• Author / Uploaded
• phandres22

Citation preview

Métodos Numéricos (072-3913)

Profa: Francy Tononi

UNIDAD X Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

OBJETIVO El objetivo de este tema es introducir al estudiante a dominar los principales métodos de resolución de ecuaciones diferenciales. Al final de esta unidad el estudiante podrá aplicar diferentes técnicas y tendrá la capacidad de decidir, a través del error cometido y del tiempo involucrado, cuál es la mejor.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Temas Método de Euler. Método de Runge-Kutta, orden 4.

Métodos Numéricos (072-3913) Tononi

Profa: Francy

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ecuaciones Diferenciales de la forma:

dy = F ( x, y ) dx

Se determina la función original Y(x) dada la Ecuación Diferencial por medio de:

wi +1 = wi + φh Donde:

para i = 0,1,2, ,n − 1

wi+1 = Valor actual de la aproximación wi = Valor anterior de la aproximación φ = Pendiente h = Tamaño del Paso

φ se utiliza para extrapolar desde un valor anterior wi a un nuevo valor wi+1 en una distancia h, y así sucesivamente hasta trazar la trayectoria de la solución aproximada de la función.

Métodos Numéricos (072-3913) Tononi

Profa: Francy

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Gráficamente: f(x)

. .

Yi+1(xi+1)

wi

⇔

wi+1 Yi(xi)

.

φ

Función verdadera

Y = f(x)

Error wi+1 = wi + φ h

Función aproximada

h xi

xi+1

x

Métodos Numéricos (072-3913) Tononi

Profa: Francy

Método de Euler Definición:

dy Sea Y(x) la solución de dx = F ( x, y )

, donde Y ∈ C 2 [a,b], para obtener la solución aproximada a Y(x) con Y(a) = α ∈ [a,b], de tal manera que para cada i = 0,1,2,…,n-1, se tiene que: wi +1 ( xi +1 ) = wi + F ( xi , wi ) h Para a ≤ x ≤ b Y(a) = α ⇒ Condición Inicial Función aproximada a Y(x)

Gráficamente f(x) w2

• •

w1 Y2 Y1 Y0 = Y(a) = α = w0

•

•

i=0 w1 ( x1 ) = w0 + F ( x0 , w0 ) h

φ0

φ0

h a=x0

φ1

• •

Función w(x) aproximada Error Función Y(x) verdadera

h x1

i =1 w2 ( x2 ) = w1 + F ( x1 , w1 ) h

x2 . .Numéricos x . b=xn-1(072-3913) Métodos Tononi

φ

1 Profa: Francy

Método de Euler Ejemplo:

Dada la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria: a) b)

dy = x 2 − 1 .2 x + 3 .4 dx

Use el método de Euler para encontrar la función aproximada a Y(x) desde x = 0 hasta x = 2 con h = 0.25 y Y(0) = 1. Determinar el error relativo porcentual verdadero en cada iteración (punto). Por definición :

dy = F ( x, y ) dx

dy = F ( x, y ) = x 2 − 1.2 x + 3.4 dx Y ( x) = ?

∫ dy = ∫ ( x

2

para a ≤ x ≤ b,

Y(a) = α = w0 ,

entonces:

donde a = 0, b = 2, Y(0) = α = w0 = 1

)

Y=

− 1.2 x + 3.4 dx

1 3 1.2 2 x − x + 3. 4 x + C 3 2

Como la condición inicial es: Y(0) = α = w0 = 1, al sustituir en Y, se tiene: 1 3 1.2 2 ( 0) + 3.4( 0) + C 1 = ( 0) − 3 2

⇒

Función 1 3 1.2 2 Y ( x) = x − x + 3.4 x + 1 verdadera C =1 3 2 Métodos Numéricos (072-3913) Profa: Francy Tononi

