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• Ailer Pinedo Amasifuén

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CEP Santa María de la Providencia

Capítulo 1

Segundo Periodo

1

1ro. de Secundaria

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Segundo Periodo

2

1ro. de Secundaria

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Definición: Un monomio algebraico, cuyos exponentes de sus variables son números naturales. Ejemplos: las siguientes expresiones son monomios:

Ojo: las variables de todo Monomio están escritas Dentro de estos paréntesis

Partes de un monomio: Todo monomio posee las siguientes partes:

Segundo Periodo

3

1ro. de Secundaria

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Valor numérico Consiste en reemplazar las variables de un monomio por números determinados. Así, se obtendrán un resultado, denominado VALOR NUMÉRICO. Ejemplo:

P(x) = 6x + 7 , hallar P(-2)

Solución: Reemplazamos: x = 4 P(-2) = 6(-2) + 7 P(-2) = -12 + 7 P(-2) = -5 …………… Respuesta Grados Para un monomio cualquiera pueden determinarse dos tipos de grados. • Grado Absoluto (G.A.) • Grado Relativo (G.R.) Grado Absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes de sus variables. Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable referida. Ejemplo:

P(x, y,z) = 7 2x 4 y 5 z2

G.A.: 4+ 5 +2 = 11 G.R.(x) = 4 G.R.(y) = 5 G.R.(z) = 2

Segundo Periodo

4

1ro. de Secundaria

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Ejemplo 1 Si: M(x,y) = 24x3y2 , hallar M(2 , -1) Solución: Hacemos: x = 2 ; y = -1  M(2 , -1) = 24(2)3(-1)2  M(2 , -1) = 24(8)(1)  M(2 , -1) = 192 ……… Respuesta Ejemplo 2 Dado el monomio: P(a,b) = expresión:

7 2 3 a b ; determinar el valor de la 16

E = P(2 ; -2) – P(4 ; -4)

Solución: Para P(2 ; -2): Hacemos: x = 2 ; y = -2

7 (2)2 ( −2)3 16 7 (4)( −8) = 14  P(2 ; -2) = 16  P(2 ; -2) = -

Para P(4 ; -4): Hacemos: x = 4 ; y = -4

7 (4)2 ( −4)3 16 7 (16)( −64) = 448  P(4 ; -4) = 16  P(4 ; -4) = -

Piden: E = P(2 ; -2) – P(4 ; -4)

Segundo Periodo

5



E = 14 – 448 = - 434

1ro. de Secundaria

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Ejemplo 3: El monomio:

3x a+ b− 5 yb− 3 es de GR(x) = 8

y G.R. (y) = 3

Entonces “a+b” vale: Solución: Si: G.R. (y) = 3

 b–3=3

b=6

Ahora, Como: GR(x) = 8  a+b-5 = 8  a+6-5 = 8 a=7  a + b = 13 ……… Respuesta Ejemplo 4: Hallar el valor de “n” para que el grado del siguiente monomio: n+ 4 8 P(x; y )= 2 3x y , sea igual 23. Solución: Si el monomio es de grado 23 entonces, su G.A. es 23 Entonces: la suma de los exponentes de sus variables es 23  n + 4 + 8 = 23  n = 11 …… Respuesta

Segundo Periodo

6

1ro. de Secundaria

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PROBLEMAS 01.- Hallar el grado absoluto de los siguientes monomios: a) P(x,y) = x7y13 b) P(x,y) = x4y71 c) P(x,y) = 52x9y11 d) P(x,y,z) = a2b3x4y5z6 e)

P(x,y) = (x3)4(y5)6 02.- Hallar el GR(x) y el GR(y) en cada caso: a) P(x,y) = x9y6 b) P(x,y) = x10y12 c) P(x,y) = 42y6x11 d) P(x,y) = a2b3x4y6 e) P(x,y,z) = ((x4)3)5.(y6) 03.- En el siguiente monomio: 3 P(x, y,z) = − x5 y 6 z7 . Hallar: GR(x) + GR(y) + GR(z) 2 a) 17 b) 13 c) 11 d) 18 e) 12 04.- En el siguiente monomio: M(x,y) = -3x4y5z6 ; dar: GR(x) + GR(y) a) 11

b) 9

c) 13

d) 10

e) N.A.

05.- En el siguiente monomio:

Segundo Periodo

7

1ro. de Secundaria

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P(a,x) = -2a4b3x5y6z7 . Sus variables son: a) x, y, z

b) a, b

c) a, x

d) a, x, z

e) b, y

06.- En el siguiente monomio: P(x,y,a) = -5x6y7b6a5z6 Hallar la suma de sus grados relativos. a) 18

b) 19

c) 11

d) 13

e) 12

d) 3

e) 8

07.- Hallar el grado de: T(x,y) = - 2x3y5 a) 4

b) 6

c) 5

08.- Hallar el grado de: P(x,y) = -3x4y5z6 a) 10

b) 9

c) 11

d) 15

e) 14

d) 13

e) 11

d) 7

e) 11

d) 13

e) 14

09.- Hallar el grado de: −7 2x3 y5 z5 a) 12

b) 8

c) 10

10.- Hallar el grado de: -51x2y3a5 a) 5

b) 8

c) 10

11.- El siguiente monomio: 2x3y4z5 Hallar: GR(X) + GR(Y) + GR(Z) a) 10

b) 11

c) 12

12.- Hallar el grado de:

( )

4

( )

2

3  3  Q =  x 2  .  x 4      a) 42 b) 44 c) 46 d) 48 13.- Hallar el grado del siguiente monomio:

