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Departamento de Ciencias Exactas

Regla de la Cadena Carrera: Ingeniería Mecatrónica Nivel: Segundo Unidad Didáctica: Segunda Grupo: 1

Paralelo: “A”

Integrantes:  Barreno Daniel  Barrera Kevin  Canchignia Daniel  Cruz Christyan  Viteri Francisco Tema: Regla de la Cadena Objetivo General  El objetivo de este informe es dar a conocer la regla de la cadena para derivadas de funciones compuestas y demostrar la utilidad de esta regla en distintas situaciones. Objetivos Específicos  Entender la extensión de los conceptos de diferenciación y regla de la cadena para funciones de varias variables.  Dar a conocer la notación de LEIBNITZ y la manera de su utilización ya que casi siempre es más fácil de recordar. Marco Teórico Cálculo vectorial El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física. La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

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Isaac Newton (1642-1727). Sus años más fecundos fueron durante el periodo 16651666 cuando cerraron la Universidad de Cambridge, donde era estudiante, debido a la peste bubónica. Newton se recluyó en su casa natal y allí descubrió el Teorema del binomio, el cálculo diferencial e integral, la ley de gravitación universal y la Teoría de los colores. Prácticament e todos los descubrimientos importantes de su vida. Newton tardó mucho en publicar sus trabajos ya que no le gustaban las controversias y quería evitar la crítica de sus contemporáneos. En los últimos años de su vida fue miembro del parlamento británico y presidente de la Royal Society y considerado como un tesoro nacional. Tal como hemos indicado, Newton concibió su cálculo durante los años 16651666. Después lo describió en numerosas cartas personales y en un pequeño tratado no publicado, De Analysi (1669) que circuló entre los matemáticos ingleses de la época y que fue en parte incluído en el tratado De Algebra de John Wallis en 1669. Luego organizó y describió todos sus trabajos anteriores sobre el cálculo en De Methodis Serierum et Fluxionumque escribió en 1671, pero que no fue publicado hasta después de su muerte en 1736. La principal obra de Newton es Philosophiae Naturalis Principia Mathematica que fue publicada en 1687 y donde expone muchísimas propiedades sobre las secciones cónicas y su famosa ley de gravitación universal. En este último no muestra realmente su cálculo, ya que los argumentos de Principia son principalmente de geometría sintética. El último tratado que escribió, pero el primero que se publicó, fue De Quadratura Curvarum.Escrito entre los años 1691-1693 apareció como un apéndice de su Opticks de 1704. Cabe señalar también las dos cartas, donde expone su teorema del binomio, la epistola priorde Junio de 1676 y la epistola posteriorde Octubre de 1676, que mandó al secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg, para que éste se las transmitiera a Leibniz.

Gottfried Wilhelm Leibniz

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Gottfried Wilhelm Leibniz nació en Leipzig en 1646, dos años antes de que se firmara la Paz de Westfalia, que puso fin a la Guerra de los Treinta Años. El hecho de quedarse huérfano muy pronto no le impidió adquirir una buena formación, lo que le permitió entrar en la universidad de Leipzig con apenas quince años, donde se familiarizó con el pensamiento aristotélico, platónico y escolástico, así como con la filosofía de Descartes. A los veinte años se doctoró en Derecho en la universidad de Altdorf, tras ver rechazado su examen de doctorado en Leipzig a causa de su juventud. Leibniz declinó la oferta de dedicarse a la enseñanza en la universidad y orientó su vida a la carrera política y diplomática. Comisionado por el príncipe elector de Maguncia, Von Boineburg, Leibniz fue a París con el objetivo de convencer al rey Luis XIV de que dejara de amenazar a los Países Bajos y Alemania y dirigiera sus afanes expansionistas hacia el mundo no cristiano, Egipto en concreto. Leibniz no tuvo éxito en esta misión, pero durante su residencia en Francia conoció los trabajos matemáticos de Pascal, estudio a Descartes y leyó el manuscrito de la Ética de Spinoza, a quien conocería más tarde en Holanda. En París, en 1676, Leibniz inventó el cálculo diferencial, que Newton había desarrollado poco antes, aunque de forma distinta y menos perfecta, sin que Leibniz tuviera conocimiento de ello. Poco antes de su muerte, ocurrida el año 1716, Leibniz perdió el favor de los príncipes electores; cayó en desgracia y murió solo y desencantado, aunque no dejó de escribir hasta el último día de su vida. Leibniz ha dejado una amplia e interesante correspondencia, así como innumerables opúsculos y pequeños tratados, entre los cuales merecen destacarse:    

