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• Mauricio Trejos González

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1 Trabajo Colaborativo-2020 Calculo III ( La spira Mirabilis )

Integrantes Del Grupo Fonseca Farit - 1911983616 Mendez Ingrit - 1911982143 Díaz Robayo Blanca Angélica - 1911980095 Puerto Tavera Angy Natalia - 1911980858 Carlos Alberto Cortes - 1331980963

Profesor: Edwin Perez

Politécnico Gran colombiano Facultad De Ingeniería, Diseño E Innovación Bogotá-Colombia 2020

2

EJERCICIOS Ejercicio 1: La espiral logarítmica, llamada la spira mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma

𝒄(𝒕) = (𝒂𝒆𝒃𝒕 𝒄𝒐𝒔(𝒕), 𝒂𝒆𝒃𝒕 𝒔𝒊𝒏(𝒕)) Donde 𝑎 y 𝑏 son nueros reales positivos.

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. A continuación realice los siguientes cálculos para comprobar la propiedad:

1. Muestre que la magnitud de la curva, ‖𝒄(𝒕)‖ es ‖𝒄(𝒕)‖ = 𝒂𝒆𝒃𝒕 Solución: ‖𝐶(𝑡)‖ =

(𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡) + 𝑎𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑡)

‖𝑐(𝑡)‖ = (𝑎𝑒 ) (𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑠𝑖𝑛 𝑡) 𝑠𝑖𝑛 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 1 ‖𝑐(𝑡)‖ =

(𝑎𝑒 ) Donde se elimina √

Dándonos como resultado: ‖𝑐(𝑡)‖ = 𝑎𝑒

con la potencia 2

3

2. Muestre que el vector tangente a la curva es 𝑐 (𝑡) = (𝑎𝑒 (𝑏 cos(𝑡) − sin(𝑡))𝑖 + (𝑎𝑒 (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡)))𝑗 Solución: La derivada de los componentes me ayuda a halar la tangente 𝑐 (𝑡) = 𝑐 (𝑡) =

𝑗+

𝑗

𝑑(𝑎𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑑(𝑎𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑖+ 𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Utilizando la regla de la derivada del producto se dice que: 𝑐 (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑎𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑡 )𝑖 + (𝑎𝑏𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑎𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡)𝑗 Factorizamos el término común 𝑎𝑒 ⋀ 𝑏𝑡. Dándonos como resultado: 𝑐 (𝑡) = 𝑎𝑒 (𝑏𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡) 𝑖 + 𝑎𝑒 (𝑏𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑗

3. Muestre que la rapidez de la curva está dada por la expresión 𝒔(𝑻) = 𝒂𝒆𝒃𝒕 √𝒃𝟐 + 𝟏 Solución: Se menciona que la rapidez de las partículas frente a los tiempos está dada por 𝑐 (𝑡) si vemos bien dentro del punto anterior se tiene 𝑐 (𝑡) de manera que hallamos 𝑐 (𝑡) de la siguiente manera: 𝑐 (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑡(𝑏 cos(𝑡) − sin(𝑡))𝑖 + 𝑎𝑒 (𝑏 sin(𝑡) − cos(𝑡))) 𝑗 𝑐 (𝑡) =

((𝑎𝑒 𝑡(𝑏 cos(𝑡) − sin(𝑡))) + 𝑎𝑒 𝑓(𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))

Se desarrollan los cuadros de manera que a continuación se halle el factor común: 𝑐 (𝑡) 𝑐 (𝑡)

𝑎 (𝑒) 𝑏𝑡 {𝑏 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) − 2𝑏 cos(𝑡) sin(𝑡) − 𝑠𝑖𝑛 (𝑡)} + 𝑎 (𝑒) 𝑏𝑡 {𝑏 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) − 2𝑏 cos(𝑡) sin(𝑡) + 𝑠𝑖𝑛 (𝑡)}

