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Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE” PROYECTO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA FARMACOLOGÍA INTEGRANTES:  ANDRES MOYANO  GENECYS RAMIREZ  ALEJANDRA TUAREZ  GEMA VILLAPRADO DOCENTE: ING. GISELLA MANTILLA CARRERA: ING. BIOTECNOLOGÍA NIVEL: PRIMERO “B”

Santo Domingo | 11 de Julio del 2018

1.

INTRODUCCIÓN Al hablar matemáticamente, La derivada es una razón de cambio u alteración para calcular los valores de una función, aquella representa un punto, el cual es la pendiente de la recta tangente al grafico de la función dada en ese punto. La derivada se puede aplicar para diferentes ámbitos en la vida, como la medicina, la farmacología, economía, aeronáutica, etc. La derivada se usa comúnmente en todo para realizar cálculos de tiempo y de cantidad, en este caso como lo es el área de la farmacología, la derivada se usa para saber el tiempo que tarda un medicamento en hacer efecto en la persona, esto se realiza con la aplicación de máximos y mínimos. Los máximos y mínimos son conocidos como el extremo de una función, es decir que aquí se puede analizar valores altos conocidos como máximos y los bajos son conocidos como valores mínimos, como por ejemplo los eritrocitos en donde se puede calcular los valores de concentración de hemoglobina en la sangre. La derivada es fundamental en la Medicina ya que sirve para calcular muchos aspectos en la farmacología, desde lo más simple a lo más complejos, la derivada de máximo y mínimos es importante ya que juega un papel fundamental en todo ámbito, desde la creación de fármacos, su valoración, hasta lo más complejo como análisis de alguna enfermedad perjudicial.

2. OBJETIVOS 2.1 Objetivo general -

Encontrar las formas simples y complejas en que se puede aplicar la derivada en base a las materias que implique nuestra carrera.

2.2 Objetivos Específicos -

Entender que mediante la aplicación de máximos y mínimos se puede encontrar puntos o valores que determinen el crecimiento o decrecimiento de una función.

-

Determinar la efectividad aplicando máximos y mínimos, que tiene un fármaco en un periodo de tiempo y su acción sobre una bacteria.

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3. MARCO TEÓRICO 3.1 LA DERIVADA. La derivada es uno de los conceptos más importantes dentro de las matemáticas. Representa la pendiente de la recta tangente de una gráfica en función de un punto f(x). (Puentes, 2016) Una de las aplicaciones más importantes y útiles de la derivada está en el estudio de los valores máximos y mínimos de una función. (Ramos, 2002) La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc. (Serrano, 2014) Las derivadas se utilizan para optimizar sistemas que se expresan mediante funciones más o menos complejas. Otra de sus aplicaciones es hallar los valores máximos o mínimos de ciertas expresiones. Otra es hallarlos intervalos de crecimiento o decrecimiento de valores de interés, siempre que se puedan representar mediante funciones, naturalmente. (Serrano, 2014) 3.2 APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA MEDICINA. EL campo de aplicación de la derivada en la medicina es muy amplio en el caso de farmacología, es el tiempo que tarda un parnaso en hacer efecto o el tipo de concentración, en el caso de la radiología, que son medidas en dos o tres dimensiones. Se puede utilizar la derivada en la sangre para determinar el crecimiento de una bacteria en función del tiempo, también para células sanguíneas que pueden generar leucemia. La derivada en un feto, esto se realiza por razones de cambio donde semana a semana se sigue el proceso de crecimiento del feto. En el caso de los huesos, es el proceso de osificación aquí se puede presentar el proceso de crecimiento de los huesos desde que es un feto hasta su desarrollo adulto. En la derivada del ritmo cardiaco, se utiliza para medir a cantidad de sangre que el corazón bombea a todas las cavidades del cuerpo. (Valdez, 2015) Arterias: Son las encargadas de transportar sangre oxigenada desde el corazón a todo el cuerpo. Flujo Sanguíneo: Cantidad de sangre que se transporta de un punto dado en un periodo determinado. Presión: Mide la fuerza en dirección perpendicular por la unidad de la superficie. Presión arterial diastólica: Valor mínimo de la tensión arterial cuando el corazón se encuentra en diástole, es decir se produce un estado de relajación en las arterias y el corazón cuando entra oxígeno en el organismo y purifica la sangre.

