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UNIVERSIDAD DEL ZULIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CATEDRA: CALCULO III PROFESORA: MERCEDES BECERRA

Maracaibo, abril 2013

FUNCIONES DIFERENCIABLES DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES La derivada de una función de una variable

y=f ( x )

está dada por el límite de

f ( x+ h )−f ( x ) dy , =lim dx h → 0 h

un cociente de diferencia

Exactamente de la misma manera, se define la derivada de primer orden de una función de dos variables Si

z=f ( x , y ) con respecto a cada variable.

z=f ( x , y ) es una función de dos variables, entonces la derivada parcial de f

respecto de x en un punto ( x , y ) es f x ( x, y )  lím

h 0

f ( x  h, y )  f ( x , y ) h

y la derivada parcial con respecto a y es f y ( x, y )  lím

h 0

f ( x, y  h )  f ( x , y ) h , siempre que exista el límite.

f Esta definición significa que, dada z  f ( x, y ) , para calcular x se debe considerar f a y como constante y derivar respecto de x . Del mismo modo para hallar y se considera constante a x y se deriva con respecto de y . NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS PARCIALES f f Si z  f ( x, y ) , sus primeras derivadas parciales x y y se denota por: f x ( x, y )  f x  f 1 

f  z  ( x, y )  z x   D1 f ( x, y )  D x x x x

f y ( x, y )  f y  f 2 

f  z  ( x, y )  z y   D2 f ( x, y )  D y y y y

INTERPRETACIÓN GEOMETRICA Si

y  y 0 , z  f ( x, y 0 ) es la curva intersección de la superficie z  f ( x, y ) con el

y  y 0 , resulta entonces que plano

f x ( x0 , y 0 )  lím

h 0

f ( x0  h, y 0 )  f ( x 0 , y 0 ) h , representa

2

la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto tangente y la curva intersección están en el plano Si

plano

y  y0

. La recta

. Ver figura 1

x  x0 , z  f ( x0 , y ) es la curva intersección de la superficie z  f ( x, y ) con el

x  x0

, resulta entonces que

f y ( x0 , y 0 )  lím

h 0

f ( x 0 , y 0  h)  f ( x 0 , y 0 ) h , representa

la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto

z

tangente y la curva intersección están en el plano

P

P( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 ))

P( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 ))

. La recta

x  x0 . Ver figura 2

Físicamente representa las tasas de cambio de z en las direcciones de x e y , es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j .

z  f ( x, y 0 )

x

●

y

Figura 1 Recta tangente

y  y0

z Recta tangente

z  f ( x0 , y )

P

●

y x  x0

x Figura 2

3

f x y f y en el punto P( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 )) dan las pendientes de la superficie en las direcciones de x y y . Lo que concluye que los valores

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ∇=i

Cuando el operador diferencial ∇=i

∂ ∂ +j ∂x ∂y

o

∂ ∂ ∂ +j +k ∂x ∂ y ∂z

Se aplica a una función

z=f ( x , y )

o

z=f ( x , y , z ) , obtenemos una función vectorial

muy útil. Gradientes. i)

Suponga que

f

derivadas parciales define como

es una función de dos variables fx y fy

xyy

existen. Entonces el gradiente de

∂f ∂f i+ j . ∂x ∂ y f es una función de tres variables

cuyas f

se

∇ f ( x , y )= ii)

Suponga que

derivadas parciales

fx , fy y fz

x, y y z

cuyas

existen. Entonces el gradiente de

f

se define como

∂f ∂f ∂f i+ j+ k . ∂x ∂ y ∂z Nota: El símbolo ∇ es una delta griega mayúscula invertida, que se ∇ f ( x , y )=

denomina del o nabla. El símbolo ∇ f

se lee gradiente de f

Observemos la figura 3, como en la sección anterior sea C 1 y C2 las curvas que se obtienen al cruzar los planos verticales

x  x0 y y  y 0 con la superficie S. Entonces el

punto P está en C1 y C2. En ellas las dos rectas tangentes T1 y T2 que se intersecan en el punto P . Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto P se define como el plano que contiene a las dos rectas tangentes T1 y T2 .(figura 3). 4

z p y

x

Figura 3

ECUACIÓN DEL PLANO EN R3 Un plano

π

en R3 queda completamente determinado si se conocen un punto

P(x 0 , y 0 , z0 ) por el que pasa un vector normal a él, digamos q=( x , y , z )

pertenecerá al plano

sobre el plano. Es decir, si y solo si vector

n=( A , B , C ) .

si el vector diferencia

q− p =

Así pues el plano

geométrico de aquellos puntos z−z o ¿

π

(x , y , z)

n=( A , B ,C) . Un punto q− p

x−x o , y− y o , z−z o ¿ ¿ π

de

se encuentra es ortogonal al

queda determinado como el lugar ❑❑ tales que

x−x o ¿

, y− y o

,

. (A,B,C) = 0, o sea, tales que

A ( x−x o ) + B( y− y o) + C ( z−z o )

=0

(1)

5

La ecuación del plano en R3 que pasa por (xo,yo,zo) y tiene a n=(A,B,C) como vector normal se puede escribir como Ax + By + Cz + D = 0, donde D= Ax o - Byo - Czo si D = 0 es homogéneo y pasa por el origen. Al dividir la ecuación (1) por C y dejar que a=

−A C

y b=

−B C

, podemos

escribirla de la forma x−x o ) + z−z o=a¿

b( y− y o )

(2)

Si la ecuación (2) representa el plano tangente en T 1. Al hacer y = yo en la ecuación (2) se obtiene x−x o ) z−z o=a¿ y se reconoce a ésta como la ecuación de una recta con pendiente a. pero se sabe que la pendiente de T1 es

f x (x o , y o ) . Por lo tanto tenemos que a = f x ( x o , y o ) .