Segundo Periodo

8

e) 50

1ro. de Secundaria

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P(x) = 2(x4)5 (y6)3 a) 18

b) 20

c) 2

d) 38

e) 19

14.- Hallar el grado GR(x) en la siguiente expresión: 3 2  2 3  Q(x) = 2  x 2   y3     

( )

a) 12

b) 6

( )

c) 4

d) 24

e) 7

15.- Hallar el grado absoluto del siguiente monomio:

a) 35

P(x,y) = 2x7–m+n+5+m–n b) 2 c) 12

d) 14

e) 10

16.- Hallar el grado absoluto del monomio: M(x,y) = 3x2 + 3 y7 − 3 a) 2 3

b) 9

c) 9 3

d) 5 3

e) 5

17.- Hallar el coeficiente del siguiente monomio: P(x,y) = 3b2x2yb–2 ; sabiendo: GR(y) = 3 a) -15

b) 75

c) -75

d) -125

e) -55

d) 8

e) 4

18.- Hallar “a” si el grado de: P(x,y) = 2x2ay3 ; es 15. a) 6

b) 7

c) 5

PROBLEMAS

Segundo Periodo

9

1ro. de Secundaria

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01.- Calcular el coeficiente del siguiente monomio: P(x) = 3a2(a + 1)xa – 2 ; sabiendo que es de primer grado. a) 106

b) 108

c) 110

d) 112

e) 114

02.- Calcular “a.b”, si en el siguiente monomio: 3 − xa −b yb − 2 ; GR(x) = 8 ; GR(y) = 10 2 a) 240

b) 90

c) 100

d) 120

e) 180

03.- Hallar “m + n”, si en el siguiente monomio:

a) 17

2 m −3 n − 2 a b ; GR(a) = 6 ; GR(b) = 11 7 b) 20 c) 21 d) 22 e) 25

04.- Hallar el valor de “a” si: GR(x) = 4 ; GA = 30 M = − 3xm − 3 ya + 2m a) 18

b) 12

c) 15

d) 20

e) 6

05.- Hallar el valor numérico de: P = 3x2y ; cuando: x = 3 ; y = 2 a) 12

b) 18

c) 8

d) 27

e) 6

06.- Hallar el V.N. de: M = xyz ; sabiendo que: 1 x = 3 ; y = ; z =1 2 a) 1/9 b) 3 c) 3/2 d) 9 07.- Si: P(x,y) = 6x2y6 , determinar el valor de:

e)

3

E = P(1;1) + P(2;1)

Segundo Periodo

10

1ro. de Secundaria

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a) 24

b) 8

08.- Si: P(x) =

c) 6

d) 30

e) 12

c) 6

d) 8

e) 10

c) 1

d) 4

e) 5

x2 2

calcular: P(P(P(2))) a) 2

b) 4

09.- Sabiendo que: Q(x) =

x +1 x −1

Calcular: Q(Q(Q(3))) a) 3

b) 2

10.- Si tenemos:

M(x;y) = 2x 2 y 3 , calcular: E= a) ½

M(1;1) − M(2;1)

b) -1/2

M(1;2) c) 3/8

d) -3/8

e) 0

11.- Para el siguiente monomio:

Q(x,y) = −5x 7a +1.y 3a+ 5 Se sabe que: G.R.(x) = 22 Determinar el valor de G.A. a) 5 b) 18 12.- Si los monomio:

Segundo Periodo

c) 14

11

d) 36

e) -5

1ro. de Secundaria

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M(x,y) = 4x a + 5 .y7 N(x,y) = −

1 2a 4 x y 2

poseen el mismo grado absoluto, indicar el valor de “a”. a) 2

b) 4

c) 8

d) 6

e) 10

13.- Dados los monomios:

2 a+ 3 3b + 5 x y 5 9 = x 2b+11y2+ a 7

A (x,y) = B(x,y)

Se sabe que ambos poseen el mismo G.A., determinar el valor de “b” a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

14.- Hallar el valor de “n” para que el grado del siguiente monomio: P(x; y) = 5xn+1y 4 sea igual 12. a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

15.- Al efectuar: (x 3 y 4 )(x 2 y a ) resulta un monomio de grado absoluto igual a 13. Calcular el valor de “a”. a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

16.- Calcular el valor de “n” del monomio:

Segundo Periodo

12

1ro. de Secundaria

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M(x; y) =

x 2+ m .y 3− n xm

Sabiendo que su grado absoluto es 3. a) 2

b) 4

c) 3

d) 14

e) 6

d) 6

e) 8

d) 5

e) 6

d) 4

e) 5

17.- Al reducir la expresión

( )

 2  x

( )

 3  x

3

2

 . x2  

 . x3  

3

2

resulta un monomio de grado........... a) 3

b) 4

c) 5

18.- El grado absoluto del monomio:

Q(x; y;z) = −2x 3 y a−1z 2 es 8 hallar el valor de “a” a) 2

b) 3

c) 4

19.- El monomio:

3xa+ b− 5 yb− 3 es de GR(x) = 5

y G.R. (y) = 2

Entonces “a” vale: a) 1

b) 2

Segundo Periodo

c) 3

13

1ro. de Secundaria

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Departamento de Publicaciones

Segundo Periodo

14

1ro. de Secundaria

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Capítulo 2

Segundo Periodo

15

1ro. de Secundaria

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Segundo Periodo

16

1ro. de Secundaria

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Definición: Es la unión de dos o más monomios mediante signos de sumas y restas. Ejemplos: P(x) = 6x7 + 8x5 + 11x2 + 12x – 3 Valor numérico Al igual que en el capítulo anterior, consiste en reemplazar las variables por números indicados. Ejemplo:

