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DERIVADAS PARCIALES Y DIFERENCIALES. REGLA DE LA CADENA CURSO: CÁLCULO II DOCENTE: EDINZON IDROGO BURGA 1

Derivadas parciales de una función de dos variables

Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ una función definida en 𝐷. Se define la derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑥 en el punto (𝑎; 𝑏), como el siguiente limite: 𝜕𝑓 𝑓 𝑎 + 𝑕; 𝑏 − 𝑓(𝑎; 𝑏) 𝑎; 𝑏 = lim ℎ→0 𝜕𝑥 𝑕 Siempre y cuando el limite exista. Observación:

𝜕𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥; 𝑦 = 𝐷1 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝜕𝑥

Derivadas parciales de una función de dos variables

Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ una función definida en 𝐷. Se define la derivada parcial de 𝑓 con respecto a 𝑦 en el punto (𝑎; 𝑏), como el siguiente limite: 𝜕𝑓 𝑓 𝑎; 𝑏 + 𝑘 − 𝑓(𝑎; 𝑏) 𝑎; 𝑏 = lim 𝑘→0 𝜕𝑦 𝑘 Siempre y cuando el limite exista. Observación: 𝜕𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑓𝑦 𝑥; 𝑦 = 𝐷2 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝜕𝑦

Interpretación de las derivadas parciales de 𝒇 con 𝜕𝑓 respecto a 𝒙: 𝑎; 𝑏 𝜕𝑥

Pendiente en el punto (𝑎; 𝑏; 𝑐)de la curva 𝐶1 orientada en la dirección del eje 𝑋 positivo formada por la intersección de la grafica de de la superficie 𝑆: 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) y la recta constante 𝑦 = 𝑏, la cual es paralela al vector unitario (1; 0). • Se puede interpretar como la razón de cambio instantáneo de la función 𝑓 a lo largo del semieje 𝑋 positivo. •

Imagen extraída de: https://goo.gl/images/EsUoQz

Interpretación de las derivadas parciales de 𝒇 con 𝜕𝑓 respecto a y: 𝑎; 𝑏 𝜕𝑦

Pendiente en el punto (𝑎; 𝑏; 𝑐) de la curva 𝐶2 orientada en la dirección del eje 𝑌 positivo formada por la intersección de la grafica de la superficie 𝑆: 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) y la recta constante 𝑥 = 𝑎, la cual es paralela al vector unitario (0; 1). • se puede interpretar como la razón de cambio instantáneo de la función 𝑓 a lo largo del semieje 𝑌 positivo. •

Imagen extraída de https://goo.gl/images/EsUoQz

EJEMPLO 1 2 𝑦 𝑥𝑒

Si 𝑓 𝑥; 𝑦 = − 15 ln 𝑥 2 + 𝑦 2 + 16 , calcule las primer parciales, es decir: 𝑓𝑥 𝑥; 𝑦 , 𝑓𝑦 𝑥; 𝑦 . Solución

Ejercicio 2 Determina las dos primeras derivadas parciales

a) f ( x, y)  xe x / y b) f ( x, y)  e y sen( xy )

Ejercicio 3

Determina las dos primeras derivadas parciales en el punto indicado

a) f ( x, y)  arctg  y / x, p  2,2, / 4 4 b) f ( x, y)  2 2 , p  1,0,0 x y

Aplicación Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto 𝐴 5; 4 de una placa metálica cuya temperatura en (𝑥; 𝑦) es: 𝑇 𝑥; 𝑦 = 100 − 𝑥 2 − 3𝑦 2 en grados Celsius Calcule la razón de cambio de la temperatura desde la posición 𝐴, en la dirección positiva del eje 𝑋 (en metros) y en la dirección positiva del eje 𝑌 en metros .Interprete. Solución

