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Matemática III

semestre marzo-julio-06

Recordar: Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una función desconocida (incógnita, variable dependiente) y una o más de sus derivadas. Dependiendo de cómo sea el tipo de función (una o dos variables), las ecuaciones diferenciales se clasifican en ordinarias y parciales. Se llama ecuación diferencial ordinaria si la función incógnita, es una función de una única variable y las derivadas son ordinarias. Las ecuaciones diferenciales se clasifican a su vez de acuerdo al orden y el grado. El orden lo establece la derivada más alta en la ecuación. El grado lo determina la potencia mas alta a la que está elevada la derivada de mayor orden (supuesta ordenada en forma polinómica en cuanto a derivadas). Se llama ecuación diferencial ordinaria si la función incógnita, es una función de una única variable y las derivadas son ordinarias. Por ejemplo: La ecuación diferencial ordinaria La ecuación diferencial ordinaria

d2 y dx

2

+

dy + y = ex dx

donde y = f(x)

dx = x(t) dt

Soluciones de las ecuaciones diferenciales: Resolver una ecuación diferencial significa, hallar la función que satisfacen dicha ecuación. Se dice que f es solución de una ecuación diferencial si al sustituirla en la ecuación, ésta se reduce a una identidad. Soluciones generales y particulares: El conjunto de todas las soluciones de una ecuación diferencial se llama solución general. La solución general de una ecuación diferencial de orden n, es una solución que contiene n constantes de integración arbitrarias. Una solución particular es una solución que se obtiene a partir de la solución general dando valores específicos a las constantes arbitrarias. Una condición de la forma y = y0 cuando x = x0 se llama condición de frontera. El caso especial y = y0 cuando x = 0 se llama condición inicial. Una solución (general o particular) se puede escribir implícita o explícitamente. La

Elaborado por: Elsa Guédez

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solución general representa gráficamente una familia de curvas solución, una por cada solución particular. Ecuaciones diferenciales de primer orden: Las ecuaciones diferenciales también se clasifican de acuerdo al método de resolución. En general una ecuación diferencial de primer orden y primer grado tiene la forma dy/dx= F(x,y) o bien M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0. Si F(x,y) es función de dos variables, entonces puede ser clasificada como, separable, homogénea, exacta, lineal en una variable. Ecuaciones diferenciales de variables separables: Si la ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 puede escribirse en la forma M(x)dx + N(y)dy = 0 donde la función M es sólo función de x y N es sólo función de y, se dice que es separable (o de variables separables). Para resolver dicha ecuación escribimos M(x)dx = - N(y)dy e integramos en ambos lados de la ecuación. Entonces si H es antiderivada de M y G lo es de N, la solución está dada por H(x) + C1 = G(y) + C2 . Como C1 - C2 es una constante arbitraria, podemos sustituir por C y así obtenemos la solución H(x) = G(y) + C. Ecuaciones diferenciales homogéneas: Si en la ecuación diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, las funciones M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado, o bien, si escrita en la forma dy/dx = F(x,y), la función F(x,y) es una función homogénea de grado uno, entonces se dice que la ecuación diferencial es homogénea. Definición de función homogénea: La función f(x,y) es homogénea de grado n si f(tx,ty) = tn f(x,y) , donde n es un número real. Solución a las ecuaciones diferenciales homogéneas: Una ecuación diferencial homogénea se puede transformar en una ecuación diferencial separable, mediante la sustitución: y = ux;

dy du = u+x dx dx

o bien,

x = uy;

dx du = u+y dy dy

Ecuaciones diferenciales de orden superior:

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Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

dny =X dx n

En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar

El proceso anterior se repite (n-1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias

Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden: El objetivo es que el estudiante sea capaz de reconocer y resolver una ecuación diferencial lineal de segundo orden, a partir de algunas cualidades de la ecuación. Es necesario que el estudiante recuerde: ¿Cómo se determinan las raíces en una ecuación de segundo grado? ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado y que forman tienen? Algunos conceptos básicos de números complejos En general, una ecuación diferencial lineal de orden n tiene la forma: an(x)y (n)