P( x) = 5 x + 2

Hallar: P(0); P(1); P(-1); P(y+1) P(0) = 5(0) + 2 = 2 P(1) = 5(1) + 2 = 7 P(-1) = 5(-1) + 2 = -3 P(y + 1) = 5(y + 1) + 2 = 5y + 7

GRADOS

Segundo Periodo

17

1ro. de Secundaria

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Grado Absoluto (G.A.): Está dado por el Mayor de los grados de sus términos. Grado Relativo (G.R.): Está dado por el Mayor de los exponentes de la variable referida. Ejemplo: P(x,y) =

5x2y7 - 3x4y2 9°

+ 4x2y2

6°

4°

Luego el grado absoluto (G.A.) del polinomio es 9. Además:

G.R.(x) = 4 (Mayor exponente de x) G.R.(y) = 7 (Mayor exponente de y)

EJEMPLO 1: Dado el polinomio:

4 7 P(m,n) = 2m n +

1 12 9 m − mn10 2 5

Calcular: 3G.R.(m) - 2G.R.(n) Solución: Del polinomio se puede distinguir que el mayor exponente para “m” es 12 , entonces su GR(m) es 12. Del mismo modo en el polinomio se puede notar que el máximo valor de los exponentes de “n” es 10, entonces el GR(n) es 10 Piden:

3G.R.(m) – 2G.R.(n) 3 ( 12) – 2 (10) = 36 – 20 = 16 …….. Respuesta

EJEMPLO 2:

Segundo Periodo

18

1ro. de Secundaria

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Si: M(x;y) =

1 2 2 2 3 3 1 x y − x y + 3 27 4

Hallar M(1;-3) Solución: Reemplazando: x = 1 ; y = - 3 M(1;-3) =

1 2 2 3 1 (1) ( −3)2 − (1) ( −3)3 + 3 27 4

M(1;-3) = 3 + 2 +

1 21 = …….. Respuesta 4 4 EJERCICIOS

01.- Hallar el G.A. en cada caso: a) P(x,y) = x7+y9 b) P(x,y) = x3y4 + x2y6 c) P(x,y) = x7y8 + x8y5 d) P(x,y) = (x2y3)4 + xy17 02.- Hallar el GR(x) y el GR(y) en cada caso: a) b) c) d)

P(x,y) = x2y3 + x4y6 + y6 P(x,y) = x4y6 + xy6 + y8 P(x,y) = 2x3 + 5y9 T(x,y) = xy2 + xy6 + x5y9 PROBLEMAS

01.- Hallar el G.A. en cada caso:

Segundo Periodo

19

1ro. de Secundaria

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a) P(x,y) = x7+y9+ 2x10+3y11 b) P(x,y) = x3y4 + x2y6 - x7y9 c) P(x,y) = x7y13 + x3y12 d) P(x,y) = (x4y6)2 + x2y13 02.- Hallar el GR(x) y el GR(y) en cada caso: a) P(x,y) = x3y5 + x2y6 + y8x2 + x11y7 + y2 b) P(x,y) = x4y6 + x4y10 + y8 + x2y5 + xy11 c) P(x,y) = 2x3 + 5y9 + x3y11 + 2y3 + 11x2y4 + x8y2 d) T(x,y) = xy2 + xy6 + x5y9 03.- Dado el polinomio:

P(x;y) = 5x4z10 + 2xy7z2 – 7x6y3z12 Hallar el GR(x)+GR(y)+GR(z)+GA a) 22

b) 28

c) 46

d) 64

e) 33

04.- Si se tiene el polinomio: A(x) = 3xa+3y4 + 5xa+1y5 + axay7 Donde el GR(x) = 5. ¿Hallar la suma de coeficientes del polinomio? a) 8 b) 10 c) 8+a d) 12 05.- Calcular el grado absoluto del polinomio.

e) NA

P(x,y,z) = 2x8 y 4 z2 − (xy)4 z2 + x 4 y8 − x9 y 4 z2 a) 14

b) 12

Segundo Periodo

c) 15

d) 13

20

e) 16

1ro. de Secundaria

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06.- Cuál es el grado absoluto de: P(x; y) = 3x6y2 + 2x5y3 - 8x4y2 + 9y9 - 7x2y2 a) 4

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

07.- Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio: P(x,y) = 2x2y + 3xy2 + 7y2 – 4x2 a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

e) 12

08.- Hallar el valor de “a” si, el siguiente polinomio tiene como suma de coeficientes 20. P(x) = 2x5 + (a - 3)x3 + 3x4 – 4 a) 21

b) 22

c) 23

d) 24

e) 18

c) 7

d) 6

e) 11

c) 2/3

d) 1/3

e) 1/6

09.- Hallar el valor de “M”. M = x2 + y3 + z4 Cuando: x = 2 ; y = 3 3 ; z = 4 4 a) 5

b) 9

10.- P(x) = x 2 + x Hallar: M = a) 1/2

P(0) + P(1) P(2) b) 3/2

PROBLEMAS 01.- ¿Cuál es el mínimo valor que puede tomar “n”, si en el polinomio:

