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• Neo Gómez

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Facultad de Ingenier´ıa ´ctrica Escuela de Ingenier´ıa Ele Departamento de Electr´ onica, Computaci´ on y Control Variable Compleja y C´ alculo Operacional

Funciones de Variable Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Funciones Componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 L´ımite y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Diferenciaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ecuaciones de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Condiciones Necesarias y Suficientes para la Existencia de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Funciones Anal´ıticas y Arm´onicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Funciones de Variable Compleja (Continuidad, Diferenciaci´ on y Funciones Elementales)

William La Cruz

Funciones Elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Funci´ on Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Funciones Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Funciones Hiperb´olicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Funci´ on Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Semestre 2015-3

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 1 43 /

EIE-UCV

Funci´ on Exponente Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Funciones Trigonom´etricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 Funciones Hiperb´ olicas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 2 43 /

















































U

Contenido

Funciones de Variable Compleja Este tema est´a dedicado a la compresi´on de los fundamentos matem´aticos de las funciones de variable compleja, que poseen muchas aplicaciones en distintas ´areas de la Ingenier´ıa, por ejemplo, en la teor´ıa de corrientes alternas o el procesamiento de se˜ nales.

Definici´ on Una funci´ on f de variable compleja es una regla de asignaci´on que le hace corresponder a un n´ umero complejo z = x + i y uno o varios n´ umeros complejos w = u + i v. El n´ umero w se llama valor o imagen de f en z y se designa por f (z); es decir, w = f (z) o, equivalentemente, u + i v = f (x + i y). ◭

◮

N

⊲⊳ 3 43

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 4 43 /

Funciones de Variable Compleja

/

EIE-UCV



Definici´ on 1 (Dominio y Rango). El conjunto de n´ umeros complejos z donde la funci´ on f est´ a bien definida se denomina dominio de f . El conjunto de todas las im´ agenes w = f (z) es llamado rango de f .

Funciones monovaluadas

Definici´ on 2 (Polinomio complejo). Sean n ≥ 0 un entero. Sean a0, a1, . . . , an constantes complejas. La funci´ on





p(z) = a0 + a1z + a2z 2 + · · · + anz n,




se denomina polinomio complejo o, simplemente, polinomio de grado n.








¿Cu´ al es el dominio y el rango de un polinomio complejo?

Funciones multivaluadas ◭

Funciones de Variable Compleja

◮

N

⊲⊳ 5 43 /

EIE-UCV

z+1 z−i

est´an dados

Ejemplo

1 Encuentre las funciones componentes de f (z) = z + . z Soluci´ on. Las funciones componentes de f (z) son u(x, y) =

EIE-UCV

{w ∈ C : w 6= 1}.

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 7 43 /

{z ∈ C : z 6= i},

⊲⊳ 6 43

donde z = x + i y.

¿C´ omo se determinan el dominio y el rango de una funci´ on racional? r(z) =

N

f (z) = u(x, y) + i v(x, y),

se denomina funci´ on racional y est´ a definida en todo n´ umero complejo z, excepto donde q(z) = 0.

El dominio y rango de la funci´ on respectivamente por:

◮

Sea f (z) una funci´on de variable compleja. Entonces, existen funciones u : R2 → R y v : R2 → R, denominadas funciones componentes, tales que f (z) se puede expresar como

p(z) q(z)

Ejemplo

◭

Funciones de Variable Compleja

EIE-UCV

Funciones Componentes

Definici´ on 3 (Funci´ on racional). Sean p(z) y q(z) polinomios. La funci´ on r(z) definida por r(z) =

(an 6= 0)

/





EIE-UCV

x(x2 + y 2 + 1) , x2 + y 2

v(x, y) =

Funciones de Variable Compleja

y(x2 + y 2 − 1) x2 + y 2

◭

◮

N

⊲⊳ 8 43 /




L´ımite y Continuidad Teorema 1. Supongamos que l´ım f (z) = w0 y l´ım g(z) = W0.

