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• Carlos Alexander Gomez Castillo

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Sede Lima FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA CIVIL

TITULO: Calculo de volúmenes del corte roca (cerro) en la Construcción de una casa de Maquina de Yuncan –II aplicando Integrales por el método de Áreas Paralelas

Curso: Calculo III

Clase: 1196

Docente: Zúñiga Fiestas Luis alfredo

Integrantes

Nota Nota Nota Trabajo Exposición Examen

GÓMEZ CASTILLOS, Carlos ZARATE CANCÍO, Donny Alberto ROMÁN HUAMANI, Edinho LEÓN HUARCAYA, 1

DEDICATORIA Queremos dedicar esta investigación a nuestros compañeros de estudios y a nuestro profesor, que día a día realizamos esfuerzos para salir adelante, quienes por su comprensión y tino volcamos conocimientos y éxitos en el futuro de nuestra familia, sociedad y nuestro país.

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ÍNDICE

PORTADA DEDICATORIA INDICE INTRODUCCION………………………………………………………………….. 4 OBJETIVO ……………………………………………………………………….

5

JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO …………………………………………..

5

ANTECEDENTES DEL PROYECTO …………………………………………

6

PROBLEMÁTICA DEL PROYECTO…………………………………………..

6

FUNDAMENTO TEÓRICO…………………………………………………….

7

MARCO TEORICO ANÁLISIS DEL PROYECTO – PLANOS DE PLANTA…………………...

7

PLANOS DE CORTES SECCIÓN D-D, SECCIÓN D-D…………….…...

7

DE A CUERDO DE CASA DE MAQUINA ………………………….……...

8

ESTUDIOS PREVIOS……………………………………………..…………

8

ESTUDIO GEOLÓGICO DE LAS ROCAS…………………..……………..

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MARCO MATEMÁTICO………………………………………..……………….. 11 INTEGRALES DOBLES ……………………………………………………... 11 INTEGRALES TRIPLES……………………………………………………...

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EJEMPLOS DE INTEGRALES DOBLES …………………………………...

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA…………………………..……………….. 23 SOLUCION DEL PROBLEMA……………………………………………………. 35 CONCLUSIONES…………………………………………………………………….46 ANEXOS………………………………………………………………………………47

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INTRODUCCIÓN

Nuestro trabajo de investigación consiste en calcular el volumen de roca de un cerro para realizar una casa de máquina para una central hidroeléctrica Yuncan II en el Distrito de Paucartambo de la Región de Pasco.

Una de las obras civiles más difíciles de ejecutar son las casas de máquina que por lo general están ubicadas en las faldas de un cerro, donde hay que extraer un gran volumen de rocas, porque no decirlo como especie de un túnel, que se encuentran en un nivel apropiado.

Se requiere para esta investigación muchos estudios de diversas índoles y estrategias para realizar estos trabajos, por los riesgos laborales al ejecutar estos proyectos de gran magnitud.

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OBJETIVO Con este trabajo de investigación lo que se busca es calcular el volumen de roca del cerro donde se va a perforar para realizar una casa de máquina para una gran central hidroeléctrica de generación de energía eléctrica, este tipo de obras es una de las más difíciles de ejecutar ya que estas hay que trabajar por debajo de una capa de cerro, y dentro de ellas trabajar con aire acondicionado, otro de los objetivos son las diferentes etapas que debemos realizar para los cortes y las formas, en base al diseño de los planos.

JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO En los últimos años la falta de energía eléctrica que hay en todo el país y el mundo, los proyectos de generación eléctrica o centrales hidroeléctricas tienen mucha prioridad, porque nuestro país tiene una alta deficiencia en energía, ya que nuestro país cuenta con muchos recursos hidráulicos y no son a provechados.

Actualmente este proyecto fue ejecutado en el periodo del 2002 al 2012 y genera miles de megavatios en beneficio de nuestro país.

Sobre todo esta obra está ubicada en la Región Cerro de Pasco donde existe la necesidad de energía para el consumo de la población, la minería, y la industria.

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ANTECEDENTES DEL PROYECTO

Cliente

:

Empresa de Generación de Energía Eléctrica del Centro S.A. (EGECEN S.A.)

Descripción del Proyecto: Excavación de la Casa de Maquinas Ubicación :

Distrito de Yuncan

Provincia :

Paucartambo

Región

:

Cerro de Pasco

País

:

Perú

PROBLEMÁTICA DEL PROYECTO.

Por la magnitud de este proyecto y el tiempo de ejecución de esta casa de máquina, ha traído como consecuencia una gran desarrollo económico en bienestar de todas las poblaciones aledañas, como también según el Estudio del Impacto Ambiental tiene sus consecuencias, hidráulicas ya que el caudal del rio que alimenta a esta central hidroeléctrica se ve disminuido, disminuyendo la agricultura y las especies que se encuentran en este sector.

Pues el sector, es el beneficiado porque genera mucha mano de obra durante la ejecución de la obra y después de esto da trabajo a técnicos y profesionales calificados.

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FUNDAMENTO TEÓRICO MARCO TEORICO

CONCEPTOS Y DEFINICIONES BÁSICAS:

GENERALIDADES

El PROYECTO contempla la instalación de 3 generadores, de 48.2 MVA cada uno, para producir anualmente 901 * Gwh de energía, en función de la capacidad hídrica correspondiente. En la captación del Río Paucartambo se construirá una presa para conformar el reservorio de control diario de Huallamayo con una capacidad de 1,8 MM m3 y un volumen útil de 300,000 m3. El caudal captado, mediante un sistema de túneles que tiene una longitud de 21 Km, llega al conducto forzado y luego a la casa de máquinas, en caverna, donde después de ser turbinadas las aguas son entregadas al desarenador de la C. H. de Yaupi, que operará en cascada con la Central Hidroeléctrica de Yuncán.

OBRAS PRINCIPALES.

Obras Civiles-Lote 1: Comprende la construcción de las siguientes estructuras: -Presa, Toma y desarenador en Uchuhuerta -Túneles de conducción por una longitud de 20,346 metros -Presa y Toma en Huallamayo -Casa de máquinas en caverna -Conducto Forzado Chimenea de equilibrio y túnel de descarga -Patio de llaves al exterior -Campamentos para operación y mantenimiento . Suministro de Turbina y Equipo Auxiliar-Lote 2: Comprende el diseño, fabricación, transporte al sitio, instalación y pruebas de operación de los siguientes ítems: -Tres turbinas hidráulicas. -Tres juegos de válvulas de entrada. -Tres juegos de reguladores de velocidad. -Sistema de aceite a presión, aire comprimido y otros. -Grúa puente. -Equipos y herramientas para taller. Equipamiento Eléctrico-Lote 3: Comprende el diseño, fabricación, transporte al sitio, instalación y pruebas de operación de los siguientes ítems: -Tres juegos de generador con su sistema de excitación y contra incendios y repuestos correspondientes. -Cuatro transformadores de potencia. -Equipo de Control Principal. -Paneles de Protección. -Paneles de interrupción en media y baja tensión. -Cables para 220 kV Y media tensión. -Equipo para el patio de llaves: interruptor, seccionadores,

etc.

-Equipamiento

eléctrico

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para

las

represas.

