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• Mayi Romero Chancafe

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Tema: 6

RELACIONES BINARIAS

Una relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado dominio, con un segundo conjunto, llamado recorrido o rango, de manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o más elementos del rango. Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos.

Figura Nº 06: La figura muestra que toda función es una relación, pero la propiedad recíproca no es verdadera. Fuente: Elaboración propia

Entender los conceptos de relación y de función es de suma importancia en Matemática. Para lograr esa comprensión es necesario entender correctamente la noción de correspondencia, ya que ésta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones. Lo primero es entender que correspondencia es equivalente a relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”. Veamos algunos ejemplos: En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; es decir, a cada artículo le corresponde un precio; en la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; es decir, a cada nombre de la guía le corresponde un número. En muchas situaciones prácticas, el valor de una cantidad puede depender del valor de una o más cantidades; por ejemplo la reacción de un organismo frente a un fármaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una población depende del número de individuos y de depredadores. Con frecuencia tales relaciones pueden representarse mediante funciones. En este tema estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en conjuntos es la teoría de relaciones binarias. Para poder introducir el concepto de relación binaria necesitamos precisar lo que significa un par ordenado de objetos y definir el producto cartesiano de dos conjuntos. 6.1. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA Si

A= Miguel , Fernando , María y R =  Administración , Ing. Industrial , Psicología ;

son dos conjuntos y además tenemos la regla de correspondencia: “... es estudiante de la carrera profesional…”; establece mediante pares ordenados una posible combinación de estos elementos y elabora un esquema que represente dicha combinación.

Matemática

Mediante pares ordenados:

R =  Miguel ; Administración  , (Fernando ; Ing. Industrial) , (María ; Psicología) Esquema:

6.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS 6.2.1 Conjuntos Intuitivamente un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos; objetos que como se verá en los ejemplos posteriores, pueden ser de diferentes tipos: Números, personas, letras, ríos, etc. Usualmente, los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, C, D, etc. Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto. Usualmente se representan con una letra minúscula: a, b, c, d, etc. Para indicar que un elemento “x” pertenece a un conjunto “A”, escribimos x  A (se lee: “x pertenece a A” o bien “x es un elemento de A”). La negación de x  A se escribe x  A (y se lee: “x no pertenece a A”). Existen dos conjuntos que son especiales, los cuales son: El conjunto universal: Es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Se representa por la letra “U”. El conjunto vacío: Es el conjunto que no tiene elementos. Se denota por “  ”. 6.2.2 Par ordenado Un par ordenado es un conjunto de dos elementos, en donde se distingue el orden que ocupa cada uno de ellos, y designándoseles como primera y segunda componente del par ordenado. Si las componentes del par son “a” y “b”, en ese orden, entonces se denota como

 a ; b

y se lee “el par ordenado de componentes a y b”.

Pero ¿por qué decimos que un par ordenado es un conjunto?, pues sabemos que en los conjuntos no se distingue entre el orden de sus elementos, entonces ¿cómo introducimos la noción de orden para definir un par? Para dar significado a lo anterior, formalmente un par ordenado queda definido como sigue:

 a ; b  = a ; a; b

Como puede apreciarse un par ordenado es un conjunto cuyos elementos son a la vez conjuntos, donde

a

determina que “a” es la primera componente o

2

Matemática

coordenada del par ordenado y

a ; b determina que “b” es la segunda componente

o coordenada del par ordenado. De lo anterior, si “a” y “b” representan elementos diferentes, entonces los pares ordenados (a ; b) y (b ; a) son diferentes entre sí (no se puede cambiar el orden de las componentes), lo cual podemos expresarlo así:

 a ; b  b ; a 

a b

Por lo tanto, para que dos pares ordenados sean iguales sus componentes correspondientes deben ser iguales, es decir, las primeras componentes iguales entre sí y las segundas componentes iguales entre sí:

 a ; b = c ; d  Ejemplo: Si se cumple que

2

 a= c

 b= d

 3x – 5 ; 2y+1 = 7 – x ; 19 – y  , determina el valor de la

2

expresión E = x + xy+ y . Solución: Para que se cumpla la igualdad de pares ordenados las componentes correspondientes deben ser iguales.