Definici´ on 4 (L´ımite). Sea f una funci´ on definida en todos los puntos de cierta vecindad de z0, excepto, posiblemente en el mismo z0. Se dice que w0 es un l´ımite de f (z), si para cada n´ umero positivo ε, existe un n´ umero positivo δ tal que |f (z) − w0| < ε

siempre que

z→z0

z→z0

Entonces: 1. l´ım [f (z) + g(z)] = w0 + W0; z→z0

2. l´ım [f (z) · g(z)] = w0 W0; z→z0   w0 f (z) 3. l´ım , W0 6= 0. = z→z0 g(z) W0

0 < |z − z0| < δ.

Se denota con l´ım f (z) = w0

z→z0

Teorema 2. Sean f (z) = u(x, y) + i v(x, y), w0 = u0 + i v0. Entonces,

cuando w0 es un l´ımite de f (z), al tender z a z0.

f (z)





si, y s´ olo si



l´ım

(x,y)→(x0,y0)

◭

◮

N

⊲⊳ 9 43 /

Funciones de Variable Compleja

EIE-UCV

l´ım f (z) = w0




−→

y

EIE-UCV

z→z0

u(x, y) = u0

y

l´ım

(x,y)→(x0,y0)

Funciones de Variable Compleja

v(x, y) = v0.

◭

◮

N

⊲⊳ 10 43 /




z0 = x0 + i y0,

Teorema 3. Sean f (z) y g(z) dos funciones definidas en un dominio D ⊂ C. Entonces:

Definici´ on 5 (Continuidad). Se dice que una funci´ on f (z) es continua en z0, si satisface las dos condiciones siguientes:

1. la funci´ on f (z) + g(z) es continua en D;

i) f (z0) est´ a definido;

2. la funci´ on f (z) g(z) es continua en D;

ii) l´ım f (z) existe, y

3. la funci´ on f (z)/g(z) es continua en D \ {z : g(z) = 0}.

z→z0

l´ım f (z) = f (z0).

z→z0

Teorema 4. Sean f (z) y g(z) dos funciones definidas respectivamente en los dominios D ⊂ C y E ⊂ C, tales que f (D) ⊆ E. Si f es continua en z0 ∈ D y g es continua en f (z0) ∈ E, entonces la funci´ on h(z) = g(f (z)) es continua en z0.

Se dice que f (z) es continua en un dominio D, si es continua en todo z ∈ D.

EIE-UCV

z −1 z−1 ,

1,

Funciones de Variable Compleja

Teorema 5. Sea f (z) = u(x, y) + i v(x, y). Entonces, f es continua en z0 = x0 + i y0 si, y s´ olo si u(x, y) y v(x, y) son continuas en el punto (x0, y0).

z 6= 1, z = 1. ◭

◮

N

⊲⊳ 11 43

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 12 43 /

f (z) =

/

Ejemplo Estudie la continuidad de la funci´ on ( 2

Ejemplo Estudie la continuidad de la funci´ on f (z) = 2x + i y +

F´ ormulas o Reglas de Diferenciaci´ on Sean f, f1, f2, . . . , fn funciones derivables en z. Entonces: x − iy . x2 + y 2

1. Si f (z) = c, entonces f ′(z) = 0, donde c ∈ C. 2. Si h(z) = c f (z), entonces h′(z) = c f ′(z), donde c ∈ C.

Diferenciaci´ on

3. Si f (z) = z, entonces f ′(z) = 1.

Definici´ on 6 (Derivada). Sea f (z) una funci´ on definida en un on de D. dominio D ⊂ C. Sea z0 un punto de acumulaci´ ′ La derivada de f en z0, denotada por f (z0), se define como

′

4. [f1(z) + f2(z) + · · · + fn(z)] = f1′ (z) + f2′ (z) + · · · + fn′ (z). 5. [f1(z)f2(z)]′ = f1′ (z)f2(z) + f2′ (z)f1(z).

f (z0 + s) − f (z0) , f ′(z0) = l´ım s→0 s

6. [(f (z))m]′ = m (f (z))m−1 f ′(z), donde m es un entero.

umero complejo. donde s es un n´ 7. Si f (z) = z m, entonces f ′(z) = m z m−1, donde m es un entero.