-Equipo

de

telecomunicaciones: fibra óptica, sistema de microondas y sistema de supervisión y tele protección. . Equipamiento http://www.proyectosapp.pe/RepositorioAPS/0/0/JER/YUNCAN_DOCS_CIRCULARES/Anexo1_Yuncan .pdf

Hidromecánico-Lote 4: Comprende los trabajos de diseño, fabricación, transporte, instalación, Soldadura, pintado y pruebas para los siguientes ítems: -Compuertas radiales, compuertas de Limpia, compuertas de entrada y otras compuertas para la represa de Uchuhuerta. Compuertas radiales, compuertas de limpia, compuerta de entrada y otras compuertas para la represa de Huallamayo -661 metros de tubería para penstock -Revestimiento de acero para chimenea de equilibrio -Revestimiento de acero para túnel de descarga Línea de Transmisión 220 Kv Yuncán-Carhuamayo -Lote 5: Comprende el diseño para fabricación de las partes de una línea de transmisión de 50 km y de circuito simple, así como el suministro, transporte e instalación de la línea y sus pruebas de aceptación. ANÁLISIS DEL PROYECTO – PLANO VISTAS GENERALES CASA DE MAQUINAS Habiendo analizado los planos que acompañamos en la investigación de este proyecto, planos de planta, vemos que la casa de maquina tiene las siguientes dimensiones: Vista frontal Vista posterior

: 21.34 ml : 21.34 ml

Vista lateral derecho : 78.70 ml Vista lateral izquierdo: 78.70 ml Altura total

: 13.50 ml

PRINCIPALES CARACTERISTICAS Las principales características del Proyecto de la Central Hidroeléctrica de Yuncán se resume a lo siguiente: . 

Descarga Máxima Qmax = 30m3 /seg .



Elevación de Toma de Agua EL. 2410.50m



Nivel de Eje de Turbina EL.1860.50m 8



Caída Bruta. Hg 550.00 m



Pérdida de Caída = HI = 37.00m



Caída Efectiva He = 513.00m .



Capacidad Instalada P E = 130,000 kW



Producción Anual de Energía E = 901 2 GWh*



.Factor de Planta 79%*

http://www.proyectosapp.pe/RepositorioAPS/0/0/JER/YUNCAN_DOCS_CIRCULARES/Anexo1_Yu ncan.pdf

DE A CUERDO DE LA CASA DE MAQUINA http://www.proyectosapp.pe/RepositorioAPS/0/0/JER/YUNCAN_DOCS_CIRCULARES/Anexo1_Yuncan.p df

La casa de Maquina para una central hidroeléctrica viene el espacio que ocupa todo el sistema de drenaje, turbinas, sistema automatizados de compuertas, entrada y salida de agua donde se genera la energía eléctrica.

UBICACIÓN DE UNA CASA DE MAQUINA.- Por lo general estas casas de maquina se encuentran en la periferia o faldas de un cerro y a una determinada altura.

También estas casas de máquinas se construyeron de concreto pero son mucho más caros.

http://www.proyectosapp.pe/RepositorioAPS/0/0/JER/YUNCAN_DOCS_CIRCULARES/Anexo1 _Yuncan.pdf

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ESTUDIOS PREVIOS

Para construir una casa maquina se requiere realizar diferentes estudios previos siendo estos:

-

-

-

-

Estudio de Suelos

-

Estudio Geológico de las Rocas

-

Estudio de Impacto Ambiental

-

Estudios de Aguas, Afluentes de Ríos, Lagunas

-

Estudio Topográfico

-

Estudio de Obras Civiles

-

Estudio de Diseño de Ingeniería

-

Estudio Hidrogeológicos

-

Estudio Hidráulicos

-

Estudio Sismológico

-

Estudio de Generación Eléctrica.

Buol, S. W.; Hole, F. D. and McCracken, R. J. (1973). Soil Genesis and Classification (First edición). Ames, IA: Iowa State University Press. ISBN 978-08138-1460-5. . Buol, Stanley W., F.D. Hole and R.W. McCracken. 1997. Soil Genesis and Classification, 4th ed. Iowa State Univ. Press, Ames ISBN 0-8138-2873-2 Comisión Europea, DG ENV ; «Rapport final ; Soil biodiversity : functions, threats and tools for policy makers] », Fev 2010 (Téléchargement, PDF, 250 pages, en anglais, environ 6,4Mb). Conway Gordon, The doubly green revolution, Penguin books, Harmondsworth 1997

-

Dale Tom, Carter Vernon G., Topsoil and civilisation, University of Oklahoma, Oklahoma City 1974

-

ingesoil.com.ar/

-

www.geotecnia.org

-

https://es.wikipedia.org/wiki/Estudio_de_suelos

www.geoestratos.com.mx www.suelosingenieria.com www.corporacionplasma.com.pe/2015/.../geotecnia-estudio-de-suelos.ht...

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http://www.proyectosapp.pe/RepositorioAPS/0/0/JER/YUNCAN_DOCS_CIRCULARES/Anexo1 _Yuncan.pdf

Para realizar nuestro trabajo de investigación lo que más nos interesa es el estudio geológico, y el diseño de obras civiles y estructuras de la casa de máquina.

ESTUDIO GEOLÓGICO DE LAS ROCAS

En este estudio hay que visitar el lugar y hay que extraer los diferentes tipos de rocas o piedras inclusive extraerlos a ciertas profundidades para ver de qué tipos de rocas se encuentran compuestas las rocas y si es conveniente en este lugar realizar la casa de máquina de una central hidro-eléctrica. En este estudio se ve los resultados y se verá la conveniencia. Si el lugar elegido es apto para realizar esta obra.

MEDICIÓN DEL GRADO DE FRACTURACIÓN DE UN MACIZO ROCOSO.

EL ÍNDICE RQD. La fracturación de un macizo rocoso se define por el número, espaciado y condiciones de las discontinuidades que presenta, cualquiera que sea su origen y clase. El grado de fracturación se suele expresar mediante el índice RQD (Rock Quality Designation), que representa la relación entre la suma de las longitudes de los fragmentos de testigo mayores de 10 cm y la longitud total del tramo considerado. Éste índice fue desarrollado por Don U. Deere entre 1963 y 1967, en principio, para rocas ígneas. Para estimar el RQD sólo se consideran los fragmentos o trozos de testigo de material fresco, excluyéndose los que presentan un grado de alteración importante. La medida de este índice se realiza en cada maniobra de sondeo o en cada cambio litológico, siendo recomendable que la longitud de maniobra no exceda de 1,5 m. Además, el diámetro mínimo de los testigos debe ser de 48 mm. Se puede decir que un RQD inferior a 25 indica un macizo rocoso de muy mala calidad, mientras que de 90 a 100, indica una calidad muy buena. Una calidad media en relación a la fracturación podría situarse entre 50 y 75.

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Aunque este índice es muy utilizado, hay que tener en cuenta que no tiene en cuenta aspectos tan importantes como la orientación del sondeo, separación, rellenos y demás condiciones de las discontinuidades, por lo que no es suficiente para describir completamente las características de la fracturación de un macizo rocoso. Si no se dispone de datos de sondeos, el RQD aproximado puede estimarse por medio de la siguiente fórmula: RQD ≈ 115 – 3,3 Jv Donde Jv es el número de fracturas observado por metro cúbico de roca. Recomiendo el post de Enrique Montalar acerca de éste índice. Recojo las referencias de dicho post.

http://procedimientosconstruccion.blogs.upv.es/2014/08/07/medicion-del-grado-defracturacion-de-un-macizo-rocoso-el-indice-rqd/

http://geoplano.pt/drill/fotos/tratamento-de-dados.jpg Referencias:   

Elías García, 1985, “Un parámetro geomecánico algo inquietante, el RQD” [pdf, 2 MB] Deere, 1963, “Technical Description of Rock Core for Technical Purposes” [pdf, 7 MB] Deere, 1988, “The Rock Quality Designation (RQD) in Practice” [pdf, 9 MB]

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a. PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LA PERFORACIÓN DE LA CASA DE MAQUINA. Analizar los Planos.- Aquí se planifica todo lo que se va a realizar viendo los costos y metrados del costo de la obra.

EXCAVACIONES Y VOLADURAS,

Métodos y equipos de excavación en túneles

Los terrenos expansivos suponen un auténtico dolor de cabeza para los ingenieros. Si sumamos un terreno soluble y corrosivo, tenemos un buen problema a solucionar, tal y como nos comenta Enrique Montalar en su blog respecto a la construcción del túnel de El Regajal. Todas estas circunstancias obligaron a diseñar complejos procesos constructivos durante la ejecución del túnel con unos revestimientos estructurales de gran rigidez que, en muchos casos, debían quedar finalizados muy cerca del frente de excavación

http://procedimientosconstruccion.blogs.upv.es/category/excavaciones-y-voladuras/metodosy-equipos-de-excavacion-en-tuneles/

http://www.excmontesorientales.es/

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IMPERMEABILIZACIÓN DE TÚNELES.

