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• Leidy Daniela Garzon Puentes

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA FUNDAMENTAL TALLER No. 3 1. El siguiente diagrama de Venn presentado en la figura 1, contiene tres eventos 𝑨, 𝑩 y 𝑪: 𝑨

𝑩

𝑪 Figura 1. Diagrama de Venn para los tres eventos 𝑨, 𝑩 y 𝑪.

Teniendo en cuenta la figura anterior, sombree la región que corresponde a cada uno de los siguientes eventos: 𝑨𝒄 , 𝑨 ∩ 𝑩,

𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑪, 𝑩 ∪ 𝑪𝑐 , (𝑩 ∪ 𝑪)𝑐 ,

𝑨∩𝑩

𝑐

∪𝑪

2. Determine el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios: a) Se clasifican tres televisores teniendo en cuenta si requieren o no de un decodificador para recibir la señal TDT (Televisión Digital Terrestre). b) Se analizan cuatro motores de aviación con el fin de determinar si necesitan o no mantenimiento. c) Se desea caracterizar un disco duro teniendo en cuenta uno de los cinco posibles fabricantes y teniendo en cuenta también su capacidad de almacenamiento, la cual puede ser una de cinco opciones diferentes. d) Suponga que una motocicleta se puede caracterizar de acuerdo a su fabricante (𝐴, 𝐵 , 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺 o 𝐻) y también de acuerdo a su número de ruedas (2, 3 ó 4). A partir de la información anterior, determine el espacio muestral que se originaría si deseara adquirir una motocicleta con las características mencionadas anteriormente. e) La orden de compra de cierto producto químico puede especificar alguna de las tres marcas existentes (A, B o C), y cualesquiera de los tres contenidos en gramos en las que viene su presentación (0.25, 0.5 ó 0.75). Teniendo en cuenta la información anterior, determine el conjunto de todas las posibles especificaciones que puede tener una orden de compra del producto químico.

f) Suponga que el tipo de riego que se puede utilizar en un determinado cultivo puede ser uno de los siguientes: por aspersión, por surcos o por goteo. Adicional a lo anterior, el cultivo al final de su ciclo productivo puede ser caracterizado de acuerdo a la cantidad producida: la esperada, por encima de lo esperado o por debajo de lo esperado. Teniendo en cuenta la información anterior, determine el espacio muestral que se originaría si deseara caracterizar un cultivo con las características mencionadas anteriormente. g) Suponga que una vivienda puede estar ubicada en una de cinco zonas geográficas diferentes. Adicional a lo anterior, la vivienda puede ser de una, dos o más de dos plantas y puede estar o no expuesta a derrumbes. A partir de la información anterior, determine el espacio muestral que se originaría si deseara caracterizar una vivienda con las características mencionadas anteriormente.

3. Suponga que se selecciona una muestra de tres productos de una línea de fabricación, y se clasifica cada producto como defectuoso o no defectuoso. Teniendo en cuenta la información anterior, resuelva: a) Determine el espacio muestral de este experimento aleatorio. b) Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el inciso a), sea 𝑨 el evento donde el primer producto seleccionado está defectuoso, 𝑩 el evento donde el segundo producto seleccionado está defectuoso y 𝑪 el evento donde el tercer producto seleccionado está defectuoso. Teniendo en cuenta la información anterior, determine los elementos de cada uno de los siguientes eventos: 𝑨, 𝑩, 𝑨 ∩ 𝑩, 𝑩 ∪ 𝐂 4. Una muestra de 200 discos de policarbonato plástico fue caracterizada de acuerdo a su resistencia a las rayaduras (Alta o Baja) y de acuerdo a su resistencia a los golpes (Alta o Baja). Los resultados obtenidos se presentan a continuación:

Resistencia a las Rayaduras

Alta Baja

Resistencia a los Golpes Alta Baja 160 18 12 10

Tabla 1. Caracterización de una muestra de 200 discos de policarbonato plástico, teniendo en cuenta su resistencia a las rayaduras y su resistencia a los golpes.