◮

N

⊲⊳ 13 43

8. Si f (z) = a0 + a1z + a2z 2 + · · · + amz m, entonces

f1(z) 9. f2(z)

′

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 14 43

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

f ′(z) = a1 + 2a2z + 3a3z 2 + · · · + m amz m−1. 

EIE-UCV

/

◭

/

Funciones de Variable Compleja

EIE-UCV

f1′ (z)f2(z) − f2′ (z)f1(z) = , siempre y cuando f2(z) 6= 0. (f2(z))2

10. Regla de la Cadena. Sean f (z) derivable en z0 y g(w) derivable en f (z0). Entonces la funci´ on h(z) = g(f (z)) es derivable en z0, y

Teorema 6. Sea f (z) = u(x, y) + i v(x, y) una funci´ on derivable en z0 = x0 + i y0. Entonces, u(x, y) y v(x, y) satisfacen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann en el punto (x0, y0), esto es:    ∂u (x0, y0) = ∂v (x0, y0)   ∂x ∂y  ∂v ∂u   (x0, y0) = − (x0, y0)  ∂y ∂x

Ejemplo Las funciones componentes de

h′(z0) = g ′(f (z0)) f ′(z0).

f (z) = ex cos y + i ex sen y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en todo (x, y) ∈ R2. ◭

◮

N

⊲⊳ 15 43

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 16 43 /

Funciones de Variable Compleja

/

EIE-UCV

Condiciones Necesarias y Suficientes para la Existencia de la Derivada

Funciones Anal´ıticas y Arm´ onicas Funciones Anal´ıticas Se dice que una funci´on f (z) es anal´ıtica en z0, si f ′(z) existe en z0 y en todo punto z de alguna vecindad de z0.

Teorema 7. Sean f (z) = u(x, y) + i v(x, y) y z0 = x0 + i y0. Si u(x, y) y v(x, y) tienen primeras derivadas parciales continuas, en (x0, y0), y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (x0, y0), entonces f ′(z0) existe y est´ a dada por




 


∂v ∂u (x0, y0) + i (x0, y0) ∂x ∂x

´ o f ′(z0) =





∂u ∂v (x0, y0) − i (x0, y0) ∂y ∂y

Ejemplo Determine la derivada de f (z) = ex cos y + i ex sen y en todo z ∈ C.

◭

Funciones de Variable Compleja

◮

N

⊲⊳ 17 43 /

EIE-UCV

Ejemplo Determine los puntos z = x + i y donde la funci´on f (z) = x2 + i y 2 es anal´ıtica.

Soluci´ on. La funci´ on f (z) = x2 + i y 2 solamente es derivable en los n´ umeros complejos z que pertenecen a la recta y = x, como se muestra en la siguiente figura.

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◮

N

⊲⊳ 18 43

Ejemplo Determine los puntos z = x + i y donde la funci´on f (z) =




◭

/

f ′(z0) =





y(x2 + y 2 − 1) x(x2 + y 2 + 1) + i x2 + y 2 x2 + y 2

es anal´ıtica. Soluci´ on. La funci´on f (z) es anal´ıtica en todo C excepto en z = 0. Definici´ on 7 (Punto singular). Se dice que z0 ∈ C es un punto singular de una funci´ on f (z), si f (z) es anal´ıtica en al menos un punto z de toda vecindad de z0 excepto en el mismo z0.




Definici´ on 8 (Funci´on entera). Una funci´ on f (z) que es anal´ıtica en todo punto z del plano complejo se denomina entera.

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 19 43 /

EIE-UCV

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 20 43 /

Por tanto, en ning´ un z ∈ C, la funci´ on f (z) es anal´ıtica.

Funciones Arm´ onicas Conjugadas

Proposici´ on 1. Sean f (z) y g(z) funciones anal´ıticas en un dominio D ⊂ C. Entonces:

Definici´ on 9 (Funci´on arm´onica). Se dice que una funci´ on h : R2 → R es arm´ onica en un dominio D ⊂ R2, si en todo punto (x, y) ∈ D tiene derivadas parciales, primera y segunda, continuas y satisface la ecuaci´ on en derivadas parciales

1. f (z) ± g(z) es anal´ıtica en D; 2. f (z) g(z) es anal´ıtica en D; 3. f (z)/g(z) es anal´ıtica en D \ {z : g(z) = 0}.

