Regla De La Cadena
Regla De La Cadena REGLA DE LA CADENA En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composic
Views 153 Downloads 4 File size 112KB
Recommend stories
- Author / Uploaded
- Daniel Dorantes
Citation preview
Regla De La Cadena
REGLA DE LA CADENA En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. Descripción de la regla En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x. En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si
es diferenciable en
en
la
,
entonces
función
y
compuesta
es una función diferenciable es
diferenciable en y
Por ejemplo si y = f(u) es una función derivable de u y si además u = g(x) es una función derivable de x entonces y = f(g(x)) es una función derivable con:
O también
Teorema Si la función
es derivable sobre un intervalo es
función
derivable
sobre
un
intervalo
, entonces la función compuesta derivable
sobre
y
y si la tal
que es
,
para
.
Esta fórmula recibe el nombre de regla de la cadena. En la regla de la cadena es importante tener en cuenta que debemos siempre comenzar a derivar siguiendo este método: * Se deriva el exponente * Se deriva la función * Se deriva el ángulo de la función. * Cada paso realizado va multiplicando al siguiente. Ejemplos: 1. Calcular la derivada de la función f(x) = sen³(x²+3) F´= 3SEN²(X²+3)*[SEN(X²+3)]´* (X²+3)´ F´= 3SEN²(X²+3)* COS(X²+3)* 2X F´= 8XSEN²(X²+3)* COS(X²+3)
2. En este caso
por lo que
Veremos en esta sección algunas de las derivadas de funciones más usuales. Empecemos con la función trigonométrica seno. 1. Sea f ( x ) = sen ( x ) entonces
Luego pasando al límite nos queda que
Y puesto que el primer límite del segundo miembro es 0 y el segundo límite del segundo miembro es 1 (hacer click en cada uno de los límites para ver la demostración) se concluye que 2. Con la derivada de (1) más la regla de la cadena podemos calcular rápidamente la derivada de la función coseno. En efecto, sabemos que luego derivando ambos miembros de esta igualdad, aplicando
(1)
y
la
regla
de
la
cadena
simplificando nos queda que
tenemos
que
3. Con las derivadas en (1) y (2) podemos obtener mediante la regla del cociente la derivada de la tangente, esto es
y se tiene que
En definitiva, con estas derivadas puede obtener las derivadas de las restantes funciones trigonométricas, a saber cotangente, cosecante y secante puesto que son las inversas de las tres anteriores, y aplicamos la regla del cociente para las funciones 1 / tg( x ), 1/ sen( x ) y 1 / cos ( x ) respectivamente.
4. Vamos a calcular la derivada del logaritmo natural, ln( x ) aplicando simplemente la definición de logaritmo y la regla de la cadena. Preste mucha atención: Sea y = ln( x ), esto significa que
y es a esta igualdad que
derivamos respecto de la variable x (Ojo: y es una función de x, la derivada de x es 1, y la derivada de la función exponencial ya fue calculada), nos queda ahora despejamos la derivada dy / dx, y obtenemos que
pero
como e y = x, tenemos la fórmula Con estas sencillas fórmulas, más las reglas de las derivadas para la suma, resta, producto y cociente de funciones tenemos herramientas más que suficiente para realizar el cálculo de derivadas de funciones más complicadas.
Ejercicios resueltos 8
1. f ( x ) = (tag (5x ))
f ' ( x ) = 8[tag (5 x )] .(tag (5 x )) 7
(
'
)
f ' ( x ) = 8[tag (5 x )] . tag (5 x ) .(5 x ) 7
'
(
'
)
f ' ( x ) = 8[tag (5 x )] . sec 2 (5 x ) .(5) 7
f ' ( x ) = 40[tag (5 x )] .(sec(5 x )) 7
(
2. f ( x ) = x 3 + x
)
2
(
)(
)
(
)(
)
f ' (x ) = 2 x 3 + x . x 3 + x
'
f ' (x ) = 2 x 3 + x . 3x 2 + 1
3. f ( x ) = (1 + 5 x + 2 x 3 )
7
(
)(
(
)(
6
f ' (x ) = 7 1 + 5 x + 2 x 3 . 1 + 5 x + 2 x 3 6
f ' (x ) = 7 1 + 5 x + 2 x 3 . 5 + 6 x 2
4. f ( x ) = (1 + 3 x )
1 2
−1 f ' ( x ) = 1 (1 + 3 x ) 2 (3) 2
f ' (x ) =
3 (1 + 3x )− 12 2
f ' (x ) =
3 2 1 + 3x
)
)
'
5. f ( x ) = ln(ln x )
'
'
f ' ( x ) = (ln (ln x )) .(ln x )
f ' (x ) =
1 ' .(ln x ) ln x
f ' (x ) =
1 1 . ln x x
f ' (x ) =
1 x ln x
6. f ( x ) = 5 x 2 + 3 x
(
f ' (x ) = 5 x 2 + 3x
)
1 2
f ' (x ) =
1 5 x 2 + 3x 2
f ' (x ) =
1 5 x 2 + 3 x .(10 x + 3) 2
f ' (x ) =
( (
−1
) .(5x 2
2
+ 3x
)
1 2 5 x 2 + 3x
.(10 x + 3)
7. f ( x ) = sen(2 x − 1)
f ' ( x ) = cos(2 x − 1)( . 2) f ' ( x ) = 2 cos(2 x − 1)
)
8. f ( x ) = sen(cos(senx ))
'
'
'
f ' ( x ) = (sen(cos(senx ))) .(cos(senx )) .(senx ) f ' ( x ) = cos(cos(senx )).(− sen(senx ))( . cos x )