𝑎 (𝑒) 𝑏𝑡 [+(𝑏 𝑠𝑖𝑛 (𝑡)2𝑏 sin(𝑡)) cos(𝑡) + 𝑐𝑜𝑠 (𝑡)]

4 Reduciendo los términos semejantes y asociados los términos se obtiene lo siguiente: 𝑐 (𝑡) 𝑎𝑒

𝑏 [cos(𝑡) + 𝑠𝑖𝑛 (𝑡)] + [𝑠𝑖𝑛 (𝑡)𝑐𝑜𝑠

𝑐 (𝑡9 𝑎𝑒

𝑏 [(1) + (1)]

( )]

De manera que se obtiene como resultado: 𝑐 (𝑡) = 𝑠(𝑡) = 𝑎𝑒

𝑏 +1

4. Teniendo en cuenta los resultados obtenidos hasta el momento, muestre que el ángulo entre la curva y su vector tangente depende de la expresión 𝒂 = 𝒄𝒐𝒔

𝟏

𝒄(𝒕) ∗ 𝒄𝒊 (𝒕) = 𝒄𝒐𝒔 ‖𝒄(𝒕)‖ ∗ ‖𝒄𝒊 (𝒕)‖

𝟏

𝒃 √𝒃𝟐 + 𝟏

Solución: Reemplazando los datos de normas de derivada de la curva parametrizada 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠

(𝑎𝑒

cos(𝑡) , 𝑎𝑒

sin(𝑡)). (𝑎𝑒 (𝑏 cos(𝑡) − sin(𝑡)), 𝑎𝑒 (𝑏𝑠𝑖𝑛 (𝑡) + cos(𝑡)) (𝑎𝑒 )(𝑎𝑒 √𝑏 + 1

Factorizado 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠

(cos(𝑡) , sin(𝑡)). ((𝑏 cos(𝑡) − sin(𝑡)), (𝑏 sin(𝑡) + cos(𝑡))) √𝑏 + 1

Realizamos el producto punto en la expresión del numerador, obteniendo 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠

𝑏 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) + 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) cos(𝑡) + 𝑏 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) + sin(𝑡) cos(𝑡) √𝑏 + 1 𝑏 𝑐𝑜𝑠 (𝑡) + 𝑏 𝑠𝑖𝑛 (𝑡) √𝑏 + 1

Utilizando nuevamente la identidad 𝑎 = 𝑐𝑜𝑠

𝑏(1) √𝑏 + 1

5

5. De una breve reseña sobre la spira Mirabilis La spira mirabilis es conocida como el Spira Logarítmica en primera instancia fue descrita por primera vez por descartes y luego fue estudiada por Jakob Bernoulli, y el la llamo la espiral maravillosa pues se encuentra muy seguido en la naturaleza, esta curva fue estudiada primeramente por Descartes y Torricelli en 1638, más tarde por Jacques Bernoulli (1654-1705). El nombre de espiral logarítmica se lo dio Varigno, esta curva de espiral es el lugar geométrica de un punto que se mueve con una aceleración constante por una recta y por uno de sus puntos el cual se llama (polo) y a su vez genera una ecuación matemática en radianes o logarítmica. Su ecuación matemática es 𝒓 = 𝒂𝜽 . La espiral logarítmica tiene un gran diferencia a la de Arquímedes que es que la distancia entre sus brazos se aumenta en progresión geométrica, se dice que es la curva definida por un objeto el cual se mueve con velocidad lineal constante y velocidad angular, dentro de sus características fundamentales podemos ver que la expansión y la rotación tiene vínculos geométricos o exponencial, también se evidencia que entre las espiras aumenta mucho más rápidamente que la rotación

