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Cálculo Diferencial

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO INDICE Presentación Tema No. 1. La derivada de una función Tema No. 2. Teoremas para el cálculo de derivadas. Tema No. 3. Derivada de las funciones trigonométricas directas Tema No. 4. Derivada de las funciones trigonométricas inversas Tema No. 5. Derivada de las funciones logarítmicas Tema No.6. Derivada de las funciones exponenciales Tema No.7. Derivación logarítmica Tema No. 8. Derivadas sucesivas de una función Tema No. 9. Derivación de funciones implícitas Tema No.10. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva Tema No.11 Máximos y mínimos de una función Tema No. 12. Problemas de aplicación de máximos y mínimos

GLOSARIO WEBGRAFIA

CALCULO DIFERENCIAL

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PRESENTACION

Cálculo Diferencial pretende apoyar los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta asignatura presentando ejercicios resueltos y proponiendo ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar. al hacer uso frecuente de este cuaderno de ejercicios encuentra un apoyo académico, ya que los ejemplos presentados le permitirán hacer más comprensibles e interesantes la resolución de los ejercicios en el la aplicación a los diferentes tipos de problemas. Así, los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más completo. contiene ejemplos de derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos

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Tema No. 1. La derivada de una función.

La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Ejemplo: Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 5 Aplicando la definición de derivada: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ→0 ℎ

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = lim Resulta:

3(𝑥 + ℎ)2 + 4(𝑥 + ℎ) − 5 − (3𝑥 2 + 4𝑥 − 5) = lim ℎ→0 ℎ Elevando el binomio (x+h) al cuadrado y realizando los productos indicados, se tiene: 3(𝑥 2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 ) + 4𝑥 + 4ℎ − 5 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = lim ℎ→0 ℎ 3𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 4𝑥 + 4ℎ − 5 − 3𝑥 2 − 4𝑥 + 5 = lim ℎ→0 ℎ Simplificando CALCULO DIFERENCIAL

Página 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO 6𝑥ℎ + 3ℎ2 + 4ℎ = lim ℎ→0 ℎ

Realizando la división = lim (6𝑥 + 3ℎ + 4) ℎ→0

Finalmente, calculando el límite cuando ℎ → 0 se obtiene la derivada de la función 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 4

Ejercicios: Utilizando la definición, calcule la derivada de las siguientes funciones. 1. 2. 3. 4.

𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 𝑓(𝑥) = 3𝑥 4 + 7 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 + 6 𝑓(𝑥) = √2 𝑥 5 −2

5. 𝑓(𝑥) =

Respuesta: -3-4x

5

8. 𝑓(𝑥) =

10. 𝑓(𝑥) =

Respuesta: 2𝑥 + 1 Respuesta: 8𝑥 −5

𝑥4

6. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 3𝑥 7. 𝑓(𝑥) = 9 − 3𝑥 − 2𝑥 2

9.𝑓(𝑥) =

Respuesta: 6𝑥 2

𝑥−3 1

Respuesta:

𝑥+3 3 4

𝑥+

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−1 (𝑥+3)2

1 3

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Tema No. 2. Teoremas para el cálculo de derivadas.

Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definición y que pueden ser consultados en el libro de texto y en el formulario o prontuario de cálculo.

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) =

2 3𝑥 2

Transformando la función a la forma de potencia 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 −2 3

Aplicando el teorema y simplificando, se tiene la derivada de la función. 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = =−

2 (−2𝑥 −3 ) 3 4 −3 𝑥 3

=−

CALCULO DIFERENCIAL

4 3𝑥 3

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones. 1. 𝑓(𝑥) = −3𝑥 −3 2. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 7 +2𝑥 − 6 3. 𝑓(𝑥) =

Respuesta: 9𝑥 −4

−8

Respuesta: -80𝑥 −11

𝑥 10

4.𝑓(𝑥) = 5𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6𝑥 − 2 5. 𝑓(𝑥) =

3

Respuesta: −6𝑥 −6

5𝑥 5

6. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 10 + 12𝑥 7 − 5𝑥 4 + 8 7. 𝑓(𝑥) = √𝑥