Método de Euler a) w ( x ) = w + F ( x , w ) h, i +1 i +1 i i i

i = 0 ,1,2 ,… ,n-1

Función aproximada a Y(x)

h = 0.25 i

h h h h h h h h

xi

wi

Yi

0

x0 = 0

w0 = 1

Y0 = α = w 0 = 1

1

x1 = 0.25

w1 = 1.85

Y1 = 1.817708333

2

x2 = 0.5

3

x3 = 0.75

4

x4 = 1

i=0 w1 ( x1 ) = w0 + F ( x0 , w0 ) h w1 ( 0.25) = 1 + F ( 0,1)( 0.25)

5

x5 = 1.25

Entonces:

6

x6 = 1.5

7

x7 = 1.75

8

x8 = 2

w1 ( 0.25) = 1 + F ( 0,1)( 0.25) w1 ( 0.25) = 1 + 3.4 * 0.25 ⇒

ε t(%)

Como

dy = F ( x, y ) = x 2 − 1.2 x + 3.4 dx 2 F ( 0,1) = ( 0 ) − 1.2( 0 ) + 3.4 F ( 0,1) = 3.4

w1 ( 0.25) = 1.85

Solución aproximada

1 3 1.2 2 x − x + 3.4 x + 1 Función verdadera 3 2 1 1.2 3 ( x1 ) 2 + 3.4( x1 ) + 1 Y1 ( x1 ) = ( x1 ) − 3 2 1 1.2 3 Solución ( 0.25) 2 + 3.4( 0.25) + 1 Métodos Y1 ( 0.25) = ( 0.25) − ⇒ Numéricos Y1 ( 0.25) (072-3913) = 1.817708333Profa:verdadera Francy 3 2 Y ( x) =

Tononi

Método de Euler i =1 w2 ( x2 ) = w1 + F ( x1 , w1 ) h w2 ( 0.5) = 1.85 + F ( 0.25,1.85)( 0.25)

Entonces:

w2 ( 0.5) = 1.85 + 3.1625 * 0.25 i

xi

⇒

wi

Como:

dy = F ( x, y ) = x 2 − 1.2 x + 3.4 dx 2 F ( 0.25,1.85) = ( 0.25) − 1.2( 0.25) + 3.4 F ( 0.25,1.85) = 3.1635

w2 ( 0.5) = 2.640625 Yi

0

x0 = 0

w0 = 1

Y0 = α = w 0 = 1

1

x1 = 0.25

w1 = 1.85

Y1 = 1.817708333

2

x2 = 0.5

w2 = 2.640625

Y2 = 2.591666667

3

x3 = 0.75

4

x4 = 1

5

x5 = 1.25

6

x6 = 1.5

7

x7 = 1.75

8

x8 = 2

Solución aproximada

ε t(%)

1 ( x2 ) 3 − 1.2 ( x2 ) 2 + 3.4( x2 ) + 1 3 2 1 1.2 3 ( 0.5) 2 + 3.4( 0.5) + 1 Y2 ( 0.5) = ( 0.5) − 3 2 Y2 ( x2 ) =

⇒

Y2 ( 0.5) = 2.591666667

Métodos Numéricos (072-3913) Tononi

Solución verdadera Profa: Francy

Método de Euler b)

εt = εt =

Y1 − w1 Y1

1.817708333 − 1.85

1.817708333 ε t = 1.8% i

εt =

*100%

εt =

*100%

Y2 − w2 Y2

*100%

2.591666667 − 2.640625 2.591666667

*100%

ε t = 1.9%

xi

wi

Yi

ε t(%)

0

x0 = 0

w0 = 1

Y0 = α = w0 = 1

1

x1 = 0.25

w1 = 1.85

Y1 = 1.817708333

1.8

2

x2 = 0.5

w2 = 2.640625

Y2 = 2.591666667

1.9

3

x3 = 0.75

w3 = 3.403125

Y3 = 3.353125

1.5

4

x4 = 1

w4 = 4.16875

Y4 = 4.133333333

0.9

5

x5 = 1.25

w5 = 4.96875

Y5 = 4.963541667

0.1

6

x6 = 1.5

w6 = 5.834375

Y6 = 5.875

0.7

7

x7 = 1.75

w7 = 6.796875

Y7 = 6.898958333

1.5

8

x8 = 2

w8 = 7.8875

Y8 = 8.066666667 Métodos Numéricos (072-3913) Tononi

0

2.2

Profa: Francy

Método de Runge-Kutta, orden 4 Definición:

dy Sea Y(x) la solución de dx = F ( x, y )