APROXIMACIONES EN DOS VARIABLES

Ejemplo 2 f ( x , y )  5 x  xy Dado

a) Hallar z b) Si (x,y) varia (1,2) a (0.9, 2.02). Calcular

z

APROXIMACIONES EN DOS VARIABLES DIFERENCIAL TOTAL Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ una función de dos variables para la cual existen 𝑓𝑥 (𝑥; 𝑦)y 𝑓𝑦 (𝑥; 𝑦) en todo (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷 y sean ∆𝑥 y ∆𝑦 incrementos de x e y respectivamente. 1. Las diferenciales independientes x e y son : 𝑑𝑥 = ∆𝑥, 𝑑𝑦 = ∆𝑦 2. La diferencial total de f, denotada por 𝑑𝑓(𝑥; 𝑦) esta dada por: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝑑𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Las diferencial total sirve para aproximar

Ejemplo Hallar el valor de la diferencial total de la función

z  x  y  x2  y 2 Para

x  3, y  4, x  0.1, y  0.2

Aplicaciones 1) Las dimensiones de una caja son 10 cm, 12 cm, y 15 cm, con un posible error de 0.02 en cada medición . (a) Aproxime mediante diferenciales el máximo error si el volumen de la caja se calcula a partir de estas medidas. (b) Aproxime también el error relativo 2) Si el radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 6 cm y 8 cm respectivamente, si al medir se comete un error en la medición de 0.1 cm en cada medición, utilice diferenciales para aproximar el error posible en el calculo del área de la superficie lateral Sugerencia: Área de la superficie lateral

ASL   r r 2  h2

REGLA DE LA CADENA Si 𝑤 = 𝑔(𝑥; 𝑦 ; 𝑧) es una función real de 3 variables (𝑚 = 3) y cada variable es función de otras, digamos 𝑢 y 𝑣, 𝑛 = 2 , entonces

REGLA DE LA CADENA

Si 𝑤 = 𝑔(𝑥; 𝑦 ) es una función real de 2 variables (𝑚 = 2) y cada variable es función de otra, digamos 𝑡. (𝑛 = 1) entonces

𝒙 𝑤

𝑾

𝒕

𝒚

𝒅𝒘 𝝏𝒘 𝒅𝒙 𝝏𝒘 𝒅𝒚 = . + . 𝒅𝒕 𝝏𝒙 𝒅𝒕 𝝏𝒚 𝒅𝒕

EJEMPLO 1

Calcule 𝜕𝑢 𝜕𝑢 + 𝜕𝑠 𝜕𝑡

si 𝑢 = cos(3𝑥 + 5𝑦 ); 𝑥 = 2𝑠 + 𝑡; 𝑦 = 𝑠 2 − 4𝑡 Solución

EJEMPLO 2 Sea f ( x, y, z )  x  x 2 y  ze y , en donde x, y, z están relacionados con u y v a través de la transformación x  uv, y  u 2  v 2 , z  u 2  v Calcule

f f , en el punto (u , v)  (2,2) u v

Solución

EJEMPLO 3 El radio de un cono circular recto está aumentando a razón de 1,8 pulgadas por segundo, mientras que su altura está disminuyendo a razón de 2 pulgadas por segundo. Calcule la rapidez está cambiando el volumen del cono cuando el radio es 120 pulgadas y la altura 140 pulgadas. Solución

EJEMPLO 4 Al calentar un cilindro circular recto sólido, su radio r y altura h aumentan; por lo tanto, también lo hace el área S de su superficie. Suponga que en el instante en que r = 10 centímetros y h = 100 centímetros, r esta creciendo a razón de 0.2 centímetros por hora y h aumenta a 0.5 centímetros por hora. ¿Qué tan rápido crece S en ese instante? Solución

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS Y TRES VARIABLES i) Sea z = f(x,y) una función de x, y tal que existen fx y fy. El gradiente de f, denotado por ∇f(x,y) es el vector:

f ( x, y)  f x ( x, y)i  f y ( x, y) j ii) Sea w = f(x,y,z) una función de x, y, z tal que existen wx, wy y wz. El gradiente de f, denotado por ∇w(x,y,z) es el vector:

w( x, y, z )  wx ( x, y, z)i  wy ( x, y, z) j  wz ( x, y, z )k

Observación: Geométricamente el gradiente es un vector normal a una curva o superficie en el espacio en la cual se estudia.