De manera semejante, al hacer x = xo en la ecuación (2), obtenemos z-zo = b(y –yo) que debe representar a la recta tangente T2, de modo que b= f y ( xo , y o ) . Una ecuación del plano tangente a la superficie z  f ( x, y ) en el punto P(xo,yo,zo) es x−x o ) + f y ( x o , y o ) ( y− y o) z−z o=f x ( x o , y o ) ¿

En forma general si

f ( x , y , z )=0 , la ecuación del plano tangente a la superficie

z  f ( x, y ) en el punto P(x ,y ,z ) es o o o

f x ( x o , y o ) ( x−x o ) +

f y ( x o , y o ) ( y− y o) + f z ( x o , y o ) ( z−z o)

=0

TEOREMA El Gradiente es normal a las curvas de nivel. Si

F

es diferenciable en un punto

P ( x 0 , y 0 ) y F ( x 0 , y 0 )  0, entonces F ( x0 , y 0 ) es normal a la curva de nivel que pasa por ( x0 , y 0 ) RECTA NORMAL 6

Se define la recta normal a la superficie S en el punto P(x o,yo,zo) de ella, como la recta que pasa por P y contiene (o es paralela al) vector normal a la superficie en P( es decir a la recta perpendicular al plano tangente a la superficie en P). Su ecuación es  x  x0  tf x ( x 0 , y 0 , z 0 ) 

 y  y 0  tf y ( x 0 , y 0 , z 0 )   z  z 0  tf z ( x0 , y 0 , z 0 )

Ecuación Paramétricas

Despejando el parámetro t e igualando tendremos la ecuación Simétrica.

Ecuación Simétrica:

x  x0 y  y0 z  z0   f x ( x0 , y 0 , z 0 ) f y ( x0 , y0 , z 0 ) f z ( x0 , y0 , z 0 )

FUNCIONES DIFERENCIABLES. (TEOREMAS) DEFINICIÓN. n Sea f : U  R , U abierto,

 x, y 

 U . Se dice que la función f es diferenciable

g ( x ,  y ) en  x, y  si existe f ( x, y ) y una función real tal que: f ( x   x , y   y ) f ( x, y )  f ( x , y )   x ,  y  g (  x ,  y )  x ,  y = + lím g x ,  y  Donde   x , y  0,0  =0

( x ,  y )

es un punto que representa un vector posición que al multiplicar escalarmente con

el gradiente que es un vector, obtenemos 2

f ( x   x , y   y ) f ( x, y ) f x  x f y  y g (  x ,  y )  x   y = + +

2

Primero se halla el f ( x, y ) , si existe, sino no, la función no es diferenciable. Segundo se busca

g ( x ,  y )

y luego se evalúa el límite si existe y si 0 es

diferenciable. TEOREMA 1.

7

n Sea f : U  R , U abierto,

 x0 , y 0 , z 0  , entonces

( x, y, z )  U . Si la función es diferenciable en

f es continua en  x0 , y 0 , z 0  .

x , y ,z  De este teorema se concluye que: si f es discontinua en 0 0 0 entonces f no es diferenciable en

 x0 , y0 , z 0  .

TEOREMA 2. n Sea f : U  R , U abierto, ( x, y, z )  U . Si la función posee las primeras

derivadas parciales continuas en un entorno de

 x0 , y 0 , z 0 

entonces f es diferenciable en

 x0 , y 0 , z 0  .

DIFERENCIAL TOTAL INCREMENTO DE UNA VARIABLE DEPENDIENTE. La noción de diferenciabilidad de una función de cualquier número de variables independientes, depende del incremento de la variable dependiente. Recordemos que para una función de una sola variable y  f (x ) , y  f ( x  x )  f ( x ) .

De manera análoga, para una función de dos variables z  f ( x, y ) , el incremento correspondiente de z se define como z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) . Así que el incremento z representa el cambio en el valor de f cuando ( x, y ) varía a ( x  x, y  y ) . Las diferenciales dx y dy son variables independientes; es decir, pueden tomar cualquier valor. Por lo que la diferencial dz , también llamada la diferencial total, se define como

dz  f x ( x, y )dx  f y ( x, y )dy 

z z dx  dy x y 8

dz representa el cambio en la altura del plano tangente, en tanto que z representa el cambio en la altura de la superficie z  f ( x, y ) , cuando ( x, y ) cambia a ( x  x, y  y ) .

z  f ( x, y )

z

( x ,xy )

y ( x  x, y  y ) Figura 4

EJERCICIOS. 1.- Utilizar la definición de derivadas parciales empleando límites para calcular

