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M. DE GUZMAN Ph. D. (Mothemotics),The Universilyof Chicogo. Doctor en Ciencios(Motemdlicosl,UniversidodComplulenséde Modrid.

ECUACION DIFERENCIA ORDINARIA Teoría de estabilidad Y Control UI]IV.ERSIDADDE LA REPUBLICA FACI-;iTAD DE I}.IGI]NIERIA DEPAIiTAI\,IEiI']]O DE j]IIiLIOTECA DOCU.l'VIHi'.'ir\CION Y

Bl;r-if-¡rl-ii DE: / H€ 81t Ne DE iNVEI'irARIo: 6

Eo s'lz

Primera edición, 1975 ALHAMBRA'S. A. EO¡TORIAL B. E. 182 Madrtd-1.ClaudioCoello' 76 Dalegac¡ones: EnriqueGranados'6l Barcelona-8. Bllbaol4. DoctorAlb¡ñ¿na'12 Málaqa.TrinidadGrund,17 Sevilia-12.RelnaMercedes'35 i/alencta-3.Cabillers'5 México Ed¡t¡aMexicana,S. A. Méx¡co.Lucerna,84 ' DesP.f Bep. Argentina Ed¡tor¡alSiluetas,S. A. SuenoCntres. EartoloméMlt¡e' 37¡15/¡t9 Perú Edit¡aPeruana.S. R. Ltda. Lima. José Daaz,m8 n c 0523$50

@ Es propiedaddel autor. Reservadostodos los Uerechos.

lsBN 84-205-05544 Depós¡tolegal: M. 20801'1975

lmpreso en España'Printed in Spain

(1975) SeteccionesGráticas' Carretüa de Infn, km' 11'500' Madr¡d

Dedicdo a Mmía Luisa, mi mad'te,

IN DI CE GE N E R A L

Capítulos

Pdg¿t as

VIT

PRóLoco Origen

y

evolución

de

Ia

ecuaciones

de

teoría

diferenciales

Los orígenes, l. De ñnes del si8lo xvlr hasta el si8lo x¡x, 4, La primera mitad del siglo xrx, 18. La segunda mitad de¡ siglo x¡x y comienzos del siglo xx, 24. Algunas direcciones contemporáneas, 27. M é t o d os

de

i n te g ra ci ó n

...

30

...

Significación geométrica de la ecuación xr(t)=f(t, ¡(t)), 31. Ecuaciones con variables separables, 35. Ecuaciones exactas, Facto! integrante, 37. Cambio de variables, 44. Ecuación lineal, 47. Desarrollo en serie. Método de la mayorante, 49. Aprox¡mación numérlca, 55.

Teoremas

básicos

para

la

teoría

Teorema de Ascolí-A¡zelá, punto fijo, 75.

4

Existencia, parámetros

unicidad y valores

59.

de

la

59

existencia

Ap¡oximación

y prolongabilidad iniciales

de

de

funciones,

soluciones.

70.

T€oremas

Dependencia

del

de

85

El problema de Cauchy. Solución global, 86, El problena de Cauchy. Solución local, 96. Prolongabilidad de soluciones, 103. Lema de Gronwall. Dependencia de parámetros y de valores iniciales, 107. Diferenciabil¡dad respecto de parámetros. Teo¡ema de Peano, II2. Inecuaciones diferenciales. Teoremas de unicidad, ll7.

5

Ecuaciones

lineales

f28

Teorema de Elementos de análisis matricial, 128. Teoría espectral elemental. Jordan, 138. Ecuaciones lineales, 158. Coeñcientes constantes, tó6. Ecuaciones periódicas, 169.

6

Teoría

de

estabilidad.

IIIétodo

de

la

prinrera

aproxirnación

...

...

...

173

Noción de estabilidad, 173. Estabilidad de ecuaciones lineales, 177. Algunos criterios de estabilidad aslntót¡ca, 182. Estabilidad de soluciones de ecuaclones no Iineales, 188. Un teorema sobre estabilidad orbital, 197, Teoría

de

estabilidad.

El

método

directo

de

Lyapunov

2Ll

y estabilidad uniforme, Esrabilidad 212, Inestabilidad, ZZ0. Estabilidad aslntópara ecuaciones lineales con coeficientes tica, 223, La función de Lyapunov para lineales con coeficientes variables, constantes, 227. Estabilidad ecuaciones 230. El problema de Aizerman. El problema de Lurie, 233.

a

Introducción

a la

teoría

de

2r7

control

Sistemas de control, 237. El ambi€nte de la teorfa de controlr 240. Los métodos p¡üa un de üempo mfnimo de la teorfa de control, Un eiemplo. Control Zl. tren sin fricción, 243. Formulación del problema general de control de un slstema regido por ecuaciones diferenciales ordina¡ias, 249,

vtl

vi l l

INDICE GENERAL

Cepltulos

9

Págttras

Control de sistemas lineales. El principio de rnóximo de Pontryagin ... Un teorema de existenciay unic¡dad, 251. El teorema de Lyapunov, 252. El principio

de máximo

de Pont¡yatin,

25L

264.

l0

Sistemas lineales. Control de tiempo óptimo. Principio de bang-bang .., El coniunto accesible.Principio de bang-bant,272. Existenciadel control óDtimo. Principio de máximo de Pontryagin,277. Vr eiemplo, 281.

271

ll

Control de sistemas no lineales. El principio de máximo de Pontryagin. El principiode máximo,286.Demostración del lema ll,l.2, 291,

286

Bibliografía

297

Indice de ¡naterias

299

P B OLO GO

ul¡J\.ir1-l5nAD DE lA REPtiBtIef, lr r':i]l'llillllA F/!r.) :l,,Ti1r-i ll;-: i .i, to llli ' D l i P . 1 ) : 'l ': r :11'lr-)i'i \: B l l::I' IOTECI DOCLTII i':li'l' UitUGUAY IvIOliT'E\¡IDjlO