Segundo Periodo

21

1ro. de Secundaria

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P(x,y) =

7 4 n+ 6 x y − 5x 3 yn+ 4 + xy 4 2

Se cumple que: G.R.(y) = 4 ? a) 0 b) 4 c) 2

d) -2

e) -4

02.- Hallar la suma de coeficientes de P(x), si el polinomio: P(x) = 3mxm + xm+ 2 − x m+ 4 Es de grado 7. a) 7

b) 3

c) 9

d) 8

e) NA

03.- Calcular “a”, si en el polinomio: P(x,y) = 5x 3 y 4 − 7x a+ 3 y 8 + 2x a +1y11 , se cumple que: G.R.(x)=8 a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

04.- Dado el polinomio: 4 7 P(m,n) = 2m n +

1 12 9 m − mn10 2 5

Calcular: G.R.(m) + G.R.(n) a) 12

b) 22

c) 7

d) 1

e) 8

d) -36

e) 40

05.- Si: P(x,y) = (x + y)2 – (x – y)2 Calcular: P(5;2) a) -45

b) -50

c) -60

06.- Dada la expresión algebraica:

B( x;y ) = (x − 2)2 + (y + 2)2

Segundo Periodo

22

1ro. de Secundaria

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Calcular: B(26;5) a) 15

b) 25

c) 35

d) 4

e) 5

d) –3

e) 0

07.- Dado el polinomio:

P(x) = x3 − 5x 2 + 4x + 1 Hallar “ P(2) + P( −1) ” a) –9

b) –12

c) –6

08.- Dado P(x) = 2x2 – 3x + m Además P(5) = 78, calcular “m” a) 23

b) 33

c) 43

d) 53

e) 63

09.- Sabiendo que:

P( x ) = x100 − 4x98 + 5x − 2 Calcular: P(0) + P(1) + P( −1) a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) -12

10.- Sabiendo que : P(x) = 3x − 1 ; Q(x) = x − 2 Calcular: “Q(P(2))” a) 2

b) 3

d) 7

e) 4

b) 1 c) 2 d) 0 2x + 2 12.- Si: f(x) = . Hallar: f ( f (3) ) x −1

e) 3

11.- Si: Q(x) = x + 3 Calcule: b – a

c) 5 y

Q(a) = b

a) –5

Segundo Periodo

23

1ro. de Secundaria

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a) 1/3

b) 10/3

c) 2/3

d) 3

e) 4

13.- Calcular (n-m) para que el polinomio: P(x;y) = x3m + 2n − 5 ym −n + 4 + x3m + 2n −1ym −n + 2 Tenga: GA = 28 y a) 1

GR(y) = 2

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

14.- Encontrar la suma de los coeficientes si el polinomio: P(x) = axa +1 + 2axa + 2 + 3ax a + 4 Tiene grado 7. a)

b) 18

c) 15

d) 12

e) 10

15.- Si: P(xy) = x2 – 2y Calcule P(3;4) + P(5;10) a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

16.- Si: P(x) =

x+3 x −1

Calcule P(5) + P(9) a) 1/2

b) 12

c) 7/2

17.- Si: P(x) = 2x – 3

d) 16

e) 18

, Q(x) = x2 – 3

Halle el valor de P(Q(2)) + Q(P(3)) a) 1

b) 10

Segundo Periodo

c) 14

d) 8

Capítulo 324

e) 5

1ro. de Secundaria

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Segundo Periodo

25

1ro. de Secundaria

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Segundo Periodo

26

1ro. de Secundaria

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Términos Semejantes Son aquellos términos algebraicos cuyas variables y exponentes respectivos son iguales Ejemplos:

7x 2 ; −

6xy 2 ;

3 2 x ; 5x 2 2

2 2 xy ; − 4xy 2 3

Reducción de Términos Semejantes Reducir los términos semejantes:

a) 8y2–5x2+xy–25x2–30y2+11xy+14x2+26y2+6x2+13xy b) 2ab3–3a2b2+9a2b–8a3–10a2b2–9a2b+15a3–7ab3+13a2b2 c) –5xn+8yn–10zn+15xn–16yn+20zn+48xn–15zn–14xn+12yn d) –5a2b+8ac–4b2c–10ac+15b2c–16a2b+9ac–23b2c

Adición y Sustracción

Segundo Periodo

27

1ro. de Secundaria

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Al sumar polinomios, se reducirán sus términos semejantes. Aquellos que no lo sean serán colocados conservando su propio signo. Ejemplo:

P(x) = 7x2 + 3x – 5 Q(x) = 5x2 – 2x + 9

Calcular: P(x) + Q(x) Solución: Agrupando: (7x2 + 5x2) + (3x-2x) + (-5+9) 12x2 + x +4 ….. Respuesta La gran diferencia que existe con la suma, es que al polinomio negativo (precedido por un signo – ) se le cambiarán, previamente, los signos de TODOS sus términos . Luego de esto, se procede como la suma Ejemplo:

P(x) = 2x3 – 5x2 + 10x – 7 Q(x) = x3 – 7x2 +3x - 11

Calcular: P(x) – Q(x) Solución:

el signo se antepone al sustraendo

2x3 – 5x2 + 10x – 7 – (x3 – 7x2 +3x – 11 ) Entonces:

2x3 – 5x2 + 10x – 7 – x3 + 7x2 – 3x + 11

Reduciendo términos: x3 + 2x2 + 7x + 4

EJERCICIOS Segundo Periodo

28

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

01.- Dados los polinomios: A = 2x4 + 4x2 – 3x3 – 7 + 2x B = 2x2 – 4x3 + 3 – 2x + x4 C = 6x4 – 8x2 + 5x – 4 + x3 Hallar:

A+B+C

02.- Dados los Polinomios: A = 2x5 + 5x4 + 3x + 12 B = 11x4 + 3x3 + 5 C = 3x5 – 4x4 + 5x3 + 11 Hallar: A + B – C

03.- ¿Cuánto le falta a 7x3 + 3x – 8x2 + 4 ; para ser igual a: 4x + 10x2 + 7x3 – 5?