(n − 1) +an− +.......... 1(x)y

........a

1(x)y

'

+a0(x)y

=F(x )

donde los coeficientes an, an-1,.......a0 son funciones de x. Si F(x) = 0, se dice que la ecuación es homogénea; en caso contrario, se llama no homogénea. Cuando los coeficientes an, an-1,.......a0 son constantes, la ecuación se llama ecuación diferencial lineal de orden n y de coeficientes constantes. En particular, cuando n = 2, la ecuación diferencial se escribe: y” + ay’ + by = F(x), donde a y b son constantes y se llama ecuación diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes. Solución a la ecuación diferencial lineal homogénea y” + ay’ + by = 0

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¿Que forma tiene la solución de esta ecuación?

La solución de tal ecuación es de la forma: y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) donde y1(x) e y2(x) son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal y” + ay’ + by = 0 , C1 y C2 son constantes arbitrarias. Las funciones y1(x), y2(x) son linealmente independientes si la única solución de la ecuación C1y1(x) + C2y2(x) = 0 es C1 = C2 = 0. De manera que si dos soluciones son independientes se puede obtener una solución general de y” + ay’ + by = 0, mediante una combinación lineal de las soluciones. ¿Cómo se obtienen las soluciones independientes? Si se ensaya una solución de la forma y = emx, entonces y’ = memx , y “ = m2emx , de modo que, sustituyendo en la ecuación y” + ay’ + by = 0, se tiene que: m2emx + a memx + bemx = 0

o

bien

emx (m2 + am + b) = 0

Como emx ≠ 0, y = emx es una solución si y solo si m2 + am + b = 0. Esta última ecuación se llama ecuación característica, asociada a la ecuación diferencial. Así, obtenemos que las soluciones de la ecuación diferencial y” + ay’ + by = 0, vienen determinadas por la forma de las raíces de la ecuación característica, m2 + am + b = 0, de la siguiente manera: Forma de raíces para: m2 + am + b = 0 Caso 1: Raíces reales y distintas: m1 ≠ m2

Forma de solución para: y” + ay’ + by = 0 y = C1em1x + C2em2 x y = C1em1x + C2xem1x

Caso 2: Raíz única real, m1 = m2 Caso 3: Raíces complejas conjugadas, (m1 = α + iβ , m2 = α - iβ )

y=e

αx

[C1cos(βx) + C2sen(βx)]

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Aplicaciones a la Biología: Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación. La razón de crecimiento depende de la población presente en período de procrear, considerando las tasas de natalidad y de muerte, el modelo que representa dicha situación es: dQ = KQ , donde Q(t): población en el instante t. dt

Crecimiento Biológico: Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. Problemas de Epidemiología: Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia. Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantes infectados. Elaborado por: Elsa Guédez

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Aplicaciones a la Economía: En años recientes ha habido un interés creciente por la aplicación de las matemáticas a la economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores impredecibles, tales como decisiones psicológicas o políticas, la formulación matemática de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser probado a la luz de la realidad.

Oferta y Demanda Suponga que tenemos un bien tal como trigo o petróleo. Sea p el precio de este bien por alguna unidad especificada (por ejemplo un barril de petróleo) en cualquier tiempo t. Entonces podemos pensar que p es una función de t así que p(t) es el precio en el tiempo t. Aplicaciones a la Química: Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Una solución es una mezcla de un soluto (que puede ser líquido, sólido o gaseoso), en un solvente que puede ser líquido o gaseoso. Tipos de mezclas o soluciones: i) Soluciones líquidas cuando disolvemos un sólido o un líquido en un líquido. ii) Soluciones gaseosas cuando se disuelve un gas en un gas. Ecuación de Continuidad: Tasa de acumulación = Tasa de entrada - Tasa de salida.

Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario Considere una pieza de material de longitud indefinida acotada por dos planos paralelos A y B, como muestra la figura a.1. Asuma que el material es uniforme en todas sus propiedades, por ejemplo, calor específico, densidad, etc. Supóngase que los planos A y B se mantienen a 50°C y 100°C, respectivamente. Todo punto en la región entre A y B alcanza cierta temperatura que no cambia posteriormente. Así todos los puntos en el plano C en la mitad entre A y B estarán a 75°C; el plano E a 90°C. Cuando la temperatura en cada punto de un cuerpo no varia con el tiempo, decimos que Elaborado por: Elsa Guédez

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prevalecen las condiciones de estado estacionario o que tenemos un flujo de calor en estado estacionario. Aplicaciones a la física:

Movimiento Armónico Simple: Caída libre Caída con resistencia del aire. Cuerpos con masa variable. Cuerpos en campo gravitacional variable.

Segunda Ley de Newton: Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:

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Los siguientes problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales, sólo serán un complemento de los muchos, que cada estudiante pueda hacer, de guías o libros que tenga del semestre anterior (Matemática II).

Problemas y ejercicios de Ecuaciones Diferenciales ordinarias: 1. Determine cuáles son ecuaciones diferenciales ordinarias y cuáles no. En caso de serlo indique el orden y grado de la ecuación. Ecuación diferencial

Ordinarias

Orden

Grado

2

 d3y   2    − 6x d y  − 3y dy  = y2  dx3   dx2   dx      2

3  ∂3u    + u  ∂u  − x2u - 15 = 0  ∂x3   ∂x    2  d4y    + x2 d y + xy dy = 100y  dx 4  dx dx2   4

 2   d4y    − 6x d y  − 3y dy  = 0  dx 4   dx2   dx      d2 y

2

 dy  +  +y =0 2  dx  dx

2. a) Demostrar que las funciones x = -t – 1 y x = et – t – 1 son dos soluciones de la ecuación diferencial dada. b) Demostrar que x = Cet – t – 1 es solución para todo valor de t y para cualquier constante C. c) Probar que x = et – 1 no es solución. 3. Sea la ecuación diferencial x

dy = 2y dx

a) Demostrar que y = Cx2 es la solución general para cualquier C. b) Hallar la solución particular con la condición y(2) = 1. c) Dibujar algunas curvas solución de la ecuación diferencial

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4. Verificar que las soluciones generales dadas, satisfacen las ecuaciones diferenciales dadas. Obtener la solución particular que satisfaga las condiciones iniciales dadas. a) 2x2 + 3y2 = C ; 2x + 3yy’ = 0 ;

y = 2 en x = 1

b) y = C1 + C2Lnx ;

y = 5 , y’ = ½ en x = 1

c) x2 + y2 = Cy

xy” + y’ = 0 ;

;

d) y2 = Ax2 + Bx ;

;

y = 2, y’ = 1 cuando x = 1

e) y = C1sen(3x) + C2cos(3x) ;

y” + 9y = 0 ; y = 2, y’ = 1 cuando x = π/6

f) y = 6/5 – (6/5) e-20t y’ + 20y = 24, g) y = C1x + C2x3 ;

x2y” – 3xy’ + 3y = 0 ; y = 0 e y´= 4 cuando x = 2

h) y2 = Cx + 1/8C3 ; y = 2xy´ + y2(y’)3

; y’ = 1

cuando

x=0

5. Probar que la función f(x,y) = x2y – 4x3 + 3xy2 es homogénea de grado 3. 6. Probar que la función f(x,y) = x + y2 no es homogénea 7. Comprobar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas o no. a) 3x2dx – 2ydy =0 b) 2xydx – (x2 + y2) dy = 0 8. a) Halle una función M(x,y) de modo que la ecuación diferencial M(x, y)dx + (2xe2y − xcos(y) + 2y)dy = 0 sea exacta. Resuélvala. b) Determine K y la función f (y) de modo que f (0) = 1 y la ecuación diferencial (3x2y + f(y))dx + (Kx3 + 1 + xcos(y))dy = 0 sea exacta. Halle la solución general. 9. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: Ecuaciones diferenciales lineales en una variable:

dy

2 a) x dx − 2y = x 1

b) x3y' + 2y = e x 2 dy

1

c) dx = x + y2

para

y(−2) = 0

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d) dy + (-3x2y – x2)dx = 0 dy