Nuevo sistema de la naturaleza, publicado el año 1695. Monadología y Principios de la naturaleza y de la gracia, escritos hacia el final de su vida. Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano, obra publicada después de su muerte, en la que analiza y critica el Ensayo de Locke. Teodicea, sobre la bondad de Dios, la libertad del ser humano y el origen del mal.

Aquí expone Leibniz su noción de “sustancia”, distinta de la de Descartes, su distinción entre verdades de hecho y verdades de razón, la concepción de Dios como mónada suprema, la idea de la armonía prestablecida, y todos los demás conceptos que constituyen el núcleo de su pensamiento. Notación de Leibniz

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Existen varias formas distintas de representar la operación matemática derivada de una función en un punto o función derivada. Una de las formas más cómodas de representar esta operación es haciendo uso de la notación de Leibniz. Definición de la notación En esta notación se representa la operación de diferenciar mediante el operador , es decir, la operación "derivada de la función f respecto de x" se representaría de este modo como un cociente de diferenciales. La belleza y utilidad de esta notación consiste en que permite recordar intuitivamente varios conceptos básicos del cálculo tales como la regla de la cadena, que con esta notación parece obvia debido a la cancelación de diferenciales (a pesar de que este razonamiento es incorrecto) ; o bien el concepto de separación de variables en la resolución de ecuaciones diferenciales . Aparición en los Principios En la primera edición americana del libro se hace una introducción a la vida de Newton. En esta introducción, redactada por N. W. Chittenden, se comenta en una de las páginas que el método diferencial es único y el mismo que el método de las fluxiones, excepto en el nombre y en la notación; el señor Leibniz llama a estas cantidades diferencias, a las cuales el señor Newton llama momentos, o fluxiones; y [Leibniz] las nota con una letra d, una notación no usada por el señor Newton. Aplicaciones La notación de Leibniz también es especialmente útil cuando se trabaja con derivadas parciales de funciones multivariables y sus operadores derivados (gradiente, palaciano, rotacional, divergencia, etc.) ya que indica en cada momento la variable de la función que se considera independiente, dejando el resto de variables como constantes en lo que se refiere a la derivación parcial }

Regla de la Cadena

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Regla de la cadena En las reglas básicas de derivación se aplican fórmulas apropiadas para calcular las derivadas de las funciones f C g (suma), f g (diferencia), fg (producto) y f/g(cociente). Pero no se presentó en esa sección una regla que nos diga cómo calcular la derivada de una composición de funciones; esto es, no sabemos cómo calcular la derivada de f ı g (g compuesta con f o bien g seguida de f ). Es, precisamente, la regla de la cadena la que nos dice cómo obtener la derivada de y y=(f o g)(x)

Demostración de la regla de la Cadena Sea Esto es entonces Aplicando la definición de derivada se tiene

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Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre

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Conclusiones 

Se a determinado que la regla de la cadena se implementa en funciones compuestas ya que gracias a ella su resolución es mas eficaz y confiable.

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Mediante la utilización de la notación de LEIBNITZ se puede recordar de una manera más sencilla la regla de la cadena.

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La regla de la cadena se utilizan en funciones que dependen de otras funciones ya que en la practica nos vamos a encontrar con estos casos.

Recomendaciones  Se recomienda realizar ejercicios de este tema ya que es de mucha utilidad para el cálculo diferencial ya que permite resolver una función de una función. Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_vectorial http://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_de_Leibniz http://boehmiano.blogia.com/2012/041501-aproximacion-a-la-idea-de-realidad-enleibniz.php Anexos: Demostracion de la regla de la cadena: www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=1pkYhhv6wEw