04.- Si: 10x4 + 5x + 3x3 – 4x2 + 6 = A + 8x4 + 4x3 – 8 – 4x2 + 4x

Segundo Periodo

29

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

Hallar el polinomio A

04.- Operar: a) De 1 – x2 restar 4x2 – 7

b) De 6–x–x4 restar 2x–3+x4 c) De 4–a6 restar a6 – 3

d) Restar 2m5–3m+1 de 5m5–3

e) Restar 5a8–a2+3 de a8–8a2

f)

De 3–x+2x2 restar 6–3x2–8

g) De 5–6x+8y restar 7x–y+6 h) Restar 5xy2 – 6y+ 8x – 6 de -3y+x–8–6xy2 i)

De 0,3y8 – 0,9y4 – x + 2 restar –0,7y8 – 7

05.- Dados los polinomios: A = 3x4 – 2x2 + 6x3 + 8

Segundo Periodo

30

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

B = 7x2 – 4x + 11 C = –7x + 5x3 D = x2 – 4x4 + 1 Hallar: a) A+B+D b) A+B+C c) B+C+D d) (A–B) +D e) (B+C) – D f) (A+C) + (B–D)

06.- Si: E = 1+x–x2 F = x2–x–1 Hallar E+F

07.- Efectuar M–S si se cumple que: M = 3a2–b–c2 S = b+c2–3a2

Segundo Periodo

31

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

Indicar como respuesta: M – S + 2b + 2c2

08.- Reducir: E = 2(x2+x+1) + 3(x2–x+1) – 10(x2–

1 x –2) 5

09.- Si se sabe: P(x) = 2 – x + 5x2 Q(x) = x + 5 – x2 Hallar E = 3P(x) – 5Q(x) 10.- De: a2+b+1 restar la suma de a2–2b con 3b+1 11.- ¿Cuánto le falta a 1–x para ser igual a 1+x ? 12.- Si: P(x) = 1 – x2 + x ; Q(x) = 2 – x ; R(x) = x2+2 ¿Cuánto le falta a la resta de “Q” menos “R” para ser igual a la suma de “P” más “Q”? MULTIPLICACIÓN Para multiplicar polinomios debemos tener en cuenta a la siguiente propiedad

Segundo Periodo

32

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

am .an = am +n m,n ЄN, aЄR Ejemplo: Multiplicar : x5 por 3x2 – 2x + 1 Solución: tenemos:

x5 . ( 3x2 – 2x + 1 )

= x5 . 3x2 – x5.2x + x5.1 = 3x7 – 2x6 + x5 ….. Respuesta Ejemplo: Multiplicar (x2 + x3) por (2x3 – x2 + 2x – 1) Solución: Tenemos: (x2 + x3) . (2x3 – x2 + 2x – 1) Multiplicando: = x2.2x3 – x2.x2 + x2.2x – x2.1 + x3.2x3 – x3.x2 + x3.2x – x3.1 = 2x6 + x5 + x4 + x3 – x2

Respuesta

EJERCICIOS BLOQUE I a)

2x(x+3)

Segundo Periodo

33

1ro. de Secundaria

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b)

3x(x2+3x)

c)

x(x2+x+1)

d)

(x+3)(x+2)

e)

(x+6)(x+4)

f)

x(x+2)(x+3)

g)

x(x–4)

h)

x(2x–5)

i)

(x+1)(x–6)

j)

3x(x+ 3)(x+2)

k)

7(x+5)(x+2)

l)

10(x+3)(x+2)

BLOQUE II

a) (x+y)(4x–3y) b) (x2+5x)(2x–3) c) (5x3+4x2+8)(x2–2) d) (x2y–5x2y2+2xy3)(x2y–3xy3+4xy3) e) (x5–2x3+6x2–3x)(5x3–x+2) BLOQUE III a) (x4–2x3+x+6)(x2–1)

Segundo Periodo

34

1ro. de Secundaria

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b) (–3x3y+4x2y2–5xy3)(x–5)

c) (4x2–2x+3)(x2+6x+1)

d) (x2+3x)(x+7)(x2–2) BLOQUE IV 01.- Si: G(x) = 2x3 – 5 ; D(x) = 2x3 + 5, calcular: [G(x)][D(x)] a) 4x6 - 25

b) 4x6 + 25 c) 4x6 - 5

d) 4x3 – 25

e) 4x2 - 25

02.- Sabiendo que R(x) = x + 2; S(x) = 3x2 – x + 1 Entonces, [R(x)].[S(x)] será: a) 3x3 – 5x2 + 2 b) 5x3 – 3x2 c) 3x3 + 5x2 + x -2 d) 3x3 + 5x2 - x + 2 e) 3x3 + x2 - 2 03.- Si: P(x) = ( x + 1) ; Q(x) = (x + 2) ; R(x) = (x – 1) Determinar el valor de: [P(x)].[Q(x)].[R(x)] a) x3 – x2 + 1 b) x3 + 2x2 - x - 2 c) x3 + x2 -1 d) x3 – 2x2 + x + 2

Segundo Periodo

35

1ro. de Secundaria

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e) x3 – x – 2 04.- Si:

A(x) = x – 3 B(x) = x + 2 C(x) = x - 6 D(x) = x + 1

Calcular: [A(x).B(x)] - [C(x).D(x)] a) -x

b) 5x

05.- Siendo:

c) -4x

d) -5x

e) 4x

d) 2

e) 0

M(x) = x + 2 N(x) = x + 5 T(x) = x + 3 U(x) = x + 4

Calcular: [M(x).N(x)] - [T(x).U(x)] a) x

b) -x

c) -2

06.- Reducir: (x + 2)(x2 - 3x + 1) – x2(x - 1) + 5(x + 2) a) 10

b) 12

c) 8

d) 6

e) 4

d) x+3

e) x3 + 3

07.- Simplificar: (x + 3)(x2 + x + 1) - 4x(x + 1) a) x2 + 3

b) x3 - 3

c) x2 - 3

08.- Efectuar: (x + 1)(x + 2) - x(x + 3)

Segundo Periodo

36

1ro. de Secundaria

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a) 2

b) 4

c) 8

d) 10

e) 12

09.- Si: P(x) = 7x2 + x + 1 ; Q(x) = x2 + 1 , Calcular: [P(x).Q(x)] – [Q(x).P(x)] a) 7x4 + x3

b) x3 – x2 + 7x c) 7x5-x2+9 d) 14x2

10.- Reducir: a) 9x7

e) cero

7x2 . (x5 - 2x3) + 2(x7+7x5)

b) 5x2

Segundo Periodo

c) 6x2

37

d) 14x5

e) cero

1ro. de Secundaria

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Departamento de Publicaciones

Capítulo 4

Segundo Periodo

38

1ro. de Secundaria

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Segundo Periodo

39

1ro. de Secundaria

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Se llaman productos notables a aquellos resultados de la multiplicación entre dos polinomios que tienen características especiales y que se pueden determinar directamente, sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación PRINCIPALES EQUIVALENCIAS ALGEBRAICAS 1.- BINOMIO AL CUADRADO

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 Al desarrollo del cuadrado de un binomio se le denomina Trinomio Cuadrado Perfecto. 2.- BINOMIO AL CUBO

(a+b)3 = 3ab(a+b) Segundo Periodo

a3 40

+

b3

+ 1ro. de Secundaria

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3.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a+b)(a–b) = a2 – b2 Ejemplo 1: Efectuar: (x+4)2 – (x+1)2 – 6x Solución: Utilizando las fórmulas: E = x2 + 2(x)(4) + 42 – [ x2 + 2(x)(1) +12 ] – 6x E = x2 + 8x + 16 – [ x2 + 2x + 1] – 6x E = x2 + 8x + 16 – x2 – 2x – 1 – 6x E = 15

Ejemplo 2: Reducir: 3

(x + 6)2 − (x + 3)2 − 6x

Solución

Segundo Periodo

41

1ro. de Secundaria

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3

x 2 + 12x + 36 − (x 2 + 6x + 9) − 6x

3

x 2 + 12x + 36 − x 2 − 6x − 9 − 6x

3

36 − 9

3

27

Respuesta: 3

1.- BINOMIO AL CUADRADO a) (x+2)2 = b) (x+11)2 = c) (2x+1)2 = d) (3x+1)2 = e) (x2+2y)2 = f)

(4x3+3)2 =

g) (2x+

1 2 ) = 2

h) ( 2 x+2)2 = 1 2 ) = 8

i)

(2x2+

j)

(0,2+x)2 =

k) (x–10)2 = l)

(1–y)2 =

m) (3x3–y)2 =

Segundo Periodo

42

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

n) (x6– 5 )2 = o) (–x–2)2 = p) (–x – 1 )2 = q) (–0,2 – x)2 = r)

(x4 – 2y2)2 =

s) (x10 + 2)2 = t)

(6x2+5)2 =

2.- DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a+b)(a–b) = a2 – b2 “El producto de la suma por la diferencia de dos binomios es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo”. Al segundo miembro de esta igualdad se denomina Diferencia de Cuadrados. EJERCICIOS a)

(3x2 + 1)(3x2 – 1) =

b) (2y + 3)(2y – 3) = c) (1+x)(x–1) = d) (3x+5)(3x–5) = e) (1–x2)(1+x2) = f)

(2+x3)(2–x3) =

Segundo Periodo

43

1ro. de Secundaria

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g) ( 7 +x)( 7 -x) = h)

 x y  x y   2 + 3  2 − 3  =   

i)

2  2   x + 5  x − 5  =   

j)

x  x   2 + 7  2 − 7  =   

3.- Producto de dos Binomios con un término común

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x +a.b

EJERCICIOS a) (x+2)(x+3) = b) (x+4)(x–3) = c) (x+2)(x+5) = d) (x–6)(x-3) = e) (2x+1)(2x+4) = f)

(x+7)(x–4) =

g) (3x+1)(3x–6) = h) (x–10)((x–11) = i)

(2x+7)(2x+5) =

Segundo Periodo

44

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

j)

(x2–7)(x2+3) =

k) (x2–2)(x2–7) = l)

(x+2)(x+4) =

m) (x+1)(x–3) = n) ( 2 x+6)( 2 x–1) = o) (xy3–9)(xy3+5) = p) (x–2)(x+3) = q) (x3+2)(x3–3) = 4.- CUADRADO DE UN TRINOMIO

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

EJERCICIOS a) (x+y+2)2 = b) (x-y-1)2 = c) (x2+x–1)2 = d) (x–y–7)2 = e) (x2+6x-3)2 = f)

(x3+x+1)2 =

g) (3+x+x4)2 = h) (x2+x–3)2 = i)

(4-x–x2)2 =

Segundo Periodo

45

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

j)

(7x3–3x2–3)2 =

k) (x+y+3)2 = l)

(x6–x3–6)2 =

m) (2–x–x4)2 = n) (8x2–6–x)2 = o) (4x–x3+1)2 = p) (2x+y–2)2 =

5.- SUMA DE CUBOS

(a+b)(a2–ab+b2) = a3 + EJERCICIOS

1.