∇2h(x, y) =

Ejemplo Determine los puntos z ∈ C donde la funci´ on

conocida como ecuaci´ on de Laplace.

z2 + 1 z

Ejemplo La funci´ on

es anal´ıtica.

es arm´ onica en todo R2.

Soluci´ on. La funci´ on f (z) es anal´ıtica en todo C excepto en z = 0. Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 21 43 /

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 22 43

Funciones Elementales

Definici´ on 10 (Arm´ onica Conjugada). Si dos funciones dadas u : 2 2 onicas en un dominio D ⊂ R2 y sus R → R y v : R → R son arm´ primeras derivadas parciales satisfacen las ecuaciones de CauchyRiemann para todo punto (x, y) ∈ D, se dice que v es arm´ onica conjugada de u.

Funci´ on Exponencial Para cada z = x + i y, la funci´on exponencial se define como ez = ex cos y + i ex sen y

Teorema 8. Una funci´ on f (z) = u(x, y) + i v(x, y) es anal´ıtica en un dominio D si, y s´ olo si v es arm´ onica conjugada de u. Ejemplo Determine la funci´ on arm´ onica conjugada de

EIE-UCV

h(x, y) = x2 − y 2

/

f (z) =

∂ 2h ∂ 2h (x, y) + (x, y) = 0, ∂x2 ∂y 2

Propiedades • La funci´ on exponencial es entera, adem´as,

u(x, y) = x + y.

(ez )′ = ez .

Soluci´ on. La funci´ on arm´ onica conjugada de u(x, y) = x + y es • El rango de la funci´ on exponencial es todo el plano complejo excepto z = 0.

v(x, y) = y − x + c,

• La funci´ on exponencial es peri´ odica con un periodo imaginario de 2πi.

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 23 43 /

EIE-UCV

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 24 43 /

donde c es una constante real.

• Propiedades algebraicas. Sean z1 = x1 + i y1 y z2 = x2 + i y2. Las siguientes identidades son ciertas:

Para cada z = x + i y, la funci´on seno se define como

z1+z2

1. e e = e ez1 2. z = ez1−z2 e2

sen z = y la funci´ on coseno como

3. e0 = 1 1 4. z = e−z1 e1

cos z =

5. (ez1 )n = enz1 , para n = 1, 2, . . ..

• Las funciones sen z y cos z son enteras, adem´as,

Soluci´ on. El conjunto de n´ umeros complejos que resuelven la ecuaci´ on z e = i es o π z = x + i y : x = 0, y = (2k + 1) , k = 0, ±2, ±4, ±6, . . . 2 ◭

Funciones de Variable Compleja

◮

N

⊲⊳ 25 43 /

EIE-UCV

eiz + e−iz 2

Propiedades

Ejemplo Resuelva la ecuaci´ on ez = i.

n

eiz − e−iz 2i

• Se satisfacen las identidades trigonom´etricas, por ejemplo,

(sen z)′ = cos z

EIE-UCV

y

(cos z)′ = − sen z.

◭

Funciones de Variable Compleja

◮

N

⊲⊳ 26 43 /

z1 z2

Funciones Trigonom´ etricas

Otras funciones trigonom´ etricas Las dem´as funciones trigonom´etricas se definen como:

sen2 z + cos2 z = 1. • Las funciones sen z y cos z son peri´ odicas con periodo de 2π.

• Las funciones sen z y cos z tambi´en se pueden expresar como:

tan z =

sen z , cos z

cot z =

cos z , sen z

sec z =

1 , cos z

csc z =

1 . sen z

sen z = sen x cosh y + i cos x senh y, cos z = cos x cosh y − i sen x senh y.