El presente trabaio está fornmdo esencialmente por eI curso de ecuaciones diferenciales que he oenido impartiendo en la Unioersidad Complutense, duronte uarios años, para alumnos de tercer curso de Licenciatura en Matemáticas, Tras un primer capítulo con algunas notas históricas sobre Ia euolución de la teoría, la obra contiene tres partes bien diferenciadas. La primera de ellas, capítulos 2 a 5, constituge el cuerpo básico de Ia teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. La intención principal que me ha guiado en la selección de materias ha sido Ia de ofrecer algunas técnicas básicas para éste g muchos otros campos del anáIisis nzatemático, tales como teoremas del punto fiio, inecuaciones diferenciales, teoría espectral, etc. Es cierto que muchos resultados en la teoría de existencia g unicidad de soluciones podrían obtenerse por métodos más económicos que los utilizados, pero pienso que es mucho más importante para la formación del estudiante de Matemáticas Ia familiarización con técnicas que han llegado a ser fundamentales en el anáIisis actual que eI mero conocimiento de resultados. La segunda parte, capítulos 6 g 7, contiene t¿na introducción a Ia teoría de estabilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias, He escogido urTos pocos teoremas bcisicos, tanto en el estudio de Ia estabilidad mediante la primera aproximación cotno ntediante el método de Lgapunou, para dar idea de las técnicas más itnportarxtes para el estudio de este campo, que está recibiendo actualmente un desarrollo tan notable gracias a los esfuerzos de ingenieros g matentáticos. La tercera parte, capítulos I a 11, se dedica a uno de los tenns de ntás interés práctico g teórico en relación con las ecuaciones diferenciales ordinarias, la teoría de control. De fumdamental alcance en la tecnología actual presenta problernas ntuA estitttztlantes para eI matemático. El desanollo que aquí se ofrece de los resultados más irnportantes de Ia teoría, eI principio de Pontrgagin y el príncipio de , euita totalmente las técnicas auanzadas de teoría de Ia ntedida g del análisis funcional, requeridas en casi todos Ios textos actuales de teoría de control. Con ello, estos capítulos sobre control, así cottto los de estabilidad, son asequibles a todo estudiante de ingeniería con una mítúma base matemática. No se ha pretendido en tnodo alguno elaborar un tnanual de aplicaciones técnicas concretes, sino presentar la iustificaciótt de aquellos principios de antbas teorías, estabilidad g control, empleados cotzstantemente en la tecno-

PROLOGO

logía modernq.Es de esperarque un conocimiento mtis profundo de estos principios influga positiuamente en sus aplicaciones. La obra, por supuesto, está inspirada en otrcs muchas sobre ecuaciones diferenciales. Quiero hacer constar mi deuda, en pmticular con las que a contitzuación se citán. (EI nombre de un autor seguido de una fecha entre corchetes hace referencia a la bibliografía que se encuentra al final del texto): BrR¡esnrx |9701, Coon¡Ncror-LrvlNsoN [955], Copp¡,r.[965], HeuN [959], H¡I-ÁNrv [966], Helrln fl967l, Hlnrrr¡eN U9641, Hnnu¡s-LnSlrrr [969], Lrr-Menxus Ll967l, Pnrnovsru [966], Po¡¡rnyec¡N-Borryexsxrr-Geuxn¡rpzrMlscrreNxo Í19621,Srrper.¡ovt1963]. Asimismo quiero hacer constar que mi interés g nti traboio en ecuacionesdiferencialesha estado siempre fuertemente inspirado por las obras y las enseñanzqsque he recibido del Prof. Arssnro Dou, c quien quiero manifestar aquí mi profundo agradecimiento. Agradezco la ayuda que he recibido de los profesores del Departamento de Ecuaciones Funcionales de la Unioersidad Complutense de Madrid, en particular de ]. FonreA, M. T. MiNÁncurz, R. MonryóN, I. PrneL, así como la agttda y estímulo de ntis estudiantes,en particular de l. Roonfcuez Plñeno. Al Departamento de Apuntes de la Facultad de Cienciasagradezcosu esfuerzo e inta'és en el trabaio de edición de una primera oersión de estas notas. Finalntente quiero hacer constar mi agradecinúento a todo eI equipo de Ed¿torial Alhambra. La colaboración con éI ha constituido para núz-arn satisfacción continua. ( Madrid, 1975. M. oE GuzttÁN. Universidad Complutense de Madrid.

I ORIGENY EVOLUCIONDE LA TEORIA DE ECUAGIONESDIFERENGIATES

]CJ U}']I]¿I,íBSIDAD DE LA REPLIBT i-\ ill \ FACrll,il¿ri D;:l lt.jGillll. DljlP.^, l.lrii /r j\1EN,l()

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DOCLrl4EliT'.\Cí()1.í Y FII')T,IOTEC j14ON'-tEVIi)UO - llRU(lr-iAY

Las notas históricas contenidasen este capítulo están en su mayor parte basadasen el apéndiceelaboradopor JuscnKEwlrscHen el texto de W. W. SrrPANovtl963l. Existen textos, como el de Incr }9271 y HenrmlN [L964], que contienen La obra histórica recientede KrtNE referenciashistóricasexactasaisladamente. Í19721contienevarios capítulosdedicadosespecialmentea narrar el desarrollo de la teoría de las ecuacionesdiferenciales. Para aquellos que se introducen por vez primera en el estudio de las ecuacionesdiferencialesparece aconsejableposponerla lectura de esta introducción histórica hasta despuésde haber leído por lo menoslos capítulos2-5.

LOS ORIGENES

Los primeros ensayosde tratamiento de ecuacionesdiferencialestuvieron lugar probablementehacia finales del siglo xvr y comienzosdel xvll, motivados por la producción de tablas de logaritmos.I. Nepren (1550-1617)empleó la siguiente interpretación cinemática en la construcciónde sus tablas:

Se considera sobre un eje 0X un móvil M que en el instante ú:0 parte de A(10?,0) con velocidad - V, siendo esta velocidad u(¿) en cada instante ú proporcional a la distancia de M a 0. Sobre otro eje 0y se considera otro móvil N que parte de 0 en el instante ú:0 con velocidad constante V. Sea r(ú) la distancia de M a 0, e y(t) la de N a 0 en el instante f. NAeTERdefinió entonces y(r) como el logaritmo de r(r), A(t):Lx(t).

Cap. l.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORTA OE ECUACTONES DTFERENCIALES

En terminologíamoderna se puede poner: r(0):107, U(0):0,

dxldt: -Vxll9l, dgldt:V,

y, así, dgldx: -I07lx,

r(0): I0r,

U(0):0

de donde resulta: U:Lx: l07log(f0?/r) Las tablas de Napier constituyen,por tanto, una solución numérica, obtenida por aproximaciones,de una ecuación diferencial de primer orden. La elecciónarbitraria de la constantel0? está basadaen la costumbrede Ia época de dar al sen¡rl2 el valor l0?. De esta forma los logaritmos de los senos de ángulos entre 0 y Tl2 eran dados en las tablas de Napier por enteros positivos. En el estudio de problemasrelacionadoscon los fenómenosnaturales ya Gnrrrao (1564-1642)y DEscenres (1596-1650)utilizaron ecuacionesdiferenciales. Al resolver el problema del espaciorecorrido por un cuerpo en caída libre, Geulno (1638)dio la medida de este espacio,s{r), como el área de un triángulo rectángulo de catetos el tiempo t y la velocidad o(t):gt. Por tanto: I

s(t):jst2 DescARtes,motivado por sus trabajosde óptica, enuncióy resolvió en 1628 el primero de los problemasllamadosde irusersíónde Ia tangente,que vinieron a desempeñarun papel muy importante en el desarrollo del cálculo y de las ecuacionesdiferenciales. Dados dos puntos fiios A, B, en el plano, se trata de obtener una curva C que los separe,de modo que si se toma cualquier punto X de la curva y se traza la normal NtNr a ella en X, se tenga:

I.I.