Sea 𝑨 el evento donde un disco de policarbonato plástico tiene una alta resistencia a las rayaduras y 𝑩 el evento donde un disco de policarbonato plástico tiene una alta resistencia a los golpes. Teniendo en cuenta la información anterior, resuelva: a) Calcule e interprete el número de discos de policarbonato plástico que cumplen con las siguientes características: 𝑩𝒄 , 𝑨𝒄 ∩ 𝑩, 𝑨 ∪ 𝑩, 𝑨 − 𝑩 b) Calcule e interprete las siguientes probabilidades: 𝑷 𝑨 ,

𝑷 𝑩 ,

𝑷 𝑨𝒄 ,

𝑷 𝑨∩𝑩 ,

𝑷 𝑨∪𝑩 ,

𝑷 𝑨𝒄 ∪ 𝑩 ,

𝑷 𝑨−𝑩

c) Si se selecciona un disco de policarbonato plástico de los 200, ¿considera usted que es más probable encontrar un disco de policarbonato plástico con baja resistencia a las rayaduras, que un disco de policarbonato plástico con alta resistencia a las rayaduras? Justifique su respuesta. d) Si se selecciona al azar uno de los 200 discos de policarbonato plástico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una alta resistencia a las rayaduras y una alta resistencia a los golpes? e) Si se selecciona al azar uno de los 200 discos de policarbonato plástico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una alta resistencia a las rayaduras o una baja resistencia a los golpes? f) Si se selecciona al azar uno de los 200 discos de policarbonato plástico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una alta resistencia a los golpes dado que tenga una alta resistencia a las rayaduras? g) Si se selecciona al azar uno de los 200 discos de policarbonato plástico, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una baja resistencia a las rayaduras si tiene una baja resistencia a los golpes? 5. Una muestra de 835 personas de una determinada ciudad, fue caracterizada de acuerdo a su estrato socioeconómico (Bajo, Medio o Alto) y de acuerdo a como perciben el servicio que ofrece el transporte público terrestre de la ciudad (Pésimo, Regular, Bueno o Excelente). Los resultados obtenidos se resumen y presentan en la siguiente tabla: Percepción del Servicio de Transporte Público Terrestre Estrato Socioeconómico Bajo Medio Alto

Pésimo

Regular

Bueno

Excelente

35 55 4

45 65 110

159 187 145

10 20 0

Tabla 2. Caracterización de una muestra de 835 personas de una determinada ciudad, teniendo en cuenta su estrato socioeconómico y su percepción del servicio de transporte público terrestre de la ciudad.

Teniendo en cuenta la información anterior, resuelva: a) Si se selecciona una de las 835 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una percepción regular en cuanto al servicio de transporte público terrestre de la ciudad o sea de un estrato socioeconómico medio? b) Si se selecciona una de las 835 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una pésima percepción en cuanto al servicio de transporte público terrestre de la ciudad, si (o dado que) pertenece a un estrato socioeconómico alto? c) Si se selecciona una de las 835 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una percepción buena o excelente en cuanto al servicio de transporte público terrestre de la ciudad? 6. Dados tres eventos cualesquiera 𝑨, 𝑩 y 𝑪, consultar a qué es igual 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 7. Dados 𝒌 eventos independientes 𝑬𝟏 , 𝑬𝟐 , 𝑬𝟑 , 𝑬𝟒 , 𝑬𝟓 ,…, 𝑬𝒌 , consultar a qué es igual: 𝑷 𝑬𝟏 ∩ 𝑬𝟐 ∩ 𝑬𝟑 ∩ 𝑬𝟒 ∩ 𝑬𝟓 ∩ ⋯ ∩ 𝑬𝒌