∂f ∂x

y

∂f ∂y b.- f ( x , y ) =x2 −2 xy + y 2

a.- f ( x , y ) =4 x +5 y

d.- f ( x , y ) =

c.- f ( x , y ) =√ x + y

2.- Hallar

∂f ∂x

y

1 x+ y

∂f ∂y

a.- f ( x , y ) =xcosxcosy c.- f ( x , y ) =√ a2−x 2− y 2 e.- f ( x , y ) =e ax cos ⁡( bx + y)

b.-

f ( x , y ) =( x 2+ y2 ) ln ( x 2 + y 2 )

d.- f ( x , y ) =ln √1+ xy f.- f ( x , y ) =e xy ln ( x 2+ y 2)

9

2

g.- f ( x , y ) =cosy e xy senx

h.- f ( x , y ) =

−1 j.- f ( x , y ) =xsin

i.- f ( x , y ) =ln ( √ x 2+ y 2 )

2

x +y x 2− y 2

( xy )

l.- f ( x , y ) =|xy|4

k.- f ( x , y ) =ln ( sin x 2+ sin x cos y +cos x 2 )

3.- Utilizar la función para demostrar que a)

f x ( 0,0 ) y f y ( 0,0 ) existen, y b)

f

no es

diferenciable en (0,0).

{ {

3x y , ( x , y ) ≠(0,0) f ( x , y ) = x4 + y2 a.0 ( x , y ) =(0,0)

 

f ( x, y) 

 

b.-

( x , y )  ( 2 , 4 )

( x , y )  ( 2, 4 )

0

{

x 3− y 3 si ( x , y ) ≠(0,0) d.- f ( x , y ) = x 2 + y 2 0 si ( x , y )=( 0,0)

−3 x y , ( x , y ) ≠(0,0) c.- f ( x , y ) = x 2+ 2 y 2 0 ( x , y )=(0,0)

4.- Dado el elipsoide

5 ( x  2) ( y  4) 2 8 ( y  4 )  3( x  2 )



2

x2 y2 z2 =1 y el plano + + 4 9 16

2 x +3 y +4 z=5 , hallar dos planos

tangentes al elipsoide paralelos al plano dado. 5.- Encuentre los planos tangentes a la esfera plano

(x−1)2+ y 2 + z 2=9

que sean paralelos al

yz .

6.- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie perpendicular a los planos 7. Sea S:

x+ y+ z=3

y

z=x 2+ xy

que sea

2 x − y+ z=4

x 2+ y 2 + z 2=2 x+ 4 y +1 . Encontrar la ecuación de los planos tangentes a S que

sean paralelos al plano 2 x −3 y+ z =4 .

10

2 2 y=3 x + 2 z −3 x +4 z −5 en que los planos

8.- Hallar el punto o puntos de la superficie xz ,

tangentes a ella sean paralelos al plano

yz

xy

y

9.- Encontrar la ecuación de los planos tangentes a la superficie son paralelos al plano

tangentes

a

ella

sean

x 2+ y 2 + z 2−3 x=x +2 y+ 19 , donde los

paralelos

2 xy −x 2+ z= y 2+ z 2− y −1 en el punto

( x−3 )2 + y 2 +z 2=8

al

plano

tangente

a

la

superficie:

P(1,2,−1) α para que en los puntos de intersección de las

11.- Encuentre el valor de la constante dos esferas:

que

x+ 4 y +6 z=0 .

10.- Hallar los puntos sobre la superficie S: planos

x 2+2 y 2 +3 z2 =21

( y−α )2 +x 2+z 2=5 , los planos tangentes

y

correspondientes sean perpendiculares el uno del otro. 12.- Encuentre los planos tangentes a la esfera

2

2

2

que sean paralelos al plano

x + y + z =3

xz

13.- Encuentre los planos tangentes a la esfera plano

2

2

2

(x−1) + y + z =9

que sean paralelos al

xy

14.- Hallar el diferencial total de la función

z=ln ⁡( x y y x ) z=

15. Hallar el diferencial total de la función

1 ( x + y −x − y ) e −e 2 2

2

2

2

2

3,1 ¿ 2 16. Hallar el valor aproximado de 5,05 ¿ + ¿ , usando diferenciales. ¿ √¿ DERIVADA DIRECCIONAL.

f x ( x 0 , y 0 )  lím

h 0

f ( x 0  h, y 0 )  f ( x0 , y 0 ) h

Representan las tasas de cambio de z en las direcciones de x y y , es decir en las direcciones de los vectores unitarios i y j

11

f y ( x 0 , y 0 )  lím

h 0

f ( x 0 , y 0  h)  f ( x 0 , y 0 ) h

Encontremos la razón de cambio de una función diferenciable en cualquier dirección. Se quiere calcular la tasa de cambio de z en la dirección del vector unitario u=cosθi+ senθj .

Supongamos que forma un ángulo

θ

u=icosθ + jsenθ

con el eje

x

es un vector unitario en el plano xy el cual

positivo, y que es paralelo al vector

v

que va de

(x , y , 0) a

( x+ ∆ x , y + ∆ y , 0) . Si

h=√ ( ∆ x ) + ( ∆ y ) 2

2

>0, entonces

v =hu . El plano vertical

que pasa por estos dos puntos corta a la superficie z  f ( x, y ) en una curva C. ¿Cuál es la pendiente de la tangente a C en un punto P con coordenadas

(x , y , f ( x , y ) )

en la

dirección dada por v ? . En la figura (que el profesor realizará en el pizarrón) es claro que