El drenaje y la impermeabilización de los túneles tienen una gran importancia técnica y económica. Favorece la calidad y el “confort” de terminación y mejora las condiciones de mantenimiento del túnel. De este modo, la correcta elección de los materiales con respecto a las condiciones de un determinado momento y lugar es muy importante en la impermeabilización del túnel. Con ello se van a impedir filtraciones que pueden dañar el revestimiento estructural, evitando la disgregación del hormigón y la corrosión de las instalaciones. Es necesario analizar las condiciones físicas y químicas del agua para garantizar que no deterioran el sistema de impermeabilización.

http://www.ossaint.com

El sistema de impermeabilización dependerá directamente del caudal de agua infiltrado en el túnel. Estos caudales dependen de la geología, la climatología y la geomorfología. Los parámetros hidrogeológicos de más interés serán los siguientes: la porosidad, la permeabilidad, el gradiente hidráulico y la transitividad. Se pueden distinguir tres tipos de impermeabilización, dependiendo del agua contenida en el macizo donde se excava: http://www.terratest.es/docs/impermeabilizacionydrenajedetunelesconfotos.pdf. 

Si el agua hace presencia en la franja capilar, se deberá impermeabilizar en toda la construcción subterránea, pues se deben cerrar los poros para evitar que la humedad llegue

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al interior por capilaridad. Se pueden usar pinturas impermeables y con menos frecuencia, membranas. 

En el caso de zonas saturadas, de debe desviar el agua para que no genere presiones. Se recoge el agua en un drenaje longitudinal del túnel. Se usan morteros hidrófugos o bien membranas o láminas impermeables.



En aguas subterráneas se usa una impermeabilización flexible, cerrada y resistente a la presión de dicha agua. Se usan membranas o láminas impermeables y con menor asiduidad morteros hidrófugos.

El tipo de impermeabilización que usemos también dependerá del uso que vaya a tener el túnel, que determinará el grado de estanqueidad o la cantidad de filtraciones permitidas. La norma española UNE 104424 ofrece la siguiente tabla indicativa:

http://www.ossaint.com/esp/impermeabilizacion.aspx?BtnSubMenu=43,

EXCAVACIÓN DE TÚNELES MEDIANTE EL NUEVO MÉTODO AUSTRIACO.

Las técnicas de gunitado y bulonado, junto con una nueva concepción constructiva en la que el estado de tensiones-deformaciones del sistema túnel-terreno se controla desde el inicio de la excavación, llevaron al desarrollo de un conjunto de sistemas de ejecución del que el primeramente patentado (1.956), fue el denominado Nuevo Método Austriaco. 15

En estos métodos, el sostenimiento provisional no se consigue como en los métodos clásicos con cuadros rígidos, sobredimensionados para soportar la presión del terreno una vez se ha producido su deformación, sino incorporando un medio de sostenimiento provisional más flexible, que se adapte al terreno y trabaje desde el momento en que se efectúa la excavación. De este modo, se pretende que las condiciones resistentes del macizo sufran la menor alteración posible, controlando (con medidores de convergencia, extensómetros, etc.) las deformaciones del terreno que se producen por descompresión al excavar y minimizando su magnitud por medio de un gunitado del terreno excavado y de otras técnicas complementarias. Con ello se pretende que el terreno colabore como elemento resistente con el recubrimiento definitivo del túnel que en consecuencia resulta de bastante menos espesor que el que se obtendría con un método tradicional.

[email protected]

b. INSTALACIÓN DE TODOS LOS EQUIPOS A EMPLEARSE Primeramente se fija el campamento muy cerca de la obra a ejecutarse, así mismo los almacenes de los equipos a emplearse.

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CARGADORAS LHD PARA OBRAS SUBTERRÁNEAS . Las labores de extracción de material en obras subterráneas y túneles no es una tarea sencilla. Al poco espacio de maniobra hay que añadir los problemas derivados de la ventilación de espacios cerrados y problemas de seguridad y salud que afectan a los trabajadores. Este tipo de cargadoras se desarrollan para las más duras aplicaciones subterráneas, con objetivos orientados a economizar la producción, incrementar la seguridad y fiabilidad. Este equipo de cargador LHD (load haul dump) es especialmente adecuado para trabajar debajo de condiciones difíciles, como estrechos, de baja altura y lugares de trabajo con lodo.

http://procedimientosconstruccion.blogs.upv.es/category/excavaciones-y-voladuras/metodos-y-equipos-deexcavacion-en-tuneles/page/2/ http://img.directindustry.es/images_di/photo-mg/cargadora-para-mineria-subterranea-59040-3594801.jpg

c. TRAZADO DE LA OBRA

Para el trazado de la obra primeramente se fijará el lugar exacto donde se va a realizar la obra fijando los niveles, y si fuera posible los lugares por donde se va a empezar a perforar.

TAMAÑO Y FORMA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL.

La forma que adopte el contorno de una excavación, tendrá influencia favorable o desfavorable en las condiciones de estabilidad de la masa rocosa de dicha excavación. En general, las formas esquinadas representan condiciones Desfavorables para la estabilidad, mientras que el “efecto arco” favorece a la estabilidad. 17

Para el desarrollo de nuestro túnel se previó una sección tipo bóveda, de dimensiones geométricas de excavación: base de 21.34 m y alto de 13.56 m. La bóveda es de radio R = 15.7 m. los elementos de sostenimiento del túnel en general son los pernos sistemáticos de sostenimiento de longitud 1.80m. y de diámetro mínimo de 22 mm., malla metálica electro soldada galvanizada de dimensiones de 2’’x 2’’ – Nº 10 y las cimbras de acero 4WF de 13lib/pie según sea conveniente, dependiendo del tipo de roca donde se trabaje. Tanto en la entrada como en la salida del túnel se realizó un afrontamiento para sostener posibles caídas de rocas, el cual fue realizado mediante shotcrete y pernos helicoidales, adicionalmente se hizo un falso túnel en cada una de las entradas y salidas del túnel para darle mayor estabilidad y seguridad a los trabajos realizados en la zona de las bocas de la caverna. http://cybertesis.urp.edu.pe/urp/2011/abad_ac/pdf/abad_ac-TH.5.pdf

CONTROL TOPOGRÁFICO

Esta labor consiste en marcar la sección del túnel (bóveda, hastiales, arrastre) así como marcar la línea vertical del eje del túnel y la línea horizontal que indica el diámetro de la semicircunferencia de la bóveda. Para trazar el eje del túnel es necesario que se ubiquen los puntos de alineamiento, generalmente cada 10 metros. Estos deben estar monumentados en la bóveda y piso del túnel, mediante estacas (fierros, clavos, etc.) Para controlar el nivel o gradiente del túnel, se tiene que marcar los puntos de nivel, generalmente cada 5 metros. Marcados en los hastiales del túnel.

PERFORACIÓN CON PERFORADORA MANUAL JACK LEG.