LOS ORIGENES

La solución de este problema, que implica la solución de una ecuación diferencial, fue dada por el mismo Descenrrs en la forma de un óvalo de cuarto orden (óvalo de Descartes),esencialmentemediante el uso del cálculo infinitesimal. Un problema típico de inversión de la tangente es el siguiente, propuesto por F. pr, Beeu¡¡e (1601-1652).Se trata de obtener una curva g:g(r), cuya subtangentes, satisfaga: t-a , Ulst:__i_i es decir, daldx:;

x-u

D¡,scnRreshizo uso de la sustitución x:--:,

xx

A:

,,/2

Y -r----:

- Q

\/2

obteniendo

dY:

dx

ar/2

problema que ya Neprnn había resuelto un cuarto de siglo antes. No disponiendo Dnscenrns de la noción de logaritmo, dio una interpretacióncinemática de las curvas solución, obteniendosus puntos como intersecciónde dos rectas que se mueven. Descenrss manifestó su opinión de que la curva es trascendente (meciínica, en su terminología) y de que no podría existir un método general para la solución de tales problemas. Sin embargo, muy poco después,la solución de estos problemas,que en realidad conducen a ecuacionesdiferencialesque admiten una separaciónde variables, fue reducida a cuadraturas.En L669, l, Brnnow (1630-1677)demostró geométricamenteque las curvas cuya subtangentes, satisface

, t@) s,tU:16 vienen determinadaspor una ecuación que se puede expresar:

I roor:I vo,o,

Cap. I.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

1.2. DE FINESDELSIGLOXVII HASTAEL SIGLOXIX El primer periodo de la historia de las ecuaciones diferenciales comienza propiamente con los trabajos de Nswrox (1642-1727) y LunHz (L646-17I6). Este periodo comprende el último cuarto del siglo xvrr y el siglo xvru. Los problemas que motivaron este desarrollo fueron el estudio de la dinámica puntual y de los cuerpos rígidos, así como ciertos problemas geométricos, conduciendo, a través de los métodos de cálculo diferencial,e integral, a los tipos más sencillos de ecuaciones de primero y segundo orden. En la primera mitad del siglo xvrrr, las ecuaciones diferenciales se convirtieron en el instrumento básico de investigación de problemas de mecánica, de geometría diferencial y del cálculo de variaciones. Al final de esta época algunos problemas físicos, como el problema de la cuerda vibrante, a{arecen formulados en forma de ecuaciones en derivadas parciales. En la sbgunda mitad del siglo xvltt tales ecuaciones en derivadas parciales encuentran amplia aplicación también en la teoría de superficies. Durante este periodo el esfuerzo se centra en el estudio de métodos particulares de solución aplicables a diferentes tipos concretos de ecuaciones diferenciales. Tales métodos trataban de expresar las soluciones mediante las funciones elementales y mediante integrales de combinaciones de ellas. A dichas integrales se aplicaban entonces métodos de aproximación. Los problemas generales de existencia, comportamiento de soluciones, puntos singulares, etc., no llegaron a considerarse. En este periodo comenzó, pues, a desarrollarse un coniunto variado de técnicas particulares que, con el tiempo, llegó a adquirir una unidad y el carácter sistemático de una teoría. NEwtoN, en Philosophiae naturalis principia mathentatica (1686), resuelve una serie de ecuaciones diferenciales. La trsegunda ley> de los Principia viene formulada así: Así, al resolver el problema del movimiento rectilíneo de un punto atraído hacia otro con una fuerza proporcional a la distancia, Nnwrox resuelve la ecuación

&x *

+k2x:0

Al tratar el problema del movimiento rectilíneo de un punto movido por una fuerza constante,en un medio que ofrece una resistenciaproporcional al cuadradode la velocidad.Npwrox resuelvela ecuación &x ¿ ¡,:n t-" \

ldx\z ¿t )

Por ninguna parte aparecen en los Principic las expresiones analíticas de dichas ecuaciones diferenciales o de sus soluciones. La presentación es puramente geométrica y procede por construcciones: sintéticas. La primera presentación puramente analítica de problemas de me-

I 2.

DE FINES DEL SIGLO XVII HASTA EL SIGLO XtX

cánica aparece publicada por Eulrn. Sin embargo, el Methodus fluxionunz et serierum infinitmum, que fue escrito por Newrox en 167l y publicado en 1736, contiene ecuaciones diferenciales en forma explícita. En el método de las fluxiones aparecen dos problemas fundamentales: a) rDada una relación entre los fluentes (corresponden a funciones), hállese la relación que satisface las fluxiones (derivadas).> b,) sin considerarla más detenidamente. Veinte años más tarde, Cr,etRAUr encontró. de nuevo por derivación, la solución singular y general de la

10

Cap. l.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACTONES OTFERENCTALES

ecuación s:(x*r)É

du

lda\' \d_)

J

y D'ALEMBEnTseñala el procedimiento general para obtener las de

.td u \ lda\ a :rv\ d . )*'\;)

También Eurrn dio con toda una serie de ecuacionesdiferencialescon soluciones singulares (1736 y siguientes).En el año 1769 seialí lo siguiente: Si una ecuación admite el factor integrante p(x,A), entonces la expresión puede proporcionar una solución singular (este hecho había sido llp(x,g):! observadoya por Conooncnr). En 1768 publicó Eurpn criterios que permiten diferenciar solucionessingularesde las solucionesparticularesde una colección de ecuaciones,comenzandocon el caso más sencillo: da:dxlQ@). Tales criterios se fundabanen el estudio de las integralesimpropiascorrespondientes. LacneNcn, en 1776, llevó a cabo una investigación más profunda del carácter de la solución singular, explicando cómo se obtiene, o bien a partir de la ecuación misma, o bien de Ia solución general por el método de variación de constantes.LecMxcE presentó también una interpretación geométricade la solución singular como envolventede la familia de curvas integralesparticulares.Los lugaresgeométricosde los puntos singulares,así como los casos en que la solución singular es al mismo tiempo solución particular, no fueron consideradospor LecneNce. Algunos resultados sobre solucionessingulares de ecuacionesde orden superior y la construcciónde ecuacionescon soluciones singularesprefijadas se deben también a Lecnexce (1781, 1801). El tratamiento de sistemasde ecuacionesordinarias fue motivado originariamente por el estudio de las ecuacionesfundamentalesde la dinámica. D'Arc¡r,lsenr llevó a cabo el estudio de sistemasde primero y segundo orden, en 1743 y 1750, aplicando el método de coeficientesindeterminadosa los sistemaslineales con coeficientesconstantes.D'AT,TMBERT eligió los factores de modo que una combinaciónlineal de las ecuacionesdel sistema tomase la forma du+kdt:0. o bien, üu+kudt2:0 EuLrR, en un trabajo de 1750 sobre oscilacionesen un medio elástico, desarrolló otro procedimiento para la integración de sistemas lineales de segundoorden con coeficientesconstantes,representandola solución buscada como combinación lineal de funciones trigonométricas. Más adelante, también Lncn¡Nce y Lrxrr,r se ocuparon del estudio de sistemas. Los problemas de mecánica celeste,en particular el estudio de los movimientos lunares, motivaron el desarrollo de procedimientosde aproximación para resolver ecuacionesdiferenciales.El método de Euler, introducido