e) dx + 2xy = 4x f) x

dy − 4y = x6 ex dx

g) t

dy + 2y = t dt

, t > 0 , y(1) = 0

h)

dy + 3x2y = 6x2 dx

i)

dy 3x + 2y = dx x

−2 x j) y '+3 y = x + e 2 2x k) y '−2 y = x e

l)

y '+ y = xe − x + 1

m) y '+

1 y = 3 cos 2 x, x >0 x

x n) y '− y = 2e

o) xy '+2 y = senx , x > 0 p) y '+2 xy = 2 xe − x

2

2 2 −2 q) (1 + x ) y '+4 xy = (1 + x )

Ecuaciones diferenciales separables y homogéneas: dy = xy dx 2 y2 − 1 yex dx + dy = 0 x

2 a) (x + 4)

b)

con la condición inicial y(0) = 1

c) y2dx – (1 – x)dy = 0 d)

dy 3x + 2y = dx x

e) (x2 – y2)dx + 3xydy = 0 Elaborado por: Elsa Guédez

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f) (y2 – xy)dx + x2dy = 0 g) (xey/x + y)dx = xdy , y = 0 dy

cuando

x=1

xy + y

h) dx = x + xy i)

dy xy + y = dx x + xy

j) y(x2 + 6)dy + x(y2 + 1)dx = 0 ,

y = 3 cuando x = 0

k) -y2dx + x((x + y)dy = 0 l) ( x + y ) y ' = x − y 2 2 m) 2 xyy ' = x + 2 y 1/ 2 n) xy ' = y + 2( xy ) 2 3 dy x x − 3 = o) dx y2

Ecuación diferencial exacta: a) (2x + y)dx + (x + 2y)dy = 0 b) y.exydx + (3 + x.exy )dy = 0 c) (2xy – 3x2)dx + (x2 – 2y)dy = 0 d) (e2y – ycos(xy))dx + (2x.e2y – x cos(xy) + 2y)dy = 0 e) (y2 + 1)(dx/dy) + 2xy = y2. Hallar una solución particular para y=-1 si x = 0. Otras ecuaciones diferenciales (variadas): A. Encuentre las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas: a)

dy 1 + x = dx 1 + y

2 b) x

dy = 1− x2 + y2 − x2 y2 dx

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Matemática III c)

dy x − y − 1 = dx x + y + 3

d)

dy 2y − x + 7 = dx 4 x − 3 y − 18

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B. Encuentre las soluciones a los siguientes PV I: a)

dy = 4x 3 y − y ; dx

b) 2 y

c) x

y (1) = −3

dy = x( x 2 − 16) −1 / 2 ; dx

dy = 3 y + x 4 cos( x) ; dx

2 d) ( x + 1)

y (5) = 2

y ( 2π ) = 0

 3x 2  dy  ; + 3x 3 y = 6 x exp − dx  2 

y (0) = 1

C. Resuelva el sistema de ecuaciones:  x' = 2 x + y a)  2t  y' = x + 2 y − e

 x' = 4 x + y + 2t b)   y ' = −2 x + y En cada uno de los problemas, obtenga la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden a) y’’ – y’ -6 y = 0 b) y’’ - 4 y’ + 8 y = 0 c) y’’ + 6 y’ - 40 y = 0 d) y’’ + 22 y’ + 121 y = 0 e) y’’ - 16 y’ + 64 y = 0 f) y’’ + 10 y’ + 26 y = 0 g) y’’ + 6 y’ + 9 y = 0 h) y’’ + 3 y’ + 9 y = 0 i) y” + y’ – 6y = 0