3x – 5 = 7 – x  3x+ x = 7 + 5  4x = 12  x = 3 

Igualando las primeras componentes: 

2y +1= 19 – y  2y + y = 19 – 1  3y = 18  y = 6 

Igualando las segundas componentes: 

Reemplazando: E = x 2 + xy + y 2 = 32+3 6  +62 = 9+18+36 = 63

EJERCICIOS DE REFUERZO Ahora tú, determina los valores de “x” e “y”, de modo que se cumpla la igualdad en cada caso. 1) Si: (2a+2; 14) = (10; b2-2) Halla “a + b” Rpta: 8 2) Si (x – 3; 8) = (4; y + 3)

Halla " x3 – y2 "

3) Si (a + b; a – 2b) = (11; 2) Halla 4)

ab 2

Si: (3x–8y, 4x+3y) =(4 –2x – 10y, 2x + 4y + 7) Halla x– y

5) Halla "x + y" si se cumple: (2x + y ; 3x – 2y) = (9 ; 3)

Rpta: 318 Rpta: 5,5 Rpta: 5 Rpta. 6

6.2.3 Producto de conjuntos Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, el producto de A por B, es el conjunto de

 a ; b  , es decir: A  B  ( x, y) / x  A  y  B

todos los pares ordenados

Así, si el primer conjunto está formado por Irma, Miguel, Oscar y Rosa; y el segundo conjunto son los cargos que pueden ocupar: Presidente, secretario y tesorero; entonces el producto de conjuntos del primer por el segundo conjunto sería:

3

Matemática

 Irma ; presidente  ,  Irma ; secretario  ,  Irma ; tesorero  ,     Miguel ; presidente  ,  Miguel ; secretario  ,  Miguel ; tesorero  , A B    Oscar ; presidente  ,  Oscar ; secretario  ,  Oscar ; tesorero  ,   Rosa ; presidente , Rosa ; secretario , Rosa ; tesorero         Si representamos el primer conjunto como por

A= I , M , O , R y el segundo conjunto

B = P , S , T  , entonces el producto de A y B sería:  I ; P  ,  I ; S  ,  I ; T  ,  M ; P  ,  M ; S  ,  M ; T  ,  A× B =    O ; P  ,  O ; S  ,  O ; T  ,  R ; P  ,  R ; S  ,  R ; T  

6.2.4 Producto cartesiano Dados dos conjuntos numéricos, denominamos producto cartesiano al conjunto de todos los pares ordenados, en donde la primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda componente pertenece al segundo conjunto. Ejemplo: Sean los conjuntos

A= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 y B = 1 , 2 , 3 , entonces el

producto cartesiano está dado por:

1 ; 1 , 1 ; 2  , 1 ; 3  ,  2 ; 1 ,  2 ; 2  ,  2 ; 3  ,  3 ; 1 ,  3 ; 2  , A× B =    3 ; 3  ,  4 ; 1 ,  4 ; 2  ,  4 ; 3  ,  5 ; 1 ,  5 ; 2  ,  5 ; 3   Para representar gráficamente el producto cartesiano utilizaremos la representación cartesiana que consiste en trazar dos ejes perpendiculares; en el eje horizontal colocaremos los elementos del conjunto “A” y en el eje vertical los elementos del conjunto “B”; los elementos del producto cartesiano los forman los puntos de intercepción que se obtienen al trazar por los elementos del conjunto “A” paralelas al eje vertical y por los elementos del conjunto “B” paralelas al eje horizontal. B (1 ; 3)

(2 ; 3)

(3 ; 3)

(4 ; 3)

(5 ; 3)

(1 ; 2)

(2 ; 2)

(3 ; 2)

(4 ; 2)

(5 ; 2)

(1 ; 1)

(2 ; 1)

(3 ; 1)

(4 ; 1)

(5 ; 1)

3

4

3

2

1

A -2

-1

1

2

5

Para determinar los elementos del producto cartesiano de dos o más conjuntos, podemos elaborar el diagrama de árbol como se muestra a continuación:

4

Matemática

Ejemplo: Sean los conjuntos numéricos

A= 1 , 2 , 3 y B = 2 , 3 , 4 ; mediante el

diagrama del árbol determine los elementos que posee el producto cartesiano de dichos conjuntos.