I.2.

DE FINES DEL SIGLO XVII HASTA EL SIGLO XIX

tl

en 1768,tuvo particular importanciadesdeel comienzo.Utilizando la ecuación misma, A':f(x, g), Eunn obtenía {(xJ, {'(xi, ... de la soluciín g:g(x), Uo:U(xo),y luego a@o+h) por medio del desarrollo de Taylor. Del mismo modo, g(xo+2h), g(xs+3h), ... Este método fue despuésaplicado para proporcionar un teorema de existencia.Como era general en el siglo xvrrr, no se llevó a cabo estudio alguno sobre Ia convergenciadel proceso. EunR observó que si lr es muy pequeña,las series obtenidas en casos particulares convergen rápidamente.Extendió el método a ecuacionesde segundoorden en 1769.Para llegar al mismo objetivo también se utilizaron en gran medida desarrollos en serie. LecRlwcE, en cambio, utilizó, en 1779, desarrollosen fraccionescontinuas. Los éxitos de los matemáticosdel siglo xvlrl en la teoría de ecuaciones en derivadasparcialesfueron de menos importancia,pero en este periodo se echaron los cimientos para los desarrollos ulteriores. La consideraciónde ecuacionesen derivadasparcialesfue motivada en primer lugar por problemas de Física. Más adelante entraron en escenaproblemasde Geometríadiferencial. El trabajo en este terreno comenzó propiamentecon el estudio de las ecuacionesde segundoorden. El punto de partida fue uno de los problemas con más resonanciasen el siglo xvul, el de la cuerda vibrante. Ya Germo se había interesadopor este problema, pero el primer tratamiento matemático hacia su solución se debe a B. Tevron, en 1713-1715. Teyron establecióla existencia de una proporcionalidadinversa entre la aceleración en un punto de la cuerda que vibra transversalmentey el radio de curvatura de Ia cuerda en el mismo punto. Esto, traducido a la terminología moderna, se puede expresarmediante la ecuación

oza:a-, aza oF ax,

de las vibracionespequeñas. TAyLoR,mediante algunascondicionesmuy severas,redujo el problema a dos ecuacioneslineales ordinarias de segundo orden con coeficientesconstantes. Dedujo que una cuerda fijada a ambos extremos tiene siempre forma sinusoidal. La ecuación de la cuerda vibrante fue escrita por D'ALEMBERT en 1749 en la forma moderna

ara:_ry_ AF

0x2

El fue el primero en presentarla solución en la forma a:f@+t)+g(x-t), siendo I y g dos funcionesarbitrarias. Su tratamiento de Ia ecuación no era completo, quedando fuera de su consideraciónlas condicionesiniciales que determinan una solución. Consideró solamentelas condicionesU(0,t):0, A(l,t):o para todo f. Estas le permitían poner a :f(t + x) -f(t - x), f(z +21):f(z)

t2

Cap. I.

ORIGEN Y EVOLUCION DE LA TEORIA DE ECUACIONESDIFERENCIALES

Eursn observó, al año siguiente, que la vibración de la cuerda queda completamente determinada si además de las condiciones sobre los extremos fijos se conocen también las condiciones iniciales, posición y velocidad de cada punto de la cuerda en el tiempo ú:0. Con esto quedó esencialmente acabado el método de las características de o'Ar-EMBERT.También EureR proporcionó un procedimiento para representar geométricamente la posición de la cuerda en cada monrento. Con este estudio de la cuerda vibrante se originó la famosa controversia, de gran importancia por sus consecuencias, sobre la naturaleza de las funciones arbitrarias que aparecen en las soluciones de las ecuaciones en derivadas parciales. EUI-rR dio por supuesto que el análisis ordinario puede restringirse a la consideración de funciones acontinuasr. El concepto de continuidad de Euren tenía otro significado que el moderno, introducido por Ceucnv y Borzeno en el siglo xlx. Euren consideraba (continua)) aquella función que viene definida en todo su dominio de definición mediante una única expresión O existe 6>0 tal que para todo par xt,)cze E, l*r-*rl R"' es cotztinua en q € E cuando para todo e)0 s e v e ri f i ca: e x is t e 6 >0 t al que s i 12e E y l r2 -r1 l (E

lf(xr)-f(rr)l{e b) La función f : E -> R,, es uniforntentente continua en E cuando para se verifica: todo e)0 existe 6>0 tal que si tr1,x2€ E Y l*r-"tla8

lf(xr)- f(r')lh se tiene

(puesto que {fÍ}¡r,, es subsucesiónde {ttiD:

lfÍt*¡-f,(*)l-ffi-, Esta condición uniforme de Cauchy, como se demuestra sencillamente (hágase como ejercicio) implica que {ff } converge uniformemente a una cierta función f en [0, l), lo que demuestra el teorema.. I Ejercicio. Demuéstrese el enunciado general' del teorema siguiendo los pasos de la demostración anterior. La demostración que aquí daremos del enunciado general del teorema de Ascoli-Arzelá, resulta fácilmente como consecuencia de unos cuantos principios generales gu€, por su interés intrínseco, presentaremos separadamente. 3.1.3. Teorema. (Principio de selección de Cantor.) Sea {f¡} una sucesión infinita de fmzciones definidas en E C R" con ualores en R ' unif orme-

3.I.

