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ESCUELA DE EDUCACIÓN SUPERIOR TÉCNICA PROFESIONAL PNP SANTA LUCIA

“AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMÁTICO”

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SECCIÓN

: 8va

CURSO

: MATEMÁTICA

PROMOCIÓN

: TRIUNFADORES

COMPAÑÍA

: 4ta

BATALLÓN

: II

CATEDRÁTICO

:

TEMA

: RELACIONES BINARIAS

INTEGRANTES

: VIDAL FIGUEROA, Jersson GIL TRUJILLO, Rudyn 1

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CHAMORRO ORIZANA, Julio CÁRDENAS MACHUCA, Abel

SANTA LUCIA – PERÚ 2014

DEDICATORIA

Queremos dedicarle este trabajo a Dios fue el creador de todas las cosas, el que nos ha dado fortaleza a cada uno de nosotros para seguir adelante; por ello, con toda la humildad que de nuestros corazones puede emanar.

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De igual forma, a nuestras Madres, a quien le debemos todas nuestras vidas, les agradecemos el cariño y su comprensión, quien nos han sabido formarnos con buenos sentimientos, hábitos y valores, lo cual nos ha ayudado a salir adelante buscando siempre el mejor camino para nosotros.

INTRODUCCIÓN

El concepto de función comienza con las primeras relaciones observadas entre dos variables; esto es desde el comienzo del desarrollo de las matemáticas, es decir, entre los babilonios y los egipcios. Ya que se podría decir que los babilonios tenían una idea de las funciones mediante sus tablas de cuadrados de los números naturales, cubos de los números naturales y recíprocos de los números naturales porque son correspondencias, (pero no se les toma en cuenta). En las matemáticas griegas aparece Ptolomeo quien computó cuerdas de un círculo, es decir, computó funciones trigonométricas aunque lo más probable es que no conocía lo que era una función. Con los trabajos de Galileo, se inicia una relación matemática explícita; se acerco mucho al concepto de función ya que, sus estudios sobre el movimiento contienen la clara comprensión de una relación entre variables. Por decir, en 1638 estudió el problema de dos círculos concéntricos con centro O, en el cual le asignaba a cada punto de A un punto de B. También hizo una correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados; mas o menos en esos tiempos Descartes publico un Discurso sobre el Método de Conducir Rectamente la Razón y Buscar la Verdad de las Ciencias, en el año de 1637 escribió su obra La Geometrie en donde introdujo

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el algebra a la geometría, afirmo que una curva puede dibujarse si a una línea le asignan un numero de valores infinitos, y conceptualizo un sistema de coordenadas cartesianas.

ÍNDICE

Dedicatoria

02

Introducción

03

I.

Relaciones binarias

05

II.

Dominio y rango

07

III.

Funciones especiales

09

IV.

Funciones algebraicas

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Conclusiones

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Bibliografía

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I.

RELACIONES BINARIAS Son relaciones elemento a elemento entre los elementos de un mismo conjunto. Dados dos elementos a y b pertenecientes ambos al conjunto A, para expresar que a está relacionado con b escribiremos a R b, que se lee “a está relacionado con b”. Así, pues, una relación binaria es una correspondencia entre los elementos de un mismo conjunto. La diferencia entre aplicaciones y relaciones binarias está en que las aplicaciones son correspondencias de elementos entre distintos conjuntos y las relaciones binarias, correspondencias entre los elementos de un mismo conjunto. Una relación binaria se puede representar mediante: a) Diagrama de Venn Los Diagramas de Venn se basan fundamentalmente en representar los conjuntos

matemáticos

con

unas

“circunferencias”.

Con

estas

circunferencias el estudiante realiza una serie de operaciones como la unión, la intersección, etc. Podríamos decir que el manejo de los Diagramas de Veen sirven para orientar al estudiante, son una herramienta metodológica que tiene el profesor para explicar la Teoría de Conjuntos.

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Dado el conjunto A = {a, b, c, d} la relación que aparece en el diagrama de Venn indica que: el elemento a está relacionado consigo mismo; el elemento b está relacionado con el c y el c lo está con el d.

b) Conjunto de pares Según esta forma de expresión, la relación binaria del diagrama de Venn anterior sería: R = {(a, a), (b, c), (c, d)} c) Diagramas cartesianos

La expresión matemática de una relación binaria es: , y ∈ C, x R y ⇔ (x, y) ∈ R ⊂ C × C En efecto, si se forma el producto cartesiano de un conjunto consigo mismo (C×C) una relación binaria será un subconjunto K formado por varios pares, pertenecientes todos ellos al producto cartesiano C × C. K es un subconjunto de C × C.