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Presión arterial sistólica: Valor máximo de la presión arterial en sístole, es decir es todo lo contrario, es decir aquí el corazón se contrae y empuja la sangre para que sea transportada por las arterias. (Moncadam, 2015) 3.3 Aplicación de la derivada en la farmacología. La derivada tiene un amplio uso en muchas áreas de la ciencia, como por ejemplo la astronomía, la química, la medicina, la metalúrgica, entre otros. (Garcia & Merani, 2014) En la química farmacéutica se usa mucho el cálculo diferencial especialmente en la biofarmacia para calcular la cantidad de principio activo de un medicamento se está excretando, o cuanto está disponible en el torrente sanguíneo, todo esto se saca con modelos matemáticos basados en el cálculo diferencial. (Garcia & Merani, 2014) La aplicación de las derivadas en la vida cotidiana no es muy evidente, sin embargo, está presente en todo lo que hacemos. En el caso de la medicina es aplicada, en este caso, en la concentración de un medicamento inyectado, la prolongación de este y que tanto aumenta o disminuye su ritmo cardiaco. (Puentes, 2016). 3.4 MAXIMOS, MINIMOS Y PUNTOS DE INFLEXION. -Puntos Máximos y Mínimos: Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos). (UnivFormulas, 2013)

Ilustración 1: Ejemplo de grafica sobre los puntos máximos y mínimos.

En el análisis las funciones de cálculo en los máximos, mínimos y su punto de inflexión se lo realiza tomando en cuenta que a los mínimos podemos llamarlos también extremos relativos. (Sangaku, 2018) En estos puntos podemos observar cambios pendientes en algunos puntos, lo que se ve reflejado en ciertas propiedades significativas de la derivada, entre ellos tenemos los: -Máximo Relativo: aquí existe un máximo relativo en un punto Así.

1) F’(a) = 0 2) F’’(a) < 0

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Aquí nos damos cuenta de que la segunda derivada evaluada en el punto A tiene que ser menor a cero. -Mínimo Relativo: aquí existe un mínimo relativo si en un punto A.

1) F’(a) = 0 2) F’’(a) > 0 La existencia, pues, de un extremo relativo (máximo o mínimo) queda determinada por el valor nulo de la primera derivada y un valor no nulo de la segunda. Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio. Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales. (UnivFormulas, 2013)

La función f tiene en M un máximo relativo si f (M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha.

Ilustración 2: Ejemplo de un máximo relativo.

La función f tiene en m un mínimo relativo si f (m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.

Ilustración 3: Ejemplo de un mínimo relativo.

- Máximos y mínimos absolutos Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.

Ilustración 4: Ejemplo de un máximo relativo.

El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio

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El mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio.

Ilustración 5: Ejemplo de un mínimo relativo.

-Punto de inflexión En el cálculo diferencial, un punto de inflexión es un punto de una curva en el cual la curvatura cambia de signo (de menos a más o de más a menos). El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa, sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés (Thales.cica, 2014) Sea la ecuación

de una función.

Si no existe, y la derivada F’’(x) cambia de signo al pasar por el valor de x=a, entonces, el punto de la función de abscisa x=a es un punto de inflexión.

4. PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA, MEDIANTE ANÁLISIS MATEMÁTICO. Ejercicio: Un investigador está probando la acción de un fármaco sobre una bacteria. Ha averiguado que el número de bacterias “N” varía con el tiempo, en horas, una vez suministrado el fármaco, según la función: 𝑁(𝑡) = 20𝑡 3 − 510𝑡 2 + 3600𝑡 + 2000 a) ¿Cuántas bacterias había en el momento de suministrar el medicamento? ¿Y al cabo de 10 horas? Al momento de suministrar el medicamento sería un tiempo cero… 𝑡 = 0 𝑁(0) = 20(0)3 − 510(0)2 + 3600(0) + 2000 𝑁(0) = 2000 Cantidad de bacterias cuando se empieza el tratamiento. Ahora cuando 𝑡 = 10 𝑁(10) = 20(10)3 − 510(10)2 + 3600(10) + 2000 𝑁(10) = 7000 Cantidad de bacterias al cabo de 10 horas.

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b) En ese momento, ¿El número de bacterias está creciendo o disminuyendo? Para saber si la función crece o decrece, se aplica la derivada de máximos y mínimos, y su teorema: Si f’(x) > 0 f(x) es creciente Si f’(x) < 0 f(x) es decreciente 𝑁(𝑡) = 20𝑡 3 − 510𝑡 2 + 3600𝑡 + 2000 − − −−→ 𝑁 ′ (𝑡) = 60𝑡 2 − 1020𝑡 + 3600 Cuando 𝑡 = 0 𝑁′(0) = 60(0)2 − 1020(0) + 3600 𝑁 ′ (0) = 3600

3600 > 0 , la función crece, por lo tanto en el momento inicial el número de bacterias está creciendo a un ritmo de 3600 bacterias / hora.

