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A. H. KI1CeJleB. M. JI. Kpacaon, f. 11. MaKapeRKO C50PHHK

3A,llA4

no 05blKHOBEHHblM ,[lHEPEHUI1A)lbHbIM 1tPABHEHHSlM HSJl.ATllJIbCfOO

.BblCllIAJI

MOCI(BA

UIKOJlA.

A. Kiseliov M. Krasnov O. Makarenko

PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

CuatUl edición

traducido del ruso por EMILlANO APARICIO BERNARDO candidato A doctor en clencias ílslcc-matemáiicas

EDITORIAL MOSCÚ

MIR

HA HCflAliCKO,"

fl3WKIi

Primera edición 1968 edición 1973 Tercera edictón 1979 (7"orlo edición 1984 Segunda

Imprf/SO

©

tI'

la URSS

TraduCCIón al español. Editoriol Mlr, 1979

TNDICE

§ § § § §

J. 2. 3. 4. 5.

Conceptos Mélodo d. W!lodo de Método de Ecuaciones

§ § § §

6. 7. 8 9.

Eeuaclones h,)mogéri cas y r~duclblu a ella. . . 41 Ecuaciones lineales de primer orden, Ecunciones de llerouu"l 48 Ecuaciones dif4?r~nci.le$ exactas. Factor integran1e 54 Ecuaclones diferenciales d. primer o,den no resueltas Con respecto u la derivada • . . 60 I Ecuación de primer orden y de grado 11 con respecto 8 y' 60 2. Ecuacíones de l. forma /(/1.1/') - O Y /(x. y') = O. 61 3. Ecuaciones de Lagrunge y Clalrau(. 6S Composición de las ecuacrcnes diferenciales d. las ramilias de Curvas. Problemas de trayectorias 68 Soluciones singulares . 74 Diversos problemas 82 Ecuaciones diferenciales de orden superior. Reduccrén del orden de l. ecuactén. . 84 Ecuaciones diferenciales lineales de orden ti 97 1. Independencia hneal d. las tuncrones Determinante de Wronsky (wronskiono) 97 2. Ecuaciones lineales homoC'en.as de cceücientes constantes 107 3. Ecuaciones line.le~ no homogéneas lo cornptclas] de eoeIiclentes constantes . 112 4_ Ecuaciones de Euler . . . . . 124 5. Ecuaciones dllerenciales ltncetes de coeñclenles variables 127 6. Composlcton de la ecuación diferencial dado el sistema Iundarnental de soluciones . . . . 134 M~!odo de lsocllnas poro las ecuaciones diferenciales de segundo orden 137 Problemas d. contorno . 140 lnlegración de la. ecuaciones diferenciales median le series 145

.~

fundamentales 9 isocllnas . 17 Euler 25 aproximaciones sucesivas 28 COn variables separables )' ecuacloues reducibles

~

t

§ 10. § 11. § 12, § 13. 14.

§ 15. § 16. § 17.

•

••

§ '8. Slslemas de ecuaciones

diferencio'es de coeüclentes constanles . • . . . . . . . . . 168 1. Reducción d. UI1 ststems a una ecuacién de a-ésfmo orden 169 2. Método de Euler de inlegracJ6n de un sistema de ecuacíones diferenciales

lineales

homogénea.

de coellcienles

cons-

tantes diante

• 170

.

3. Resolución de sistemas de ecuaciones diferencia combinaciones

les me-

integnlbles

175

In

4. Mélodo de variación de las constantes § 19. Teoría de 13 cslabllldad . . . • 1. Eslabllidad según Liapunov 2. Tipos elementales d. puntos de reposo 3. Eslabilidad según l. primer. aproximación

'~4 • '84 187

'92

4. Eslabilidad de las soluciones de las ecuaciones les con respecto a ,. variación de los segundos de las ecuaciones . . 5. Crlterlo de Roulh·Hurwii~ 6. Criterio

geométrico con un

§ 20. Ecuaciones § 21. Mélodo operactonal ecuaciones

. .

• .

.

.

. t94 . 197 200

.

.

•

derivada.

203

resotucíén

•

.

y sus propiedades

de Laplace

mentales

d. .