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Los

productos

cartesianos

aparecen

muy

frecuentemente

en

matemáticas. Por ejemplo, el plano de los números complejos es R x R, donde R es la recta real, o conjunto de todos los números reales. La superficie terrestre es producto cartesiano de la circunferencia del ecuador por la del meridiano origen, pues cada punto aparece determinado por el par ordenado (longitud-latitud). La superficie lateral de un cilindro puede considerarse como el producto cartesiano de la circunferencia de un círculo (base) por un segmento rectilíneo (generatriz),

tomados

estos

tres

elementos

superficie

lateral,

circunferencia y generatriz como conjuntos de puntos.

II.

DOMINIO Y RANGO

A. DOMINIO El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio está compuesto por todos los números Reales.

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Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:

f(x) = Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no

es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica: 

No puede haber una raíz cuadrada (ó cualquier raíz par) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales.



Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada.

B. RANGO Está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y).

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También se puede expresar como todos los valores de salida de la función. Por ejemplo:

Si x = 2, evaluamos f (2) = 2 x 2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que el rango está conformado por el cero y todos los números positivos.

Al graficar la función se obtiene:

Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa está ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:

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Las funciones tienen gran cantidad de aplicaciones, en la ingeniería por ejemplo cuando la resistencia de un material está en función de las horas de trabajo, en la desintegración radiactiva cuando esta depende del tiempo transcurrido, así como las tasas de crecimiento poblacional, en los cálculos de tasas de interés, etc.

III.

FUNCIONES ESPECIALES Las funciones especiales, como su nombre lo dice, son funciones poco comunes, pero que por su importancia en el campo del análisis matemático, análisis funcional, la física y otras aplicaciones, posee nombres y designaciones más o menos establecidos. Entre las funciones especiales podemos encontrar las siguientes:

1. Función identidad: Su representación algebraica es f(x) = x. En esta función todos los elementos del dominio proyectan una imagen, que así mismo, son lo mismo, es decir, 3 proyecta 3, 0 proyecta 0,-1 proyecta -1.

La función identidad es aquella a la que a todo elemento del dominio le hace corresponder como imagen ese mismo elemento, o sea:

Esta se lee “identidad de x” O sea que si aA i(a)=a, y así para todos los valores de A. En diagrama de Venn será: A

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Haciendo un estudio de esta función se tiene que:  La función es inyectiva ya que cada uno de los elementos del dominio es imagen de sí mismo, y ellos son distintos.  La función es sobreyectiva ya que todos los elementos del dominio también son imagen.  Como conclusión podemos decir que esta función es biyectiva.

2. Función valor absoluto: Su representación algebraica es f(x)=/x. Esta función siempre será positiva o nula, en otras palabras los valores no tendrán signo, pero permanecerán iguales, es decir -3 proyectara 3, -1 proyectara 1. Por tal motivo su grafica siempre estará en la parte inferior del eje X. Esta es una función sobreyectiva.

La función valor absoluto se define como: Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los reales y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva en forma de v.

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EJEMPLO:

3. Función constante: Su representación algebraica es f(x)=k; en donde k pertenece es un número real. Esta función no depende de ninguna variable y el condominio va a tener una a única imagen para todos los dominios, que es el valor constante. Esta es una función sobreyectiva y su grafica siempre será una línea recta paralela al eje X, o al eje Y de ser negativo.

La función f: AB se llama constante si para todo elemento del dominio, le hace corresponder como imagen un único elemento “K” del codominio. O sea que:

Su gráfica será una recta que corta a las ordenadas en k y siempre paralela al eje de las abscisas. O sea:

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Trabajando con los números reales observamos que elementos distintos del conjunto de partida o dominio tienen siempre la misma imagen k, por lo tanto no es inyectiva. Por otro lado, de todos los elementos del dominio, solamente k tiene pre imagen, por lo tanto no es sobreyectiva.

Ahora, esta función puede tener otra forma, por ejemplo x = k, su gráfica cortará al eje de las abscisa en k y será paralela a las ordenadas.

4. FUNCIÒN RAIZ CUADRADA Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola. Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

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f(x) = x2 f(x) = -x2

Ejemplo:

IV.

FUNCIONES ALGEBRAICA

Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión algebraica, siendo a la vez una función que satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes son a su vez polinomios. Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se adquiere combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales

a

partir

de

operaciones

algebraicas

de

suma,

resta,

multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.

Entonces en las funciones explicitas es posible obtener las imágenes de x por sustitución: f(x) = 5x – 2 A. Funciones transcendente Se le llama función trascendental a una función no expresable como una combinación finita de operaciones algebraicas; es decir cualquier función que no se puede ser representada por una

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ecuación polinómica. Entre ellas podemos mencionar a las funciones

exponenciales,

funciones

logarítmicas,

funciones

trigonométricas, funciones hiperbólicas, entre otras.

B. Funciones combinadas Son

aquellas

funciones

donde

combinan

las

funciones

algebraicas y transcendentales.

CONCLUSIÓN La investigación que hemos realizado en las funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y la química.

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El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a cierta problemática.

Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también esta monografía nos será útil en la practica

BIBLIOGRAFÍA

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Enciclopedia Microsoft Encarta 1999

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Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.ar

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Análisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.

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