EJEMPLO 1

Ejemplo 2 Calcular el gradiente de la siguiente función en el punto indicado

f ( x, y, z)  3zLn( x  y), p  (1,0,1)

PROPIEDADES DEL GRADIENTE

EJEMPLO 2

Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto 𝐴 5; 4 de una placa metálica cuya temperatura en (𝑥; 𝑦) es: 𝑇 𝑥; 𝑦 = 100 − 𝑥 2 − 3𝑦 2 Calcule la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura. Solución

DERIVADAS DIRECCIONALES Sea 𝑓: 𝐃 ⊂ ℝ2 → ℝ una función de dos variables con dominio 𝐃 ⊂ ℝ2 , y sea 𝑢 = (𝑢1 ; 𝑢2 ) un vector unitario en ℝ2 . La derivada direccional de 𝑓 en el punto (𝑥; 𝑦) ∈ 𝐷 en la dirección del vector unitario 𝑢, es la función de dos variables denotada por 𝑓 𝑥; 𝑦 + 𝑕𝑢 − 𝑓(𝑥; 𝑦) 𝐷𝑢 𝑓 𝑥; 𝑦 = lim ℎ→0 𝑕 Siempre que este límite exista.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DIRECCIONAL

𝐷𝑢 𝑓 𝑥; 𝑦 Pendiente en el punto 𝑃 de la curva 𝐶 orientada en la dirección de 𝑢 generada por la intersección de la grafica de 𝑓 y el plano perpendicular a 𝑋𝑌 que pasa por el punto 𝑃′ y 𝑄′ y es paralelo a 𝑢.

Imagen extraída de: https://goo.gl/images/hNTuyg

DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE I) Si f es una función diferenciable de x e y, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es:

Du f ( x, y)  f ( x, y).u II) Si f es una función diferenciable de x, y, z, la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u es:

Du f ( x, y, z )  f ( x, y, z ).u

Ejemplo 01 Calcular la derivada direccional de la función f(x,y) = x² - xy - y² en el punto P(1,2) y en la dirección que forma con el eje x un ángulo de 60º

EJEMPLO 2

Calcule la derivada direccional de la función 𝑓 𝑥; 𝑦; 𝑧 = ln(𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ) en el punto 𝑃0 (2; 2; −4) en la dirección que va de 𝑃1 (2; 2; −4) a 𝑄1 (3; 1; −5) Solución

EJEMPLO 3 La temperatura en el punto (x, y, z) esta dado por:

T ( x, y, z )  200e

 x 2 3 y 2  9 z 2

Donde T se mide en grados Celsius y x, y, z se miden en metros. a) Encuentre la razón de cambio de la temperatura, en el punto P = (2, -1, 2) en la dirección hacia el punto (3, -3, 3). b) ¿En que dirección aumenta mas rápidamente la temperatura en P? y ¿Cuál es la máxima razón de aumento de T en P?

EJERCICIOS 1) Determina el gradiente para la función dada por

f ( x, y, z)  x 2  y 2  4 z y calcular la dirección de máximo incremento de f en el punto (2, 1, 1). 2) La ecuación de la superficie de un cerro es f ( x, y)  900  2 x 2  2 y 2 donde la distancia se mide en metros, el eje X apunta al ESTE, y el eje Y apunta al NORTE. Un hombre esta en el punto correspondiente a a) ¿Cuál es la dirección de la ladera mas pronunciada? (6, 14 ,800) b) Si el hombre se mueve en la dirección NOR – ESTE ¿esta ascendiendo o descendiendo? ¿Cuál es su rapidez? c) Si el hombre se mueve en la dirección SUR – OSTE ¿esta ascendiendo o descendiendo? ¿Cuál es su rapidez?

BIBLIOGRAFÍA 1. Leithold, L. (1998). El calculo. 7.a ed. México: Oxford University Press. 2. Thomas, G. (2006). Cálculos varias variables. 11 a.ed. México: Pearson Educación 3. Stewart J. (2008) Cálculos 6 Edition Cengage Learning EMEA

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