• 208

lunda. 208

2. Ecuaeiones lineales de coeficientes constantes 3. Sisfemas de ecuaciones dtlerenciales lineales Respuestas

. •

de Mijáilov)

.

de eslabilidad (crilerlo parámetro pequeño en l. y su aplicación para ,.

dUerencla'es

l. L. transformación

•

diferencia· miembros

.

.

.

•

.

•

.

.

.

. 218 . 22' .

. 226

INTRODUCCION A LA EDICION ESPAÑOLA

El presente libro de problemas es la traducción de la segunda edición de nuestro libro "Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias". Está destinado fundamentalmente para los estudiantes de tos centros superiores de enseñanea técnica y abarca casi todas las secciones del curso de ecuaciones diferenciales para los centros superlores Indicados. El libro contiene 1000 problemas que se deben resolver individualmente. Al comienzo de cada apartado se da una exposición breve de las nociones fundamentales y se resuelven unos ejemplos típicos. Se presta atención fundamenlal a aquellas cuestiones que no están aclaradas con suficiente detalle en los cursos existentes y que, como muestra la experiencia, son difíciles para los estudiantes. Por ejemplo, se expone muy detalladamente el método de las isoclinas para las ecuaciones de primero y segundo órdenes, la aplicación de las sertes a la resolución de las ecuaciones diferenciales, las soluciones singulares, algunos problemas de estabilidad, etc. A Jos autores nos causa gran satisfacclón el hecho de que nuestro libro se traduzca al castellano y quedaríamos muy contentos si encontrase una buena acogida. A. Kiselio» M.

Krasnou

G. Makarenko

§ l. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Se llama ecuación diferencial una ecuación que (Iga 1a variable Independiente x, la función incógnita !Í Y(x) y sus derivadas y'. y" ..... 11.1• es decir. una ecuación de la forma rt». U. U'. y" ..... y('¡)=0.

=

En otras palabras, se llama cCllació/1 diferencial una ecuación en la que figura la derivada o diferencial de la función incógnita. Si la función incógnita y = (I(.e) depende de una sola variable independiente x. lo ecuación dllerenclut se llama ordinaria. Por ejemplo:

1) *+X!I=O. 3) (x'

2)

f/"+y'+x=cosx.

+ !I)dx + (x + yl dy =0.

diferencial l'S el de la derívada de mayor orden que ligura en la ecuación. Por ejemplo: la ccuaclón dllerenctal !I' xy e' es de primer orden; la ecuación diferencial U" I'(.~)fl = O, donde p(x) es una íunclén dada. c< de 2· orden: la ecuación diíerencial.ylX - xy" x'. es de 9' orden. Se llama SOlllCiólI de la eCllació'l diferencial una función y = cp(x). dctcrmlnada en el intervalo (a. 11) junto con sus derivadas sucesivas hasta el orden 11 inclusive, tal que 111 hacer In sustitución !I = cp(x) en la ecunclén diferencial. -:518. se convierte en una identidad con respecto a x en ~1 intervalo (a. (1). Por ejemplo, ta función !I = sen x cos x es solución de lA ecuación !1ft !I = O. r::n efecto. derivando dos veces esta lunción, se llene: El orde»

de ulla ecnactot:

+ = +

=

+

+

!J' ~ cos x - sen x.

f!"

=-

S~II

X -

cos x,

Sustituyendo en [a ecuación diferencial s" e Y por sus expresiones. resulta la identidad: - sen x - cosx + sen x +cosx ... 0. La gr álica de una solución de la ecuación diFerencial se denomina curva integral de la ecuación. . La forma general de una ecuación de primer orden es. F{x, Si

en.

la ecuación

y, y')=O.

