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ESTUDIO DE FUNCIONES. 1. DOMINIO: Conjunto de valores de x que tienen imagen. Es decir valores de x donde la función exi
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- Montse Gazquez Fernandez
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ESTUDIO DE FUNCIONES. 1. DOMINIO: Conjunto de valores de x que tienen imagen. Es decir valores de x donde la función existe. CASOS
FUNCIÓN
Polinomios
DEBES RESOLVER ...
DOMINIO D=R
denominador = 0 : g(x) = 0
D = R - {soluciones g(x)=0}
n
y=a n x +. ..+a1 x+a0
Fracciones
y
Raíces de índice par
y=
f ( x) g( x )
par
√ f ( x)
y log b f ( x )
Logarítmos
radicando 0 : f(x) 0
D = {soluciones f(x)
Característica > 0 : f(x)>0
D = {soluciones f(x) > 0}
Resto de funciones
0}
D=R
2. RECORRIDO: Conjunto de valores de y que son imágenes de algún valor de x. Es decir, valores de y que resultan de la función. La forma más práctica de calcularlo, y en ocasiones la única, es a través de la gráfica. Es decir una vez que ya esté representada se observa entre que valores del eje Y se encuentra dibujada. Se expresa en forma de intervalo. 3. SIMETRÍAS: DEBES RESOLVER …
CASOS
CONDICIÓN
CONSECUENCIA
Par
Si f(-x) = f(x)
Simetría respecto al eje Y
Impar
Si f(-x) = - f(x)
Simetría respecto al origen
Asimétrica (sin simetría)
f(-x) f(x) -f(x)
No hay simetría
Hallar f(-x), Sustituir x por (-x) y desarrollar los paréntesis.
4. CORTES CON LOS EJES: Son puntos de la función en los que al menos una de sus coordenadas es nula. CASOS Cortes con el eje X Cortes con el eje Y
DEBES RESOLVER ... f(x) = 0 f(0)
CONDICIÓN y=0 x=0
COORDENADAS ( soluciones , 0 ) ( 0, f(0) )
5. ASÍNTOTAS: Son rectas a las que la gráfica de la función se aproxima, siendo la distancia entre ambas cada vez menor. DEBES RESOLVER ...
CASOS Asíntota Horizontal
lim f ( x)
x →±∞
Asíntota Vertical
(lo llamamos a)
En fracciones: a son los valores que anulan al denominador. En logarítmos: a son los valores que anulan la característica
Asíntota Oblícua
f ( x) x x n lim ( f ( x ) mx ) m lim
CONDICIÓN
ASÍNTOTA (expresión)
lim f ( x )
y=a
lim f ( x )
x=a
Sólo si no existe horizontal En los cocientes sólo si: grado(numdor.) = grado(dendor.)+1
y=mx+n
x
xa
x
6. EXTREMOS RELATIVOS: MÁXIMOS Y MÍNIMOS : Hay que hallar f'(x). DEBES RESOLVER ...
CASOS
CONDICIÓN
COORDENADAS
f'(x) = 0 (*) Las soluciones son posibles máximos o mínimos
Máximo
Si f''(solución de *) < 0
( m , f(m) )
La 2ª coordenada es f(solución de *) Otra forma de comprobar si un punto es máximo o mínimo es a través de los intervalos de crecimiento. Si los intervalos anterior y posterior son creciente y decreciente respectivamente, el punto es máximo. Si son decreciente y creciente respectivamente, el punto es mínimo. Si no cambiara el crecimiento en esos intervalos, entonces es punto de inflexión Mínimo
Si f''(solución de *) > 0
7. MONOTONÍA: INTERVALOS DE CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. DEBES RESOLVER ... CASOS 1. Resolver f'(x) = 0 Intervalo creciente 2. Colocar en la recta real todas las soluciones anteriores 3. Si f'(x) tiene denominador, hacer lo mismo con los valores que Intervalo decreciente anulan el denominador. 4. Tomar los intervalos resultantes entre -, + y esos valores.
CONDICIÓN Si f'(un valor del intervalo) > 0 Si f'(un valor del intervalo) < 0
8. PTOS DE INFLEXIÓN. DEBES RESOLVER ...
CONDICIÓN
COORDENADAS
f''(x) = 0.
f''(solución) = 0
( p , f(p) )
Las soluciones son posibles puntos de inflexión
Los intervalos anterior y posterior al pto. de inflex. deben tener distinta curvatura.
La 2ª coordenada es f(solución)
9. CURVATURA: INTERVALOS DE CONCAVIDAD (cóncavo hacia abajo) Y CONVEXIDAD (cóncavo hacia arriba) . DEBES RESOLVER ... 1. Resolver f''(x) = 0 2. Colocar en la recta real todas las soluciones anteriores 3. Si f''(x) tiene denominador, hacer lo mismo con los valores que anulan el denominador. 4. Tomar los intervalos resultantes entre -, + y esos valores.
CASOS
CONDICIÓN
Intervalo convexo (cóncavo hacia arriba)
Si f''(un valor del intervalo) > 0
Intervalo cóncavo (cóncavo hacia abajo)
Si f''(un valor del intervalo) < 0
10. CONTINUIDAD: Una función es continua si lo es en todos sus puntos. Sólo se estudian los puntos "conflictivos", que pueden serlo por dos motivos: 1º. Por no pertenecer al dominio. (por lo que no tienen imagen)
2º. Por ser el punto de separación entre los intervalos de una función a "trozos". DEBES RESOLVER
CASOS
CONDICIÓN
Continua en el punto x = a 1. 2. 3.
f(a)
lim f ( x)
x →a+
lim f ( x )
x a
f(a) =
Discontinua Evitable en x = a
f(a)
Discontinua No evitable de 1ª especie, salto finito Discontinua No evitable de 1ª especie, salto infinito Discontinua No evitable de 2ª especie
lim f ( x )
lim f ( x )
lim f ( x )
x a x a x a
lim f ( x )
=
lim f ( x )
=
x a
x a
lim f ( x )
x a
lim f ( x )
x a
lim f ( x )
(ambos límites finitos)
lim f ( x )
(algún límite es )
lim f ( x )
(algún límite no existe)
x a x a x a
11. DERIVABILIDAD: Una función es derivable si lo es en todos sus puntos. Sólo se estudian los puntos "conflictivos". Los
motivos son los mismos que en la continuidad. Además en los puntos donde es discontinua es NO derivable. DEBES RESOLVER
f ( a h) f ( a) h 0 h f ( a h) f ( a) f'( a- ) = lim h 0 h f'( a+ ) = lim
CASOS
CONDICIÓN
Derivable en el punto x = a
f'( a+ ) = f'( a- )
No derivable en el punto x = a
f'( a+ ) f'( a- )
PROPIEDAD: Sólo válida para comprobar que una función SÍ es derivable en el punto x = a. (no se puede utilizar para justificar la No derivabilidad en un punto). DEBES RESOLVER 1. La continuidad de f(x) en x = a. 2. Hallar f'(x). 3. La continuidad de f'(x) en x = a.
CASOS
CONDICIÓN
Derivable en el punto x = a
f(x) continua en x = a f'(x) continua en x = a
y