TEOREMA DE ASCOLI.ARZELA

65

nrcnte acotada. Sea D C E un coniunto nunrcrable. Entonces existe una s?.tbsucesión d" Uo) que conuerge en D. y s e a l /r( r)l < .M para toda k y Dp l u o srnnc ló¡ , I . S ea D :{ e t,o z ,a t,...} toda x € E. Consideramos primero {f x@)}. Puesto que es una sucesión acotada de f,lrrr existe (teorema de Bolzano-Weiertrass) una subsucesión que converge. Sea ésta {f'rfu)}. Consideremos ahora la sucesión {f'*} y sus valores en ez, {fl,(ar)¡. Como es acotada contiene una subsucesión {fi@r)} convergente. Consideramos {fi} subsucesión de {fl }. Observemos que converge E\ a1 y az. Siguiendo así, obtenemos para cada h una sucesión {ff } subsucesión de {fi-t} que converge Err e11e2,...,e'uConsideremos ahora {ff,}. Como {fi},o¿¡¡ p?to. h fijo es subsucesiónde {/'¡} resulta que converge en dbaz,...,at,. Por tanto, lfkr) converge en todo D. Esto demuestra el teorema. I Obsérvese la generalidad de este teorema en el que no se impone condición alguna sobre E. una sucesión 3.1.4. Teorema. (Principio de propagación.) Sea {fr}É, de funciones definidas en ECR" A con oalores en R"'. Sea {f¡} equicontinua en E ll conergente en D C E, g D denso en E. Entonces {f ¡} conuerge en E. DemosrnectóN. Sea a e E. Hemos de probar que {f tfu)} converge o, lo que es equivalente, que es de Cauchy. Esto resultará de la siguiente desigualdad: Si d € D, s e t iene:

-f o@)l+lft@)-f¡@)l+Vld.)-f¡@)l lf*(a)-fla)l( lfr(rz) En efecto, fijemos e)0. Por la equicontinuidad en E existe 6>0 si ln - rl{6 se verifica, para todo /c,

[*] tal que

lfr@)-f/¿)|.+ Por la densidad de D en E, existe d e D tal que lo- al< 6. Puesto que f x@) converge, es de Cauchy, y, así, existe ko tal que si k,i>ks se tiene:

lfr@)-f¡(ül-+ Así, para a fijo y e)0 el hecho de que

fijo tomamos este ko (a través de d) y utilizando

lf*(a)-f*(Ol.+ y

=; V¡@)-f¡@)l

;resulta,si /c,i)-ko, que también

lfr(ü-f¡@l-+

Cap. 3.

TEOREMAS BASICOS PARA LA TEORIA DE l-A EXISTENCIA

Y, Por 1*1, lfo@ )-f¡@ )l,

3.2.

APROXIMACION DE FUNCIONES

7l

Entonces F es continua en R'' A su restricción a B(0, r) es f . Si se define h:R" -> R mediante

l rl(' l x l 22r

lrl :lt+(1- ))2r, O0, tal que si he R", l/rlR" solución del problema.

continua g acotada. Entonces existe al menos una

DsrvrosrnacróN l. (Basada en la aproximación de funciones, lema 4.L.2 y sea úv* la función definida en el teoreteorema 4.1.1.) Para k:1,2,3,..., ma 3.2.2. Tomamos cada componente ft' de f, y definimos una nueva función:

da f,i{t,*¡: JRU I f,,(t,x - úüv*@)

Obtenemos así f x:lto, ú,]x R" --) R" que satisfacelas siguientespropiedades (compruébense): a) Para cada i :I,2, ...,ft, ^rh dI* ,-

\t' x)

a.'

existe y está acotada en lto,tJ x R". b) La sucesión{f*} convergeuniformementea f en Íto,ttfxR". Por la propiedad c/, la función f¿ satisfacela condición de Lipschitz del teorema4.1.1(recuérdeseel ejercicio l, d), de la página 69) y, así, el problema ( r,(,¡\:f

*(t, ,po) t lr),1:r

)c(t)), t e Íto,tl

tiene solución única por el teorema 4.1.1. La propiedad b), junto con el lema anterior, implica que el problema (P) admite al menos una solución. I DrmosrneclóN 2. (Basada en el teorema de Schauder-Tychonov.) remos la ecuación integral asociada

Conside-

r(r) : fl + [' /(r, r(s))ds u to

e(fto,úrl,R"):lr(r)l LlamemosB:{r€ El, teÍto,tl} mos la transformaciónx->Tx.

y para n€B

Tx(t):fl+ f '/(r, r(s))ds tr o S e ti e n e : ft

¡rr(r)lb, entonces, para todo t e lto,ttf, f (t , a) 2 f(t,b ). P ar a dos f un c i o n e s x ,A€ G (fto ,ü rl ,R ' ) e scri bi remosx2y si para todo t € fto,tJ, x(t)>at). Consideramos ahora el problema de Cauchy:

(P):

f *'(t):f(t, rc(t>),t € lto,tl ( rlro¡: p

y la transformación integral correspondiente

Tx(t): f +

I

f(s, r(s)) ds

'0

Es claro que se verifica que si )c,U€ e(lto,fr],R"), x2U, se tiene TxlTy. Supongamosque existen dos funciones x0,f€e(lto,frJ,Rn) tales que roE T¡o< r/!! uniformemente en lto,tt|. Por tanto, en este caso el método de iteraciones sucesivas de T conduce a una aproximación uniforme de soluciones de (P). Además, tr es el punto fijo de T mínimo (respecto de ( ) entre aquellos mayores que Í0. Asimismo, A es el máximo entre los menores que If. En efecto, si i:Tx, x)ro, entonces X : T X lT x o :x r, y, así, x2xk;

x :T I)-T x ,r

por tanto, i2x.

:Í,2 ,

etC .

i

Lo mismo vale para A. Si por algún otro medio se sabe que hay solución única del problema de e,s esta solución única. Pero, en general, será r #A. Cauchy, entonces ¡:! de las Es interesante señalar casos en los que se puedan obtener x|,f que se pueda partir para las sucesivas iteraciones de T, es decir, tales que Si una función f es creciente en el sentido indicado y es roE?r00, cerrado en to y abierto o cerrado a la derecha, g alguna función t€ etQ,R") tal que satisfaga@) para te I.6i el I es fto,to+hl, por eiemplo, por x'(ts+ Iz) se entiende, natztralntente, Ia derioada a la izqtúerda.) Se supone que f es continua en algún conjunto A de la forma a) fto, to+ il " B( _to,

con i )0 , a)0

Supongamos que existe alguna solución x al problema propuesto. Si x está definida en 1 diremos, por brevedad, gu€ (x,l) es solución de (P) (a ta derecha). La solución (r,4 se denomina prolongable a la derecha si existe una solución (x,I) tal que i ) I y además Ia restricción de i a .I coincide con r. Llamaremos a (x,I) una prolongación de (x, I). La prolongación será estricta si ^I-contiene a / estrictamente. Veamos que si existe una solttción a la derecha (x,I), entonces existe una prolongación (x*,1+) de (x,I) que no es prolongable estrictamente a Ia derecha. Para ello ordenamos parcialmente las soluciones (i, I), prolongaciones de (r, /), poniendo (rr, 1r))-(x2, 12) cuando It ) 12 y )c1 restringido a 12 coincide corl 12. Esta ordenación parcial es inductiva. (Demuéstrese.) Por el lema de Zorn existe un elemento maximal (r*, /*) que es una prolongación de (x,I) no prolongable estrictamente a la derecha. Las mismas consideraciones son válidas, naturalmente, hacia la izquierda. 4.2 .1 . T eor em a. S e a (r0 ,fl )€ R x R " A f:G ,Oe A :l to-h,ts+ hfx x 8(fo, a) + f(t, O € R", h> 0, a> 0, una función continua. Llamemos