8. Suponga que se lanzan dos dados normales simultáneamente una vez y se observa el número de puntos en sus caras. Teniendo en cuenta la información anterior, ¿cuál es la probabilidad de que al sumar la cantidad de puntos en sus caras se obtenga un número mayor o igual a 10? 9. Dados dos eventos 𝑨 y 𝑩 tal que 𝑷 𝑨 = 𝟎. 𝟑, 𝑷 𝑩 = 𝟎. 𝟐 y 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝟎. 𝟏, a) Calcule las siguientes probabilidades: 𝑷 𝑨𝒄 , 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 , 𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 𝒄 , 𝑷 𝑨𝒄 ∩ 𝑩 , 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩𝒄 , 𝑷 𝑨𝒄 ∪ 𝑩 , 𝑷 𝑨 | 𝑩 , 𝑷 𝑨 | 𝑩𝒄 Ayuda: Calcule 𝑷 𝑨𝒄 ∩ 𝑩 haciendo uso de un diagrama de Venn, que presente dos eventos 𝑨 y 𝑩 cuya intersección existe. b) Teniendo en cuenta que dos eventos 𝑬𝟏 y 𝑬𝟐 son independientes si y solo si: 𝑷 𝑬𝟏 ∩ 𝑬 𝟐 = 𝑷 𝑬𝟏 × 𝑷 𝑬𝟐 ¿Se podría concluir que los eventos 𝑨 y 𝑩 son independientes? Justifique estadísticamente su respuesta. 10. Una determinada industria adquiere su materia prima para la fabricación de sus productos mediante uno de tres laboratorios 𝑨, 𝑩 o 𝑪. La probabilidad de que el laboratorio 𝑨 sea el proveedor es 0.4, de que sea el 𝑩 es 0.35 y de que sea el laboratorio 𝑪 es 0.25. Por datos históricos, se sabe que las probabilidades de que la materia prima sea rechazada por la industria, dado que sea entregada por alguno de los tres laboratorios 𝑨, 𝑩 o 𝑪, son respectivamente 0.05, 0.03 y 0.15. Teniendo en cuenta la información anterior, a) ¿Cuál es la probabilidad de que la materia prima sea rechazada por la industria? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la industria adquiera su materia prima por medio del laboratorio 𝑪 y ésta no sea rechazada? c) Si en un determinado momento la industria rechazara la materia prima, ¿cuál sería la probabilidad de que ésta haya sido suministrada por el laboratorio 𝑩? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la industria rechace la materia prima, dado que ésta sea suministrada por el laboratorio 𝑪? e) ¿Cuál es la probabilidad de que la materia prima no sea rechazada por la industria? 11. En una determinada zona utilizada para cultivos de productos agrícolas, se tienen 500 árboles de los cuales 150 son de mango, 200 de níspero, 50 de guanábana y 100 de mandarina. Si se seleccionan 3 árboles de la zona sin reemplazo, a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres árboles seleccionados sean de mandarina? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el último árbol seleccionado sea de mango? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer árbol seleccionado sea de níspero, el segundo seleccionado de mango y el tercero seleccionado de guanábana? 12. Si en el ejercicio anterior la selección de los tres árboles se realiza con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que los tres árboles seleccionados sean de níspero?

13. Plantee un ejemplo aplicado a su carrera o programa de estudio, donde se visualice claramente la

aplicación del Teorema de Bayes. 14. El circuito que se presenta en la figura 2 funciona sólo si existe al menos una trayectoria de dispositivos en funcionamiento, de izquierda a derecha. La probabilidad de que cada dispositivo funcione aparece en la figura relacionada.

Figura 2. Estructura del circuito relacionado al ejercicio No. 14.

Suponiendo que los dispositivos funcionan de manera independiente, calcule la probabilidad de que el circuito funcione. 15. En un proceso de llenado automático de cierto tipo de contenedores, se sabe que la probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es 0.001 cuando el proceso se realiza a baja velocidad. Cuando el proceso se efectúa a alta velocidad, la probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es 0.01. Suponiendo que el 30% de los contenedores se llena cuando el proceso se realiza a alta velocidad, mientras que el resto se llena cuando el proceso se realiza a baja velocidad, resuelva: a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un contenedor lleno con un volumen incorrecto? b) Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen incorrecto, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido llenado con un proceso realizado a alta velocidad?