Para el diseño de la malla de perforación se ha empleado la formula práctica indicada más adelante en la sección

MALLA DE VOLADURA: Existen varias fórmulas para determinar el número de taladros cargados, sin considerar los taladros de alivio. El número de taladros depende del tipo de roca a volar, grado de confinamiento del frente, grado de fragmentación, diámetro de las brocas de perforación,

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factores que pueden obligar a reducir o ampliar la malla de perforación calculado en forma teórica

Formula de Protodiakonov Está dada por: N K F *S Donde: N: Número de taladro cargados K: Coeficiente del valor de Φ del ángulo de fricción K=2.00 para Φ alto K=2.70 para Φ bajo S: Área de la sección (m2) F: Factor de resistencia.

http://cybertesis.urp.edu.pe/urp/2011/abad_ac/pdf/abad_ac-TH.5.pdf

F GRADO DE DUREZA ROCAS 20 - Muy dura Calcita 15 - Dura Caliza Silificada 10-8 - Semidura-Suave Granito, Caliza 6-4 - Muy suave - Caliza fracturada

FORMULA DEL GEÓLOGO

Está dada por: S N ‗ 2.7 √F /S

Donde: N: Número de taladro cargados S: Área de la sección (m2) F: Resistencia de la roca a la compresión (kg/cm2)

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F TIPO DE ROCA

2000 - Calcitas, Grabo, Basalto 1000-2000 - Mármol, Granito, Gneis 500-1000 - Arenisca, Pizarra, Lutita 250-100 - Carbón, Limonita, Esquito 10-250 – Yeso

Formula Práctica N = P/E + K*S

Donde: N: Número de taladros cargados. P: Circunferencia o perímetro de la sección del túnel que se obtiene con la formula.

http://cybertesis.urp.edu.pe/urp/2011/abad_ac/pdf/abad_ac-TH.5.pdf

P: 4√S S: Área de la sección en m2. E: Distancia entre taladros periféricos y está dado por:

Distribución. Entre taladros Tipo de Rocas 0.40 - 0.55 Rocas tenaces 0.60 - 0.65 Rocas intermedias 0.70 - 0.75 Rocas friables

K: coeficiente o factor de roca que tiene los siguientes valores:

K Tipo de Rocas 2.00 a 2.25 Rocas duras difíciles de romper 1.5 a 1.7 Rocas intermedias 1.0 a 1.2 Rocas friables, suaves, pre fracturadas

Carga y Disparo 20

Esta etapa consiste en colocar los cartuchos de dinamita en los taladros perforados, así como la colocación de los accesorios necesarios para la voladura. Se emplearon los siguientes explosivos y accesorios:

o Emulnor 1000 o Emulnor 3000 o Emulnor 5000 o Mecha de seguridad o Carmex o Fulminante Fanel o Cordón Detonante

Antes de introducir los cartuchos al taladro, estos deben ser limpiados completamente del agua y detritos que pueda contener mediante el “sopleteo” que se realiza con un tubo de diámetro similar al del taladro al que inyecta aire comprimido. El cebado debe ser centrado y no introducirse hasta la mitad del cartucho. Los cartuchos se introducen en el taladro y son confinados mediante “atacadores” que son varillas de madera de 2-3m de longitud que permiten colocar los cartuchos hasta el fondo del taladro. Al momento de http://cybertesis.urp.edu.pe/urp/2011/abad_ac/pdf/abad_ac-TH.5.pdf

atacar el explosivo no es necesario reventar el plástico, solamente acoplar y atacar al final Terminando el carguío de los cartuchos se procede a colocar el cordón detonante o pentacord, el cual une a todos los taladros. El pentacord debe estar adherido el fulminante común debidamente encapsulado con la guía lenta. Es muy importante el paralelismo y la distancia para evitar el efecto de presión de muerte o congelamiento. Para iniciar el disparo e procede a chispear la guía.

d. OBRAS CIVILES.

-

Perforar con el taladro con un diámetro adecuado para el ingreso adecuado de otras máquinas, fijando aproximadamente la altura superior y la altura inferior, de tal modo que ingrese partes de los grandes taladros trituradores y cortadores de rocas. A la vez se instalara una grúa-torre para extraer las rocas ya trituraras y de ahí estas llevarlas al medio de transporte que lo trasladara a un depósito.

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-

Una vez teniendo un área determinada donde se pueda ensamblar las perforadoras – trituradoras estas empezaran a realizar los cortes de acuerdo a los detalles indicados en los planos.

-

Realizar los refuerzos con estructuras metálicas y revestimiento para evitar los derrumbes.

-

Todo el personal está dotado del aire acondiciona necesario, así mismo como un circuito adicional de salvedad en caso de paralización del aire acondicionado.

-

Las perforaciones y cortes por la magnitud del proyecto se puede realizar por tres frentes o sea por tres lugares diferentes.

-

Sucesivamente el avance de este tipo de obra demora mucho tiempo ya que se trabaja bajo rocas de gran volumen que están por encima del nivel fijado.

Métodos de excavación de túneles mediante perforación y voladura

Los métodos de excavación de túneles mediante perforación y voladura dependen fundamentalmente en primer lugar, del tipo de terreno a atravesar. De este modo cabe destacar por separado la excavación de túneles en roca y la excavación de túneles en suelos o terrenos blandos. En este artículo nos centraremos siempre a la excavación en roca, que es lo más habitual en los túneles de carretera. Las partes o trabajos elementales de que consta el ciclo de trabajo característico de las excavaciones mediante perforación y voladura son las siguientes:     

Replanteo en el frente del esquema de tiro. Perforación de los taladros. Carga de los taladros con explosivo (barrenos). Voladura y ventilación. Retirada del escombro y saneo del frente, bóveda y hastiales. El esquema de tiro es la disposición en el frente del túnel de los taladros que se van a perforar, la carga de explosivo que se va a introducir en cada uno y el orden en que se va a hacer detonar cada barreno, diseñándose al principio de la obra en base a la experiencia y a una serie de reglas empíricas recogidas en los manuales sobre explosivos. Posteriormente, a lo largo de la excavación del túnel, se va ajustando en función de los resultados obtenidos en cada voladura. La voladura de la destroza con barrenos horizontales, tiene la ventaja de que se utiliza el mismo sistema de trabajo y maquinaria que la fase de avance, pudiendo recortarse con la voladura la forma teórica del túnel. Por otro lado, la voladura en banco es más rápida de 22

llevarse a cabo, con un consumo menor de explosivo, y no necesita ser retirado el escombro en cada voladura, pero requiere de un recorte posterior para conseguir el perfil del túnel en los hastiales. Los taladros deben de tener una longitud de un 5 a 10 % superior a la distancia que se quiera avanzar con la pega, llamada longitud de avance, ya que siempre se producen pérdidas que impiden aprovechar al máximo la longitud de los taladros. Las longitudes de avance típicas están comprendidas entre 1 y 4 metros y se fijan en función de la calidad de la roca, cuanto mejor es la calidad del terreno, mayores serán los avances posibles. Con una roca de calidad media-adecuada es habitual perforar taladros de 3 a 3,50 metros para avanzar entre 2,80 y 3,20 metros en cada voladura. Para la perforación y voladura, la sección teórica del túnel se divide en zonas, en las que las exigencias, tanto de densidad de perforación, como de carga específica de explosivo y secuencia de encendido son distintas. Estas zonas son: 



Cuele Contracuele Destroza Zapateras



Contorno



Cuele.