M:sup{lf (t,f)l : (r,fl e a I Entonces el problema

1"r[ ..';:]=,f'x(t)) tiene al ntenos una solución Í

definida erx

/: I rs-mín (r,#), h*-t"(o,+)l ilficísatin, cualquier solución de (P) definida en un subinterualo de I entorno de ts €s prolongable a L

Cap. 4.

EXISTENCIA, UNIC|DAD y

PROLONGABTLTDAD DE SOLUCTONES

Dr¡uosrnAcróN.utilizando el lema 3.2.r extendemosf a fto-h,to+hf xR" obteniendoÍ continua en fto-h,to+hlxR',, coincidentecon f en A y tal

que li(t,€)l R L 2'2J está definida como f(t, €): - (l - t2)t/2. a) Demuéstreseque existen varias soluciones. b) Demuéstreseque si xt, xz son dos de ellas, entonces para todo (ro,fl) con 0 ( fo4n12, rr(fo)< fl < xz(ti existe solución x*(t) del problema

I *'(t):f(t, x(t)) ( r(ro¡:60

definidaen

lt,tl

y que es tal que

.,(+) *".(+)*"(;)

Cap. 4.

102

2.

EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

Se considera la ecuación diferencial x'(t):f(t,

x(t)),

donde, para (r, f) € Rx R,

f(t , { ) :

Estúdiese: a) b) c) d)

Continuidad y condición de Lipschitz para f en cada punto (t, €). Obténganse las soluciones que pasan por un punto (ro,f). Obténganse, en particular, las soluciones que pasan por (0,0). iQué se puede afirmar sobre la unicidad de soluciones?

3.

En el teorema de Picard-Lindelóf, al aplicar el método de las aproximaciones sucesivas nos paramos en la etapa /c-ésima. ¿Se puede estimar el error cometido?

4.

Aplíquese el método de aproximaciones sucesivas para obtener la solución que pasa por (0, 1) de la ecuación x'(t):t

- x(t)

Obténgase la solución exacta y calcúlese el error cometido al detenerse en la etapa k-ésima en el punto de abscisa t:0'2. 5.

Sea f(f) una función de R a R continua en l€o-h,€o+hl. la ecuación diferencial

Se sabe que

x'(t):f(x(t)) tiene dos soluciones que pasan por el punto (0,40). Demuéstrese que l(fo):0. 6.

Se considera la función f : [0, l] x [0, oc)+R I

f (t,t):

floei

definida del siguiente modo:

si f€(0,m),

s

0

si 4:0,

f€[ 0 , U

t € [0,1]

Se considerael problema:

*;1t,(t):f(t, (P) ' ' J ( r(0):g r

x(t))

Demuéstreseque, a pesar de que f no satisfacela condición de Lipschitz respecto de €, existe a lo sumo una solución para todo c.

4.3.

t.

PROLONGABILIDADDE SOLUCIONES

103

Se considera el problema

I *'(t):/(r(r)) + senú ( r(0;:s tiene dos derivadas continuas y acotadas. donde f:R+R Demuéstrese que existe solución única r: R -+ R que tiene tres derivadas continuas.

B. Se considera la ecuación autónoma x'(t):f(x(t)),

donde f es una función definida y localmente lipschitziana en cada punto de un abierto G de R2. Sea r(r) una solución tal que existe ts y T)0 tales que x(ts+ T):x(to) Demuéstrese que x(t) es entonces una función periódica.

4.3. PROLONGABILIDAD DE SOLUCIONES Tratamos ahora de resolver la siguiente cuestión, que surge de modo natural a la vista de los resultados de la sección precedente. ¿De qué formas puede suceder que una solución no sea estrictamente prolongable a la derecha? Es decir, nos proponemos el problema (a la derecha)

x'(t)-:fQ'x(t)) (P) f ( ' rlro;:1'o donde f está definida en un cierto conjunto A de RxR", (to,$€ A y suponemos que existe alguna solución a la derecha y, por consiguiente, alguna solución (x, D no prolongable estrictamente a la derecha. ¿Cómo es entonces el comportamiento de x(t) cuando f se acerca al extremo derecho del intervalo /? 4.3.1.

Teorema.

Se considera el problenza

(P) [ it::,=,9,x(,)) donde f está definida A es continua en un conjunto K compacto de R x R", (to,{) e K U suponemos que existe alguna solución a la derecha de ts !, por tanto, alguna solución (x, D no prolongable estrictamente a Ia derecha. Entonces, l:fto,t1f con f1{m, A en este caso (tt,x(tr)) pertenece a la frontera Fr (K) de K. Es decir, se excluye I:1t0, t) con ú1(oo y, además, resulta que la gráfica de x acaba en un punto de la frontera de K. con fr(oo. Se tiene, para un DeMosrnaclóu. Supongamos que l:Íto,t) (¿, para y, K, como en el teorema 4.2.I, así, e cierto M>0, f) lf(ú,f)l l.

DE PARAMETROS. RESPECTO 4.5. DIFERENCIABTLIDAD TEOREMADE PEANO El teorema 4.4.2 demuestra la continuidad de las soluciones respecto de los valores iniciales, es decir, a cambios pequeños de los valores iniciales corresponden cambios pequeños de las soluciones respectivas en el sentido exacto del teorema. El lema de Gronwall nos servirá a continuación para

4,s.