Para los valores de z donde no se anule el denominador de las funciones anteriores, su derivada existe y es, respectivamente,

• Los ceros de sen z y cos z son: sen z = 0

si, y s´ olo si

z = nπ,

(tan z)′ = sec2 z,

cos z = 0

si, y s´ olo si

π z = (2n + 1) , 2

(cot z)′ = − csc2 z,

(sec z)′ = tan z sec z,

(csc z)′ = − cot z csc z.

para n = 0, ±1, ±2, . . .. ◭

◮

N

⊲⊳ 27 43

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 28 43 /

Funciones de Variable Compleja

/

EIE-UCV

Funciones Hiperb´ olicas

• Se satisfacen las identidades hiperb´ olicas, por ejemplo,

Para cada z = x + i y, la funci´ on seno hiperb´ olico se define como senh z =

cosh2 z − senh2 z = 1.

ez − e−z 2

• Las funciones senh z y cosh z tambi´en se pueden expresar como:

y la funci´ on coseno hiperb´ olico como cosh z =

senh z = senh x cos y + i cosh x sen y, cosh z = cosh x cos y + i senh x sen y.

ez + e−z 2

• Las funciones senh z y cosh z son peri´ odicas con periodo de 2πi. • Los ceros de senh z y cosh z son:

Propiedades • Las funciones senh z y cosh z son enteras, adem´as, (senh z)′ = cosh z

y

(cosh z)′ = senh z.

senh z = 0

si, y s´olo si

z = nπi,

cosh z = 0

si, y s´olo si

π z = (2n + 1) i, 2

para n = 0, ±1, ±2, . . .. N

⊲⊳ 29 43

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

Otras funciones hiperb´ olicas

Funci´ on Logaritmo

Las dem´as funciones trigonom´etricas se definen como:

Para todo z 6= 0, la funci´on logaritmo se define como

tanh z =

senh z , cosh z

1 sech z = , cosh z

coth z =

cosh z , senh z

(csch z)′ = − coth z csch z. ⊲⊳ 31 43 /

N

• El valor principal del logaritmo, denotado por Log z, es el valor de log z que se obtiene cuando se utiliza el argumento principal de z en (1), esto es Log z = ln |z| + i Arg z,

(sech z)′ = − tanh z sech z,

◮

(1)

• La funci´ on logaritmo es multivaluada.

(coth z)′ = − csch2 z,

◭

⊲⊳ 30 43

donde ln · denota el logaritmo natural.

1 csch z = . senh z

(tanh z)′ = sech2 z,

Funciones de Variable Compleja

N

log z = ln |z| + i arg z,

Para los valores de z donde no se anule el denominador de las funciones anteriores, su derivada existe y es, respectivamente,

EIE-UCV

◮

/

◮

adem´as, anal´ıtica en el dominio (|z| > 0, −π < arg z < π) EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 32 43 /

◭

Funciones de Variable Compleja

/

EIE-UCV

Ejemplo Calcular los valores de log(1 + i).

Ramas del Logaritmo Definici´ on 11 (Rama de una funci´on multivaluada). Una rama de una funci´ on multivaluada f es una funci´ on monovaluada F que es anal´ıtica en cierto dominio D y que coincide con f en D, es decir, F (z) = f (z) para todo z ∈ D.

Soluci´ on. Los valores de log(1 + i) vienen dado por π  √ log(1 + i) = ln( 2) + i + 2nπ , 4

n = 0, ±1, ±2, . . .





Definici´ on 12 (Corte ramal y punto ramal). Un corte ramal es una l´ınea o curva de puntos singulares que se introducen al definir una rama de una funci´ on multivaluada. El punto com´ un a todos los cortes ramales de una funci´ on multi-






 





valuada se denomina punto ramal.  


◮

N

⊲⊳ 33 43

◭

Funciones de Variable Compleja

◮

N

⊲⊳ 34 43

Ejemplo Dada la rama del logaritmo

Definici´ on 13 (Rama del logaritmo). Una rama del logaritmo es una funci´ on logaritmo monovaluada definida como log z = ln |z| + i arg z

EIE-UCV

/

◭

Funciones de Variable Compleja

/

EIE-UCV

log z = ln |z| + i arg z

(|z| > 0, α < arg z < α + 2π),

(|z| > 0, −π/4 < arg z < 7π/4),

calcule log(−i). Adem´as, calcule Log(−i).

donde α es un n´ umero real fijo.