∆ x=hcosθ

y

∆ y=hsenθ ; de modo que la pendiente de la recta secante indicada es msec =

f ( x+ ∆ x , y + ∆ y )−f (x , y) f ( x +hcosθ , y +hsenθ )−f ( x , y ) = h h

Si h →0

lim

h→0

la pendiente de la tangente en P será el

f ( x +hcosθ , y +hsenθ )−f (x , y ) h Tal pendiente es la razón de cambio de

f

en P en la dirección especifica por el

vector unitario u . DEFINICIÓN. La derivada direccional de u=cosθi+ senθj

z=f ( x , y )

en la dirección de un vector unitario

es

12

Du f ( x , y )=lim h →0

f ( x+ hcosθ , y+ hsenθ ) −f (x , y) , siempre que ell í mite exista . h

Para propósitos de cálculos, por lo general usaremos la formula dada en el siguiente teorema. TEOREMA. Si f es una función diferenciable de x y de y , entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario

u  cos  , sen 

y

Du f ( x, y )  f x ( x, y ) cos   f y ( x, y ) sen

Du f ( x, y )  f ( x, y ).u De esta ecuación tenemos:

Du f ( x, y )  f ( x, y ) u cos  Du f ( x, y )  f ( x, y ) cos 

,

u 1

, donde  es el ángulo entre f y u

El valor máximo de cos  es 1 y se da cuando  = 0º por lo tanto el valor máximo de

Du f ( x, y ) es f ( x, y ) y ocurre cuando u tiene la misma dirección del f . El valor mínimo de cos  es -1 y se da cuando  = 180º por lo tanto el valor

mínimo de

Du f ( x, y ) es - f ( x, y ) y ocurre cuando u tiene sentido opuesto del f .

TEOREMA Una función crece más rápidamente en P en la dirección del gradiente (con razón

f ( x , y )

) y decrece más rápidamente en la dirección opuesta (con razón -

f ( x , y )

).

TEOREMA Suponga que f es una función diferenciable de dos y tres variables. El valor máximo de la derivada direccional

Du f ( x, y ) es f ( x, y ) y se presenta cuando u tiene la

misma dirección que el vector gradiente f ( x, y ) .

13

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

z z Las derivadas parciales x y y de una función de dos variables z  f ( x, y ) , es en general, otra función de x y de y . Por tanto se puede derivar parcialmente respecto a x o y , con lo que se obtienen las segundas derivadas parciales de f .

f xx 

  f  2 f    x  x  x 2

f xy   f x  y 

f yy 

f yx   f y  x 

  f  2 f    y  x  yx

Las derivadas parciales

f yx

y

  f  2 f    2 y  y  y

f xy

  f  2 f    x  y  xy

reciben el nombre de derivadas parciales mixtas o

cruzadas Las derivadas parciales de tercer y mayor orden se definen de manera análoga y su notación es similar. Así, si f es una función de dos variables x y y , la tercera derivada parcial de f obtenida al derivar f parcialmente, primero respecto a x y luego dos veces con respecto a y , se indica como     f     2 f  3 f      f xyy   y  y  x   y  yx  y 2 x En total, hay ocho derivadas parciales de tercer orden. TEOREMA. IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS. n Si f : u  R  R tiene derivadas parciales de segundo orden continuas. Entonces,

las derivadas cruzadas de segundo orden de f , son iguales: si i  j :

2 f 2 f  x j xi xi x j

.

EJEMPLO. 14

Si n = 2: hay un par de derivadas cruzadas

2 f yx

2 f xy

y

Si n = 3: hay tres pares de derivadas cruzadas

2 f yx

y

2 f xy

2 f zx

y

2 f xz

2 f zy

y

2 f yz

REGLA DE LA CADENA Para funciones de más de una variable se aplicaran algunos teoremas para encontrar la derivada de una composición de funciones. TEOREMA. REGLA DE LA CADENA. UNA VARIABLE INDEPENDIENTE Sea w  f ( x, y ) una función diferenciable de x y y . Si x  g (t )

y

y  h(t ) son

funciones derivables de t , entonces w es función derivable de t , con

dw w dx w dy   dt x dt y dt



w

x Si tiene:

d



y d

w  f ( x1 , x 2 ,......, x n ) , si cada xi es función de una sola variable t , entonces se

t

dw w dx1 w dx 2 w dx n    ......  dt x1 dt x 2 dt x n dt

t

TEOREMA. REGLA DE LA CADENA. DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

15

Sea w  f ( x, y ) una función diferenciable de x y y . Si x  g ( s, t ) y y  h( s, t ) y existen x x y y w w las derivadas parciales s , t , s y t entonces s y t existen también y vienen

dadas por :

w w x w y   s x s y s





x

w

w w x w y   t x t y t



y



s t s t

Si

w  f ( x1 , x 2 ,......, x n ) , si cada xi es función de dos variables s y t , entonces se tiene: w w x1 w x 2 w x n    ......  t x1 t x 2 t x n t w w x1 w x 2 w x n    ......  s x1 s x 2 s x n s

FUNCIONES IMPLICITAS. DERIVADA IMPLICITA. Supongamos que F ( x, y )  0 define a y de manera implícita como una función derivable de x es decir, y  f (x ) , donde , F ( x, f ( x))  0 x  Df Si F es diferenciable, podemos aplicar la regla de la cadena para diferenciar ambos lados de la función F ( x, y )  0 con respecto de x . Puesto que x y y son funciones de x dy Tenemos dx es:

16

F dx F dy  0 x dx y dx

dx 1 dx

F F dy  0 x y dx F dy F  y dx x F dy   x F dx y

si

F 0 y

dy Fx  dx Fy Ahora supongamos que z está dada de manera implícita como una función z  f ( x, y )

por una ecuación de la forma

F ( x, y, z )  0 . Esto significa que

F ( x, y , f ( x, y ))  0 ( x, y )  Df . Si F es diferenciable y Fx y Fy existen, entonces

podemos usar la regla de la cadena para definir la ecuación F ( x, y, z )  0 con respecto de

x y y quedando. z Fx  x Fz

z Fy  y Fz

Fz  0

SISTEMA DE FUNCIONES IMPLICITAS. Consideremos el siguiente sistema  F ( w, x, y , z )  0   G ( w, x, y, z )  0 Si este sistema tiene solución, entonces es posible expresar dos de las variables en función de las otras dos. Supongamos que w y z son funciones de x y

y , es decir,

w  f ( x, y ) y z  g ( x, y ) . Entonces el sistema puede escribirse como:

17

 F ( f ( x, y ), x, y, g ( x, y ))  0   G ( f ( x, y ), x, y , g ( x, y ))  0

z w w z Usando la regla de la cadena es posible hallar x , y , x y y . JACOBIANO DEFINICIÓN

de

u,v

Si

x=g(u , v )

e

y=h (u , v ) , el Jacobiano de

x ,y respecto

 ( x, y ) que se denota por el símbolo  (u , v) , es x u  ( x, y ) y  (u , v) = u

x v x y y x   y u v u v v

EJERCICIOS. 1.- Hallar la derivada direccional de la función

f ( x , y ) =x3 − y 3 , en el punto

P(3,4)

√2 en la dirección del vector ⃗v = ( i⃗ + ⃗j ) . 2 2.- Hallar la derivada direccional de la función

F ( x , y ; z )=ln ⁡( x+ y+ z) , en el punto

PQ , donde Q es (4,3,1) . P(1,0,0) en la dirección ⃗

3.- Hallar la derivada direccional de la función

F ( x , y )=ln ( √ x2 + y 2 )

en el punto

P(1,1) en la dirección del vector ⃗v =bisectriz del 1º cuadrante

4.- Hallar la derivada direccional de la función dada en el punto P(0,0) en la dirección del vector ⃗v =( cos θ , sin θ ) ∀ θ

{

x y2 , ( x , y ) ≠(0,0) f ( x , y ) = x 2+ y 4 0 ( x , y ) =(0,0)

5.- Hallar el valor de las constantes f ( x , y , z )=ax y 2+ by x 2−c z 2 x 3−2 bx+ az

a,b y c

tal que la derivada del C.E

tenga en el punto

P (1,2,−1 )

derivada 18

direccional máxima de

√ 6 , en la dirección del vector normal a la superficie

2 xy −x 2+ z= y 2+ z 2− y −1 en el punto Q (−1,0,1 ) . (x , y )

6.- La temperatura en el punto T ( x , y )=

de una placa metálica está dada por la ecuación

x . Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto x + y2 2

P(3, 4)

7.- El capitán América se encuentra en el lado soleado del planeta Mercurio y notó que su traje espacial se fundía. Si la temperatura en un sistema de coordenadas viene dada por T ( x , y ) =e−x + e−2 y +e−3 z

y el capitán se encuentra en las coordenadas (1,1,1). ¿En qué

dirección deberá moverse con el fin de enfriarse lo más rápido posible? ¿Cuál es la mínima razón de cambio de la temperatura en ese punto? 8.- En un sistema de coordenadas rectangulares la temperatura T en una esfera metálica es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la esfera, que es el origen de coordenadas. Si la temperatura en P(1,2,2) es 120º. Encuentre la razón de cambio T en P(1,2,2) en la dirección que va hacia el punto Q(2,1,3) y diga además cuánto es la máxima variación de la temperatura. 9.- Hallar el valor de las constantes α, β, y γ, tal que la derivada del campo escalar 2

2

F ( x , y , z ) =∝ xy + βyz +γz ye

3

en el punto P(1,2,-1) tenga un valor máximo de 64 en la

dirección paralela al eje z. 10.- Un campo escalar

f : R2 → R

con derivadas parciales continuas, tiene en el punto

P(1,3) las derivadas direccionales: 3 en dirección al punto A(3,3) y 26 en dirección al punto B(1,7). Encontrar la derivada direccional de f en P en dirección al punto C(6,15). 11.- Verifique que la función f ( x , y ) =

x+ y x2 + y2

satisface la ecuación de Laplace :

∂2 f ∂ 2 f + =0 ∂ x2 ∂ y2 12.- Mostrar que la función u= ( x−at )2 + ( x +at )3 , es solución de la ecuación de onda: 2 ∂2 u 2∂ u =a ∂ t2 ∂ x2

19

2

2

f ( x , y ) =e−α k t sen ( kx ) , es una solución de la ecuación de

13.- Verifique que la función

2 ∂f 2 ∂ f =α ∂t ∂ x2

calor:

14.- En cada uno de los siguientes casos hallar a.- f ( x , y ) =

x y

x=e t

donde

b.- f ( x , y , z )=xyz c.- f ( x , y ) =x y

df dt

y=lnt

x=t 2+1

donde

x=sent

donde

aplicando la regla de la cadena.