(x4 + 2)(x8 - 2x4 + 4)

2.

(x² + 8)(x4 - 8x2 + 64)

3.

(x5 + 6)(x10 - 6x5 + 36)

4.

(5x3 + 1)(25x6 - 5x3 + 1)

5.

(x + 4)(x² - 4x + 16)

6.

(x + 7)(x² - 7x + 49)

7.

(2x6 + 9)(4x12 - 18x6 + 81)

8.

(0,3x + 7)(0,09x² - 2,1x + 49)

Segundo Periodo

46

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

9.

(x² + 3)(x4 - 3x² + 9)

10.

(2x² + 3a)(4x4 – 6ax² + 9a2 )

6.- DIFERENCIA DE CUBOS

(a–b)(a2+ab+b2) = a3 – EJERCICIOS

1.

(x-4)(x²+4x+16)

2. (x-7)(x²+7x+49)

3.

(x4-2)(x8+2x4+4)

4.

(x²-8)(x4+8x2+64)

5.

(2x6-9)(4x12+18x6+81)

6.

(7x-3)(49x2+21x+9)

7.

(0,5x-3)(0,25x2+1,5x+9)

8.

(x–6)(x2+6x+36)

9.

(x4–2)((x8+2x4+4)

10.

(0,5x–3)(0,25x2+1,5x+9)

11. (0,7x3 –5)(0,49x6+3,5x3+25) 7.- IDENTIDADES DE LEGENDRE

(a+b)2 + 2 2 2(a +b ) Segundo Periodo

2

(a-b)2 247

(a+b) – (a-b) = 4ab

= 1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

EJERCICIOS

EJERCICIOS a) (x + 3)2 – (x – 3)2 b) (2x – 1)2 + (2x + 1)2 c) (x + 5)2 – (x – 5)2 d) (x + x-1)2 + (x – x-1)2 e) (2x + 4)2 + (2x – 4)2 f)

(7x – 6)2 + (7x + 6)2

g) (11x + 9)2 + (11x – 9)2 h) (4x + 1)2 – (4x – 1)2

PROBLEMAS 01.- Desarrollar: M = (x+2)2 - (x-2)2 a) 6x

b) 7x

c) 8x

d) 5x

e) N. A.

d) 9x

e) N.A.

02.- Desarrollar: P = (2x+1)2 - (2x-1)2 a) 8x

b) 7x

Segundo Periodo

c) 6x

48

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

03.- Desarrollar: E = (2x+3)2 - (2x-3)2 a) 23x

b) 24x

c) 25x

d) 27x

e) N.A.

04.- Efectuar. M = (x+4)(x-4) - (x+3)(x-3) a) -7

b) +7

c) -6

d) +6

e) N.A.

05.- Desarrollar: M = (x+5)(x-5) - (x+4)(x-4) a) +9

b) -9

c) -5

d) +5

e) N.A.

d) 11

e) 7

d) 5x2

e) N.A.

06.- Desarrollar: E = (x+3)2 + (x-3)2 – 2x2 a) 13

b) 18

c) 12

07.- Desarrollar: E = (x+5)2 + (x-5)2 - 50 a) 3x2

b) 2x2

c) 4x2

08.- Desarrollar: (x + 4)(x - 4) - (4 - x)(4 + x) + 32 a) 3x2

b) 5x2

c) 6x2

d) 2x2

e) N.A.

09.- Efectuar: (x + y)(x - y) + (y - z)(y + z) a) x2 + z2

b) x2 - z2

Segundo Periodo

c) z2-x2

49

d) y2+z2

e) N.A.

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

10.- Calcular: (9 + x)(9 − x) + (x − 9)(x + 9) a) 1

b) 0

c) 3

d) 5

e) 7

11.- Efectuar: E = ( 3 + 1)( 3 − 1) − (1 + 2)(1 − 2) a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) N.A.

12.- Calcular: E= a)

2

b)

3

(x + 4)2 − (x + 3)2 − (x + 2)2 + x 2 + 2x c) 3

d) 2

e) NA

13.- Calcular, sabiendo que: x > 0 x(x + 2) + x(x − 2) − x 2

E= a) 1

b) x2

14.- Reduzca: a) 11

c) x

d) 2x

e) N.A.

(x+2)(x+1) – (x+5)(x-2)

b) 12

c) 13

d) 4

e) 5

15.- Efectuar, sabiendo que: x > 0 E= a) x

b) 2x

x(x + 3) + x(x − 3) + 2x 2 c) 5x

d) 7x

e)

N.A.

16.- Calcular:

Segundo Periodo

50

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

(x + 6)2 − (x + 3)2 − 6x − 2

E= a) 4

b) 3

c) 2

d) 5

e) N.A.

17.- Efectuar, sabiendo que: xy > 0 [(x + 3y)2 − (x − 3y)2 ].3xy

E= a) 3xy

b) x2+y

c) x+y2

d) 6xy

e) N.A.

