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• Luis Alberto Molina Jimenez

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RELACIONES BINARIAS Mediante el uso de coordenadas, podemos desplazarnos por lugares de interés, dentro de un plano de una ciudad de interés. Partiendo de la plaza central de coordenadas (0,0); usted puede ir a cualquier lugar que le agrade, desde el colegio “MARTE” hasta el mercado. Cada una tiene una dirección única, indicada por un par ordenado; lo cual nos indicara las distancias entre dos [puntos, Ejemplo:

SISTEMA CARTESIANO Para representar puntos en el plano, se toman dos rectas perpendiculares llamadas ejes coordenadas. El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje de las “x”, y el eje vertical se llama eje de ordenadas o eje de las “y”. El punto de intersección de ambas rectas es el

Cada uno de estos ejes se gradúa con números positivos y negativos. De este modo a cada punto P del plano le corresponde un par de números(x, y) que llamamos coordenadas del puntos. Las coordenadas de un punto (x, y) están dadas por un par ordenado de números, el primero “x”, denominado abscisa, y el segundo “y”

denominado ordenada. La primera coordenada x corresponde al eje” y el segundo corresponde al eje “y”. Ejemplo: Tenemos una cuadricula con dos ejes numerados, uno vertical y otro horizontal que se cortan en el punto O. Sobre la cuadricula esta dibujado el mapa del Perú haciendo coincidir el punto O en Lima.

Del grafico se observa:

PAR ORDENADO: Es un conjunto de dos elementos con la propiedad de que a uno de ellos se le considera el primer elemento y al otro el segundo elemento. Si dichos elementos son a y b, el par ordenado se representa por:

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS: Para que dos pares ordenados sean iguales sus primeras y segundas componentes deben ser iguales. Es decir: (a , b)=(c , d) Se debe cumplir: a=c y b=d . Ejemplo 1:

(27 ; 3)=(40−13 ; 1+ 2) Si son pares ordenados iguales porque:

27=40−13 ; 3=1+2 Ejemplo 2: Si ( x +8 ; y /2)=(15 ; 2). Hallar “x + y” si son pares ordenados iguales, se debe cumplir que:

x +8=15 y y /2=2 x=7 y=4 Luego: x + y=7+ 4=11 PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos A y B no vacíos, se llama producto cartesiano de A por B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a; b) tales que a a ∈ A y b ∈ B .

A XB={( a ; b)/a ∈ A ⋀ b∈ B } Ejemplo Sea: A= {1 ; 2 } ; B={ 5; 7 } Hallar a ¿ AXB y B ¿ BXA

A × B= { ( 1,5 ) , ( 1,7 ) , ( 2,5 ) , ( 2,7 ) }

OBSERVACION: como te podrás dar cuenta:

A × B ≠ B × A , es decir el producto cartesiano no es conmutativo.

REPRESENTACION GRAFICA DEL PRODUCTO CARTESIANO.

Dados : E= { a; b ; c } y F={ 1,3 }

E × F= {( a ,1 ) , ( a , 3 ) , ( b ,1 ) , ( b ,3 ) , ( c , 1 ) ,( c , 3) } Este producto puede ser representado gráficamente de las siguientes maneras: 1. MATRICIAL: Es un cuadrado de doble entrada, en donde los elementos del primer conjunto se escriben en la primera columna, y los del segundo conjunto en la primera fila. En dos cuadrados internos se encuentran los elementos del producto cartesiano.

2. SAGITAL: Esta representación es mediante un diagrama de ven se le denomina sagital porque se emplean flechas para relacionar los elementos.

3. CARTESIANA: Se realiza en el sistema cartesiano, en el eje horizontal se ubican los elementos del primer conjunto y en el eje vertical del segundo conjunto.

DIAGRAMA DEL ARBOL:

RELACION BINARIA

Dados los conjuntos A y B, se dicen que R es una relación de A en B, si es subconjunto del producto cartesiano A x B. Simbólicamente, se denota así:

R : A B ↔ R⊂ A × B Donde: R : A B se lee R es una relacion de A en B Ejemplo:

Sea: A= {5 ; 8 ; 11 } ; B= { 4 ; 7 ; 10 } Hallar R={( a ; b)∈ A × B /a9 } b) D R c) R R SOLUCION:

P ×Q= { ( 7,3 ) , ( 7,4 ) , ( 9,1 ) , ( 9,2 ) , ( 9,3 ) , ( 9,4 ) } D R = {7 ; 9 } R R= {3,4,1,2 }

Ejemplo 2:

Seanlos conjuntos A={ 1,3,5 } ; Q={ 2 ; 4 }

A × B= { ( 1,2 ) , ( 1,4 ) , ( 3,2 ) , ( 3,4 ) , ( 5,2 ) , ( 5,4 ) } Algunas relaciones de “A” en “B” son:

R1= { (1,2 ) , ( 3,2 ) } R2= { ( 3,4 ) , (5,2 ) , ( 5,4 ) ,(1,2) } R3= { ( 1,2 ) , ( 5,4 ) ,(3,2) } Se pueden tener muchas relaciones.

Ahora grafiquemos R3 empleando el diagrama sagital y el diagrama cartesiano. DIAGRAMA SAGITAL

DIAGRAMA CARTESIANO

Donde: D R = {1,3,5 } y R R ={2,4 } 3

3

Ejemplo 3:

Seanlos conjuntos A={ 7,0,3 } ; B={ 1,5,2 } . Calcular n ( AxB) Solución:

A × B= { ( 7,1 ) , ( 7,5 ) , (7,2 ) , ( 0,1 ) , ( 0,5 ) , ( 0,2 ) , ( 3,1 ) , ( 3,5 ) ,(3,2) } El número de elementos de A x B, está dado por:

n( A × B)=n( A)× n(B)=3 ×3=9 Ejemplo 4:

Seanlos conjuntos A={ 7,0,3 } ; B={ 1,5,2 } . Calcular n ( AxB ) Entonces indicar la relación: 0

R={( a ; b)∈ A × B /a+b=5⏞ } SOLUCION: Analizando, se obtendrá: R={(0,5) ,(3,2) } Por lo tanto: se cumple la condición: a+ b=5.

TIPOS DE RELACIONES BINARIAS: Relación reflexiva: Una relación en un conjunto A es reflexiva si todo elemento A sta relacionado consigo mismo. Ejemplo: si A={ ( a , b ) → a R a; b R b ; ∀ a , b ∈ A }

a

b

Relación simétrica: Una relación en un conjunto A es simétrica si:

a R b → b R a para todo (a , b)∈ R

a

b

Relación transitiva: Una relación en un conjunto A es transitiva si:

a Rb y b Rc→a Rc

a

b

c b

PROBLEMAS PROPUESTOS

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