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• César David López

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REGLA DE LA CADENA La composición de dos funciones diferenciables en un punto es diferenciable y su derivada es el producto de las derivadas de cada una de las funciones involucradas, cada una de ellas aplicada en el punto correspondiente. Así, la regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos funciones. Intuitivamente, si una variable y, depende de una segunda variable x, que a la vez depende de una tercera variable t; entonces, la razón de cambio de y con respecto a t puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a x multiplicado por la razón de cambio de x con respecto a t:

d f g  d f g t  d   f  g  t    f '  g  t  ·g '  t  dt dt dt dy dy dg  En la notación de Leibniz, la regla de la cadena se expresa como: dt dg dt

f

g '  t  

donde y  f  x  , u  g t  ;

df indica que la función f depende de la función g, con g como variable. dg

Ejemplo: Al escalar una montaña a una razón de 0.5 km/h, la temperatura decrece con la altura, a razón de 6 °F/km. Aplicando la regla de la cadena determine la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo.

dh  0.5 km / h, dt

dT  6F / km, dh

dT dT dh   0.5  6   3F / h dt dh dt

Regla de la cadena con una variable independiente: Sea una





función w  f x1 ,x2, ...,xn que tiene derivadas parciales continuas fx1 ,fx2 ,...,fxn , donde cada una de las variables

x1 ,x2 , ...,xn depende de una tercera variable t, mediante las funciones x1  g1  t  , x2  g2 t  ,...,xn  gn t  , cada una de ellas diferenciable. Primer procedimiento. Sustituyendo primero y derivando después: Sustituimos los valores de x1 ,x2 , ...,xn en la función

w  f  x1 ,x2,...,xn  con lo cual w pasa a depender directamente de t y entonces calculamos la derivada de w respecto de t.

w  f  g1  t  ,g2  t  ,...,g n  t    h  t  ,

dw  h'  t  dt

Segundo procedimiento. Aplicando la regla de la cadena, derivando primero y sustituyendo después: Para obtener la fórmula, recurrimos al diagrama de árbol, donde la derivada de la función w respecto de la variable t se obtiene sumando todos los caminos que van de t a w.

dw w dx1 w dx2 w dxn    ...  dt x1 dt x2 dt xn dt

Ejemplo: Dada la función z  x 2 y  y 2 , donde x  sen t, y  e t . Determine

 

a) Por sustitución previa: z   sen t  et  et 2

2

dz cuando t  0 dt

 et sen 2 t  e2t

dz  et 2sen t cos t  sen 2 t et  e2t 2  et  2sen t cos t  sen 2t  2et  dt dz  e0 2sen 0 cos 0  sen 2 0  2e0  1  2   2 dt t 0





b) Aplicando la regla de la cadena:

z  2xy , x

z  x 2  2y , y

dx  cos t, dt

dy  et dt

dz z dx z dy    2xy cos t   x 2  2y  et dt x dt y dt t 0



x  sen 0  0,

y  e0  1, cos 0  1, e0  1

dz  2  0 1 1    0  2 1   1   2 dt t 0 Ejemplo. La altura de un cono circular recto es de 15 cm y aumenta a razón de 0.2 cm/min; el radio de la base tiene 10 cm y aumenta a razón de 0.3 cm/min. Determine la variación del volumen con respecto al tiempo.

V

1 2  r h, 3

V 1 2  r , h 3

V  2 rh, r

dh  0.2 cm / min, dt

dr  0.3 cm / min dt

dV V dh V dr 1 2 0.2 r 2     r  0.2   2 rh  0.3    0.6 rh dt h dt r dt 3 3

dV dt

0.2 10  20 290   0.6 10 15    90  cm3 / min 3 3 3 2

h 15 r 10

Regla de la cadena con dos variables independientes: Sea una función w  f  x,y  que tiene derivadas parciales continuas fx ,fy , donde cada una de las variables x,y dependen de dos variables independientes s y t, mediante las funciones x  g1 s,t  , y  g2 s,t  , cada una de ellas diferenciable. Primer procedimiento. Sustituyendo primero y derivando después: Sustituimos los valores de x,y en la función

w  f  x,y  con lo cual w pasa a depender directamente de s y t y entonces calculamos las derivadas parciales de w respecto de s y de t.

w  f  g1  s,t  ,g2  s,t    h  s,t  ,

w  hs s,t  , s

w  ht s,t  t

Segundo procedimiento. Aplicando la regla de la cadena, derivando primero y sustituyendo después: Para obtener la fórmula, recurrimos al diagrama de árbol, donde la derivada parcial de la función w respecto de la variable s se obtienen sumando todos los caminos que van de s a w; y la derivada parcial de la función w respecto de la variable t se obtienen sumando todos los caminos que van de t a w

w w x w y   ; s x s y s

w w x w y   t x t y t

Ejemplo: Dada la función z  2xy , donde x  s 2  t 2 e y  s / t . Determine



  st 

a) Por sustitución previa: z  2 s 2  t 2   

 3s 2  t 2 z  2 s t 

 6s 2  2t;  t 

z z y s t

 s3   s 3  st 2  2s 3  2st  2   st   2   t t  t   

 t  2st    s 3  st 2   z 2s 3   2  2s    t t2 t2  

b) Aplicando la regla de la cadena:

z  2y , x

z  2x, y

x  2s, s

x  2t, t

y 1  , s t

y s  2 t t

z z x z y 2 x 4s 2 2s 2 6s 2 1      2y  2s    2 x     4ys     2t   2t s x s y s t t t t t  z z x z y  s     2y  2t    2 x    2 t x t y t  t

2 xs 2s 2s    4yt  2  4s  2  2s  2s  2 t t t  3

3