Respuesta:

6

1

1

1

𝑥

𝑥

𝑥3

8. 𝑓(𝑥) = + 2-

9. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 −5 + 2𝑥 −3 10. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 3 √𝑥 + 3

1 6

6 √𝑥 5

Respuesta:−15𝑥 −6 − 6𝑥 −4 3 𝑥3

−3

Ejemplo: Obtenga la derivada de la función 𝑓(𝑥) =

3𝑥 2 −2𝑥 3𝑥

Se desea calcular la derivada de un cociente de la forma: 𝐷𝑥 [

𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)𝐷𝑥 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝐷𝑥 𝑔(𝑥) ]= [𝑔(𝑥)]2 𝑔(𝑥)

Aplicando el teorema correspondiente 3𝑥(6𝑥 − 2) − (3𝑥 2 − 2𝑥)(3) 18𝑥 2 − 6𝑥 − 9𝑥 2 + 6𝑥 = = (3𝑥)2 9𝑥 2 9𝑥 2 = 2=1 9𝑥 CALCULO DIFERENCIAL

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Ejercicios: Calcular la derivada de las siguientes funciones. 1. 𝑓(𝑥) = (𝑥 2 + 2)(𝑥 3 + 1) 2. 𝑓(𝑥) = (𝑥 4 − 1)(𝑥 2 + 1) 3.𝑓(𝑥) =

1 3𝑥 2 +1

4. 𝑓(𝑥) =

Respuesta: 5𝑥 4 + 6𝑥 2 + 2𝑥 Respuesta:

−6𝑥 (3𝑥 2 +1)2

2 5𝑥 2 −1

5. 𝑓(𝑥) =

𝑥−1

6. 𝑓(𝑥) =

2𝑥−1

Respuesta:

𝑥+1

2 (𝑥+1)2

𝑥−1

7. 𝑓(𝑥) = (1 − 𝑥)2

Respuesta: 2x-2

8.𝑓(𝑥) = (5𝑥 2 − 3√𝑥)5 9.𝑓(𝑥) = √(2𝑥 2 − 3𝑥 + 1)3 5

10. 𝑓(𝑥) =

Respuesta:

12𝑥−9 5

5 √(2𝑥 2 −3𝑥+1)2

(2𝑥−5)7 2𝑥

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Tema No. 3. Derivada de las funciones trigonométricas directas.

La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Hallar la derivada de la función f(x) = tan 4x 3 − 2 cot x 2 + sec(2x − 1)

Se tiene la derivada de una suma de tres funciones, aplicando los teoremas correspondientes para obtener la derivada de cada término y simplificando, se tiene:

Dx f(x) = sec 2 4x 3 Dx (4x 3 ) + 2 csc 2 x 2 Dx (x 2 ) + sec(2x − 1) tan(2x − 1)Dx (2x − 1)

= 12x 2 sec 2 4x 3 + 4x csc 2 x 2 + 2 sec(2x − 1) tan(2x − 1)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Ejercicios: Obtenga la derivada de las siguientes funciones 1. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 1) 2. 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 7

Respuesta: 3 cos (3x-1)

3. 𝑓(𝑥) = tan √𝑥

Respuesta:

3

4. 5. 6. 7.

𝑓(𝑥) = sec(1 − 2𝑥 − 𝑥 3 ) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 + cos 5𝑥 3 𝑓(𝑥) = cot √𝑥 − csc √𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛5 𝑥 5

3

𝑠𝑒𝑐 2 √𝑥 3

3 √𝑥 2

Respuesta: 5 cos 5x- 5 sen 5x Repuesta:25𝑥 4 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 5 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 5

8. 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 9. 𝑓(𝑥) = 10.

2𝑥−1 tan 5𝑥

𝑓(𝑥) = cos(tan 3𝑥)

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Respuesta: −3 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑠𝑒𝑛(tan 3𝑥)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Tema No. 4. Derivada de las funciones trigonométricas inversas.

Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los teoremas correspondientes que pueden consultarse en el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (4 − 5𝑥 3 ) Sí

u= 4-5𝑥 3 , utilizando el teorema 𝐷𝑥 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 =

1 √1−𝑢2

𝐷𝑥 𝑢

se

tiene: 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) =

1 √1 − (4 −

=

CALCULO DIFERENCIAL

5𝑥 3 )2

𝐷𝑥 (4 − 5𝑥 3 )

−15𝑥 2 √1 − (4 − 5𝑥 3 )2

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Ejercicios: Derive las siguientes funciones: 1. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 − 1)

Respuesta:

2

√1−(2𝑥−1)2

2. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥 2 + 3) 3.𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 tan(1 + 𝑥 + 𝑥 2 )

Respuesta:

1+2𝑥

Respuesta:

−1

1+(1+𝑥+𝑥 2 )2

4. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cot(3𝑥 2 − 1)

5. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 sec(5 − 𝑥)

(5−𝑥)√(5−𝑥)2 −1

6. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 csc √𝑥 3

7. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cot √𝑥

Respuesta:

−1

2 √𝑥

(1 + 𝑥)−1

8. 𝑓(𝑥) = √𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2𝑥

9. 𝑓(𝑥) =

𝑎𝑟𝑐 tan 5𝑥 cot 7𝑥

10. 𝑓(𝑥) = ( 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)5

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Respuesta:

15(𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 3𝑥)4 √1−9𝑥 2

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Tema No. 5. Derivada de las funciones logarítmicas.

Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas correspondientes que pueden ser consultados en el texto o en el prontuario o formulario.

Ejemplo: Calcule la derivada de la función log 3 (𝑥 3 − 𝑥 2 + 1) Considerando u= 𝑥 3 − 𝑥 2 + 1 , aplicando el teorema 1

𝐷𝑥 log 𝑎 𝑢 = log 𝑎 𝑒 𝐷𝑥 𝑢 𝑢

𝐷𝑥 𝑓(𝑥) =

se tiene:

1 log 3 𝑒 (3𝑥 2 − 2𝑥) 𝑥3 − 𝑥2 + 1 3𝑥 2 − 2𝑥 = 3 log 3 𝑒 𝑥 − 𝑥2 + 1

Ejemplo: Determine la derivada de la función 𝑦 = ln(6𝑥 2 + 3𝑥) 1

Considerando 𝑢 = 6𝑥 2 + 3𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 ln 𝑢 = 𝐷𝑥 𝑢, se 𝑢

tiene 𝐷𝑥 𝑦 =

1 (12𝑥 + 3) 6𝑥 2 + 3𝑥 =

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12𝑥 + 3 6𝑥 2 + 3𝑥

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones. 1. 𝑓(𝑥) = log 2 (𝑥 4 − 4𝑥 2 )

4𝑥 3 −8𝑥

Respuesta:

𝑥 4 −4𝑥 2

log 2 𝑒

2. 𝑓(𝑥) = ln(2𝑥 2 − 𝑥)

3. 𝑓(𝑥) = tan(ln 𝑥 2 )

4. 𝑓(𝑥) = ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥) + ln(tan 3𝑥)

5. 𝑓(𝑥) = ln(𝑡𝑎𝑛2 3𝑥)

6. 𝑓(𝑥) =

Respuesta:

6𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 tan 3𝑥

cos 4𝑥 log 5𝑥

7. 𝑓(𝑥) = log 5 (𝑠𝑒𝑛 2𝑥)

8. 𝑓(𝑥) = log 2 (𝑎𝑟𝑐 cos(𝑥 − 𝑥 2 ))

9. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos( ln 𝑥 2 )

10. 𝑓(𝑥) = √1 + ln 3𝑥

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Respuesta:

1 2𝑥√1+ln 3𝑥

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Tema No.6. Derivada de las funciones exponenciales.

Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los teoremas correspondientes, los cuales pueden ser consultados en el libro de texto, en formulario o prontuario. Ejemplo: Obtener la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 7𝑥

2 +𝑥

Considerando 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 𝑎𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎𝐷𝑥 𝑢, se tiene: 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 7𝑥

2 +𝑥

ln 7 𝐷𝑥 (𝑥 2 + 𝑥)

Calculando la derivada indicada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función = (2𝑥 + 1)7𝑥

2 +𝑥

ln 7

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑔(𝑥) = 𝑒 cos 2𝑥 Considerando 𝑢 = cos 2𝑥, aplicando el teorema 𝐷𝑥 𝑒 𝑢 = 𝑒 𝑢 𝐷𝑥 𝑢, se tiene: 𝐷𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑒 cos 2𝑥 𝐷𝑥 cos 2𝑥 Calculando la derivada y ordenando los términos, se tiene la derivada de la función = −2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑒 cos 2𝑥

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Ejercicios: Calcule la derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥−2

Respuesta:2𝑥−2 ln 2

2. 𝑓(𝑥) = 74−𝑥

3. 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛 3𝑥

4. 𝑓(𝑥) = 43𝑥

5. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥

2 +𝑥

2 +3𝑥−8

6.𝑓(𝑥) = 𝑒 cos 𝑥

3

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Respuesta: −3𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3 𝑒 cos 𝑥

3

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Tema No.7. Derivación logarítmica.

Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo de derivadas. Para este proceso se utilizan las siguientes propiedades de los logaritmos: a) ln 𝐴 𝐵 = ln 𝐴 + ln 𝐵 𝐴

b) ln = ln 𝐴 − ln 𝐵 𝐵

c) ln 𝐴𝑛 = 𝑛 ln 𝐴

Ejemplo: Calcular la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 5𝑥 Igualando la función con y 𝑦 = 𝑥 5𝑥 Aplicando el logaritmo natural ln 𝑦 = ln 𝑥 5𝑥 Aplicando la propiedad de los logaritmos ln 𝑦 = 5𝑥 ln 𝑥 Derivando con respecto a x ambos miembros de la igualdad 1 𝐷 𝑦 = 5𝑥 𝐷𝑥 ln 𝑥 + ln 𝑥 𝐷𝑥 (5𝑥) 𝑦 𝑥 CALCULO DIFERENCIAL

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO 1 = (5𝑥) + 5 ln 𝑥 = 5 + 5 ln 𝑥 𝑥 Despejando 𝐷𝑥 𝑦

𝐷𝑥 𝑦 = 𝑦(5 + 5 ln 𝑥)

Sustituyendo 𝑦 = 𝑥 5𝑥 𝐷𝑥 𝑥 5𝑥 = 5𝑥 5𝑥 + 5𝑥 5𝑥 ln 𝑥

Ejercicios: Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = (3𝑥)2𝑥

Respuesta: (3𝑥)2𝑥 (2 + 2 ln 3𝑥)

2. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 2 )cos 2𝑥 3. 𝑓(𝑥) = (cos 3𝑥)𝑥+2 R:(cos 3𝑥)𝑥+2 ((−3𝑥 − 6)3𝑥 + 𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠3𝑥) 4. 𝑓(𝑥) = (𝑥 5 − 5𝑥 2 )5𝑥−6 5. 𝑓(𝑥) = ( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 )cot(3𝑥−1)

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Tema No. 8. Derivadas sucesivas de una función.

Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una nueva función, la cual se puede dividir nuevamente. A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la ordinaria. Ejemplo: Obtenga la quinta derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 7 + 2𝑥 6 − 5𝑥 4 + 8𝑥 3 − 2𝑥 + 2 La primera derivada de la función es: 𝐷𝑥 𝑓(𝑥) = 7𝑥 6 + 12𝑥 5 − 20𝑥 3 + 24𝑥 2 − 2 La segunda derivada 𝐷𝑥2 𝑓(𝑥) = 42𝑥 5 + 60𝑥 4 − 60𝑥 2 + 48𝑥 La tercera derivada 𝐷𝑥3 𝑓(𝑥) = 210𝑥 4 + 240𝑥 3 − 120𝑥 + 48 La cuarta derivada 𝐷𝑥4 𝑓(𝑥) = 840𝑥 3 + 720𝑥 2 − 120 La quinta derivada 𝐷𝑥5 𝑓(𝑥) = 2520𝑥 2 + 1440𝑥

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Ejercicios: Obtenga la quinta derivada de las siguientes funciones.

1. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 5 − 2𝑥 3

R: 240

2. 𝑓(𝑥) = cos(5𝑥 − 3) 3. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 − 2) 4. 𝑓(𝑥) = √4𝑥 2 − 5 5. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1

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R.

105

√(2𝑥−1)9

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Tema No. 9. Derivación de funciones implícitas.

Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena. El procedimiento para esta derivación se puede consultar en el libro de texto y en el formulario o prontuario.

Ejemplo: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la función 3𝑥 4 𝑦 2 + 3𝑥 2 = 𝑥𝑦 + 7 Derivando con respecto a x 𝐷𝑥 (3𝑥 4 𝑦 2 ) + 𝐷𝑥 (3𝑥 2 )=𝐷𝑥 (𝑥𝑦) + 𝐷𝑥 (7)

Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos 3𝑥 4 𝑦 2 𝑥𝑦 se debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.

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y

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Calculando las derivadas y representando por y ´ con respecto a x.

la derivada de y

6𝑥 4 𝑦𝑦´ + 12𝑥 3 𝑦 2 + 6𝑥 = 𝑥𝑦´ + 𝑦 Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos 𝑦 ′ (6𝑥 4 𝑦 − 𝑥) = 𝑦 − 12𝑥 3 𝑦 2 − 6𝑥 Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x. 𝑦 − 12𝑥 3 𝑦 2 − 6𝑥 𝑦 = 6𝑥 4 𝑦 − 𝑥 ′

Ejercicios: Derive implícitamente con respecto a x las siguientes funciones 1. 𝑥𝑦 + 𝑥 3 = 𝑦 2

R: 𝑦 ′ =

𝑦+3𝑥 2 2𝑦−𝑥

2. 𝑥 3 + 𝑦 2 + cos 𝑥𝑦 = 3𝑥𝑦 3. 𝑥 2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 = 𝑦 2 − cos 𝑦 4. 𝑥 3 + 𝑦 2 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 5𝑥

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Tema No.10. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva.

Una de las aplicaciones de la derivada, que tiene una utilidad inmediata, y que se apoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real continua, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva. Mediante la derivada se obtiene la pendiente y se aplican las ecuaciones de la geometría analítica para rectas Ejemplo: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 5𝑥 + 3 en el punto de abscisa x=0. La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=0 en la ecuación de la curva. 𝑓(0) = 3 Entonces el punto de tangencia es P (0,3). La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la función es: 𝑓 ′ (𝑥) = 6𝑥 2 + 6𝑥 − 5 El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es: 𝑚 = 𝑓 ′ (0) = −5

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Aplicando los valores anteriores en la ecuación de recta conociendo un punto y la pendiente, para obtener la ecuación de la tangente: 𝑦 − 3 = −5(𝑥 − 0) 5𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 La ecuación de la normal es: 1 𝑦 − 3 = (𝑥 − 0) 5 𝑥 − 5𝑦 + 15 = 0 Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta tangente, esto es: ∝= 𝑎𝑛𝑔 tan 𝑚 = 𝑎𝑛𝑔 tan(−5) ∝= 101º Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta normal sumando 90° al ángulo de la recta tangente, esto es: 𝛽 = 101º + 90º = 191º

Ejercicios: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto indicado, graficando en cada caso la curva y ambas rectas en el mismo plano. 1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3, 𝑒𝑛 𝑥 = 1

2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 6𝑥 − 5,

R: 2x-y-4=0, x+2y+3=0

𝑒𝑛 𝑥 = 1

3. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑥 2 − 3𝑥 − 10 , con ángulo de inclinación de 135°. 4. 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 2 en x=-2 CALCULO DIFERENCIAL

𝑦=

R: 4x-y+8=0, x+4y+2=0 Página 23

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Tema No. 11 Máximos y mínimos de una función.

