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• Sergio García

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Regla de la cadena Saltar a: navegación, búsqueda En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción de la regla En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x. Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si es diferenciable en función compuesta

y es una función diferenciable en es diferenciable en

, entonces la y

Notación de Leibniz

Alternativamente, en la notación de Leibniz, la regla de la cadena puede expresarse como:

donde

indica que g depende de f como si ésta fuera una variable.

Demostración de la regla de la cadena Sea

Esto es entonces

Aplicando la definición de derivada se tiene

Donde queda

Equivalentemente, multiplicando y dividiendo entre

Ejemplos de aplicación Ejemplo conceptual

Supóngase que se está escalando una montaña a una razón de 0,5 kilómetros por hora. La razón a la cual la temperatura decrece es 6 °F por kilómetro (la temperatura es menor a elevaciones mayores). Al multiplicar 6 °F por kilómetro y 0,5 kilómetros por hora, se obtiene 3 °F por hora, es decir, la razón de cambio de temperatura con respecto al tiempo transcurrido. Este cálculo es una aplicación típica de la regla de la cadena. Ejemplo algebraico

Por ejemplo si función derivable de

o también

es una función derivable de entonces

y si además

es una función derivable con:

es una

Ejemplo 1

y queremos calcular:

Por un lado tenemos:

y

si:

entonces:

Si definimos como función de función:

resulta que:

con el mismo resultado.

Ejemplo 2

Tenemos la cual se puede definir como función compuesta. Si desglosamos la función compuesta quedaría:

, cuyas derivadas serían:

Con la regla de la cadena, esto sería:

Los cuales corresponden a las derivadas anteriormente extraídas.

Se reemplazan las letras b y c por sus valores NO derivados, no confundir.

Y luego se obtiene la derivada.

Derivadas de orden superior Las fórmulas de Faà di Bruno generalizan la regla de la cadena a derivadas de orden superior. Algunas de ellas son:

da de funciones trascendentes Una función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinomial cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación.1 En otras palabras, una función trascendente es una función que trasciende al álgebra en el sentido que no puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y extracción de raíces. Una función de una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de dicha variable. El logaritmo y la función exponencial son ejemplos de funciones trascendentes. El término función trascendente a menudo es utilizado para describir a las funciones trigonométricas, o sea, seno,coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante. Una función que no es trascendente se dice que es algebraica. Ejemplos de funciones algebraicas son las funciones racionales y la función raíz cuadrada. La operación de calcular la función primitiva (o integral indefinida) de una función algebraica es una fuente de funciones trascendentes. Por ejemplo, la función logaritmo surgió a partir de lafunción recíproca en un intento para calcular el área de un sector hiperbólico. Por lo tanto el ángulo hiperbólico y las funciones hiperbólicas senh, cosh, y tanh son todas funciones trascendentes

Ejemplos

Derivación de funciones trigonométricas Saltar a: navegación, búsqueda

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

Función

Derivada

Índice       

1 Derivada de la función seno 2 Derivada de la función coseno 3 Derivada de la función tangente 4 Derivada de la función arcoseno 5 Ejemplo #1 6 Ejemplo #2 7 Enlaces

Derivada de la función seno A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

Por tanto si f(x) = sin(x)

A partir de la identidad trigonométrica , se puede escribir

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

Reordenando los términos y el límite se obtiene

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x),

Derivada de la función coseno Si f(x) = cos(x)

A partir de la identidad trigonométrica , se puede escribir

Operando se obtiene:

Como sen(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

El valor de los límites

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

Derivada de la función tangente A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, se puede escribir como

y

, entonces la regla dice que la derivada de

A partir de la identidad trigonométrica

haciendo:

sustituyendo resulta

es igual a:

,

operando

y aplicando las identidades trigonométricas

resulta:

Introducción La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.