RESPECTODE PARAMETROS.TEOREMA DE PEANO DTFERENCTABTLTDAD

1I3

demostrar que, en condiciones un poco más restrictivas, se puede afirmar que las soluciones dependen, no sólo continuamente, sino diferenciablemente, de parámetros y condiciones iniciales. Este es el sentido del teorema de diferenciabilidad de Peano tt897l. 4.5.1. Teorema. (Teorema de Peano sobre la diferenciabilidad.) Sea f(t, t, )r) continua en Ltn abierto D de R x R" x R'' con ualores en R". Supongantos, adentás, Que f ,, fn son continuas en D. Sea (to, fl, Io) € D U consideranzos el problenm

x'(t):¡1t-'r(r)' )'o) (P^,)f '( rlro¡:¿o Sea ,fi(ú,Io) solución de (Pn.) definida en l:Íto, to+ hl. tal que si lf -fol R" en la,bf. Supongamos que una función conla derecha de x'(t):f(t,x(t)) satisface Ia inecuación integral tinua A:fa,bl+R"

y(r) *,",)*i Wlp.",)*"i tr,t:Ntrt, rT '

,

[*l

r

Supongamos ahora que se tiene una sucesión {xk}CC" tal que rk-+O y una en la norma I lt. Si es que p(xo) no converge a 0, entonces existe 4)0 SUbsucesión de { ro } que denominaremos de nuevo { r* } tal que ¡e + 0, .f^ +0, y p(xk)/q. Consideremos los puntos: xk

,. ' - wol, y, según [*], se tiene:

Se tiene, claramente, lzklt:l

p (z o )(N l z e l r:N Pero, por otra parte, p (z k ):' :::) > - :' l x rl t l ro l t y, así, p(zr) -> oo para k -> oo. Esta contradicción demuestra que p(x*) + 0. Así, siendo p una norma en Qn resulta que es una aplicación continua de C" a [0 ,o o ) r es pec t o de I l r. C o m o e l c o n j u n to { r€ C " : l rl r:1} es compacto en ( C ", I l t), ex is t e z c on l z l t:I ta l q u e :m ín { p (x ): l rl t : 1 I

d z ):H

Siendo p una norma en C" se tiene z + 0, y, así, H>0. x + 0, r es u l ta : t odo x€ C', I

o(

x

\

h,h)

--

>H,

es decir, lrlr(,

I

Por tanto, para

r(r)

Esto, junto con [*], demuestra la equivalencia de las normas I lr, y p en C". En particular, todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. En general, en lo que sigue utilizaremos la norma euclídea de C", es decir, si r € C"

lrl :

(I,",,'¡"'

132

Cap. 5.

ECUACIONESLINEALES

Una ventaja importante de la norma euclídea consiste en que está asociada de una forma natural con el producto escalar definido del siguiente modo para x,g e c , , : l x , A):

é L * ,At

Se tiene j rl :(r, r)t/z La norma euclídea presenta también la ventaja de poseer una derivada continua respecto de las componentes en C,,- { 0 }, lo cual no sucede con otras normas usuales como ,t

l r l r: I

o bien l,r:l-: máx{ lx¡l:i- 1 ,.. . ,n } '",1

Tiene, sin .-Ou.*ol ,u desventaja de que la norma asociada aella de los operadores Z € L(X,X), norma que introduciremos a continuación, es de una expresión de cálculo más complicada que en los otros casos. 5.I.3. Norma de un operador. Sea X espacio vectorial complejo de dim e n si ó n n y G : { €t , €z ,...,€ u } u n a b a s e d e X . S ea l l l l una norma en X . Para T e L(X, X) definimos:

llrll:sup{ llr"li: llrllE 11 claro gu€, por las consideraciones de 5.1.2, existe M>0

ll"ll< l, entonces éé M{m, )-rl*,1(

siendo x :

tal que si

)_rx¡e¡

Así.

llzrll lx)llTe,llC" se escriben como vectores columna) que sea derivable en [ús,t] Y su derivada satisfaga la ecuación [*]. Tal función r(r) se denomina solución de [*].

5.3.

ECUACIONESLINEALES

t59

La ecuación [*] se llama homogéneasi b(t) - 0, y afín o no homogénea si b(ü)*0. El problema de Cauchy consistirá en obtener una solución )c(t) de [*J tal que

r(ro¡: { e C" El primer teorema es una sencilla aplicación de los teoremas de existencia, unicidad y prolongación del capítulo anterior. 5.3.1.

Teorerna.

EI problema de ualores iniciales: *'(t): A(t) x(t) + b(t), t€ l l, ( r(ro¡ : Eo

con la significación de A, b, x, L {0 dada orriba, tiene una única solución prolongable a todo el interualo I. Dr¡vtosrnrctóN. Obsérvese que siendo

f(t,0 : A(t)t + b(t), t € L € € c", se tiene:

lf(t,E)- f(t,t)l ( (maxlA(r)l)lf'- E l y, así, se puede aplicar el teorema de Picard globalmente. (Aquí, l. I indicará una norma fiia en C" y la correspondiente norma en M(n, C).) I El teorema que sigue se refiere primero a la estructura del conjunto de soluciones de la ecuación [*], y proporciona después la solución del problema de valores iniciales mediante la fórmula de Lagrange. 5.3.2.

Teorema.

Sea la ecuación

x'(t): A(t)x(t) + b(t)

[*]

con A: l:lto, tl + M(rz,C) cotztinua A b: | :lto, trf + C,, continua. Entonces: a) (Principio de superposición.) Si b(t):O, eI conjunto de todas las soluciones de [*] es un espacio uectorial Z de dimensión n. Una base de este espacio se denontina un sistenn fundamental de soluciones. (La definición de suma de solucior'¿esg producto de escalar por solución es Ia natural.) b) Se a b( t ) = 0 A { r t (¿ ), x 2 G),...,x ,(t)} :H u tx s i stenta de sol uci ones.E ntonces H es un sistema fundamental de soluciones si, A sólo si, la nntriz Q(t) de colutnnas xt(t),xz(t),...,)c,(t) es r¿o singular para algún t€ I. Cuando osí sucede O(t) es no singular para todo t e I. Entonces (l se denomitza matriz fundanzental de Ia ecuación A se tiene, euidentenTer¿te,

tD'(r):A(t) - t o . Acotación y estabilidad son conceptos independientes en general. En efecto, toda solución de x'(t¡: I es estable a ambos lados, pero no acotada a ningún lado. Asimismo, todas las soluciones de la ecuación

¡" : - I @r+(ra+ O*'z¡tt1,x ¿ s on d e l a f or m a x : c s en(c ú + d ) y a s í, s o n a c o ta das a l a derecha y a l a izquierda, p€ro, salvo la solución idénticamente nula, ninguna es estable ni a la derecha ni a la izquierda. Sin embargo, para las ecuaciones lineales existe la siguiente relación. 6.1.5. Teorenra. La ecuación x'(t):A(t)?c(t) todas s¿¿ssolttciones .sor?acotadas.