La principal utilidad al obtener los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente es para realizar un esbozo general de la gráfica de la función, sin embargo, en problemas de aplicación el objetivo principal es determinar los valores máximos o mínimos que optimicen el problema.

Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el procedimiento que marca el libro de texto utilizando el criterio de la primera y segunda derivada.

Ejemplo: Obtenga los puntos máximos y mínimos de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥 + 3 , así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente. Derivando la función 𝑓 ′ (𝑥) = 3𝑥 2 − 6𝑥 − 9 Igualando con cero la primera derivada 3𝑥 2 − 6𝑥 − 9 = 0

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa de los puntos críticos 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0 x-3=0 x=3

x+1=0 y

x=-1

Calculando la segunda derivada de la función 𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑥 − 6 Valuando la segunda derivada en los puntos críticos. X 1 3

𝑓 ′′ (𝑥) = 6𝑥 − 6 6(-1)-6=-12 6(3)-6=12

𝑓 ′′ (𝑥) < 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = −1 ′′ (𝑥) 𝑓 > 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑥 = 3

Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de sus ordenadas 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 9𝑥 + 3 x -1 (−1)3 − 3(−1)2 -9(-1)+3= 8 Entonces se tiene un máximo en (-1,8) −3(3)2 − 9(3) + 3 = −24 3 Entonces se tiene un mínimo en (3,-24) A partir de estos datos, se determinan los intervalos donde la función es creciente o decreciente, es importante tener en cuenta que estos mismos intervalos también es posible obtenerlos mediante la primera derivada de la función. La función es creciente en: La función es decreciente en: CALCULO DIFERENCIAL

𝑥 ∈ (−∞, −1) y en (3,∞) 𝑥 ∈ (−1,3) Página 25

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Se deja al estudiante el trazo de la gráfica.

Ejercicios: Trace la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 − 1

R: D (−∞, 3), 𝑀𝑖𝑛(−3,10), 𝐶(−3, ∞)

2. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 4𝑥 − 2 3. 𝑓(𝑥) = 3 − 8𝑥 − 𝑥 2 4. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 7𝑥 + 2 5. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 − 3𝑥 2 R: C(−∞, −4), 𝑚á𝑥(−4,19), 𝐷(−4, ∞)

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Tema No. 12. Problemas de aplicación de máximos y mínimos.

Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento. La aplicación principal de este tipo de problemas se presenta en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos. No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero en el libro de texto se hacen algunas recomendaciones que el estudiante puede consultar. Por problema práctico entendemos un problema que puede surgir en la vida cotidiana. Tales problemas en raras ocasiones tienen puntos singulares; por lo regular en éstos los valores máximos y mínimos se presentan en puntos estacionarios, aunque también deberán comprobarse los puntos frontera.

Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación ℎ = −𝑡 2 + 8𝑡 − 13, donde h es la altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de ésta. En este caso la función objetivo a maximizar es ℎ = −𝑡 2 + 8𝑡 − 13

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y resolviendo la ecuación ℎ′ = −2𝑡 + 8 −2𝑡 + 8 = 0 𝑡=4 Por lo tanto el punto crítico se presenta cuando t=4 La segunda derivada es

ℎ′′ = −2

En el punto crítico ℎ′′ (4) = −2 < 0 entonces en t= 4 la función presenta un máximo. Sustituyendo t en h se obtiene ℎ= −(4)2 +8(4)-13 =3, por lo tanto el proyectil tarda 4 segundos en alcanzar la altura máxima que es de 3 metros.