 

Es la fase de la voladura que dispara en primer lugar. Su finalidad es crear una primera abertura en la roca que ofrezca al resto de las fases una superficie libre hacia la que puede http://www.fierasdelaingenieria.com/metodos-de-excavacion-de-tuneles-mediante-perforacion-yvoladura/

Escapar la roca con lo cual se posibilita y facilita su arranque. El cuele es sin duda la más importante de todas las fases de la voladura de un túnel en relación con el avance de la voladura.  Existen distintos tipos de cuele, los cueles en V y en abanico, que facilitan la salida de la roca hacia el exterior, pero tienen el inconveniente de que los taladros forman un ángulo con respecto al eje del túnel, por lo que su correcta perforación tiene una mayor dificultad y exige variar el esquema de perforación para cada longitud de avance.  En túneles de secciones de excavación reducidas estos cueles no permiten

grandes avances por voladura.  El cuele más usado por su simplicidad es el cuele paralelo. Consiste en un taladro

vacío (barreno de expansión), sin explosivos, de mayor diámetro que el resto (de 75 a 102 23

mm) y, a su alrededor, tres o cuatro secciones de taladros cargados que explotan sucesivamente siguiendo una secuencia preestablecida. La misión del barreno de expansión es la de ofrecer una superficie libre que evite el confinamiento de la roca de modo que facilite su arranque. Su diámetro varía entre 100 y 300 milímetros. En ocasiones puede sustituirse por dos taladros vacíos de diámetro menor (2 x 75 mm).  Destroza. La destroza es la parte central y más amplia de la voladura, cuya

eficacia depende fundamentalmente del éxito de la zona del cuele y contracuele, que es la zona crítica de la voladura.  Zapateras. La zapatera es la zona de la voladura situada en la base del frente, a

ras del suelo. Los taladros extremos suelen ir un poco abiertos “pinchados” hacia fuera con objeto de dejar sitio suficiente para la perforación del siguiente avance. Los barrenos de las zapateras son los que más carga explosiva contienen ya que, aparte de romper la roca han de levantar ésta hacia arriba. Para evitar repiés, van ligeramente “pinchados” hacia abajo y son disparados en último lugar.  Contorno. Los taladros perimetrales o de contorno son importantes pues de ellos

dependerá la forma perimetral de la excavación resultante. Lo ideal es que la forma real del perímetro del túnel sea lo más parecida posible a la teórica, aunque las irregularidades y discontinuidades de la roca dificultan dicho objetivo.  Existen dos técnicas de efectuar los tiros perimetrales: el recorte y el precorte.

El recorte, que es la técnica más empleada, consiste en perforar un número importante de taladros paralelos al eje del túnel en el contorno, a la distancia conveniente (entre 45 cm y 100 cm) y con una concentración de explosivo pequeña o incluso nula. En la secuencia de encendido son los últimos barrenos en detonar. Por otro lado, la técnica del precorte se perfora un mayor número de taladros perimetrales y paralelos entre sí unas distancias entre 25 cm y 50 cm, con una concentración de carga explosiva entre 0,1 y 0,3 kg/m. Esta técnica exige una perforación

http://www.fierasdelaingenieria.com/metodos-de-excavacion-de-tuneles-mediante-

perforacion-y-voladura/  muy precisa que asegure un buen paralelismo y una homogénea separación entre

los taladros. En la secuencia de encendido, son los primeros en detonar, con lo que se crea una fisura perimetral que aísla y protege la roca de las vibraciones del resto de la voladura. La técnica del precorte, por su esmerada ejecución y costo elevado, es de uso poco frecuente en túneles, excepto en casos muy especiales.

24

Maquinaria de perforación La perforación de los taladros se puede hacer por dos procedimientos: el primero es mediante el uso de martillos manuales accionados por aire comprimido, y el segundo es mediante martillos hidráulicos montados sobre una maquina automóvil denominada jumbo. Martillos manuales. Los martillos manuales de aire comprimido funcionan a percusión, es decir, la barrena golpea contra la roca y gira de forma discontinua entre cada percusión, separándose del fondo del taladro. El detritus es arrastrado hasta el exterior del taladro mediante agua, que tiene también la finalidad de refrigerar la barrena. Los martillos manuales son actualmente de uso poco frecuente, sólo se usan, obviamente, en túneles muy pequeños o de forma accidental, pues tienen rendimientos muy inferiores a los jumbos y requieren mucha mano de obra. Jumbos. La máquina habitual de perforación es el jumbo, como se muestra en la imagen que incluimos más abajo. Consta de una carrocería de automóvil dotada de dos o tres brazos articulados, según los modelos. En cada brazo puede montarse un martillo de perforación (perforadora) o una cesta donde pueden alojarse uno o dos operarios y que permite el acceso a cualquier parte del frente. El funcionamiento de los jumbos es eléctrico cuando están estacionados en situación de trabajo y pueden disponer también de un motor Diesel para el desplazamiento. Los martillos funcionan a rotopercusión, es decir, la barrena gira continuamente ejerciendo simultáneamente un impacto sobre el fondo del taladro. El accionamiento es hidráulico, con lo que se consiguen potencias mucho más elevadas que con el sistema neumático. El arrastre del detritus y la refrigeración se consiguen igualmente con agua. Los rendimientos de perforación que se consiguen en los jumbos hidráulicos modernos, pueden superar los 3,5 m/min de velocidad instantánea de perforación. Los jumbos actuales tienen sistemas electrónicos para controlar la dirección de los taladros, el impacto y la velocidad de rotación de los martillos e incluso pueden memorizar el esquema de tiro y perforar todos los taladros automáticamente. En este caso un único maquinista puede perforar una pega completa en unas pocas horas. Accesorios de perforación. Los accesorios de perforación comúnmente usados son las varillas o barrenas y las bocas de perforación. Además se emplean manguitos y otros adaptadores para el ensamblaje de las piezas. http://www.fierasdelaingenieria.com/metodos-de-excavacion-de-tuneles-mediante-perforacion-y-voladura/

Las barrenas de perforación son simplemente barras de acero con un conducto interior para el paso del agua de refrigeración y unas roscas en los extremos donde se acoplan las bocas o los 25

manguitos. La boca de perforación es la herramienta de corte, que generalmente es de metal endurecido (carburo de tungsteno) o widia, dispuesto en formas diversas: en cruz, en X o botones, con unos diámetros habitualmente comprendidos entre 45 y 102 milímetros. La elección de un tipo u otro de boca, así como de sus diámetros, depende del tipo de maquinaria de perforación, de las características de la roca y del diámetro de los cartuchos del explosivo a introducir. Generalmente las bocas de botones son las que proporcionan un mayor rendimiento, al golpear la roca de forma más homogénea y ser más fácil la evacuación del detritus de roca. Para tal fin se pueden disponer varias entradas de agua frontales y también laterales. Para la elección del material de perforación y sus accesorios se recomiendan el uso de los manuales especializados facilitados por los fabricantes. Explosivos y detonadores Los tipos de explosivo que deben utilizarse en túneles dependen de las características de la roca, principalmente de su densidad, resistencia a compresión y velocidad de propagación sónica de la roca. Además los explosivos, durante la detonación, deben generar gases no tóxicos, lo que limita el tipo de explosivos en interior. El tipo de explosivo también depende del grado de humedad existente en la roca. El explosivo más utilizado para el cuele y contracuele, destroza y zapateras, es la GOMA-2 EC o RIOMEX E20/40. El diámetro de los cartuchos deberá ser lo más próximo al diámetro de perforación de los taladros, compatible con su introducción dentro del barreno. La iniciación de la explosión en cada barreno se realiza en el cartucho cebo instalado en el fondo del barreno y que contiene un detonador. La activación de los detonadores puede ser eléctrica o por impacto; en el primer caso se utilizan detonadores eléctricos. Por razones de seguridad, contra corrientes parásitas, se utilizan exclusivamente detonadores de alta insensibilidad (Al). Una mayor seguridad ofrecen los detonadores de iniciación no eléctrica, tipo Nonel, cuyo uso sería especialmente aconsejable. Atendiendo a los tiempos de retardo, los detonadores pueden ser: instantáneos, de microretardo (retardo de 25 ó 30 mseg), o de retardo (retardo de 0,5 seg). El resto de los elementos que se utilizan para la voladura son los siguientes: Cañas. Son tubos de PVC (tubos omega) abiertos longitudinalmente en cuyo interior se colocan los explosivos, cordón detonante, etc. Permiten introducir fácilmente todos los elementos en su disposición correcta dentro del taladro.