Luego concluimos que:

A× B = 1 ; 2  , 1 ; 3  ,  1 ; 4  ,  2 ; 2  ,  2 ; 3  ,  2 ; 4  ,  3 ; 2  ,  3 ; 3  ;  3 ; 4 

Observemos que el producto cartesiano tiene 9 pares ordenado, el cual es el resultado de multiplicar el número de elementos del conjunto “A” por el número de elementos del conjunto “B”. Propiedades del producto cartesiano: A× B  B× A ; Si A  B A× =  × A =  A× B = 



A= 

 B=

n  A× B  = n  A× n  B  A  B C  =  A B

 AC 

A  (B C)=  A  B 

 A C 

A  B – C  =  A B –  A C  EJERCICIOS DE REFUERZO Ahora tú, encuentra el producto cartesiano en los siguientes ejercicios y determina la cantidad de elementos de cada uno. 1) Sean: A = {x  Z / -12 < x + 6 < 20} B = {x  Z / 10 < x2 < 400} ¿Cuántos elementos tiene A x B?

2) Si: A x B = { (1,3), (1,5), (2,3), 2,5) }

5

Rpta: 496

Matemática

B x C = { (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5) } Calcula: (A  B) – C

Rpta: {1}

3) Dados los conjuntos A, B y C, sabemos que: n (A x B) = 84

n (B x C) = 98

n (A) + n (C) = 26

Calcula el número de subconjuntos de B 4) Si A = {x  z/ 6  x2 + 2  102}

Rpta: 128

B = {x  Z / x2 – 5 < 25}

Halla n (A x B)

Rpta: 198

6.3. RELACIÓN BINARIA Dados dos conjuntos A y B, se denomina relación binaria de A en B, o relación entre lo elementos del conjunto A y B, a cualquier subconjunto de su producto cartesiano A x B; es decir: R: AB  A B y la relación se define por:

R =  a ; b  A× B / p  x ; y 

Toda relación binaria consta de un conjunto de partida “A”, de un conjunto de llegada “B” y de algún tipo de enunciado que es cumplido por todos los pares ordenados que forman la relación, es decir, es verdadero para los pares de la relación y falso para los pares que no forman parte de la relación. Ejemplo:



Dados los conjuntos: A= x 

y

/ 0 < x 2 < 25

B =  x  / 4 < 2x - 4 < 14 .

Determina: a) El producto cartesiano A× B

x ; y   A× B / x + y < 8 1  c) R =  x ; y   A× B / y - x = 4 2 b) R =

Solución: Primero determinamos por extensión los elementos de cada conjunto:



Si A= x  Si



/ 0 < x 2 < 25 , entonces A= 1 , 2 , 3 , 4

B =  x  / 4 < 2x - 4 < 14 , entonces B = 5 , 6 ,7 , 8

Luego determinamos los elementos del producto cartesiano:

 1 ; 5  , 1 ; 6  , 1 ; 7  , 1 ; 8  ,  2 ; 5  ,  2 ; 6  ,  2 ; 7  ,  2 ; 8  , A× B =    3 ; 5  ,  3 ; 6  ,  3 ; 7  ,  3 ; 8  ,  4 ; 5  ,  4 ; 6  ,  4 ; 7  ,  4 ; 8   Finalmente usamos el producto cartesiano para determinar los elementos de las relaciones:

R =  1 ; 5  ,  1 ; 6  ,  2 ; 5   A× B 1

R =  1 ; 5  ,  2 ; 6  ,  3 ; 7  ,  8 ; 4   A× B 2 6

Matemática

EJERCICIOS DE REFUERZO Ahora tú, resuelve cada uno de los siguientes ejercicios teniendo en cuenta los conjuntos mostrados y determina cuántos elementos tiene cada relación 1)

Dados los conjuntos: M = { 1, 2, 3, 4} y N = {2, 5, 6, 8}, halla el número de elementos de la relación W = { (x, y)  M x N / y = 2x }

2)

Rpta: 3

Dados los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} ; B = {3, 4, 6, 7, 8} y R = { (x, y)  A x B / y – x – 2 = 0}

3)

Rpta: 4

Si A= {0, 1, 2, 3, 4, 5} y R1, R2, R3 son subconjuntos de A x A definimos así: R1 = {(x, y) / x + y = 5}

R2 = {(x, y) / x = y }

Entonces: (R1  R2)  R3 es: 4)

R3 = { (x, y) / x2 = y } Rpta: {(1, 1) (0, 0)}

Del ejercicio anterior: Si: R4 = { (x, y) / y +x = 4} R5 = { (x, y) / y = x } Calcula n (R4  R5)

5)

Rpta: 1

Sea el universo U= {2x+3/xz+, x