PARTE 2

6. La velocidad del sonido viajando a través del océano es una función de la temperatura, salinidad del agua y la presión. Ésta es modelada por la función 𝑪(𝑻, 𝑺, 𝑫) = 𝟏𝟒𝟒𝟗. 𝟐 + 𝟒. 𝟔𝑻 − 𝟎. 𝟎𝟓𝟓𝑻𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟗𝑻𝟑 + (𝟏. 𝟑𝟒 − 𝟎. 𝟎𝟏𝑻)(𝑺 − 𝟑𝟓) + 𝟎. 𝟎𝟏𝟔𝑫 Donde C es la velocidad del sonido (medida en metros por segundo), T es la temperatura (medida en grados Celsius), S es la salinidad (número de gramos de sal disueltas en un litro de agua, su medida es gramos por litro), y D es la profundidad debajo de la superficie (medida en metros). Evalué

,

𝑌

cuando T=10ºC, S=35 g/l y D=100 m. Explique el significado de estas derivadas parciales. Solución: Derivadas de la función C: 𝜕𝐶 = 4.6 − 0.11𝑇 + 0.00087𝑇 − 0.01 𝑆 + 0.35 𝜕𝑇

6 𝜕𝐶 = 1.34 − 0.01𝑇 𝜕𝑆 𝜕𝐶 = 0.016 𝜕𝐷 Evaluamos y explicamos las derivadas parciales para T = 10ºC, S = 35 g/l y D = 100m tomamos C (T, S, D) y remplazamos = (10,35,100) Derivada parcial C con respecto a T en el punto C 𝜕𝐶 𝐶 (𝑇, 𝑆, 𝐷) = 4.6 − 1.1(10) + 0.00087(10) − 0.01(35) + 0.35 𝜕𝑇 𝜕𝐶 𝐶 (𝑇, 𝑆, 𝐷) = 4.6 − 1.1 + 0.087 − 0.35 + 0.35 𝜕𝑇 𝜕𝐶 𝑚/𝑠 𝐶 (𝑇. 𝑆. 𝐷) = 3.587 𝜕𝑇 º𝐶 Derivada de C respecto a S 𝜕𝐶 = 1.34 − 0.01(10) 𝜕𝑆 𝜕𝐶 = 1.34 − 0.1 𝜕𝑆 𝜕𝑆 = 1.24 𝑚⁄𝑠 ∕ 𝑝𝑝𝑚 𝜕𝑆 Derivada de C con respecto a D: 𝜕𝐶 = 0.016 𝑚⁄𝑠 ∕ 𝑚 𝜕𝐷

7. Calcule la derivada direccional de la función 𝑰(𝑻, 𝒉) = 𝒆𝟑𝑻 punto (1.2) y en la dirección 𝟏

𝒖⃗ = (𝒊 + √𝟑𝒋 𝟐

Solución: La derivada direccional viene dado por: 1 √3 𝐷 𝑓(𝑇, ℎ) = 𝑓 (𝑇, ℎ) + 𝑓 (𝑇, ℎ) 2 2

𝟒𝑻𝒉 𝟓𝒉

en el

7 1 =e 2 √3 𝑓 (𝑇, ℎ) =e 2

1 2 √3 ∗ (−4𝑇 − 5) 2

𝑓 (𝑇, ℎ)

∗ (3 − 4ℎ)

Luego 𝐷 𝑓(𝑇, ℎ) = e

1 + e 2

∗ (3 − 4ℎ)

∗ (−4𝑇 − 5)

En el punto (1,2) 𝐷 𝑓 (1, 2) = e

∗

∗ ∗

∗

∗ (3 − 4 ∗ 2)

∗ (−4 ∗ 1 − 5)

𝐷 𝑓 (1, 2) = e

𝐷 𝑓(1, 2) =

−

∗

∗ ∗

√3 2

∗ (−5)

5 𝐷 𝑓 (1, 2) = − e 2

1 + e 2

1 + e 2

9√3 e 2

=

−5 − 9√3 ∗e 2

∗ (−9)

√3 2

−5 − 9√3 ∗e 2

∗

√3 2