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j) y” - 6y’ + 13y = 0 d2y = t2 k) 2 dt d 2x l) = 4 sen2t dt 2 d 2x =x m) dt 2 d2y = e 2t n) 2 dt d 2 y a2 + =0 o) dx 2 t 2 p) 5 y ' '+2 y '+9 y = 2 cos(3t ) q) y ' '−10 y '+41 y = 0 r) y ' '−6 y '+9 y = 0 s) y ' '−3 y '−10 y = 0 En cada uno de los problemas, resuelva el problema de valor inicial. a) y’’ + 3 y’ = 0 ; y(0) = 3 ; y’(0) = 6 b) y’’ + 2 y’ - 3 y = 0 ; y(0) = 0 ; y’(0) = -2 c) y’’ + 2 y’ - 3 y = 0 ; y(0) = y’(0) = 1 d) y’’ - 2 y’- 3 y = 0 ; y(0) = 0 ; y’(0) = 3 e) y’’ - 4 y’ + 4 y = 0 ; y(0) = 3 ; y’(0) = 5 f) y’’ + y’ + y = 0 ; y(0) = 2 ; y’(0) = 0 g) y’’ - 2 y’ + y = 0 ; y(1) = 1 ; y’(1) = -3 h) y’’ - 4 y’ + 5 y = 0 ; y(0) = 2 ; y’(0) = 1 i) x2 y’’ + 3 x y’ + 2 y = 0 ; y(1) = 3 ; y’(1) = 3 j) x2 y’’ + 5 x y’ + 20 y = 0 ; y(1) = 0 ; y’(1) = 2 k) x2 y’’ + 5 x y’ - 21 y = 0 ; y(2) = 1 ; y’(2) = 0 l) x2 y’’ + 25 x y’ + 144 y = 0 ; y(1) = -3 ; y’(1) = 0 m) x2 y’’ + x y’ - y = 0 ; y(2) = 1 ; y’(2) = -3 n) x2 y’’ - 9 x y’ + 24 y = 0 ; y(1) = 1 ; y’(1) = 2 o) y” + y = 0 ; Y(0) = 2 y’(0) = 3

10. Compruebe si expresión dada es solución de la ecuación diferencial. Donde sea adecuado suponga que c1 y c 2 son c constantes. a) x 2 y + y 2 = c1

solución de

2− y  b) x = ln  1− y 

solución de

2 xydx + ( x 2 + 2 y )dy = 0 y ' = (2 − y )(1 − y )

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Matemática III  x = cos t c)   y = sent

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solución

de

x + yy ' = 0

d) y = c1e 3 x + c 2 e −4 x y ' '+ y '−12 y = 0 solución

de y ' '+ y '−12 y = 0

11. Problemas de aplicación: 1. Crecimiento Biológico: Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento. Edad

Altura (pul)

Nacimiento

19.4

1 año

31.3

2 años

34.5

3 años

37.2

4 años

40.3

5 años

43.9

6 años

48.1

7 años

52.5

8 años

56.8

b) Si en un análisis de una botella de leche se encuentran 500 organismos (bacterias), un día después de haber sido embotelladas y al segundo día se encuentran 8000 organismos. ¿Cuál es el número de organismos en el momento de embotellar la leche? c) Una persona de un pueblo de 1000 habitantes regreso con gripe. Si se supone que la gripe se propaga con una rapidez directamente proporcional al numero de agripados como también al número de no agripados; determinar el número de agripados cinco días después, si se observa que 56 el número de agripados en un día es 100. d) Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 días el número N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el número 200N es Elaborado por: Elsa Guédez

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considerado como el límite saludable. A los cuántos días, después de elaborado, vence el alimento.

2. Química: a) Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.  Encontrar la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo.  ¿Cuanta sal está presente después de 10min?  ¿Cuanta sal está presente después de un tiempo largo?

b) Una Salmuera (solución de sal en agua), entra en un tanque a una velocidad v1 galones de salmuera/minuto y con una concentración de c1 libras de sal por galón de salmuera (lib. sal/gal. salmuera). Inicialmente el tanque tiene Q galones de salmuera con P libras de sal disueltas. La mezcla bien homogenizada abandona el tanque a una velocidad de v2 galones de salmuera/min. Encontrar una ecuación para determinar las libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. c) Un colorante sólido disuelto en un líquido no volátil, entra a un tanque a una velocidad v1 galones de solución/minuto y con una concentración de c1 libras de colorante/galón de solución. La solución bien homogenizada sale del tanque a una velocidad de v2 galones de solución/min., y entra a un segundo tanque del cual sale posteriormente a una velocidad de v3 galones de solución/min. Inicialmente el primer tanque ten__a P1 libras de colorante disueltas en Q1 galones de solución y el segundo tanque P2 libras de colorante disueltas en Q2 galones de solución. Encontrar dos ecuaciones que determinen las libras de colorante presentes en cada tanque en cualquier tiempo t.