(I)

(J) es posible despejar IJ'

=i (x.

que representa fina ecuación respecto a la derivada.

y', resulta.

y),

(2)

de primer

orden,

resuella.

con

Teorema de existencia y unicidad. Sea dada una ecuación diferencial y' = /(x. y). donde la función J(x, y) está definida en un recinto O del plano XOY que contiene el punto (xo, Yo). Si la lunción f (x, y) satislace a las condiciones: a) í (x, y) es una lunción continua de dos variables x e y. en el recinto D: b) f (x, y) admite derivada parcial continua con res,,1--,.,.---'----"';( pedo de x e y en el recinto D. Q x. entonces, existe una, y sólo una, solución y = cp(x) de la ecuaf'ig. I ción dada que satisface a la cond ición !I J._." = Yo' La condición Y lx-x. = Yo se llama condicién inicial. El problema de la búsqueda de la solución de la ecuación y' = f(x, y) que satisface a la condición inicial U Ix= - Ce' _ O, o sea, la función y = .Ce' satisface a la ecuación considerada para cualesquiera valores de la cuno

slantc C. Asignemos una condición inicial arbilraria y 1... " =Yo. Sustituyendo en la función Y = Ce'. x e !/ por xo, Yo, se llene Yo = Ce-", de donde e =Yr/i-x,. La función y = = !Ioe'- r. satisface a la condición inicial. En efecto. poniendo X=Xo, resulta Y=Yol!"-"= = yo. La función Y = Ce' es la solución general de la ecuación dada. Para Xo = 1, Yo = -l. obtenemos Ia solución particular y:;a - C','(-I. -q lO

-~

I ,

Geométrlcarnente, la solución general determina una familia de curvas integrales que representan las gráficas de funciones exponen~ ciales; la solución particular es la curva integral que pasa por el Fi!r. 5 punto Mo(l. -1) (Hg. 5). Verificar, en los ejercicios que se dan a continuación, que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

I

11. y= $e~x, 12. y

xy'+y=cosx.

= Ce-2• + 1- e~,

!I-t~y+e~. 13. y::.2+C¡!I+xL

(1- x2)!/

+ xy=2x.

vr::-xr. yy' = x _ 2~3.

14. II"'PX

14

15. 11= e", eeenc+oo.

§ 6. ECUACIONES HOMOGENEAS y REDUCIBLES

f (I.t,

oo.

y-2tc,x-+-

142. (x+ I)y'=y-l, 143.

+ ee ,

x-.oo.

y_5Tt,

140. (l+x2)Y'-2cos'2y=0, 141.

x ....

00"

A ELLAS

de grado

11

en sus

(y) a In, (.t, y).

+

Por ejemplo, f (x, y) = X2 !J~ - xy es una función homogénea de segundo grado, puesto que f (Ix, fy) = = (t.t)' (IV) 2 -(tx)(tg) t'(x? 92 - xy) = t2/{x, y).

+

=

+

41

Para

ti

= O. se ücne , ,una [unción de grado cero. Por

y,

ejemplo. f (x. 11)= :.~ grado cero. puesto Que

I (tx.ly)=

es una función homogénea

(I~)'- (ly)'

t (~t -l/t)

x' -

('x)'+(ly)'

"(xi+.!I'l

..'+y'

Una ecuación diferencial

de la forma

de

y'

=f(x.

:~ =f(x.

y). y) se

llama homogénea si f(x. y) es una función homogénea de grado cero en sus argumentos. la ecuación homogénea siempre se puede representar en la forma

~=~(f)· Introduciendo ecuación rabies:

(1)

una nueva función incógnita

u=

(1) se reduce a la ecuación con variables

f.

la

sepa-

du X7X=~(II)-U.

Si 1I = 110 es una raiz de la ecuación cp(u)- 11 -= O. la solución de la ecuación homogénea es. 1/ = l/o. o bien. y = Uo'" (recta que pasa por el origen de coordenadas). O b s e r v a e j. ó n. Al resolver las ecuaciones homogé· neas no es indispensable reducirlas a la forma (1). Se puede hacer inmediatamente la sustitución 11 IIX. Las ecuaciones de la forma

=

(2) se reducen a homogéneas trasladando el origen de coordenadas al punto (Xo, Yo) de intersección de las rectas

alx +b,1I +e, =0 Esto se consigue haciendo

y

atx+~1I +e.=O.

la sustitución de las variables:

x = f, + xo.

11= 11

+ Yo'

El método indicado no es aplicable cuando las rectas alX blU el = O Y a,x b2u e2 = O son paralelas. Pero. en este caso.

+

42

+

+

+

y la ecuación (2) se puede escribir err la forma dI!

