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LA REGLA DE LA CADENA

LA REGLA DE LA CADENA  Con la reglas de derivación estudiadas hasta el momento son limitadas a expresiones sencillas.  ¿Qué hacer cuando se tiene expresiones como la siguiente y = (x2 − 4)53/3 ?, resulta que es prácticamente imposible derivarla.  Surge la regla de la cadena que ayuda a derivar funciones compuestas

Teorema. La Regla de la Cadena  Si y = f(u) es una función derivable de u  Y u = g(x) es una función derivable de x Entonces:  y = f(g(x) es una función derivable de x y

dy dy du  . dx du dx

 O su equivalente

d f dx 

 g x     f '(g(x))g '(x)

Ejemplo: Encontrar dy/dx para y = (x2 + 1)3

u = x2 + 1 u’=2x y = u3

dy dy du  . dx du dx dy  2  3u .(2x) dx dy  2 2  3(x 1) (2x) dx dy  

6x(x

2

1)2

Teorema. La Regla General de las Potencias

 Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un número racional entonces

dy n1 du  n  u(x)  dx dx o su equivalente

d dx

[u ] nun1u ' n

Ejemplo: Encontrar la derivada de f(x) = (3x -2x2)3

u = 3x -2x2 u’ = 3 – 4x f(x) = u3

f '(x)  dy . du du dx  2 f '(x)  3u .(3 4x)

f '(x)  3(3x  2x ) (3 4x) 2 2

Ejemplo: Encontrar la derivada de g(t) = -7 / (2t – 3)2 g(t) = -7(2t – 3)-2 u = 2t – 3 u’ = 2

reescribir la función

g '(t)   7 (n)(u

n1

)(u ')

g '  t   7 (2)(u) (2) 3

3 28(2t  3) g '(t)  g '(t)  28

(2t  3)

3

Funciones Trigonométricas y la Regla de la Cadena

d

 cos u    sen u  u '

d  sen u    cos u  u ' dx

dx

d

d

 tan u   sec u  u ' 2

 cot u    csc2 u  u '

dx

dx

d  sec u    sec u tan u  u ' dx

d  csc u    csc u tan u  u ' dx

Ejemplos:

y  cos 3x

2

y  (cos u) u '

u  3x

y  (sen u)6x

u '  6x

y  (sen 3x )(6x)

2

2

y  6x(sen 3x ) 2

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Ejemplos:

2

f '(t)  3(sen 4t)

f (t) sen 4t 3



d dt

 sen 4t 

f '(t)  3(sen 4t) (cos 4t) 2

f (t)  (sen4t)

3

d dt

 4t 

f '(t)  3(sen 4t)2  cos 4t   4  



f '(t)  12sen 4t cos 4t 2

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS  La variable y esta definida implícitamente.  Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x.  Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha.  Factorizar dy/dx del lado izquierdo de la ecuación  Despejar dy/dx

1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x

d

[y  y  5y  x ]  3

2

2

dx

d

[4]

dx

d  y  

y      dx dx 3

d

2

d

 dx

 5 y 

d

d

 x   2



dx 



dx

dy dy dy  2x  0 3y  2 y 5 2

 4

dx

dx

dx 12

2. Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha

dy dy dy  2x 3y  2 y 5 2

dx

dx

dx

3. Agrupar los términos en que aparezca dy/dx en el lado izquierdo de la ecuación y los demás a la derecha

dy

[3y

2

d  2y x

 5]  2x 13

3. Despejar dy/dx

dy 2x  2 dx 3y  2 y  5

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