, donde Y ∈ C 5 [a,b], para obtener la solución aproximada a Y(x) con Y(a) = α ∈ [a,b], de tal manera que para cada i = 0,1,2,…,n-1, se tiene que:

wi +1 ( xi +1 ) = wi + 16 ( k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) h Función aproximada a Y(x)

Para a ≤ x ≤ b Y(a) = α Condición Inicial

Donde:

k1 = F ( xi , wi ) k 2 = F ( xi + 12 h, wi + 12 k1h ) k3 = F ( xi + 12 h, wi + 12 k 2 h ) k 4 = F ( xi + h, wi + k3h )

Para i = 0,1,2,…,n-1

k1, k2, k3 y k4 = Estimaciones múltiples de la Pendiente. Métodos Numéricos (072-3913) Tononi

Profa: Francy

Método de Runge-Kutta, orden 4 Gráficamente

f(x)

Donde: k1 = F ( x0 , w0 ) k 2 = F ( x0 + 12 h, w0 + 12 k1h ) k3 = F ( x0 + 12 h, w0 + 12 k 2 h ) k 4 = F ( x0 + h, w0 + k3 h )

k1 wi+1 Yi+1

Yi = Y(a) = α = wi

i =1 w2 ( x2 ) = w1 + 16 ( k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) h

Donde: k1 = F ( x1 , w1 ) k 2 = F ( x1 + 12 h, w1 + 12 k1h ) k3 = F ( x1 + 12 h, w1 + 12 k 2 h ) k 4 = F ( x1 + h, w1 + k3 h )

k2

•

i=0 w1 ( x1 ) = w0 + 16 ( k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) h

•

k3 k4

k2

•

• •

Error Función Y(x) verdadera

k1 k3 h/2

a=xi

Función w(x) aproximada

h/2 xi+1/2

Métodos Numéricos (072-3913) Tononi

•

k4

b=xi+1

x

Profa: Francy

Método de Runge-Kutta, orden 4 Ejemplo:

Dada la siguiente Ecuación Diferencial Ordinaria: a) b)

dy = x 2 − 1 .2 x + 3 .4 dx

Use el método de Runge-Kutta, orden 4 para encontrar la función aproximada a Y(x) en el intervalo [0,1], con h = 0.25 y Y(0) = 1. Determinar el error relativo porcentual verdadero en cada iteración (punto). Por definición :

dy = F ( x, y ) dx

dy = F ( x, y ) = x 2 − 1.2 x + 3.4 dx Y ( x) = ?

∫ dy = ∫ ( x

2

para a ≤ x ≤ b,

Y(a) = α = w0 ,

entonces:

donde a = 0, b = 1, Y(0) = α = w0 = 1

)

Y=

− 1.2 x + 3.4 dx

1 3 1.2 2 x − x + 3. 4 x + C 3 2

Como la condición inicial es: Y(0) = α = w0 = 1, al sustituir en Y, se tiene: 1 3 1.2 2 ( 0) + 3.4( 0) + C 1 = ( 0) − 3 2

⇒

Función 1 3 1.2 2 Y ( x) = x − x + 3.4 x + 1 verdadera C =1 3 2 Métodos Numéricos (072-3913) Profa: Francy Tononi

Método de Runge-Kutta, orden 4 a) wi +1 ( xi +1 ) = wi + 1 ( k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) h 6

i = 0 ,1,2 ,… ,n-1

h = 0.25 i

h h h h

Función aproximada a Y(x)

xi

0

x0 = 0

1

x1 = 0.25

2

x2 = 0.5

3

x3 = 0.75

4

x4 = 1

wi w0 = 1

Yi

ε t(%)

Y0 = α = w 0 = 1

i=0 w1 ( x1 ) = w0 + 16 ( k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) h