Soluci´ on. Se tiene que



log(−i) =

 

3π i, 2

Log(−i) = −

π i 2

α

  ◭

◮

N

⊲⊳ 35 43

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 36 43 /

Funciones de Variable Compleja

/

EIE-UCV

Funci´ on Exponente Complejo Para cada z ∈ C diferente de cero, se define la funci´ on exponente complejo como z c = ec log z , donde c es una constante compleja.

Ejemplo Dada f (z) = z i. Entonces, el valor de f (i) est´a dado por ii = e−(4n+1)π/2,

para n = 0, ±1, ±2, . . .

y f ′(z) = iz i−1.

Observaciones:

Por otra parte, si f (z) = z 2, entonces el valor de f (i) es

• En general, la funci´ on exponente complejo es multivaluada.

i2 = −1.

• Las ramas de la funci´ on exponente complejo se definen seg´ un la rama del logaritmo que se est´e utilizando. y • La derivada de cada rama de la funci´ on exponente complejo est´ a dada por: (z c)′ = c z c−1

◮

N

⊲⊳ 37 43

Funciones Trigonom´ etricas Inversas

cos tan

−1



cos z y tan z,

2 1/2

z = −i log z + i(1 − z )   i i+z log . z = 2 i−z

se definen,

⊲⊳ 38 43

• Las ramas de las funciones trigonom´etricas inversas se definen seg´ un la rama del logaritmo y el valor de la ra´ız cuadra que se est´en utilizando.



• La derivada de cada rama de las funciones sen−1 z, cos−1 z y a dada, respectivamente, por: tan−1 z est´

,

◭

◮

N

⊲⊳ 39 43 /

Funciones de Variable Compleja

N

• Las funciones trigonom´etricas inversas son multivaluadas.

Ejercicio Deducir las expresiones de las funciones cot−1 z y csc−1 z.

EIE-UCV

◮

Observaciones:

  sen−1 z = −i log iz + (1 − z 2)1/2 , −1

◭

Funciones de Variable Compleja

EIE-UCV

(sen−1 z)′ =

1 , (1 − z 2)1/2

(cos−1 z)′ =

−1 , (1 − z 2)1/2

(tan−1 z)′ =

1 . 1 + z2

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 40 43 /

Las funciones inversas de sen z, respectivamente, como

EIE-UCV

/

◭

Funciones de Variable Compleja

/

EIE-UCV

f ′(z) = 2z.

Funciones Hiperb´ olicas Inversas

Ejemplo Resuelva la ecuaci´ on

Las funciones inversas de senh z, cosh z y tanh z, se definen, respectivamente, como

sen2 z + 2i sen z − 1 = 0.

  senh−1 z = log z + (z 2 + 1)1/2 ,

Soluci´ on. El conjunto soluci´ on, S, de la ecuaci´ on dada est´a definido por S = S1 ∪ S2 ,

cosh

−1

tanh

−1

donde

√ S2 = {z ∈ C : z = (2n + 1)π − ln 1 − 2 i, n = 0, ±1, ±2, . . .}

◭

Funciones de Variable Compleja

◮

N

⊲⊳ 41 43

Observaciones: • Las funciones hiperb´ olicas inversas son multivaluadas. • Las ramas de las funciones hiperb´ olicas inversas se definen seg´ un la rama del logaritmo y el valor de la ra´ız cuadra que se est´en utilizando. • La derivada de cada rama de las funciones senh−1 z, cosh−1 z y a dada, respectivamente, por: tanh−1 z est´

EIE-UCV

(z 2

1 , + 1)1/2

(cosh−1 z)′ =

−1 , (z 2 − 1)1/2

(tanh−1 z)′ =

1 . 1 − z2

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 43 43 /

(senh−1 z)′ =

z = log z + (z − 1)   1+z 1 log . z = 2 1−z

1/2



,

Ejercicio Deducir las expresiones de las funciones coth−1 z y csch−1 z.

/

EIE-UCV

2

EIE-UCV

Funciones de Variable Compleja

◭

◮

N

⊲⊳ 42 43 /

S1

√  = {z ∈ C : z = 2kπ − ln 1 + 2 i, k = 0, ±1, ±2, . . .}