Cuando 𝑡 = 10 𝑁′(10) = 60(10)2 − 1020(10) + 3600 𝑁 ′ (10) = −600

−600 < 0 , la función decrece, por lo tanto cuando t = 10 el número de bacterias está decreciendo a un ritmo de 600 bacterias / hora.

c) ¿En qué momento la acción del fármaco es máxima? (Es decir que cuando el fármaco sea máximo las bacterias tendrán un mínimo) Aquí debemos calcular cuando el medicamento hace que el número de bacterias este decreciendo con mayor rapidez, para esto aplicamos una segunda derivada para averiguar el mínimo de la función. Este mínimo será el que haga nula a la segunda derivada es decir que N’’ (t)= 0 𝑁 ′ (𝑡) = 60𝑡 2 − 1020𝑡 + 3600 𝑁 ′ ′(𝑡) = 120𝑡 − 1020

Como N’’ (t)= 0 entonces 0 = 120𝑡 − 1020 𝑡=

𝑡 = 8,5, ahora se sustituye en la primera derivada 𝑁 ′ (8,5) = 60(8,5)2 − 1020(8,5) + 3600 𝑁 ′ (8,5) = −735

1020 = 8,5 120

Es decir, a las 8 horas y media de administrar el medicamento, el número de bacterias está decreciendo a un ritmo de -735 bacterias/hora, que es cuando el medicamento está siendo más eficaz. d) ¿En qué momento empieza a notarse el efecto del fármaco? Empezará a notarse cuando el número de bacterias empiece a disminuir, es decir, cuando la función N (t) pase de creciente a decreciente, y en ese momento tendrá un máximo. 𝑁 ′ (𝑡) = 0 𝑁 ′ (𝑡) = 0 = 60𝑡 2 − 1020𝑡 + 3600  t= 5, t= 12 PÁGINA 6

Determinamos los signos de intervalo [5,12] + 0

5

+

∞+

12

A partir de las 5 horas de iniciarse el tratamiento empezará a notarse el efecto del medicamento y a disminuir el número de bacterias. e) ¿En qué momento empieza a perder su efecto el medicamento? A partir de las 12 horas de haberse iniciado el tratamiento, el número de bacterias empieza otra vez a crecer, por lo que podemos concluir que el fármaco empieza a perder su efecto. 5. GRAFICA DEL PROBLEMA, MEDIANTE UN SOFTWARE MATEMÁTICO, GEOGEBRA.

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6. CONCLUSIONES En el ejercicio, se muestra que a las 8 horas y media, es cuando el decrecimiento era más rápido, es cuando la función cambia su comportamiento: antes de ese momento estaba decreciendo cada vez más rápido y después de ese instante la función sigue decreciendo pero ya cada vez más lento hasta que deja de decrecer. Ese punto es un punto de inflexión. La aplicación de la derivada es útil en diferentes ámbitos que se desarrollan en el medio, como lo es la farmacología y la medicina, ya que esta nos ayuda para calcular el tiempo o duración de algún medicamento o enfermedad.

7. BIBLIOGRAFÍA

Definista. (15 de 04 de 2014). Definista. Obtenido de http://conceptodefinicion.de/derivada/ Garcia, G., & Merani, A. (13 de Septiembre de 2014). Prezi. Obtenido de Calculo Diferencial: https://prezi.com/zieondpntf1y/calculo-diferencial/ Moncadam, A. (26 de Octubre de 2015). Emaze. Obtenido de https://www.emaze.com/@AICTCZRQ Puentes, J. (18 de Noviembre de 2016). Emaze. Obtenido de Aplicacion de la derivada en la medicina: https://www.emaze.com/@AWZFFWFR/APLICACI%C3%93N-DE-LASDERIVADAS-EN-LA-MEDICINA#! Ramos, E. (2002). Precalculo y Cálculo Diferencial. Perú: Servivios Gráficos J.J. Sangaku, S. L. (2018). Sangakoo.com. Obtenido de Maximos, minimos y puntos de inflexion: https://www.sangakoo.com/es/temas/maximos-minimos-y-puntos-deinflexion-de-una-funcion Serrano, R. (Diciembre de 2014). Matematica y arquitectura. Obtenido de Aplicacion de la derivada en la arquitectura: http://robinarquitect.blogspot.com/2014/12/aplicacionde-las-derivadas-en-la.html Thales.cica. (2014). Obtenido de Puntos de Inflexion: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto7/punto7.html

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UnivFormulas. (2013). Obtenido de Maximos y minimos de una funcion: http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/maximos-minimosfuncion/ Valdez, D. (11 de Marzo de 2015). Prezi. Obtenido de Las derivadas en el cuerpo humano: https://prezi.com/wya2gkeep9zo/las-derivadas-en-el-cuerpo-humano/

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