Derivadas de Funciones Trigonométricas La derivada de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, las derivadas de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x. Las derivadas de las funciones trigonométricas se presentan de esta manera: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Derivadas de funciones trigonométricas básicas || || || Derivada de la función trigonométricas seno A partir de la definición de la derivada de una función f(x) Por tanto si f(x) = sin(x) A partir de la identidad trigonométrica sin(A + B) = (sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B), se puede escribir

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser Reordenando los términos y el límite se obtiene Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener El valor de los límites Son 1 y 0 respectivamente por Teorema del sándwich. Por tanto, si f(x) = sin(x), Derivada de la función trigonométricas coseno Si f(x) = cos(x) A partir de la identidad trigonométrica cos(A + B) = cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B), se puede escribir Operando se obtiene Como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener El valor de los límites Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x), Derivada de la función trigonométricas tangente A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, , se puede escribir como y , entonces la regla dice que la derivada de es igual a: A partir de la identidad trigonométrica haciendo: sustituyendo resulta Operando y aplicando las identidades trigonométricas Resulta Derivada de la función trigonométricas arcoseno Tenemos una función , que también se puede expresar como . Derivando implícitamente la segunda expresión:

Tenemos además que , i que . Sustituyendo, tenemos la fórmula final: Ejemplo #1 y = csc(x)cot(x) y' = ( − csc(x)csc2(x)) − cot(x)csc(x)cot(x) y' = − csc(x)csc2(x) − cot2(x)csc(x) y' = − csc3(x) − cot2(x)csc(x) Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas Conviene recordar que: a. Si una función es continua y estrictamente creciente (decreciente) en un intervalo, entonces posee función inversa la cual también es continua y estrictamente creciente (decreciente). b. Las funciones trigonométricas son periódicas por lo que la correspondencia entre la variable independiente y la dependiente no es "uno a uno". De aquí se tiene que la inversa de una función trigonométrica no es una función, es una relación. Sin embargo, si se restringe el dominio de una función trigonométrica se establece una relación biunívoca y la inversa de la función trigonométrica sí es una función. Función seno inverso Al considerar la gráfica de la función seno: | Se observa que en varios intervalos, por ejemplo: , etc, la función seno es continua y estrictamente creciente, por lo que podría escogerse alguno de ellos para definir la función inversa de la función seno. Usualmente se toma el intervalo . Luego, se define la función seno como: La función así definida es continua y estrictamente creciente en el intervalo , por lo que existe una única función, definida en el intervalo , llamada función seno inverso. Esta función, denotada arcsen, se define como sigue: Se tiene entonces que . Luego, es el único número para el cual . Ejemplos: a. | | b. | | c. | | d. | | La representación gráfica de la función seno y de la función arcoseno es la siguiente: | Derivada de la función seno inverso

Como , aplicando el teorema de la derivada de una función inversa se tiene que: Como , y entonces pues . Luego: En general Ejemplos: 1. 2. 3. || || Función coseno inverso Como en la función seno, la función coseno es continua y estrictamente decreciente en varios intervalos por ejemplo: , etc. por lo cual debe restringirse su dominio de tal forma que posea función inversa. Sea entonces la función tal que: La función así definida es continua y estrictamente decreciente en el intervalo , por lo que posee función inversa. Esta recibe el nombre de arco coseno, (o función coseno inverso), y se denota . Se define de la siguiente forma: Se tiene que Luego, es el único número con para el que Ejemplos: a. | | b. | | c. | | d. | | La representación gráfica de la función coseno y la de la función arco coseno es la siguiente: | Derivada de la función coseno inverso Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que: Como , y entonces pues . Luego: En general Ejemplos: 1. 2. 3. || || Función tangente inversa Igual que en los dos casos anteriores, vamos a restringir el dominio de la función tangente al intervalo , en el que es continua y estrictamente creciente, por lo que posee función inversa.

Luego se define la función tangente como: Se define la función tangente inversa, también llamada arco tangente, y denotada , como: Se tiene que , Luego, es el único número con para el que Ejemplos: a. | | b. | | c. | Además: | La representación gráfica de la función tangente y la de la función arcotangente es la siguiente: | Derivada de la función arcotangente Como , aplicando el teorema de la derivada de la función inversa se tiene que: Como , y entonces por lo que: En general Ejemplos: 1. 2. 3.