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26

Retacador. El retacador es el material que cierra o tapona el taladro y de este modo impide que la energía debida a la explosión se escape por la boca del mismo. Normalmente se usan unos cartuchos de arcilla muy plástica. Explosor. Es el mecanismo que produce la corriente eléctrica que da lugar a la explosión. Suelen estar basados en un condensador que se va cargando con una manivela o una batería y que cierra el circuito manual o automáticamente Cables. Los cables eléctricos que transmiten la corriente desde el explosor hasta los detonadores son los usados habitualmente en trabajos eléctricos. Control de las vibraciones Las vibraciones producidas por las voladuras se transmiten por el terreno y pueden llegar a producir daños en edificios y estructuras próximas al túnel así como a la roca circundante y al revestimiento. Por este motivo tiene interés el estudio de la ley que rige la propagación de las ondas sísmicas y los valores máximos de vibración admisibles en cada proyecto. El factor principal que provoca los daños es la Velocidad Pico de Partícula, que se define como la velocidad máxima que alcanzan las partículas del terreno al vibrar por acción de la onda sísmica. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 

Sinha R.S.: “Underground Structures. Design and Construction”, Elsevier.



Cornejo, L.: “Excavación Mecánica de Túneles”, Ed. Rueda.



Edwards J.T.: “Civil Engineering for Underground Rail Transport”, Butterworths.



I.T.G.E.: “Manual de perforación y voladura de rocas”, Instituto Tecnológico Geominero de España.

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MARCO MATEMÁTICO

INTEGRALES DOBLES El cálculo de una integral doble se realiza mediante el cálculo de dos integrales iteradas, de acuerdo al siguiente teorema: Teorema 1 (Teorema de Fubini) Sea f una función integrable sobre un rectángulo: R = [a, b] × [c, d].

27

1.

Si para cada x ∈ [a, b], la sección transversal fx (y) := f (x, y), y ∈ [c, d], es integrable sobre [c, d], entonces la función 𝒅

F(x) = ∫𝒄 𝒇𝒙 (y) dy es integrable sobre [a, b] y se verifica 𝒃

𝒃

𝒅

∬𝑹 𝐟(𝐱, 𝐲) dx dy = ∫𝒂 𝑭𝒙 dx = ∫𝒂 (∫𝒄 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚) 𝒅𝒙 2. Si para cada y ∈ [c, d], la sección transversal fy (x) = f (x, y), x ∈ [a, b], es integrable sobre [a, b], entonces la función 𝒅

G (y) = ∫𝒄 𝑭𝒙 dx Es integrable sobre [c, d] y se verifica 𝒅

𝒅

𝒃

∬𝑹 𝐟(𝐱, 𝐲) dx dy = ∫𝒄 𝑮𝒚 dy = ∫𝒄 (∫𝒂 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙) 𝒅𝒚

ocw.uji.es/material/4937/raw

El teorema de Fubini Corolario: Si f es continúa sobre un rectángulo R = [a, b] × [c, d], entonces: 𝒃

𝒅

𝒅

𝒃

∬𝑹 𝐟(𝐱, 𝐲) dx dy = ∫𝒂 (∫𝒄 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚) 𝒅𝒙 = ∫𝒄 (∫𝒂 𝒇(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙) 𝒅𝒚 https://sites.google.com/site/calculovectorialupaep232434/home/parcial-4/integrales-dobles

Ejemplo 1 Se desea calcular la integral doble ∬𝑹 𝒙𝟐 𝒚 dx dy siendo R = [1, 2] × [0, 1]. Solución:

ocw.uji.es/material/4937/raw

Dado que la función x2 y es continua en R basta aplicar el Teorema de Fubini para obtener:

28

𝟐

∬𝑹 𝒙 𝒚 𝟐 𝒙𝟐 ∫𝟏 𝟐 𝒅𝒙

𝟐 dx dy = ∫𝟏 (𝒙𝟐 𝒚 𝒙𝟑

𝒙=𝟐

=[ ]

𝟔 𝒙=𝟏

𝒅𝒚)𝒅𝒙=

𝟖

𝟏

𝟔

𝟔

= −

=

𝟐 𝒚=𝟏 𝟐 𝟐𝒚 ∫𝟏 [𝒙 𝟐 ] 𝒚=𝟎

𝒅𝒙

𝟕 𝟔

Integrales dobles sobre recintos acotados Para generalizar el concepto de integral doble a recintos acotados se hace uso de la función característica 1, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐴 1𝐴 = { 0, 𝑠𝑖 𝑥 ∉ 𝐴 Donde A ⊂ R2 Si el conjunto A es acotado y verifica que su frontera tiene medida nula, entonces la función característica es integrable sobre cualquier rectángulo R que contiene a A y, en este caso, existe

𝑎(𝐴) = ∬ 1𝐴 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑥𝑦 𝑅

que se llama la medida o área de A. El conjunto A se dice, entonces, medible. Entonces, dada una función integrable sobre un rectángulo R ⊃ A, se define

∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑥𝑦 = ∬ 1𝐴 (𝑥, 𝑦) 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑥𝑦 𝐴

𝑅

En la figura siguiente puede verse gráficamente este proceso, donde F(x, y) = 1A (x, y) f(x, y): ocw.uji.es/material/4937/raw

29

ocw.uji.es/material/4937/raw

Recinto acotado y función característica

Esta definición permite extender la integración a recintos más generales: aquellos que son medibles. Por tanto, hay que reconocer los conjuntos que son medibles. Para los objetivos de nuestro curso basta aplicar, en general el siguiente resultado: Teorema 10.8 La grafica de una función continua tiene medida nula; es decir, si Φ(x) es una función continua definida en un intervalo I, el conjunto tiene medida nula. A = {(x, y) : y = Φ(x); x ∈ I} En definitiva, los conjuntos cuya frontera est´a formada por gr´aficas de funciones continuas son medibles. En particular, pueden distinguirse dos tipos de recintos: Recintos de tipo I A = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b; g2(x) ≤ y ≤ g1(x)} Siendo g2(x), g1(x) funciones continuas en [a, b]. En este caso, 𝑏

𝑔1 (𝑥)

∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑥𝑦 = ∫ (∫ 𝐴

𝑎

30

𝑔2 (𝑥)

𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦) 𝑑𝑥

http://www.ugr.es/~fjperez/aplicaciones_integral/aplicaciones_integral.html

Ejemplo 2 Se quiere calcular la integral ∬𝑫 𝐟(𝐱 + 𝟐 𝐲) dy dx Donde D es la región acotada por la parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2 Solución: En primer lugar, tras representar gráficamente el dominio de integración, trazamos una recta vertical, L, que pase por el dominio D y marcamos los valores de las variables y por donde entra y sale la recta L, como puede verse en la siguiente figura.

Integración sobre una región de tipo I La región de integración es, por tanto, el dominio de tipo I: D = {(x, y)/ − 1 ≤ x ≤ 1; 2x2 ≤ y ≤ 1 + x2 )} 𝟏

𝟏+𝒙𝟐

Luego: ∬𝑫 (𝐱 + 𝟐 𝐲) dy dx = ∫−𝟏 ∬2𝑥2

(𝐱 + 𝟐 𝐲) 𝒅𝒚 𝒅𝒙 ocw.uji.es/material/4937/raw

31

INTEGRALES T R I P L E S.

La definición de una integral triple sigue el modelo de las integrales dobles. Consideremos una función f de tres variables, continua en un cubo Q = [a, b] x [a', b'] x [a", b"] de IR3. Formamos las particiones correspondientes y las sumas S (f; P) y s (f; P). Se prueba que, a medida que aumenta el número de puntos de las particiones, las sumas S (f; P) y s (f; P) tienden a un límite común que se denota por 𝑎

∭ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑄

Las propiedades de la integral triple son análogas a las de la integral doble en cuanta linealidad desdoblamiento de una región en dos, etc. El Teorema de Fubini tiene su versión para integrales triples en la forma siguiente: Si Q = [a, b] x [a', b'] x [a", b"] entonces

ocw.uji.es/material/4937/raw

𝑏 ′′

𝑎

∭ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∫

𝑏′

𝑎 ′′

𝑄 𝑏′

𝑎′

𝑏′′

𝑎

𝑏

(∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 ) 𝑑𝑧] 𝑑𝑦

∫ [∫ 𝑎′

𝑏

[∫ (∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 ) 𝑑𝑦] 𝑑𝑧 = … … . .

