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• KarlaVelazco

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2.5 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades La derivada de una función vectorial r está definida de la misma manera que para las funciones de valores reales.

(

( )

)

( )

Si este límite existe. El significado geométrico de esta definición se muestra en la figura 1. Si los ) entonces ⃗⃗⃗⃗⃗ representa el vector puntos P y Q tienen vectores de posición ( ) ( (

)

( ), la cual puede, por lo tanto, considerarse como un vector secante. Si

múltiplo escalar ( )( (

)

( )) tiene la misma dirección que

(

)

, el

( ) Cuando

, parece que este vector se aproxima a un vector que está en la recta tangente. Por esta razón, el vector ( ) se denomina vector tangente a la curva que está definida por r en el punto P, siempre que ( ) exista y ( ) . La recta tangente a C en P se define como la recta que pasa por P y que es paralela al vector tangente ( ) Nota: Vector unitario tangente es: ( )

( ) ‖ ( )‖

Figura 1. )

𝒓(𝑡

z

𝒓(𝑡+ )−𝒓(𝑡)

𝒓(𝑡)

P

Q

𝒓 (𝑡)

Q

P 𝒓(𝑡)

𝒓(𝑡) 𝒓(𝑡

)

𝒓(𝑡

)

y

x

TEOREMA: Si ( ) 〈 ( ) ( ) ( )〉 derivables, entonces: ( )

〈 ( )

( )

( )

( )〉

( )

( )

( )

son funciones ( )

( )

Propiedades: Sean F,G funciones vectoriales; f y g funciones reales y c un escalar [ ]( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ‖ ‖ Ejemplo: Calcule la derivada de la función vectorial: ( ) ( )

〈

〉

〈

〉

Encuentre el vector unitario tangente en el punto con el valor dado del parámetro t. ( )

√ ( ( )− )

( ) ( )

√

( )

√

( ) ‖ ( )‖

( ) ‖ ( )‖

√

√

( )

〈

〉

Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de ecuaciones paramétricas dadas en el punto especificado. (

√ ( ) ( )

( ( )

〈

−

〉

√ )

( √

)

El punto (3,0,2) corresponde a t= 1 Así que el vector tangente es ( )

〈

)

〉

〈

〉

Si la recta de la tangente pasa por el punto (3,0,2) y es paralelo al vector 〈 paramétricas son:

〉, las ecuaciones

2.6 Integración de funciones vectoriales y sus propiedades La integral definida de una función vectorial continua ( ) se puede definir casi de la misma manera que para las funciones de valores reales, excepto que la integral es un vector. Pero entonces puede expresar la integral de r en términos de las integrales de sus funciones componentes f, g y h como sigue. ( )

∫

∑ (

)

∫ [(∑ (

∫ ( )

(∫

)

)

( ) )

(∑ (

(∫

)

( ) )

Ejemplo: Evalúe la integral ∫(

)

)

(∑ (

(∫

)

( ) )

) ]

2.7 Longitud de arco y curva La longitud de una curva en el espacio es el límite de las longitudes de polígonos inscritos. Suponga que la curva tiene la ecuación vectorial ( ) 〈 ( ) ( ) ( )〉 o bien, de ( ) ( ) manera equivalente, las ecuaciones paramétricas ( ) son continuas. Si al curva se recorre exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b, entonces se puede demostrar que su longitud es: [ ( )]

∫ √[ ( )] ∫ √(

)

(

)

[ ( )]

(

)

En una forma más compacta podemos decir que: ∫ ‖ ( )‖ NOTA: una curva puede representarse por más de una función vectorial. ( )

(

( )

(

)

(

) (

) )

A este tipo de representaciones se les llama parametrizaciones de C. La longitud de arco es independiente de sus parametrizaciones ( )

∫ ‖ ( )‖ ‖ ( )‖

Al aplicar esta expresión

‖ ( )‖ se dice que se parametriza la curva en C en términos de su

longitud de arco. CURVATURA Una parametrización ( ) se denomina suave en un intervalo si es continua y ( ) . Una curva se llama suave si tiene una parametrización suave. Una curva suave no tiene puntos o cúpides agudos; cuando gira el vector tangente, lo hace en forma continua. Si C es una curva suave definida por la función vectorial r, recuerde que el vector unitario tangente ( )está definido por

( )

( ) ‖ ( )‖

La curvatura de C en un punto dado es una medida de qué tan rápido cambia la curva de dirección en ese punto. Específicamente, se define como la magnitud de la tasa de cambio del vector unitario tangente con respecto a la longitud de arco. (Se usa la longitud de arco de tal manera que la curvatura será independiente de la parametrización.)

DEFINICIÓN: La curvatura de una curva es

Es más fácil de calcular la curvatura si está expresada en términos del parámetro t en lugar de s, de modo que se aplica la regla de la cadena |

Pero

|

|

|

‖ ( )‖ ( )

‖ ( )‖ ‖ ( )‖

TEOREMA: La curvatura de la curva dada por la función vectorial r es

( )

‖ ( ) ( )‖ ‖ ( )‖

En el caso especial de una curva plana cuya ecuación es ( ) Entonces, ( ) parámetro y escribir ( ) ( ) que se tiene ( ) entonces, de acuerdo con el teorema pasado.

( )

‖

( ) [

‖ [( )

Asimismo, ‖ ( )‖

√

[ ( )] y

( )‖

( ( )) ]

COROLARIO 1: Sea C una curva plana definida por ( ) curvatura está dada por: ( )

( ) puede escoger a x como ( ) ( ) ( ) Puesto

( ( ) ( ))

‖ ( ) ]

Entonces la

( )

COROLARIO 2: Sea C una curva del plano definida por ( )

[

( ) en un intervalo I. La curva C es:

( ) ]