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• Alex Romain Oyarce Saldaña

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GOBIERNO REGIONAL CAJAMARCA DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN CAJAMARCA IESP PÚBLICO “ARÍSTIDES MERINO MERINO” - CELENDÍN Resolución de Creación R.M. N° 13672, del 26 de julio de 1961 “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria”

Relaciones Binarias Dados dos conjuntos el de hombres o conjunto H, y el conjunto de mujeres o conjunto M, es decir: H = {Segundo, Sebastián, Luchín} y M= {Lucila, Cecilia, Sofía} Entre ambos conjuntos se han establecido una correspondencia de modo tal que a cada nombre de hombre le corresponde el nombre de una mujer cuyo que tenga la misma letra inicial según el diagrama sagital.

H

M Segundo. Sebastián. Luchín .

. Lucila . Cecilia . Sofía

Las parejas señaladas pueden también ser representadas todas por pares ordenados, los mismos que agrupados conforman un nuevo conjunto de pares ordenados al que llamamos relación (). Es decir:  = {(Segundo; Sofía); (Sebastián; Sofía); (Luchín; Lucila)}. Es fácil notar que este conjunto de pares ordenados es un subconjunto del producto cartesiano. Tarea: Da dos ejemplos de relaciones de acuerdo con tu vida cotidiana. Definición 1. Dados dos conjuntos A y B, decimos que  es una relación de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano de A x B, o también  es una relación de B en A si es un subconjunto del producto cartesiano B x A, en el que las componentes de sus pares ordenados guardan una regla de correspondencia o una correspondencia de acuerdo a una condición. Definición 2. Se llama relación binaria entre los elementos de un conjunto A y los elementos del conjunto B, a todos los subconjuntos  del producto cartesiano de A x B; Esto es, una relación binaria  consistente en lo siguiente: a) Un conjunto de partida “A” b) Un conjunto de llegada “B” c) Un enunciado abierto ( ) es verdadero o falso para todo par ordenado. Simbólicamente se denota por: *(

)

(

)

+

Definición 3. Si entre los pares ordenados que son elementos del producto cartesiano A x B se consideran solamente aquellos en los que el primer elemento del par está vinculado con el segundo elemento por alguna propiedad, el subconjunto de A x B así obtenido se llama relación entre los elementos del conjunto A y los elementos del conjunto B. En forma más precisa: RELACIÓN DE A EN B ES TODO SUBCONJUNTO DE A x B

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Luis Eduardo Linares Quiroz

Definición 4. Una relación en los reales es una regla de correspondencia que asocia a cada

número real “x” de un conjunto de partida A   (llamado dominio de la relación) uno o más números reales “y” de un conjunto de llegada B  llamado contra dominio. Definición 5. Llamamos relación entre los conjuntos A y B y que representamos por la letra

, a cualquier subconjunto del producto cartesiano de A x B (No es necesario que todos los elementos de A estén considerados). Notación. A las relaciones se les denota con la letras: R; S; T; U … o también con subíndice si

las relaciones son muchas: R(1) ; R(2) ; R(3) R(4); …. R(n). 1. Simbólicamente una relación se denota: Así: el conjunto R = {(x; y)  A x B / x R y} De esta bicondicional tenemos: i) Si R es una relación de A en B, entonces R A x B. ii) Si R A x B., entonces R es una relación de A en B.

Dónde: Se lee R es un relación de A en B Se lee R es un subconjunto, parte o está incluido en A en B. En donde: Si se trata de una relación R de A en B, A es el conjunto de partida y B es el conjunto de llegada y si se trata de una relación R de B en A; el conjunto B es el conjunto de partida y A es el conjunto de llegada. UNA RELACIÓN PRESENTA LOS SIGUIENTE ELEMENTOS 1. ELEMENTOS HOMÓLOGOS O IMAGEN Se dice que “y” es homólogo o imagen de “x” a todo elemento del conjunto B tal que el par (x; y)  R. Siendo R un subconjunto relación. La primera componente del par (x; y) que pertenece al conjunto A se le llama pre imagen mientras que la segunda componente recibe el nombre recibe el nombre de elemento imagen. Cuando y es el elemento imagen de “x” por la relación R escribimos y = R (x) Conjunto origen, de partida o inicial. Llamamos así al conjunto A. Conjunto de llegada o final. Es el conjunto B. Gráfico o grafo de una relación. Es el conjunto de puntos. Graf. (R) = {(x; y)  A x B / y = R (x)  x  A R} R2 2. ELEMENTOS DE UNA RELACIÓN Para indicar que un par ordenado (x; y) pertenece a una relación R escribimos: x R y o también (x; y)  R. Esto significa que: (x; y)  R P (x; y) es verdad. El símbolo x R y o (x; y)  R, indica que “x”, está vinculado con “y” por la relación R. Al elemento “y” se llama imagen del elemento “x” por la relación R; y a “x” se le llama pre imagen de “y” por la relación R. Análogamente, para indicar que un par ordenado (x; y) no pertenece a una relación R escribimos x R y o también (x; y)  R. Esto significa que: (x; y)  R. P (x; y) es falso. A una relación entre los elementos se le llama también correspondencia entre dichos conjuntos.