-¡¡;- =

~.(O,X + b,y) +el]e,

f [ a,x + b,g +

=

F (

a,x

+ b ,y ) ,

(3)

estudiada en el §5. Si la ecuación diferencial viene expresada en la forma P (x, y) dx +Q (x, y) dll='O. será homogénea si !,(x, y) y. Q(x, y.) son .runcíones hornogéneas de un mismo grado. A veces, la ecuaclén se puede reducir a homogénea mediante la sustitución de la variable y = za. Esto ocurre cuando todos los términos de la ecuación son de un mismo grado, atribuyendo el grado 1 a la variable x, el grado a a la variable y, y el grado a - 1 a la derivada !!1!...dd• •f Ejemplo t. Resolver la ecuación xy' = V x. _ y2

+ y.

S o I u ció n. Escribamos la ecuación en In forma

!f=yl

-(ff +~. f

Como la ecuación es homogénea, hacemos ti = o bien, y = tlx. Entonces, y' = xu' + 11. Sustituyendo en la ecuación las expresiones para y e y', obtenemos x ~: =VI-u'l, Separamos las variables du

VI-u'

dx

=-;-

De aqul, integrando hallamos: arcsen s ee ln] x 1+lnC,(C, > O), o bien, arcsenll=lnC'¡.t1. Como C,I x 1= ± C,x, haciendo la notación ± C, - C, obtenemos arcsen u = In Cx,

donde l ln Cx 1";;;%. o bien, e2

" ";;;Cx,.;;;e"f. " Sustituendo

por ~

general

tendremos

la integral arcsen

,.

~ =In ex.

Por consiguiente, la solución general es: y = x sen In Cx. Al sepa rar las variables dividíamos ambos miembros de la ecuación por el producto x VI - u2, por lo cual. se podrían perder las soluciones que convierten en cero sus factores. Pongamos ahora x y V I - u' = O. Pero x = no es solución de la ecuación, debido a lo cual re-

=

°

sulta,

I - ~x: = 0, de donde

°

y = ± x. Con

una

prueba

directa nos convencemos de que las funciones y = - x e y = x son soluciones de la ecuación. Estas .son soluciones. singulares de la ecuación dada. Ejemplo

2. Resolver

la ecuación

(x+y-2)dx+(x-y+4)dy=O. S o I u e j ó n. Examinemos gebraicas lineales:

(1)

el sistema

de ecuaciones

al-

X+Y-2=0} x-y+4=0 El determinante

.

de este sistema

¿\=I: -: 1=-2*0. El sistema tiene solución única: Xo = -1, Yo = 3. Hacemos la sustitución x = i - 1, Y = " 3. Entonces, la ecuación (1) loma la forma

+

(~+~)~~+(G Esla es una ecuación

homogénea.

Tj) d" =O. Haciendo

nemos. ,,(;f. Eu) ds +(6 - ~u) (~du -de-donde :

+ uds)

11 =

= O,

Us,

obte-

Separamos las variables

!!i+

s

Integrando. Inl t

1

d

I-u

+2u

u' u=

O

.

hallamos

1 1+ 2"lnll + 2u- wl=

Volviendo a la variables

JI.

(.~+I) 2[ 1+

2~

~~(.I + 2)1.- u2)=Q.

InC;

11.

obtenemos: (11-3)']_

_

%+1

(%+1)'

-Ch

o bien. X2

+2xy - y~- 4x

+ 8y=C.

(C=C,

+ 14).

Ejemplo 3. Resolver la ecuación

(.~+ U + l)dx+(2x

+2y-

I)dy =0

S o 1 u ció n. El sistema de ecuaciones algebraicas neales

li-

X+Y+I=O} 2.~+2y-

1

es incompatible. El determinante

=0 del sistema

ó=1 ~ ~ 1=0. En este caso no es aplicable el método empleado en el párrafo anterior. Para integrar la ecuación hacemos 111 sustitución x

+ y=z.

dy=dz-

d x,

La ecuación toma la iorma (2 - z}d.t +(2z

-

1) dz =0.

Separando las variables obtenemos 2z-1

dx - "'i"=2 dz - O.

De aqui que x-2z-3Inlz-2J=C.

