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cccc Matemática - Funciones

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ëndice c 1. Introducción ccccc 2. Funciones 3. Aplicaciones de las funciones reales ccc 4. Consecuencias de la definición de logaritmo 5. Funciones Trigonométricas 6. Conclusiones 7. Bibliografía 1. Introducción En el presente trabajo, se detallarán las características de las diferentes funciones matemáticas y sus aplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida cotidiana. Las funciones a las que nos dedicaremos son las si guientes: Función Trigonométrica Función Cuadrática Función Afín (Lineal) Función Logarítmica Función Exponencial Función Polinómica El principal objetivo de esta monografía es poder entender el uso de las funciones y así poder utilizarlas frente a los pro blemas diarios. El método de investigación es la consulta bibliográfica y el análisis de la misma. 2. Funciones Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet(1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representaun número dentro de un conjunto de ello. Dos variables X y Y estánasociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla ocorrespondencia, se asigna

automáticamente un valor a Y, se dice que Y es unafunción (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan librementevalores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyosvalores dependen de la X, se llama variables dependientes. Los valorespermitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y losvalores que toma Y constituye su recorrido". Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cadaelemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado ima gen de x por f, que seescribe y=f (x). En símbolos, f: A ùB Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función,debe cumplir dos condiciones, a saber: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento deldominio puede tener más de una imagen. El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algúnelemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f. Observaciones: En una función f: AùB todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B. Un elemento y E B puede: No ser imagen de ningún elemento x E A Ser imagen de un elemento x E A Ser imagen de varios elementos x E A. -1 La relación inversa f de una función f puede no ser una función. Formas de expresión Mediante el uso de tablas:

de

Xc

Yc

-1c

1c

0c

0c

½c

¼c

1c

1c

2c

4c

una

función

Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real devariable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejescartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A 3. Aplicaciones de las funciones reales

Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el serhumano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricasen correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos delos números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad pararesolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, deestadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía,de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto d e determinados objetos o productos alimenticios, con el costo enpesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemosescribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como elprecio y la cantidad de producto como "y". Función Afín Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso dela oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de estafunción y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relacionesfundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si unconsumidor desea adquirir cualquier producto, este depende delprecio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifiquela cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos acomprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley mássimple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad delartículo y m y b son constantes. Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para elentendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimentopsicológico de Stenberg, sobre recuperación de información. Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamadospendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta. Dada la ecuación y=mx+b: Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráficaes una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b). Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa porel origen de coordenadas (0,0). Función Cuadrática El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemáticasino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: latrayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un ríoal caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobrela cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respectoal tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidadinicial. Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de p uentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres. Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los

efectos nutricionales de los organismos. Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo. 2 La función cuadrática responde a la formula: y= a x + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son: Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo. Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo. Eje de simetría: x = xv. intersección con el eje y. Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado. Función Logarítmica La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, t al como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto). Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmicales permite determinar la brillantez y la magnitud. En la física la función logarítmica ti ene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles deun sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log(I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidadde área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oídohumano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz altatiene un ruido de fondo de 65 decibeles. El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N dacomo resultado a. Logb a = N si bN = a Notación logarítmica Notación exponencial

4. Consecuencias de la definición de logaritmo 1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1 2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a 3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo esigual al exponente de la potencia: logb am = m, ya que bm = am

4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero. 5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,01, la función es creciente. 5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a