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• Italo Jesus Cabrera Calderon

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COLEGIO TRILCE

III BIMESTRE

NIVEL: SECUNDARIA

ÁLGEBRA

PRIMER AÑO

RELACIONES PAR ORDENADO: Llamaremos "par ordenado" de números reales a la expresión

(𝒙; 𝒚)donde "𝒙" es llamada la primera componente y "𝒚" es llamada la segunda componente. Notación: Los elementos de todo par ordenado van separados

¡OBSERVACIONES!! - Si uno de los conjuntos A o B es vacío, entonces:

𝑨𝒙𝑩 = ∅

por punto y coma encerrados entre paréntesis. Par Ordenado:

(𝒙; 𝒚)

Ejemplo: Son pares ordenados: (1;3), (

- Si los conjuntos A y B son finitos y tienen "m" y "n" elementos, entonces el producto cartesiano A x B tendrá 𝒎 × 𝒏 elementos.

1 3

; ), (3;1), etc.

2 4

PROPIEDADES: a) Dos pares ordenados (a; b) y (c, d) son iguales si sus correspondientes componentes son iguales.

(a; b)  (c; d )  a  c  b  d b) Dos pares ordenados son diferentes, si una de sus componentes correspondientes son diferentes. Ejemplos: -Los pares ordenados (3; 2) y (3;1) no son iguales, ya que sus segundas componentes son diferentes. -Los pares ordenados (5; 7) y (7; 5) no son iguales pues sus primeras componentes 5 y 7 respectivamente no son iguales, tampoco son iguales sus segundas componentes.

PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos no vacíos A y B; se llama Producto Cartesiano de A x B al conjunto cuyos elementos son los pares ordenados (a;b) cuyo primer elemento es de A y el segundo es de B.

Ejemplo: Sean: A = {1; 3; 5} B = {m; n} Entonces: A x B = {(1; m), (1; n), (3; m), (3; n), (5; m), (5; n)}

𝒏(𝑨 × 𝑩) = 𝒏(𝑨) × 𝒏(𝑩)

- A x B no da lugar al mismo conjunto de pares ordenados que B x A.

𝑨×𝑩 ≠𝑩×𝑨 - El producto cartesiano de un mismo conjunto; está dado por:

𝑨 × 𝑨 = 𝑨𝟐

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN PRODUCTO CARTESIANO Existen varias formas de realizar dicha representación, que depende del número de elementos que posee cada conjunto con los que se desea efectuar el producto cartesiano. Consideremos el producto cartesiano A x B de los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {a; b} con "a" y "b" positivos AxB={(1;a),(1;b),(2;a),(2;b),(3;a),(3;b)} Este producto está formado por 3 x 2 = 6 pares ordenados.

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III BIMESTRE

a) DIAGRAMA SAGITAL O DE FLECHAS: -Sobre el “eje x” de abscisas, a la derecha del origen representamos los elementos del primer conjunto A. -Sobre el “eje y” de ordenadas, a partir del origen hacia arriba, representamos los elementos del segundo conjunto. Los elementos del producto son las intersecciones de las rectas perpendiculares a los ejes, trazadas a partir de los elementos de A y B respectivamente. Cada par ordenado viene representado por una flecha.

b) DIAGRAMA DEL ÁRBOL:

RELACIONES Se llama Relación o Relación Binaria; a todo conjunto formado por pares ordenados de AxB. Donde 𝑹 es un subconjunto de AxB. 𝑹 = {(𝒙; 𝒚) ∈ 𝑨 × 𝑩 ↔ 𝑹 ⊂ 𝑨 × 𝑩 Cuando un elemento (x; y) pertenece a una relación R se denota por: x 𝑹 y. Es decir, x R y→(x; y) ∈ R; y se lee: "x” está relacionado con “y” según la relación R. Ejemplo: 1.- Sean: A = {4;5;6} B = {2; 8} y la relación

Cada par ordenado viene representado por un trazo. c) DIAGRAMA MATRICIAL:

Observe que en cada par ordenado, la primera componente es un elemento de la izquierda (conjunto A) y la segunda componente tomado de la parte superior (conjunto B). d) DIAGRAMA CARTESIANO:

R= {(x; y)∈AxB/x>y} Entonces AxB seria: AxB= {(4;2), (4;8), (5;2), (5;8), (6;2), (6;8)} R= {(4;2), (5;2), (6;2)}

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III BIMESTRE

Ejercicios de Aplicación

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III BIMESTRE 8.

Tarea Domiciliar ia 1.

Relacionar ambas columnas adecuadamente I)

21(6)

(

)

13

II)

32(4)

(

)

19

(

)

14

III) 201(3) 2.

3.

4.

5.

a) 36(8) d) 51(8) 9.



178 a base 9 : ……………………………………………



125 a base 4 : ……………………………………………

Convertir:

b) 47(8) e) 56(8)

c) 43(8)

Si: a  b  c  d Sumar: 1a(4) ; 1b( 4) ; 1c(4) ; 1d( 4) en la base 10. a) 18 d) 24

Convertir:

b) 20 e) 26

c) 22

10. Si: N = 7 x 123 + 8 x 122 + 9 x 12 + 18 Convertir N a base 12. a) 789(15)12 d) 7996(12) b) 7896(12) e) 789(10)(12) c) 78(10)6(12) 11. Convertir: 23112(4) a base 16 12. Calcular “a” si:



23(6) a base 8 : …………………………………………



17(9) a base 3 : …………………………………………

Colocar “V” o “F” según corresponda: I.

Expresar el menor número de la base 10, cuya suma de cifras es 12, en el sistema octal.

29 = 45(6)

(

)

II. 35 = 50(7)

(

)

III. 19 = 17(8)

(

)

IV. 63 = 70(9)

(

)

28(11)

43(9)



37(9)

41(8)

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

b) 6 e) 9

c) 7

b) 1 e) 3

c) 2

b) 2 e) 5

c) 3

13. Hallar “a + b”, si:

ab(9) = 143(5) a) 5 d) 8 14. Hallar “a” si:

Colocar > ; < ó = según corresponda: 

a1(3) = 100(2)

aaa(4) = 132(5) a) 0 d) 4 15. Hallar “a” si:

aa (6) = 111(4) 6.

Expresar abc (9) en la base 10, si abc (9) es el menor número posible. a) 9 d) 18

7.

b) 81 e) 27

c) 729

Expresar abc (6) a base 8, si abc (6) es el mayor número posible. a) 321(8)

b) 323(8)

d) 327(8)

e) 329(8)

c) 325(8)

a) 1 d) 4