𝑎 ′′

𝑎

Evaluación de algunas integrales triples. De la misma forma que ocurre con las integrales dobles, se extiende el concepto de integral triple a regiones más generales. Concretamente, si f es continua y Donde h 1, h 2, g1 y g 2 son funciones continuas, entonces 𝑏

ℎ2 (𝑥)

∭ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∫ [∫ 𝐷

𝑎

𝑔2 (𝑥,𝑦)

(∫

ℎ1 (𝑥)

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧 ) 𝑑𝑦] 𝑑𝑥

𝑔1 (𝑥,𝑦)

Que también se suele escribir en la forma: 𝑏

ℎ2 (𝑥)

∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑎

ℎ1 (𝑥)

𝑔2 (𝑥,𝑦)

𝑑𝑦 ∫

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧

𝑔1 (𝑥,𝑦)

https://www.dspace.espol.edu.ec/.../7287/.../5-Integración%20Múltiple

32

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS. Muchas regiones de uso común, tales como esferas, elipsoides, conos o paraboloide s producen integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares. De hecho, fue precisamente esta dificultad la que motivó la introducción de coordenadas no rectangulares.

Estas coordenadas juegan un papel en tres dimensiones análogo al que desarrollan en dos las coordenadas polares. Integrales triples en coordenadas cilíndricas. Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares y las cilíndricas son las siguientes: x = r cos θ y = r sen θ z= z

Si f es una función continua en la región Q, podemos escribir la integral triple de

f

sobre

Q como: ∭ 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = ∭ 𝑓 (𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧)𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑧 𝑄

𝑆

Donde S es el recinto en el que se ha transformado Q al hacer el cambio de coordenadas. Obsérvese la presencia del factor r en la nueva integral.

33

Integrales triples en coordenadas esféricas. Las integrales triples en las que intervienen esferas o conos son más fáciles de calcular en coordenadas esféricas. Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares y las esféricas son las siguientes: X = p sen ϕcos θ y = p sen ϕsen θ

https://www.dspace.espol.edu.ec/.../7287/.../5-Integración%20Múltiple

z = p cos θ

Si f es una función continua en la región Q, podemos escribir la integral triple de f sobre

Q como Donde S es el recinto en el que se ha transformado Q al hacer el cambio de coordenadas. Obsérvese la presencia del factor p2 sen ϕ en la nueva integral.

Nota La letra griega p utilizada en coordenadas esféricas no tiene nada que ver con la densidad. No es sino el análogo tridimensional d e la r utilizada en coordenadas polares. En problemas donde aparezcan simultáneamente las coordenadas esféricas y una densidad, usaremos un símbolo distinto para la densidad con el fin de evitar la confusión. https://www.dspace.espol.edu.ec/.../7287/.../5-Integración%20Múltiple

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EJEMPLOS DE INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES

EJEMPLO 01 Hallar el volumen de la región común a los cilindros x2 + y2 = a2, x2 + z2 = a2. Solución En la figura adjunta se muestran los dos cilindros y la parte de la región correspondiente al primer octante.

ocw.uniovi.es/mod/resource/view

De modo que el volumen será: √𝑎2 −𝑥 2

𝑎

𝑎

√𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑦 = 8 ∫ (𝑎2 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 =

𝑉 = 8 ∫ 𝑑𝑥 ∫ 0

0

0

16𝑎3 3

EJEMPLO 02 Hallar el volumen del solido limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y los planos y + z = 4,

z

= 0. Solución La proyección del cilindro sobre el plano z = 0 es la circunferencia x2 + y2 = 4, de modo que el volumen viene dado por la formula

2

√4−𝑦2

(4 − 𝑦) 𝑑𝑥

𝑉 = ∫ 𝑑𝑦 ∫ −2

√4−𝑦2

Nuevamente escribimos la integral en coordenadas polares. Resulta: 2

2𝜋

𝑉= ∫

𝑑𝑣 ∫ 𝑢(4 − 𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣) 𝑑𝑢 =

0 2𝜋

∫ 0

0 2𝜋

2𝜋 𝑢3 8 ∫ (2𝑢 − 𝑠𝑒𝑛𝑣)| 𝑑𝑣 = (8 − 𝑠𝑒𝑛𝑣) 𝑑𝑣 = 16𝜋 3 3 0 0 2

35

EJEMPLO 03

Calcular el volumen de la sección situada en el primer octante del solido limitado por los planos z = 0 y z = x + y + 2 y el cilindro x2 + y2 = 16. Solución La base del solido es la región R del plano comprendida en el primer cuadrante y limitado por la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 16. El plano z = x + y + 2 limita dicho solido en su parte superior.

Así pues, el volumen vendrá dado por: 4

√16−𝑥 2

𝑉 = ∬ 𝑧(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑅

0 4

= ∫ (𝑥 √16 −

(𝑥 + 𝑦 + 2)𝑑𝑦

0

𝑥2 +8− + 2√16 − 𝑥 2 ) 𝑑𝑥 2

𝑥2

0

Para evitar resolver la integral de la función irracional √16 − 𝑋 2 podemos escribir la integral doble en coordenadas polares. Así, 2𝜋

4

𝑉 = ∫ 𝑑𝑣 ∫ 𝑢(𝑢𝑐𝑜𝑠𝑣 + 𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣 + 2) 0 2𝜋

=∫ 0

0 4

2𝜋 𝑢3 64 128 (𝑠𝑒𝑛𝑣 − 𝑐𝑜𝑠𝑣) + 16𝑣| = (𝑐𝑜𝑠𝑣 + 𝑠𝑒𝑛𝑣 + 𝑢2 | 𝑑𝑣 = + 8𝜋 3 3 3 0 0

ocw.uniovi.es/mod/resource/view

EJEMPLO 04 Calcular el volumen del solido limitado superiormente por la esfera x2 + y2 +z2 = 5 e inferiormente por el paraboloide x2 + y2 = 4z. Solución Calculamos en primer lugar los puntos de intersección de la esfera con el paraboloide. Tenemos:

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 5 𝑥 2 + 4𝑧 − 5 = 0 𝑧=1 } ⇒{ 2 } ⇒ 𝑥 2 +𝑦 2 =4𝑧 2 2 2 𝑥 + 𝑦 = 4𝑧 𝑥 + 𝑦 = 4𝑧 36

Tenemos pues la situación de la figura adjunta.

El volumen pedido se halla mediante la fórmula 𝑉 = ∬ (√5 − 𝑥 2 − 𝑦 2 − 𝐷

𝑥2 + 𝑦2 ) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 4

Donde D es el circulo x2 + y2 < 4, que se obtiene como proyección del solido en el plano XY Para resolver la integral, la transformamos a coordenadas polares; en este caso, D = {(ρ, ϑ): 0 < ρ < 2, 0 ≤ ϑ < 2π}. Entonces: 2𝜋

2

𝜌2

𝑉 = ∫ 𝑑𝜗 ∫ (√5 − 0

0

2 𝜌2 𝜌3 2𝜋(5√5 − 4) 2 − ) 𝜌𝑑𝜌 = 2𝜋 ∫ 𝜌 (√5 − 𝜌 − ) 𝑑𝜌 = 4 4 3 0

EJEMPLO 05 ocw.uniovi.es/mod/resource/view

Hallar el volumen que se elimina cuando a una esfera de radio 2a se le practica un orificio circular de radio a de forma que el eje del orificio sea un diámetro de la esfera. Solución En la primera figura se muestra, desplazada verticalmente, la región que se extrae de la esfera y en la segunda figura la propia región sin la esfera.