y=lnt

y=cost 2

∂f ∂ f = =0 ∂θ ∂ φ

15.1.- Si

f (u , v , w)

demuestre que 16.- Hallar

∂f ∂u

u=x − y ,

es diferenciable y

2

{

2

w=f ( x + y + z ) y

15.- Probar aplicando regla de la cadena que si

entonces:

z=tan t

v = y−z

x=ρcosφcosθ y=ρcosφsenθ z=ρsenφ

w=z−x

y

∂f ∂f ∂f + + =0 ∂x ∂ y ∂z y

∂f −1 y , si f ( x , y ) =tan ∂v x

y

{x=usenv y=ucosv

17.- Una partícula se mueve en el espacio tridimensional de manera que sus coordenadas en cualquier tiempo son

x=4 cost ,

y=4 sent

y

z=5 t . Con t ≥ 0 . Emplee la regla

de la cadena para encontrar la tasa a la cual su distancia origen esta cambiando en t=

5π 2

18.- Dado el siguiente sistema

{

de

x

y

y , probar que

funciones de u

a partir del

seg 2

2 x=u + v y =uv

2

∂v −v = 2 2 ∂ x u −v

19.- Dado el siguiente sistema

w=√ x2 + y 2 + z 2

y =uv {xyx+=u−v

y v , probar que

, y suponiendo que u

y v son funciones

con u2−v 2 ≠ 0 , y suponiendo que

x

y

y

son

∂ y 1−vy = ∂u x− y 20

20.- Si

2

2

2

z=f (x , y )

con

F ( ax +by +cz ) =( x + y + z )

implícita probar

∂z ∂z ( cy −bz ) + ( az−cx )=bx−ay ∂x ∂y 21.- Si

F ( a x 2 +b y 2 +c z 2 )=sen (x+ y+ z )

con

z=f (x , y )

implícita probar

∂z ∂z ( cz −by ) + ( ax−cz )=by−ax ∂x ∂y 22.- Si

además

P=

RT α − V −β V 2

R,α y β

, con

P

presión,

constantes, probar que:

T

V

temperatura y

∂T ∂ P ∂ V =−1 ∂ P ∂ V ∂T

volumen y

, (que representa una

relación usada en la termodinámica) 23- El radio de un cono circular recto está creciendo a razón de 6 cm por minuto, mientras su altura decrece a razón de 4 cm por minuto. ¿Cuál es la razón de cambio del volumen y del área cuando el radio es 12 cm y la altura 36 cm?

1 2 V = π r h , s=πr √ h2+ r 2 3

24- En un instante dado, la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es 15 cm y está aumentando a la rapidez de 2 cm/min y la longitud del otro cateto es de 17 cm y está disminuyendo a la rapidez de 2 cm/min. Encontrar la rapidez de cambio de la medida del ángulo opuesto al cateto de longitud 15 cm en el instante dado. 25.- El lado marcado marcado

x

del triángulo de la figura aumenta a razón de 0,3 cm/sg, el lado

y aumenta a razón de 0,5 cm/sg, y el ángulo comprendido

θ

crece a razón

de 0,1 rad/sg. Aplique la regla de la cadena para encontrar la razón de cambio del área del triángulo en el instante en que

x=10 cm , y =8 cm y

θ=

π 6

26.- El voltaje V en un circuito eléctrico simple disminuye lentamente conforme la batería θ se agota. La resistencia R aumenta despacio a medida que el resistor se calienta. Utilice la y Ley de Ohm V = IR para calcular cómo cambia la corriente I en ese, momento, cuando R = 400 Ω , I=0.08A, el voltaje disminuye a razón de 0,01 V/s y la resistencia aumenta a razón de 0.03 Ω/ s 21

y 27.-Determinar si la función z  e

6y

2

4

f ( x 5  3 y 2  1) satisface a la ecuación

z z  5x 4  10 x 4 yz x y

z z y y 28.- Diferenciar implícitamente para encontrar x 2 3 3 2 a) xy z  x y z  x  y  z

d)

tg ( x  y )  tg ( y  z )  1

2 2 3 y z b) x y  z  cos xyz  4 c) x e  ysen( x  z )  0

2 2 e) x ln y  y z  z  8

f) x  sen ( x  z )  0

EXTREMOS RELATIVOS Uno de los usos más importantes del cálculo está en la optimización. En esta época, las plantas de manufactura deben maximizar la calidad de sus productos minimizando los defectos. Para diseñar naves más y más eficientes, los ingenieros deben minimizar el peso de una estructura, al tiempo que maximizan su resistencia. De esta manera hay infinitos problemas de optimización. DEFINICIÓN MÁXIMOS Y MÍNIMOS Si f es una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo en (a, b) si f(a, b)  f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define de manera análoga. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de otro corte.

