• Author / Uploaded
• Grecia Revilla Camacho

• Categories
• Conjunto (Matemáticas)
• Matemática Elemental
• Lógica
• Análisis
• Álgebra

Citation preview

Facultad Estudios Generales COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS

PRODUCTO CARTESIANO Y RELACIONES BINARIAS. PAR ORDENADO A expresión como la siguiente se denomina par ordenado

Ejemplo: Graficar los siguientes puntos. a) b) c) d)

(2, 6) (-3, -4) (4, -4) (-5, 2) Solución

Departamento de Ciencias – UPNC

Ciclo Académico – 2019 - I

Facultad Estudios Generales COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS Si dos pares ordenados son iguales se cumple lo siguiente: (x, y) = (z, w) ⇔ x = z

∧

y=w

Ejemplos: a) (2x; 14) = (16, z)

⇔ 2x = 16 x=8

b) (x+y, 6) = (20, x-y)

⇔

∧ 14 = z

x+y = 20 ∧ 6 = x-y

Resolviendo:

x = 13 ∧

y=7

PRODUCTO CARTESIANO Si A y B son dos conjuntos, el producto cartesiano de A por B, denotado por AxB, es el conjunto siguiente: A x B = {(x , y)/ x ϵ A ∧

y ϵ B}

Ejemplo: a) Dados los conjuntos A = { -1, 0, 1, 2} y AxB

B = {5 ,6}, determinar el producto cartesiano

Solución A x B= {(-1,5), (-1,6,), (0,5), (0,6), (1,5), (1,6), (2,5), (2,6)}

RELACIÓN BINARIA Una relación binaria R de A en B, es un subconjunto cualquiera del producto cartesiano A×B. Se denota R: A  B. R = {(x, y) ϵ A x B / x R y } A es el conjunto de partida de la relación R y B es el conjunto de llegada de la relación R. NOTA: Los elementos de una relación binaria se obtienen según una regla de correspondencia.

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN DOMINIO: Es el conjunto formado por las primeras componentes de la relación. RANGO: Es el conjunto formado por las segundas componentes de la relación.

Departamento de Ciencias – UPNC

Ciclo Académico – 2019 - I

Facultad Estudios Generales COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS

Ejemplo: Para la siguiente relación binaria, hallar el dominio y el rango: R = {(x, y) ϵ RxR/ x2 - y2 = 4} Solución Hallamos el Dominio: Despejamos “y” para hacer el análisis de las “x” que conforman el dominio de la relación binaria. y2 = x2 - 4 Se tendrá soluciones reales si: x2 - 4 ≥ 0 se tendría:

Resolviendo la inecuación cuadrática por puntos críticos

x2 - 4 ≥ 0 factorizamos

(x +2)(x – 2) ≥ 0

Determinamos los puntos críticos: x +2 = 0 x = -2

x–2=0 x=2

Dom(R)= (-∞, -2] ∪ [2, ∞)

Hallamos el Rango: Despejamos “x” para hacer el análisis de las “y” que conforman el rango de la relación binaria. x2 = y2 + 4 haciendo un análisis se aprecia que la expresión se cumple para cualquier valor que toma la variable y Ran(R) = (-∞, ∞) = R

Departamento de Ciencias – UPNC

Ciclo Académico – 2019 - I

Facultad Estudios Generales COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Determinar los valores de x ; y 5x  4 y 5x  4 y  3x  2 y   2 y  3x   2,  4    4,  4  3 3 3 3    

Solución 3𝑥+2𝑦 3

–2=

2𝑦 −3𝑥 3

+4 ∧

5𝑥−4𝑦 3

3x + 2y – 6 = 2y -3x + 12 3x – 6 = -3x + 12

+4 =

5𝑥+4𝑦 3

−4

∧ 5x – 4y +12 =5x + 4y - 12

∧ – 4y +12 = 4y - 12

3x + 3x = 12 + 6

12 + 12 = 4y + 4y

6x = 18

24 = 8y

X=3

3=y

2. Si: A = {1; 2: 3; 4; 5; 6} ;

B = {1; 4; 9; 16; 25; 3: 49}

y la relación R = {(x , y) ϵ AxB/ y = (2x + 1)2 }. Halle el dominio y el rango.

Solución Cada par ordenado (x ,Y) ϵ AxB lo que significa que: xϵA ∧ yϵB

pero y = (2x + 1)2

X = 1 → y = (2(1) + 1)2 = 9 ϵ B X = 2 → y = (2(2) + 1)2 = 25 ϵ B X = 3 → y = (2(3) + 1)2 = 49 ϵ B X = 4 → y = (2(4) + 1)2 = 81 ∉ B X = 5 → y = (2(5) + 1)2 = 121 ∉ B X = 6 → y = (2(6) + 1)2 = 169 ∉ B Luego:

Departamento de Ciencias – UPNC

Ciclo Académico – 2019 - I

Facultad Estudios Generales COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS

Dom(R)= {1; 2; 3} Ran(R)= {9; 25; 49}

3.

Sea la relación R= {(x , y) ϵ RxR / x2 y – 3x -4y + 3 = 0}. Determinar el dominio de la relación R. Solución Hallamos el dominio: Despejamos “y” para hacer el análisis de las “x” x2 y -4y = 3x – 3 y(x2 -4) = 3x – 3 3x – 3 (𝑥 2 −4)

y=

para que la expresión exista el denominador debe ser distinto de cero: 𝑥2 − 4 ≠ 0 𝑥2 − 4 ≠ 0 𝑥2 ≠ 4 x ≠ ±2 Dom(R) = R – {-2, 2} 3.Dada la relación indicar el dominio, rango y gráfica.





R  x, y R x R/ y  2( x  3) 2  1 Solución Dominio:

El dominio está conformado por todos los valores “x” que pertenecen al conjunto de los números reales, por tanto, se debe despejar “y” para hacer el análisis de las “x” 𝑦 = 2(𝑥 + 3)2 -1 Al remplazar cualquier valor real en “X” ya sea negativo, positivo o el cero siempre existe valor real para “y” ∴ Dom(R) = R

Departamento de Ciencias – UPNC

Ciclo Académico – 2019 - I

Facultad Estudios Generales COMPLEMENTO MATEMÁTICO PARA INGENIEROS

Rango: El rango está conformado por todos los valores “y” que pertenecen al conjunto de los números reales, por tanto, se debe despejar “x” para hacer el análisis de las “y” 𝑦 = 2(𝑥 + 3)2 -1 aplicando la propiedad simétrica de la igualdad se tiene: 2(𝑥 + 3)2 − 1 = 𝑦 2(𝑥 + 3)2 = 𝑦 + 1 (𝑥 + 3)2 =

𝑦+1 2

𝑦+1 𝑥+3 =√ 2 𝑦+1 𝑥=√ −3 2 Para que la expresión exista en el conjunto de los números reales el radicando debe ser mayor o igual que cero, así: 𝑦+1 ≥0 2 𝑦 + 1 ≥ 0(2) 𝑦+1 ≥0 𝑦 ≥ −1 Ran(R)= [-1; ∞) Gráfica:

Departamento de Ciencias – UPNC

Ciclo Académico – 2019 - I