De la figura se deduce que el volumen pedido es ocho veces el correspondiente al del primer octante limitado (en coordenadas cilíndricas) por el cilindro ρ2 = a2, la esfera ρ2 +z2 = 4a2

y

el plano z = 0. Esto se obtiene integrando z = √4𝑎2 − 𝑝2 en un cuadrante del círculo

ρ

= a, es decir: 𝜋/2

𝑉 = 8∫ 0

𝑎

𝑑𝜗 ∫ 𝜌√4𝑎2 + 𝜌2 𝑑𝜌 = 0

4 (8 − 3√3)𝑎3 𝜋 3

ocw.uniovi.es/mod/resource/view

37

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

CALCULO DE VOLUMEN DE ROCAS DE UNA CASA DE MAQUINA DE UNA CENTRAL HIDROELÉCTRICA.

Se analizó para realizar el cálculo del volumen de la casa de máquina de una central hidroeléctrica sobre todo la parte superior de la casa de máquinas que tiene una forma irregular, podemos precisar de una forma cilíndrica o de una bóveda.

Al introducir la integración, vemos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. El cual se analizara de acuerdo a los planos se hallara el volumen y cantidad de material que se deberá extraer para realizar dicho PROYECTO.

SOLUCION DEL PROBLEMA:

38

Ecuación (C1) ℎ = −28.68 𝑘=0 𝑟 = 10.67 (𝑥 − 𝑦)2 + (𝑦 − 𝑘 )2 = 𝑟 2 (𝑥 + 28.68)2 + (𝑦 − 0)2 = 10.672 (𝑥 + 28.68)2 = 10.672 −𝑦 2 𝑥 + 28.68 = −√10.672 − 𝑦 2 𝑥 = −28.68 − √10.672 − 𝑦 2 ……………….. (1)

39

Ecuación (C2) ℎ = 28.68 𝑘=0 𝑟 = 10.67 (𝑥 − 𝑦)2 + (𝑦 − 𝑘 )2 = 𝑟 2 (𝑥 − 28.68)2 + (𝑦 − 0)2 = 10.672 (𝑥 − 28.68)2 = 10.672 −𝑦 2 𝑥 − 28.68 = +√10.672 − 𝑦 2 𝑥 = 28.68 + √10.672 − 𝑦 2 ……………….. (2)

Dibujo de la sección transversal del techo:

Parábola ( 𝑧 = 𝑎 − 𝑏 (𝑦)2 )

40

Coordenadas: 𝑀 = (0 ; 13.5) 𝑁 = (10.67 ; 9.38) ∗ 𝑧 = 𝑎 − 𝑏 (𝑦)2 13.5 = 𝑎 − 𝑏 (0)2 𝑎 = 13.5 ∗ 𝑧 = 𝑎 − 𝑏 (𝑦)2 9.38 = 13.5 − 𝑏 (10.67)2 𝑏 = 0.0362 Luego: ∗ 𝑧 = 13.5 − 0.0362 ∗ 𝑦 2

Por lo tanto, la función con la cual modelaremos el techo es :

𝑧 = 𝑓 (𝑥; 𝑦) 𝑓(𝑥; 𝑦) = 13.5 − 0.0362 ∗ 𝑦 2 Calculo del volumen total: 𝑉 = ∭(1)𝑑𝑣

41

Reemplazando los datos Sea (3) 10.67

28.68+√10.672−𝑦 2

13.5−0.0362∗𝑦 2

∫

∫

∫

−10.67

−28.68−√10.672−𝑦 2

0

𝑉=

Sea (4) 13.5-0.0362*y 2

I= ∫ 0

(1)dz= z|13.5−0.0362∗𝑦 0

I= 13.5-0.0362*𝑦 2

42

2

(1)𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

Reemplazando (4) en (3) Sea (5) 10.67

28.68+√10.672−𝑦 2

∫

∫

−10.67

−28.68−√10.672−𝑦 2

𝑉=

(13.65 − 0.0362 ∗ 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦

Sea (6)

28.68+√10.672−𝑦 2

(13.65 − 0.0362 ∗ 𝑦 2 )𝑑𝑥

𝐼=∫ −28.68−√10.672−𝑦 2

28.68+√10.672 −𝑦 2

𝐼 = (13.5 − 0.0362 ∗ 𝑦 2 ) 𝑥 |

−28.68−√10.672−𝑦 2

𝐼 = (13.5 − 0.0362 ∗ 𝑦 2 )((28.68 + √10.672 − 𝑦 2 )-( −28.68 − √10.672 − 𝑦 2 )

𝐼 = (13.5 − 0.0362 ∗ 𝑦 2 )( 57.36 + 2√10.672 − 𝑦 2 )

Reemplazando (6) en (5) 10.67

𝐼=∫

(13.65 − 0.0362 ∗ 𝑦 2 )( 57.36 + 2√10.672 − 𝑦2 )𝑑𝑦

−10.67

10.67

𝐼=∫ −10.67

10.67

27 √10.672 − 𝑦2 )𝑑𝑦

(774.36)𝑑𝑦 + ∫

−10.67

43

10.67

10.67

(𝑦 2 )𝑑𝑦 − 0.0724 ∫

−2.0764 ∫ −10.67

𝑦 2 √10.672 − 𝑦2 )𝑑𝑦

−10.67

Recordar propiedad -1

𝐼=∫

√𝑎2

−

𝑥2

𝑑𝑥=

𝑥 2

√𝑎2

−

𝑥2

+

𝑎2 2

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√𝑎2𝑥−𝑥2 )

Recordar propiedad -2

𝐼 = ∫ 𝑥 2 √𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥=

𝑥√𝑎2 −𝑥 2 (2𝑥 2 −𝑎2 ) 8

+

𝑎4 8

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(√𝑎2𝑥−𝑥2 )

Luego 𝑦

2 2 𝑉 = (774.36 ∗ 𝑦) |+1067 −10.67 +27 ( ) √10.67 − 𝑦 + 2

𝑦 10.672 𝑦 3 +1067 +1067 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) |−10.67 − 2.0764 ( ) |−10.67 2 3 √10.672 − 𝑦 2

𝑦√10.672 − 𝑦 2 (2𝑦 2 − 10.672 ) − 0.0724( 8 𝑦 10.674 +1067 + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 ( ) | 8 √10.672 − 𝑦 2 −10.67

V = 19 303.2 𝑚3

44

COMPROBANDO EL RESULTADO CON AUTOCAD ESTRUCTURAL 2015

45

46

COMPROBANDO RESULTADO CON WOLFRAM ALPHA

47

CONCLUSIONES

-

El cálculo del volumen con integrales para el movimiento de tierras es muy importante, pues se tiene que tener claro antes de iniciar un proyecto, son los metrados de todas las partidas, Estructuras, Arquitectura, Instalaciones Sanitarias, Instalaciones Eléctricas.

-

Con buen metrado, se puede hacer mejor el control de todos los materiales, dimensionar las cuadrillas de trabajo para cada partida, y haciendo un buen control de calidad del producto final, obtener utilidades rentables del proyecto.

-

El cálculo de varias variables nos da las herramientas y el criterio para ver de una manera más realista las formas y dimensiones de los objetos y estructuras que se ven en los proyectos de ingeniería.

48

ANEXOS

49

50

51

52

53

54

C

G

Z

R

L

O

A

O

E

M

R

M

O

E

A

A

N

Z

T

N

A

E

P I

C DESCRIPCIÓN DE TAREA

H H

U

A

C

U

A

T

S

A

A

R

U

T

N

M

C

L

I

C

A

A

O

L

I

N

Y

L

O

I

A

O I

RESUMEN

X

X

X

X

II

INTRODUCCION

X

X

X

X

III

ANTECEDENTE

X

X

X

X

IV

PROBLEMATICA

X

X

X

V

OBJETIVO

X

X

X

X

VI

FUNDAMENTO TEORICO

X

X

X

X

VII

MARCO MATEMATICO

X

X

VIII

PLANTEAMIENTO

X

X

IX

SOLUCION DEL PROBLEMA

X

X

X

CONCLUSIONES

X

X

X

X

XI

IMPRESIÓN Y EMPASTADO

X

X

X

X

55

X

56