Ejercicios:

1. Un diseñador gráfico tiene que realizar un trabajo donde tenga 180 cm2 de material impreso, dejando 3 cm de margen superior e inferior y 2 cm de margen izquierdo y derecho. Determine las dimensiones que debe tener el trabajo para que se utilice la menor cantidad de papel posible. R. 14.95 X 22.43 cm

2. Se desea cercar un terreno utilizando 200 m de rollo de tela de alambre, el terreno cercado debe quedar en forma cuadrada o rectangular. Determine las dimensiones del terreno de tal manera que el área cercada sea máxima.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO 3. Encuentre el volumen de la caja sin tapa más grande que se pueda hacer con una hoja cuadrada de cartón, de 24 pulgadas de lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando. R: 1024 pulgadas cubicas.

4. Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación ℎ = −

1 4

𝑡 2 + 60𝑡, donde h es la altura en

metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de esta.

5. Se requiere construir un recipiente cilíndrico sin tapa empleando 480 cm2 de lámina. ¿Qué dimensiones debe tener el cilindro para que el volumen contenido en el sea máximo? R. r, h=7.13 cm

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO GLOSARIO.

Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición de un punto en el plano. Álgebra. Ciencia que tiene por principal objeto simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números. Esto se consigue utilizando letras para designar los números que se buscan; las reglas operacionales se eligieron para que siguieran el mismo patrón que en aritmética ordinaria con el empleo generalizado del número negativo. Amplitud. De un intervalo (a, b) Aproximación. Evaluación o cálculo empírico con resultado inexacto, pero lo suficientemente cercano al real para considerarse suficiente. Asíntota. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a una curva, sin llegar a encontrarla nunca. Cálculo Diferencial. Rama de las matemáticas que trata de las unidades de cambio en las cantidades variables. En el cálculo diferencial se consideran solamente los incrementos en las cantidades variables; se antepone a ellas el símbolo “d”, lo que significa un incremento. Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que determina la distancia que un punto guarda en relación con los ejes de coordenadas rectilíneas o cartesianas. La x se define como la abscisa y es la distancia ortogonal que dicho punto guarda con el eje de las Y, y la coordenada “y” representa la distancia ortogonal que el punto guarda con respecto al eje X. Curva. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su dirección y no contiene ninguna posición de línea recta. Es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto que se traslada con arreglo a una determinada ley; por lo tanto, es una figura CALCULO DIFERENCIAL

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO geométrica determinada por un sistema de coordenadas y la expresión gráfica de la variación que experimenta una magnitud en función de otra u otras, de cuya definición se desprende que una recta es un caso particular de curva. Derivación. Es la operación con la que se encuentra la derivada de una función. Discontinuo. Magnitud que varía por saltos y no gradualmente. Función, derivada de una. Es la tendencia de una función al acercamiento a un valor dado de la variable independiente. Existen varias fórmulas para derivar. Funciones implícitas. Son implícitas cuando su dependencia con la variable independiente no se encuentra en forma de ecuación resuelta, como es: 5𝑥𝑦 − 2𝑦 = 8, en este caso “y” es una función implícita de x. Funciones, valores críticos de las. Se llaman valores críticos a los valores en los que una función encuentra un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, éstos se localizan derivando la función e igualando a cero. Los valores de x que satisfacen a f’(x) se llaman valores críticos. Límite de una función. Es el valor al que tiende el resultado de la operación cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como es decir que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” sea k. Máximo. Límite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad variable entre ciertos límites. Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden representar por expresiones algebraicas, porque intervienen en ellas logaritmos, funciones trigonométricas o ecuaciones en las que el exponente es la variable.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO Variable dependiente. Magnitud que en una relación o función depende del valor que se le asigne a otras variables. Variable independiente. Magnitud que no depende de otra para obtener su valor.

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO WEBGRAFIA.

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https://www.matesfacil.com/BAC/limites/ejercicios-resueltos-limites1.html https://www.vitutor.com/fun/4/b_a.html http://profe-alexz.blogspot.pe/2012/11/limites-trigonometricosejercicios-resueltos.html

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