es estable si, A sólo si,

La demostración de este teorema es una sencilla consecuencia del teorema de estructura de soluciones de la ecuación lineal, y se deja como ejercicio, así como Ia del teorema siguiente. 6.1.6. Teorerna. Sea Ia ecuación lineal x'(t7:A(t)x(t)+b(t). Si s¿¿ssoIuciones solx todas acotadas, entonces Ia ecuación es estable. Si la ecuación es estable ?l zma solución es acotada, entonces todas son acotadas. 6.1.7. Ecuación variacional. Si deseamos estudiar la estabilidad de Ia solución x(t; to, x0) de la ecuación

x'(t):f (t,x(t))

ttl

parece natural, observando las definiciones anteriores, introducir como nueva variable: lJft): x(t) - x(t; to, xo) con lo que la ecuación anterior resulta: ! l' ( t ) : f ( t , y ( t )+ r(t

i fo ,r0 ))-f(t,x (t;

to ,x 0 )):F(t,aft))

l 2I

Obsérvese que Uft)=O es solución de esta ecuación t2l y que x(t; to,xl) es solución estable (asintóticamente estable) de [1] si, y sólo si, aft\ -- 0 es solución estable (asintóticamente estable) de [2]. Si f tiene derivadas parciales continuas respecto de las componentes de r, la ecuación l2l se escribe: g'(t):f "(t, x(t; to,f))g(t) + gft, AftD,

t3I

176

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

donde f , representa la matriz jacobiana de f respecto de x y g(t, u) es la función g(t, u):f(t,

)c(t; to,f) + u) -f(t, x(t; tr, r0)) - f ,(t, x(t; ts,xl))u

Para t fljo se tiene g(t,u):o(lul) para lul-Q y, así, se puede conjeturar que el término g(t,U(t)) de [3] influya poco en el comportamiento asintótico de la ecuación [3]; es decir, se puede esperar que la solución A(t) -- 0 de t3l sea estable (asintóticamente estable) Si, y sólo si, UG) - 0 es solución estable (asintóticamente estable) de la ecuación A'(t) : f ,(t, x(t ; ts, xo))y(t)

t4l

que es lineal y homogénea. Veremos que bajo ciertas condiciones resulta en efecto así, aunque esto no es cierto en general. La ecuación L4l se denomina ecuación uariacional de x'(t):f(.t, x1t¡¡ ,'especto de la solución x(t; to,xo). Por ejemplo, la solución Uft)--O de x'(t):0 es estable, pero esta misma función como solución de x'(t):(r(¿))t no lo es. Obsérvese que la primera ecuación es la ecuación variacional de la segunda respecto de U(t) - 0. En cambio, A(t)-O es solución inestable de x'(t):v1¡¡, pero es asintócuyas soluciones ticamente estable como solución de x'(t):x(t)-et(x(t))3, tienen la forma x (t):

Cet

-r) .V ,*+6zq¿zt 6.1.8. Estabilidad orbital. Sea r'(r):f(x(t¡¡ un sistema autónomo y supongamos que se tiene una solución A(t) no constante que es periódica de periodo T. Entonces g(t + h) es también solución de periodo T para cualquier h€ R . Co m o la( t o+ h) - U fti l p u e d e h a c e rs e ta n p equeño como se qui era eligiendo h pequeño, y, sin embargo, la(t + h) - U(t)l con h fijo no tiende a cero para t -+ oo, resulta que g(t) no es asintóticamente estable. Pero es muy distinto el comportamiento de UG) según que una solución z(t) de la ecuación que pasa por un punto (tr, z(tr)) tal que z(tt) esté cercano a la curva y (órbita) en R" definida por t -.+ g(t) se mantenga cercana a esta órbita para t2tt, o que se aleje mucho de la curva. Esto motiva la definición siguiente. Definición. Sea y Ia órbita er¿ R" definida por t -> g(t), donde AG) es como se indica arriba. La solución y(t) se denomina orbitalmente estable si Ttara cualquier e)0 existe 6>0 tal que si x(t; to,)c0)es solución que satisface d(x(toi to,x0),y) * oo.

6.2.

ESTABILIDADDE ECUACIONESLINEALES

L77

Nora. Todas las definiciones anteriores dan una idea de algunos de los problemas que se estudian en la teoría de la estabilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias. Para muchos propósitos estas definiciones son insuficientes y es necesario afinar y modificar los conceptos aquí introducidos. En estas notas trataremos solamente de algunos problemas fundamentales relativos a las nociones introducidas.

EJ ER C IC IO S l.

siendo a(e) función continua de R a R, Dada la ecuación x'(t¡:a(t)x(t), obténganse condiciones sobre a(t) para que la solución x(t) - 0 sea estable (asintóticamente estable).

,.

Verifíquense detalladamente los ejemplos de la página l7+.

3. Demuéstrese que la ecuación x'(t):41t)x(t),

siendo A una función matricial continua'de R a M(n, C), es estable si, y sólo si, sus soluciones son acotadas. que sirva como ejemplo para ver Dése una ecuación x'(t):f(t,x(t)) que la anterior equivalencia es, en general, falsa.

4.

Demuéstrese el teorema 6.1.6.

J.

Se considera la ecuación

x'(t): para t>1,

arc senr(r)

I I -(x(t))z

[*]

de la que una solución es x (t):s e n f

Obténgase la ecuación variacional de [.] respecto de esta solución. 6.

Determínese si el estudio de la estabilidad de la solución x(t) = 0 de x'(t):(x(r))2 se puede reducir al estudio de Ia solución idénticamente nula de la ecuación variacional.

7.

La misma cuestión que en el ejercicio 6 para la ecuación x'(t):

- sen r(r)

6.2. ESTABILIDAD DE ECUACIONES LINEALES Como hemos visto, tiene sentido hablar de la estabilidad (asintótica) de una ecuación lineal, y nos podemos reducir, para estudiarla, a considerar el carácter de la solución A(t) = 0 de r'(¿): A(t)x(t). El teorema siguiente expresa una condición de estabilidad en términos de una matriz fundamental. Como siempre, suponemos A función continua de [ro,oo) a M(n, R). Obsérvese gu€, si bien a veces resulta conveniente introducir números

t78

Cap. ó.

TEORIA DE ESTABILIDAD.METODO DE LA PRIMERA APROXIMACION

complejos para algún punto particular del estudio de las ecuaciones que se consideran, gracias a la forma de ]ordan real para una matriz real, introducida en 5.2.9, se puede soslayar fácilmente, si se desea, este paso al campo complejo. 6.2.1.

Teorema.

Sea X(t) una ntatriz fundamental de la ecuación

x'(t):41t)x(t)

[*I

Etztonces se ueriftca: 1) La ecuación [*] es estable si, A sólo si, existe una constante M, O{M{co, tal que llx(t)ll