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• Miguel Botello

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Pr´ actica # 1 Objetivos a cubrir • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Definiciones B´asicas • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden

1. Verifique, por sustituci´on que la funci´on dada y (expl´ıcita o impl´ıcitamente) es soluci´on de la ecuaci´on diferencial correspondiente. 0

y = x2 + 3

(a) y = 2x; 0

2

(b) yy = ex ; 0

(c) xy + y = y

y 2 = e2x + 1 0

√

1 − x2 y 2 ;

y = arcsen(xy)

0

(d) (ycosy − seny + x)y = y; 00

(e) y + y = 3cos(2x); 00

y = cosx − cos(2x)

0

(f) x2 y − xy + 2y = 0; 0

(g) y = 2xy + 1;

y + seny = x

y=e

y = xcos(lnx) x2

Z x

2

e−t dt

0

2. En los siguientes problemas se describe una funci´on y = g(x) mediante alguna propiedad geom´etrica de su gr´afica. Escriba una ecuaci´on difer0 encial de laforma y = f (x, y) cuya soluci´on (o una de sus soluciones) sea g(x). (a) La pendiente de la gr´afica de g en el punto (x, y) es la suma de x e y.

1

(b) La recta tangente a la gr´afica de g en elpunto (x, y) intersecta al x eje de las x en el punto ( , 0). 2 3. En los siguientes problemas escribir una ecuaci´on diferencial, que sea un modelo matem´atico de la situaci´on descrita. (a) La tasa de cambio con respecto al tiempo de una poblaci´on P es proporcional a la raiz cuadrada de P. (b) La tasa de cambio con respecto al tiempo de velocidad v de un bote costero de motor es proporcional al cuadrado de v. (c) La aceleraci´on dv/dt de cierto autom´ovil deportivo es proporcional a la diferencia entre 250 kil´ometros por hora y la velocidad v del autom´ovil. 4. Hallar la soluci´on general de cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables. 0

(a) y = e3x − x 0

(d) y = arcsen(x) 0

0

0

(c) y = xex

(b) xy = 1 0

(e) (1 + x)y = x

2

0

(f) y (1 + x3 ) = x

0

(g) xyy = y − 1 (h) xy = (1 − 2x2 )tany dy (i) (1 + x2 ) + 1 + y 2 = 0 (j) ylnydx − xdy = 0 dx dy xy + 2y − x − 2 0 (k) y + ytanx = 0 (l) = dx xy − 3y + x − 3 dy 1 2x − = dx y y   dx y+1 2 2 2 2 2 2 (o)(1 + x + y + x y )dy = y dx (p) ylnx = dy x 2 −1 2 2 dx dy (1 + x ) (1 + 2y ) (q) = (r) = 1 2 dx dy ysenx (1 + y ) 2

(m) sec2 xdy + cosecydx = 0

(n) 2

2

5. Demostrar que el cambio z = ax + by + c transforma y 0 = f (ax + by + c) en una ecuaci´on de variables separables y aplicar este m´etodo para resolver las siguientes ecuaciones: a) y 0 = (x + y)2

b) y 0 = sen2 (x − y + 1)

6. Sea y = y1 (x) una soluci´on de y 0 + p(x)y = 0 y sea y = y2 (x) una soluci´on de y 0 +p(x)y = g(x). Demuestre que y = y1 (x)+y2 (x) tambien es una soluci´on de la ecuaci´on y 0 + p(x)y = g(x). 7. Estudiar la existencia y unicidad de los siguientes PVI. Hallar los valores de (xo , yo ) para los cuales el teorema de existencia y unicidad garantizan que el PVI dado tenga u ´nica soluci´on. ( √ y0 = 1 − y2 a) y(xo ) = yo (

b)

y 0 = sen(y) − cos(x) y(xo ) = yo (

c)

(

d)

xy 0 = y − 1 y(xo ) = yo

√ y 0 = x2 − y − x y(xo ) = yo

8. Estudiar la existencia y unicidad del problema (

a)

y 0 = f (x, y) y(0) = 1

donde: (

f (x, y) =

3

y, x ≥ 0 2 xy , x < 0

9. El mismo ejercicio (8), pero con la condici´on inicial y(0) = 0 10. Hallar la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales: i) xy 0 + 2y = ex , x > 0 ii)(1 + x2 )y 0 + 4xy = (1 + x2 )−2 2 iii) y 0 + 2xy = 2xe−x iv) y 0 + y = xe−x√+ 1 v) 2xy 0 + y = 10 x vi) y 0 = (1 − y)cos(x); y(π) = 2 11. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: i) e−x (y 0 − y) = y 2 dy ii) x2 dx − 2xy = 3y 4 ; y(1) =