PUNTOS CRÍTICOS DEFINICIÓN

El punto  a, b  es un punto crítico de la función f ( x, y ) , si  a, b 

f f f f ( a, b)  ( a, b)  0 y y y no existen. esta en el dominio de f , y o bien x , o bien x

22

Si f (a, b) es un extremo relativo (máximo o mínimo), entonces  a, b  debe ser un punto crítico de f . Sin embargo; aunque los extremos relativos pueden ocurrir solamente en los puntos críticos, todo punto crítico no corresponde necesariamente a un extremo relativo. Por esta razón se dice que los puntos críticos son candidatos a extremos relativos. TEOREMA Si f (x , y ) tiene un extremo relativo en

(a , b) , entonces

(a , b) debe ser un

punto crítico de f TEOREMA. CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS Suponga que f ( x, y ) tiene segundas derivadas parciales continuas en algún disco abierto que contiene al punto  a, b  y que fx a, b   fy a, b   0 . Se define el discriminante D para el punto  a, b  mediante D a, b   fxx(a, b) fyy(a, b)   fxy(a, b)

2

Si D a, b   0

y

fxx(a, b)  0 , entonces f tiene un mínimo relativo en  a, b 

Si D a, b   0

y

fxx(a, b)  0 , entonces f tiene un máximo relativo en  a, b 

Si D a, b   0

, entonces f tiene un punto de silla en  a, b 

Si D a, b   0

, entonces no se puede sacar conclusión alguna.

Sea P  a, b  un punto crítico de una función z  f ( x, y ) con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea H  a, b  el determinante de su matriz Hessiana, entonces:

H ( a, b ) 

 2 f  a, b   2  x  

 



2 f  a, b  xy

2 f  a, b  yx

2 f  a, b  y 2



2 2 2    f  a , b   f  a, b     f  a , b      x 2 y 2  xy 

2

 

Entonces H ( a, b)

fxx a, b 

Tipo 23

Positivo

Positivo

Mínimo

Positivo

Negativo

Máximo

Negativo

Punto de Silla

Cero

No se concluye nada Es decir, si el Hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da fxx a, b  , si es

negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el Hessiano es negativo no hay extremo. Y si el Hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método) MÁXIMO ABSOLUTO Y MÍNIMO ABSOLUTO DEFINICIÓN Se llama a f  a, b  el máximo absoluto de f en la región R , si f  a, b   f ( x, y ) para todos los ( x, y )  R . De modo similar, llamamos a f  a, b  el mínimo absoluto de f en la región R , si f  a, b   f ( x, y ) para todos los ( x, y )  R . En tales caso  a, b  se llama un extremo absoluto de f . TEOREMA. VALOR EXTREMO. 2 Suponga que f ( x, y ) es continua sobre la región cerrada y acotada R  R .

Entonces, f tiene tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto en R . Además, los extremos absolutos deben ocurrir en un punto crítico de R o en la frontera de R . EJERCICIOS. 1.- Dada la función f(x,y), determinar y clasificar todos los puntos críticos. a.- f ( x , y ) =x2 y + x y 2−3 y 2 −3 x 2−9 xy +18 x +18 y−27 b.- f ( x , y ) = y 3+ 3 x 2 y−3 x 2−3 y 2+ 4 c.- f ( x , y ) =x2 + y 2 + xy−3 x−6 y+1 24

d.- f ( x , y ) =( 2−x ) ( y 2−1 ) ( x− y −1) e.- f ( x , y ) =x2 + 4 y 2 + y 3−2 xy f.- f ( x , y ) =−2 x 3+ x y 2 + x 3

f ( x , y ) =( x 2+ y2 −1 ) (x− y )

g.- f ( x , y ) =x3 + y 3 −3 x 2−3 y 2 −9 x 2

2

h.- f ( x , y ) =x + y +

2 xy

2 4 i.- f ( x , y ) =xy− − + 8 x y j.- f ( x , y ) =( x 2+ y2 −1 ) ( x−1 ) y k.- f ( x , y ) =x3 + y 3 −3 x 2−3 y 2 −9 x 2.- Calcule los valores máximos y mínimos de f sobre el conjunto D. a) f ( x, y )  5  3 x  4 y , D es una región triangular cerrada, con vértices (0,0); (4,0) y (4,5). 2 2 b) f ( x, y )  x  2 xy  3 y , D es una región triangular cerrada, con vértices (-1,1); (2,1) y

(-1,-2). 2 2 2 c) f ( x, y )  x  x y  y  4 ,

d) f ( x, y )  1  xy  x  y

D =   x, y  / 0  x  9; 0  y  5

2 y D es una región acotada por la parábola y  x

y la recta

y=4 e) f ( x, y )  3 x  4 y , 2 2 f) f ( x, y )  x  y ,

D    x, y  / 0  x  1;  1  y  1 D    x, y  /  1  x  3;  1  y  4

2 2 g) f ( x, y )  x  6 x  y  8 y  7 ,





D   x, y  / x 2  y 2  1

25

MÉTODOS DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. El método establece una ecuación en función de las condiciones o restricciones que debe cumplir la función, en todo caso se resuelve una ecuación vectorial llamada ecuación de Lagrange. Considerando una restricción. Para cuando la función

f  x1.x2 ,..., xn 

debe cumplir una restricción

g  x1 , x2 ,..., xn   k

. La ecuación de Lagrange tiene la forma:

f  g , Donde f : es el gradiente de la función;

g : es el gradiente de la restricción;

