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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

ED exactas La ecuación de la forma M ( x , y )dx + N ( x , y )dy = 0 tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0 y por consiguiente la solución: u(x,y) = c si cumple la condición de Euler: FACTOR INTEGRANTE ∂M ∂N 1. ∂y − ∂x ∫ () = µ ( x ) ⇒ F .I . = e

2.

µ x dx

N ∂N ∂M − µ ( y ) dy ∂x ∂y = µ ( y ) ⇒ F .I . = e ∫ M

∂M ∂N = ∂x ∂y

ED Exactas Ejemplo: La siguiente ED (x + y + 1)dx + (x − y 2 + 3)dy = 0 M

Es exacta puesto que

∂M ∂N =1= ∂y ∂x

∂f ∂f = x +y +1∧ = x − y2 + 3 ∂x ∂y Integrando respecto a x, f x, y =

⇒ ∃f (x , y ) /

( ) ∫ (x + y + 1) dx

x2 decir,f x, y = + xy + x + g(y)……(*) 2

Es ( ) Derivando respecto a y,

∂f = x + g '(y ) = x − y 2 + 3 ∂y

y3 −y + 3 dy = − + 3y + c1 …… (**) 3

De donde g(y ) = ∫ ( ) Finalmente (**) en (*), la solución general es 2

x2 y3 + xy + x − + 3y = C 2 3

N