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d) Una solución líquida de alcohol en agua, está constantemente circulando entre dos tanques a velocidades v2 y v3 galones/minuto. Si al primer tanque también entra una solución a una velocidad de v1 galones /minuto y de concentración c1 galones de alcohol/galón de solución y las cantidades iniciales en los tanques son P1 y P2 galones de alcohol en Q1 y Q2 galones de agua respectivamente. Encontrar dos ecuaciones para determinar los galones de alcohol presentes en cualquier tiempo en cada tanque. e) Un teatro de dimensiones 10 _ 30 _ 50mt.3, contiene al salir el público 0;1% por volumen de CO2. Se sopla aire fresco a razón de 500 mt3, por minuto y el sistema de aire acondicionado lo extrae a la misma velocidad. Si el aire atmosférico tiene un contenido de CO2 del 0;04% por volumen y el límite saludable es de 0;05% por volumen. ¿En que tiempo podrá entrar el público? f) En un tiempo t = 0 un tanque A contiene 300 galones de salmuera en el cual hay 50 libras de sal y un tanque B con 200 galones de agua pura. Al tanque A le entran 5 galones de agua/min. y la salmuera sale a la misma velocidad para entrar al tanque B y de este pasa nuevamente al tanque A, a una velocidad de 3 gal/min. Calcular las cantidades de sal en ambos tanques en un tiempo t = 1hora = 60min.

Mezclas químicas: Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo. 3. Aplicaciones a flujo de calor en estado estacionario Un tubo largo de acero de conductividad térmica k = 015 unidades cgs, tiene un radio interior de 10 cm y un radio exterior de 20 cm. La superficie interna se mantiene a 20°C y la superficie exterior se mantiene a 50°C. (a) Encuentre la temperatura como una función de la distancia r del eje como de los cilindros concéntricos. (b) Encuentre la temperatura cuando r = 15 cm y (c) ¿Cuanto calor se pierde por minuto en la parte del tubo de 20m de largo? 4. Aplicaciones a la física:

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Matemática III

semestre marzo-julio-06

a) Se lanza un cuerpo de masa m hacia arriba de la tierra con velocidad inicial v0. Suponiendo que no hay resistencia del aire, pero tomando en cuenta la variación del campo gravitacional con la altura, encontrar la menor velocidad inicial v0 que necesita el cuerpo para que no regrese a la tierra. Esta velocidad inicial v0 se le llama velocidad de escape. Un torpedo se desplaza a una velocidad de 60 millas/hora en el momento de agotarse el combustible; si el agua se opone al movimiento con una fuerza proporcional a su velocidad y si en una milla de recorrido reduce su velocidad a 30 millas/hora. ¿A que distancia se detendrá? b) En el interior de la tierra la fuerza de gravedad es proporcional a la distancia del centro, si se perfora un orificio que atraviese la tierra de polo a polo y se lanza una piedra en el orificio con velocidad v0, con que velocidad llegaría al centro? c) Una bala se introduce en una tabla de h = 10 cm. de espesor con una velocidad v0 = 200 mt/seg, traspasándola con v1 = 80 mt/seg. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad. Hallar el tiempo que demora la bala en atravesar la tabla. d) Un cuerpo que pesa 2lb. se estira un resorte 6plg. Dicho cuerpo se suelta en t = 0 desde un punto que está 8plg bajo la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4/3 pie/seg. Determine la función x(t) que describe el movimiento libre resultante. e) Un cuerpo que pesa 8lb. estira un resorte 2 pie. Suponiendo que una fuerza de amortiguación numéricamente igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema y que el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 3pie/s, determinar la ecuación del movimiento. (Ec. de segundo orden)

Elaborado por: Elsa Guédez