 : es una constante, el multiplicador de Lagrange Considerando dos restricciones. Para

cuando

la

g  x1 , x2 ,..., xn   k

función y

f  x1.x2 ,..., xn 

h x1 , x 2 ,..., x n   k

debe

cumplir

dos

restricciones

la ecuación de Lagrange se escribe:

f  g  h , Se debe resolver el sistema de ecuaciones dadas a través de la ecuación vectorial y además la condición o condiciones formarán parte de ese sistema a resolver. Se pudiera establecer un procedimiento general para aplicar el método el cual se puede establecer así: 1 º Identificar la función de donde se desea hallar el valor máximo o mínimo, esta es la función a optimizar, a la que se desea hallar los valores extremos. 2 º Identificar la o las restricciones a cumplir por la función. 3º Hallar el gradiente de la función: por ejemplo si la función es de tres variables: f  x. y.z    fx, fy, fz 

4 º Hallar el gradiente de la restricción: g  x. y.z    gx, gy, gz 

26

5º Formar la ecuación vectorial:

f    g

o

f  g  h ,

para

cuando hay una o dos condiciones a cumplir respectivamente. 6º Formar el sistema de ecuaciones que incluya la o las restricciones. 7º Determinar todos los valores x, y, z y λ que satisfagan el sistema de ecuaciones ( f  g y g  x, y, z   k ). Formar todos los puntos posibles. 8º Evaluar todos los puntos  x, y, z  del resultado anterior en la función f  x, y, z  . El mayor de los valores será el valor máximo de la función y el más pequeño es el valor mínimo de la función. EJERCICIO 1.-

Suponga

que

la

temperatura

de

una

lámina

de

metal

está

dada

por

T ( x, y )  x 2  2 x  y 2 para puntos ( x, y ) de la lámina elíptica definida por x 2  4 y 2  24 . Halle las temperaturas máxima y mínima de la lámina. 2.- Para un negocio que fabrica 3 productos, suponga que al fabricar x, y, z miles de unidades de los productos la utilidad de la compañía (en miles de dólares) se puede modelar mediante P ( x , y , z )=4 x+ 8 y+ 6 z .

Las

restricciones

de

manufactura

exigen

x 2+ 4 y 2 +2 z 2 ≤ 800 . Halle la utilidad máxima de la compañía. 3.- Determine las dimensiones de una caja rectangular con el máximo volumen, si la 2 superficie total deberá ser de 64 cm .

4.- Calcule el máximo de la función

f ( x , y , z )=x+ 2 y +3 z

intersección del plano x− y + z=1 con el cilindro

sobre la curva de

x 2+ y 2 =1 .

5.- ¿Cuál es la máxima área que puede tener un rectángulo si la longitud de su diagonal es 4? 6.- Determine los valores máximos y mínimos de

f ( x , y ) = y 2−x 2

sobre la elipse

x2 2 + y =1 4 7.- Determine la distancia más cercana de la recta y = 3-2x al origen. 8.- Encontrar los puntos sobre la superficie

x 2−2 z + y 2 +1=20−z 2−4 x

que estén más

alejados y más cercanos al punto de coordenadas Q(0,-1,2). 27

9.- Determine las dimensiones de un cilindro circular recto con volumen máximo si el área de su superficie es de 24π (unidades de longitud cuadradas). 10.- Se desea fabricar una caja de cartón donde el material de los lados y la tapa es de Bs 1/metro cuadrado y el costo del material del fondo es de Bs 3/ metro cuadrado. Determine las dimensiones que debe tener la caja para que su volumen sea de 2 metros cúbicos y su costo sea mínimo. 11.- Encuentre el punto sobre la curva C de intersección del cilindro x+ y+ 2 z=4

xz . Encuentre el punto sobre C que es

que esta más alejado del plano

más cercano del plano

xz

12.- Determinar los extremos de la función 2

restricciones

2

2 2 x + z =1 y el plano

2

x y z + + =2 4 9 1

y

2

2

f ( x , y , z )=x + y +z

2

, sujeta a las

z=1

13.- Determinar los extremos de la función

f ( x , y , z )=x 2+ y 2+ z 2 , sujeta a la restricción

g ( x , y , z )=z 2−xy −1 14.- Encuentre El volumen máximo y mínimo de una caja rectangular cuya superficie es de 1500 cm 2 y cuya longitud total de sus aristas es de 200 cm. 15.- Se lanza un cohete con una fuerza propulsora constante correspondiente a una u pies /sg2 . Descartando la resistencia del aire, la altura del cohete

aceleración de después de

t

segundos está dada por

combustible para

t

1 2 f ( t ,u ) = ( u−32 ) t 2

segundos es proporcional a

pies. El gasto de

2 u t , de modo que la capacidad

limitada del combustible del cohete puede expresarse mediante una ecuación de la forma 2

u t=10.000

. Halle el valor de u que maximiza la altura alcanzada por el cohete.

16.- Un depósito cilíndrico recto está coronado por una tapa cónica. El radio del depósito es de 3 m y su área de superficie total es de 81

π m2 . Calcule las alturas

manera que el volumen del depósito sea máximo.(Sugerencia: 1 V co = π r 2 h 3

,

x

y y

de

A co =πr √ r 2 +h2

,

A ci =2 πr h+ π r 2 V ci =π r 2 h )

28

17.- Se desea diseñar una caja de cartón en forma de cilindro circular recto con tapas que tenga un volumen de 2000 π

cm 3 . ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja de

modo que el costo del cartón necesario para construir la caja sea mínimo? A=2 π r 2+ 2 π rh

,

V =π r 2 h

a b c 18.- Determine tres números positivos x, y y z cuya suma sea 100 y tales que x y z sea

máximo.

29