iii)

dy dx

1 2

= − x42 − x1 y + y 2 ; yp =

2 x

iv) y 0 = y 2 − 2xy + 1 + x2 ; yp = x √ v) y = xy 0 + 2 1 + t2 vi) y = (y 0 )2 + 2(y 0 )3 Aplicaciones 12. El n´ umero de bacterias en cierto cultivo crece a una velocidad que es igual a la mitad del n´ umero de bacterias presentes. Si inicialmente hay 10000 bacterias, hallar el n´ umero de bacterias en el instante t. 13. En una poblaci´on sana de 100 individuos, igualmente susceptibles a una enfermedad infecciosa, se introduce un individuo infectado. Supongamos lo siguiente: a) Una vez que un individuo es infectado, permanecer´a as´ı durante todo el proceso y no ser´a eliminado no muere.

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b) Si x(t) es el n´ umero de individuos sanos y y(t) el n´ umero de individuos infectados en el instante t, entonces la velocidad a la que se propaga la infecci´on es proporcional al producto de x(t) y y(t). Si en 10 dias hay 20 individuos infectados, determinar en cuantos dias habr´a 50 individuos infectados. 14. En dos a˜ nos, 3g de un radiois´otopo decaen a 0.9 g. Determinar la vida media y la tasa de decaimiento k. 15. Un term´ometro se encontraba guardado en una habitaci´on cuya temperatura era de 75o F . 5 minutos despu´es de haberlo sacado al exterior el term´ometro marc´o 65o F y otros 5 minutos despu´es marc´o 60o F . Calcular la temperatura exterior. 16. Encuentre el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en que se descubre un c´adaver, si la temperatura delc´adaver es de 85o F cuando es encontrado y dos horas m´as tarde ha bajado a 74o F , adem´as la temperatura del ambiente permanece constante a 32o F . 17. Un tanque de 100 galones est´a inicialmente lleno hasta la mitad con lb de sal, a una tasa de agua pura. Se agrega agua que contiene 0.1 gal gal 4 min . El contenido bien mezclado del tanque fluye hacia afuera por una gal tuberia a una tasa de 2 min . Cuando el tanque est´a lleno, se derrama. Encuentre la cantidad y la concentraci´on de sal. 18. El carbono 14 es una sustancia radioactiva que tiene una vida media de aproximadamente 5700 a˜ nos. Es importante en arqueolog´ıa porque el carbono 14 existente en un ser vivo permanece constante durante la vida del ser. Determinar el tiempo transcurrido desde la muerte de un animal si la concentraci´on de carbono 14 en sus restos es igual a la tercera parte de la que corresponde con un animal que vive actualmente. 19. Considere una masa de 4g que se deja caer desde una altura de 6m. Suponga que la resistencia del aire act´ ua sobre la masa con una constante de proporcionalidad igual a 12 gs . Determine la velocidad como una funci´on del tiempo. 20. Utilizando un modelo log´ıstico con capacidad sustentable K = 100 × 109 , una poblaci´on mundial (humana) de 5×109 en 1986 y una raz´on de 5

crecimiento de 2% anual. Hacer una predicci´on de la poblaci´on mundial para el a˜ no 2010. ¿Cu´ando ser´a esta poblaci´on de 32 × 109 .? 21. Considere el modelo de la poblaci´on dP P = 0.3 1 − dt 200 



P −1 50



, donde P (t) es la poblaci´on en el tiempo t. a) ¿Para que valores de P est´a en equilibrio la poblaci´on?. b) ¿Para que valores de P est´a creciendo la poblaci´on?. c)a) ¿Para que valores de P est´a decreciendo la poblaci´on?. 22. Verifique cu´al de las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas, en cualquiera de los casos, resu´elvalas: a) (5x + 4y)dx + (4x − 8y 3 )dy = 0 b) (2y −

1 x

dy + cos(3x)) dx +

y x2

− 4x3 + 3ysen(3x) = 0

c) (2x + 1 + 2xy)dx + (x2 + 4y 3 )dy = 0 d) (3x2 + y 3 ey )dx + (3xy 2 ey + xy 3 ey + 3y 2 )dy = 0 e) (2xy 3 + y 4 )dx + (xy 3 − 2)dy = 0 f) (y + e−x )dx + dy = 0

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