) S/. 82

e) S/. 81

28. Un depósito contiene 75 litros de leche pura, luego se extrae 1/3 de su contenido y se reemplaza por agua, enseguida se extrae 1/5 de la mezcla y también se reemplaza por agua y por último se extrae 1/4 de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua. ¿Qué relación de leche pura y agua quedan en el depósito? a) 2/5 b) 2/9 c) 1/7 d) 2/3 e) 1/9 29. Un depósito está lleno de agua, se saca la mitad y se llena de vino. La operación se realiza dos veces más. Hallar la relación entre el agua y vino. a) 1/4 b) 1/7 c) 1/8 d) 3/8 e) 5/9 30. 1 a) 4 1 b) 2 1 c) 6 1 d) 8 2 e) 7

Qué fracción del total representa la región sombreada, si ABCD es un cuadrado.

A

B

D

C

31. Qué parte del área no sombreada es el área sombreada, si P, Q, R y S son puntos medios del cuadrado ABCD. 3 a) R A B 16 5 b) 12 3 c) Q P 8 3 d) 4 3 S D C e) 13 32. Un tejido pierde al lavarse 1/3 de su longitud y 1/4 de su ancho. Averiguar cuántos metros de esta tela debe comprarse para obtener después del lavado 4M m 2. Si el ancho original de la tela era de “a” metros. 4a 10a 8M a) b) c) M M a 4M 8a d) e) a M 33. a) b) c) d) e)

¿Qué fracción es el área sombreada del área no sombreada?

1 3 2 3 1 1 4 3 5

5to grado

50

R.MATEMÁTICO 34. a) b) c) d) e)

¿Qué fracción del cuadrado ABCD es el área de la región no sombreada?

3 8 3 4 5 8 2 3 1 2

A

B

D

C

35. Una liebre perseguida por un perro lleva ya adelantados 90 saltos y da 5 saltos mientras el perro da 4, y como 7 saltos de la liebre equivalen a 5 del perro, se desea saber, ¿cuántos saltos tendrá que dar el perro para alcanzar a la liebre? a) 300 b) 500 c) 400 d) 450 e) 600 2

36. En un tonel se mezclan “m” litros de agua, “ 2 m ” litros de alcohol y “ m  2 ” litros de vino. Si se extraen “ m  1 ” litros de esta mezcla, ¿qué cantidad de alcohol se extrajo? m 2m a) m  2 b) c) m2 m2 1 m 1 d) e) m2 m2 37. A y B pueden hacer una obra en 3 días, B y C en 4, A y C en 5. ¿En cuántos días puede hacer A la obra, trabajando solo? 1 1 a) 8 b) 7 c) 10 8 17 d) 7 e) 15 38. Tres obreros pueden hacer un muro: trabajando juntos el primero y el segundo emplearían 1 día 5/7; el segundo y el tercero emplearían 2 días 2/9; el primero y el tercero emplearían 1 día 7/8. ¿Qué tiempo necesita cada uno respectivamente para hacer dicho muro? a) 3, 4 y 5 días b) 4, 5 y 6 días c) 2, 3 y 4 días d) 5, 6 y 7 días e) 8, 5 y 2 días 39. Dos caños pueden llenar un depósito en 27 horas. Después de estar abiertos ambos durante 12 horas se cierra uno y el otro llena lo que falta en 20 horas. ¿En cuántas horas llenará el depósito el caño de menor caudal? a) 36 b) 104 c) 108 d) 110 e) 112 40. El caño de suministro A de la figura mostrada llena el tanque en 12 horas, estando cerrado el caño de desfogue B. El caño B quita la parte que le corresponde en 10 horas, estando cerrado A. Estando vacío el tanque se abren los 2 caños a la vez, ¿en qué tiempo se llenará el tanque? a) 40 h

A

b) 36 h c) 44 h

h

B

d) 46 h e) 42 h

h 3

51

5to grado