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Dominio y rango de una relación En el conjunto de partida de una relación R hay elementos para los cuales la relación nunca se satisface; al ponerlos como primeras componentes de un par no dan una proporción verdadera con ningún segundo elemento. Dominio. El dominio está formado por aquellos elementos del conjunto de partida que satisfacen la relación con algún segundo elemento adecuado (o varios), y éstos se dicen que están formado la imagen. Dominio de una relación R es la totalidad de elementos del conjunto A (de partida) que admiten imagen en el conjunto B (de llegada). El dominio de una relación R, se define como el conjunto formado por todas las primeras componentes de los pres ordenados de dicha relación. Se llama dominio, al conjunto formado por todos los elementos de A que son pre imagen por la relación R (o que tiene una imagen). Notación. El dominio de una relación se denota por: Dom (R). Simbólicamente: Dom(R) = {x  A /  y  B  (x; y)  R} Dom(R) = {x / (x; y)  R } A Rango. Rango de una R, es el conjunto de los elementos de B (conjunto de llegada, que admite una pre imagen en A (conjunto de partida). El rango de una relación R es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares

ordenados de dicha relación. Se llama recorrido, al conjunto formado por todos los elementos de B que son elementos imágenes por la relación R. Al rango de una relación también se le llama imagen o codominio. Notación. El rango de una relación se denota por Ran (R) Simbólicamente: Ram(R) = {y  B /  x  A  (x; y)  R} Ram(R) = {x / (x; y)  R } B El dominio es el conjunto incluido en el conjunto de partida, y la imagen es el conjunto incluido en el conjunto de llegada. R

A

B 1. 2. 3.

.5 .6 .7

4.

.9

Imagen

Dominio

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Conjunto de partida

Conjunto

de llegada Representaciones Gráficas Una relación puede tener varias representaciones gráficas. 2 Ejemplo: Representa gráficamente la siguiente relación: y = x + 1 Esta relación se puede representar mediante: a) Forma verbal. Se describe la relación en lenguaje materno lo más preciso posible Un número “y” es igual al cuadrado de otro número “x” más una unidad. 2 b) En forma de ecuaciones algebraicas: y = x + 1 c) Forma numérica o de tabla. Es un arreglo que puede ser en forma horizontal o en forma vertical Forma horizontal: X y

-2 5

-1 2

0 1

1 2

2 5

Forma vertical:

x -2 -1 0 1 2

y 5 2 1 2 5

d) Forma gráfica:

Ejemplo: Dados los conjuntos A =1; 2; 3 y B =4; 5; 6, consideremos además los siguiente conjuntos.

R = (1; 4); (2; 5) ; (3; 6) R =(2; 4) ; (3; 6) A x B R =(x; y)A x B / x + y = 7) = (1; 6); (2; 5); (3; 4)

AxB

Las relaciones anteriores son subconjuntos de A x B, y por tanto son relaciones de A x B. Representación Gráfica de las relaciones

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Sea R una relación de A en B, es decir, R A x B Esta relación se puede graficar mediante: Tabla de dos columnas: x X1 X2 X3 : Xn Diagrama Sagital o de Flechas

y y1 y2 y3 : yn

R

A

B 1.

.4 .6 .8

2. Cuadro de Doble Entrada: R 1 2 3 4

3 X

4

5

6

X X X

Diagrama Cartesiano AxB

0

1

2

3

4 Taller de Ejercicios

1. Dados los conjuntos A  5; 8; 11 ; B  4; 7; 10 se define la relación R, de la siguiente manera; R =(x; y) A x B / x  y y representa mediante diagrama sagital o de flechas, diagrama cartesiano, mediante un cuadro de doble entrada. 2. Dado los conjuntos A =x2 – 1/ -2 ≤ x  3; x  Z, se define R de la manera siguiente: R =(x ; y)  A x N / y = x2 + 3; Representa R como un conjunto de pares ordenados, halla su dominio y rango.

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I. Dados los conjuntos A y B, halla la relación R de A en B cuya regla de correspondencia se indica, además grafica la relación empleando el diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de doble entrada. 1. A =1; 3; 5; B =2; 5. Regla de correspondencia: a  b. 2. A =x/ xN  1 ≤ x ≤ 2 y B =x/ xN  1 ≤ x ≤ 2; regla de correspondencia b = 2a 3. A =x/ xN  0  x  3 y B=x/x N  0  x ≤ 3; Regla de correspondencia b = 2a 4. A =y/ y  N  1 ≤ y  3; B =x/x  N  0  x ≤ 2. Regla de correspondencia y = 2x 5. A =x/x  N  x es impar  7 ≤ x  12; B =x/x  N; x es par  5  x  11. Regla de correspondencia x + y = 15. II. En cada uno de los ejercicios expresa cada relación como un conjunto de pares ordenados: Halla su dominio y su rango.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

A =2; 3; 5; 6 ; B =3; 4; 6. R =(x; y)  A x B/ x < y P =20; 24; 30; 48; Q =3; 4; 5; 7; 12; R =(x; y)  P x Q/ x es múltiplo de y M =3; 5; 7; 9; N =1; 2; 3; 4; R =(x; y)  M x N/ x + y < 9 D =3; 4; 5; 6; 7; L =10; 12; 21; 25; R =(x; y) D x L / x es divisor de y E =x  N / -7 < x