Como dy = F ( x, y ) = x 2 − 1.2 x + 3.4 dx

Donde: k1 = F ( x0 , w0 ) = F ( 0,1) = ( 0 ) 2 − 1.2( 0) + 3.4 = 3.4 k 2 = F ( x0 + 12 h, w0 + 12 k1h ) = F ( 0 + 12 * 0.25,1 + 12 * 3.4 * 0.25) 2 k 2 = F ( 0.125,1.425) = ( 0.125) − 1.2( 0.125) + 3.4 = 3.265625 k3 = F ( x0 + 12 h, w0 + 12 k 2 h ) = F ( 0 + 12 * 0.25,1 + 12 * 3.265625 * 0.25) 2 k3 = F ( 0.125,1.408203125) = ( 0.125) − 1.2( 0.125) + 3.4 = 3.265625 k 4 = F ( x0 + h, w0 + k3 h ) = F ( 0 + 0.25,1 + 3.265625 * 0.25) ) 2 − 1.2(Numéricos k 4 = F ( 0.25,1.81640625) = ( 0.25Métodos 0.25) + 3.(072-3913) 4 = 3.1625 Profa: Francy Tononi

Método de Runge-Kutta, orden 4 Dado : w1 ( x1 ) = w0 + 16 ( k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) h

Al sustituir las pendientes, se tiene:

w1 ( 0.25) = 1 + 16 ( 3.4 + 2 * 3.265625 + 2 * 3.265625 + 3.1625) * 0.25 ⇒ w1 ( 0.25) = 1.817708333 i

xi

wi

Yi

0

x0 = 0

w0 = 1

Y0 = α = w 0 = 1

1

x1 = 0.25

w1 = 1.817708333

Y1 = 1.817708333

2

x2 = 0.5

3

x3 = 0.75

4

x4 = 1

i =1 w2 ( x2 ) = w1 + 16 ( k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) h

Solución aproximada

ε t(%)

Como

dy = F ( x, y ) = x 2 − 1.2 x + 3.4 dx

2 Donde: k1 = F ( x1 , w1 ) = F ( 0.25,1.817708333) = ( 0.25) − 1.2( 0.25) + 3.4 = 3.1625 k 2 = F ( x1 + 12 h, w1 + 12 k1h ) = F ( 0.25 + 12 * 0.25,1.817708333 + 12 * 3.1625 * 0.25) 2 k 2 = F ( 0.375,2.213020833) = ( 0.375) − 1.2( 0.375) + 3.4 = 3.090625 k3 = F ( x1 + 12 h, w1 + 12 k 2 h ) = F ( 0.25 + 12 * 0.25,1.817708333 + 12 * 3.090625 * 0.25) ) 2 − 1.2Numéricos ( 0.375) + 3(072-3913) k3 = F ( 0.375,2.204036458) = ( 0.375Métodos .4 = 3.090625Profa: Francy

Tononi

Método de Runge-Kutta, orden 4 k 4 = F ( x1 + h, w1 + k3 h ) = F ( 0.25 + 0.25,1.817708333 + 3.090625 * 0.25) k 4 = F ( 0.5,2.590364583) = ( 0.5) − 1.2( 0.5) + 3.4 = 3.05 2

Dado : w2 ( x2 ) = w1 + 16 ( k1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) h

Solución aproximada

Al sustituir las pendientes, se tiene:

w2 ( 0.5) = 1 + 16 ( 3.1625 + 2 * 3.090625 + 2 * 3.090625 + 3.05) * 0.25 ⇒ w2 ( 0.5) = 2.591666666

b) ε t =

Y1 − w1 Y1

⇒

*100% i

εt =

1.817708333 − 1.817708333 1.817708333

xi

wi

*100% Yi

ε t = 0%

⇒

ε t(%)

0

x0 = 0

w0 = 1

Y0 = α = w 0 = 1

0

1

x1 = 0.25

w1 = 1.817708333

Y1 = 1.817708333

0

2

x2 = 0.5

w2 = 2.591666666

Y2 = 2.591666667

1x10-8

3

x3 = 0.75

w3 = 3.353124999

Y3 = 3.353125

2x10-8

4

x4 = 1

w4 = 4.133333332 Y4 = 4.133333333 Métodos Numéricos (072-3913) Tononi

2x10-8 Profa: Francy