18.- Calcula: (a + b)2 + (a + 2b)2 − 2a2 − 6ab − 5b2

E= a) a2

b) b2

c) 0

d) ab

e) a2+b2

PROBLEMAS 01.- Efectuar, si: a > 0 E= a) 5a

b)

(a + b)2 + (a + 2b)2 + (a − 3b)2 − 14b2 2a

c) 7a

d)

3a

e) N.A.

02.- Calcula:

Segundo Periodo

51

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

E = (a+b)3 + (a-b)3 - 6ab2 a) -2a3

b) 2a2

c) 2a3

d) -2a2

e) N.A.

d) 3x2

e) N.A.

d) 3

e) N.A.

03. Efectuar: (x+1)3 - (x-1)3 - 2 a) 6x2

b) 5x2

c) 4x2

04.- Calcular: (x + 2)3 + (x - 2)3 - 24x a) 2x2

b) 2x3

c) 2x

05.- Calcular: E= a)

13

b)

17

(9 + x)(9 − x) + (x + 8)(x − 8) c)

d)

15

11

e) NA

06.- Efectuar: E = (x + 2a)2 - (x - 2a)2 a) 4xa

b) 8xa

c) 6xa

d) xa

e) N.A.

07.- Efectuar: E = (x+1)3 + (x+1)2 - 4x2 - 5x -2 a) x2

b) x3

c) x

d) 2x

e) x

d) 7x

e) N. A.

08.- Efectuar: E = (x-1)3 + (x+1)3 -2x3 a) 4x

b) 3x

c) 6x

09.- Calcular:

Segundo Periodo

52

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

E = (a+b)2 - (a-b)2 a) 4ab

b) 3ab

c) 2ab

d) ab

e) N.A.

10.- Hallar el equivalente: E = (x-2)2 + (x-3)2 + (x-4)2 + 18x – 29 a) x2

b) 2x2

c) 3x2

d) 4x2

e) N.A.

11.- Calcular: E = (a+1)2 + (a+2)2 + (a+3)2 - 3a2 - 12a a) 14

b) 13

c) 12

d) 11

e) N.A.

12. Efectuar: E = (b-1)2 + (b-2)2 + (b-3)2 + 12b – 14 a) 2b2

b) b2

13.- Calcular:

c) 3b2

d) 7b2

e) N.A.

( 13 + 1)( 13 − 1) + ( 5 + 1)( 5 − 1)

a) 2 b) 4 c) 6 14.- Indicar verdadero o falso I. (x − 3)2 = x 2 + 6x − 9

d) 8

e) 10

d) VVF

e) VFF

II. (x + y)(y − x) = x 2 − y 2 III.(x + 1)2 − (x − 1)2 = 4x a) VFV

b) FVV

c) FFV

15.- Señalar cuántos enunciados son falsos: I. (a + b)(a + c) = a2 + 2(b + c) + bc

Segundo Periodo

53

1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

II. ( x + y )( x + y ) = x 2 + y 2

(

III. x 5 + y 4

)

2

= x 10 + y 8

( ) V. 4 x (x y ) = 4 x

IV. 2 x x 2 − y = 2 x 3 − 2 xy 2

a) 1

b) 2

3

+ 4 xy

c) 3

d) 4

e) 5

16.- ¿Cuál es la suma de áreas de las figuras? a) b) c) d) e)

2x 3x 4x 5x 6x

17.- ¿Cuál es la suma de áreas de las figuras? a) b) c) d) e)

x2-55 x2+55 x+55 x-55 3

18.- Calcular: a) 21/8

( x + 9)2 −( x +13 )( x + 5) ( x +10 )( x + 9 ) −( x +16 )( x + 3 )

b) 2/7

19.- Efectuar: E =

c) 3/4

b) 3

e) 1

( 13 + 11 )2 + ( 13 − 11 )2 ( 7 + 2)( 7 − 2)

Dar como respuesta el valor de a) 16

d) 8/21

E

c) 4

d) 5

e) 6

20.- Dar el equivalente de:

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CEP Santa María de la Providencia

(2a-b+c)2 – (2a+b–c)2 + a(b – c) a) 9a(c-b)

b) 4a(b-c)

c) 4a(b+c)

d) -7a(b-c) e) 4a(c-b)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) También conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filósofo, matemático y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. Nacido en Leipzig, se educó en las universidades de esta ciudad, de Jena y de Altdorf. Desde 1666 (año en que fue premiado con un doctorado en leyes) trabajó para Johann Philipp von Schönborn, arzobispo elector de Maguncia, en diversas tareas legales, políticas y diplomáticas. En

Segundo Periodo

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1ro. de Secundaria

CEP Santa María de la Providencia

1673, cuando cayó el régimen del elector, Leibniz marchó a París. Permaneció allí durante tres años y también visitó Amsterdam y Londres, donde dedicó su tiempo al estudio de las matemáticas, la ciencia y la filosofía. En 1676 fue designado bibliotecario y consejero privado en la corte de Hannover. Durante los 40 años siguientes, hasta su muerte, sirvió a Ernesto Augusto, duque de Brunswick-Lüneburg, más tarde elector de Hannover. Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física La contribución de Leibniz a las matemáticas consistió en enumerar en 1675 los principios fundamentales del cálculo infinitesimal. Esta explicación se produjo con independencia de los descubrimientos del científico inglés Isaac Newton, cuyo sistema de cálculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el método de notación ideado por Leibniz fue adoptado universalmente. En 1672 también inventó una máquina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas. Es considerado un pionero en el desarrollo de la lógica matemática.

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