Volviendo a las variables x, y, obtenemos la inte~ral geueral de la ecuación dada: x + 2y + 31nlx + y - 21 = =C. Ejemplo 4. Resolver la ecuación l)dy+2xy3dx=0.

(X'y2_

S o [ u ció n. Hacemos la sustitución y = z", dy = = o.z"" dz, donde por ahora o. es un número arbitrario que se elegirá a continuación. Sustituyendo y y dy en la ecuación por sus expresiones, obtenemos: (*~-I)az"-ldz+2xz3·dx=0.

o bien (X'z3u-1 -

Z·-I)

dz

(l

+ 2xz'·

d x = O.

=

Obsérvese que el grado de x2z3'x-' es 2 + 3et - 1 30. + 1, el grado de z"-l es a - 1 Y el grado de xz"" es I + Jet. La ecuación obtenida será homogénea si los grados de lodos los términos resultan iguales, es decir, si se cumplo! la condIción 30. + 1 = a - l. De aquí que et = -l. Por consiguiente, tenemos y = 1. la ecuación inicial z toma 13 forma --(IX')

x dz+2-dx=0 :ll

21:zf

o bien,

{z'_ x')dz

+ 2zxdx

,

=0.

=

Pongamos ahora z IIX, dz = udx + x duo Entonces, esta ecuación loma la forma (1I'-I)(lIdx+xdll)+ +2udx =0. De donde u (u' I)dx x(u'_ t)du=O.

+

Separando

Inlegrando,

las variables

+

en esta ecuación, obtenemos:

ss:x _ uU;-I du=O. +u

hallarnos: In] x 1+ In (11' + I)-lnl u 1=lnC,

o bien,

46

Sustituyendo

u por _!_. obtenemos

la integral

general

+

de la ecuación considerada: I x2y' = ..n'(cosx-I)ln2, cuando x -+

cos

+ ee,

x

->

+ oo,

212. 2x2y' - xU = 2x cos x - 3 sen x, y-.O cuando x_ + oo. sen' x 213. y'senx-lIC-osX=---;'I' y_ O cuando x - oe , 214. (1 X2) In (1 x') y'-2xy = In (l+x')-2x

+

+

U- 215. U' y_2

%

cuando

e'lI =';'sen+

cuando

.T_ -

oo.

VX',

eo,

- c' cos

arctg x,

+.

x ..... - oo.

216. u'-ylnx=-(J +2Inx)r', y -+ O cuando x_,. + oo. G3

§ 8. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS FACTOR INTEGRANTE

La ecuación diíerencial de la forma M (:t. yldx+N(x.

y)dy=O

(1)

se llama ecuación diferencial exacta si su primer miembro es la diferencial total de una íunclón u(x. y): W dx+NdYE3d"""'Txdx+-¡¡¡dy, él"

¡

e«

La condición necesaria y suficiente para que la ecuación (1) sea una ecuación diferencial exacta es que se cumpla la condición c),If dll

...-

,)N tix

(2)

(en un recinto simplemente conexo D de variación de x, y). La integral general de la ecuación (1) tiene la forma II(X, !/) = C. o bien. x

f

y

M(x.

f

U)dx+

N (xo.

y)dy=C.

(3)

v.

Ejemplo. Resolver (sen xy

ecuación diferencial

la

+ xy cos xvI dx + x· tos xU dy = O.

S o 1 u ció n. Comprobemos que la ecuación dada es una ecuación diferencial exacta. Se tiene 8M Ty=iJy

c) (

=:t cos:tu

senxy

+ xycosxy )=

+ x cos :tU-X2!!

sen xy = 2x cos xy-.t2y

sen xV,

.~~ = ;: (x2 cos xy) = 2x ros xy - x'y sen xt), o sea. {1M

(lN

Tg-7jX.

Como vemos, se cumple la condición , U

(x, y) =

.S .+

+ xy cos.xy)

(sen xy

= x sen xy I~

dx

(2). Por consíguiente, v

+f

~

x~ cos xoy dy = xb sen

xoYoi

x sen xy

= e"

Xo sen xaY ~, = x sen. xy -

de modo que

= e + xosen

x sen·xy

XoYo, o bien,

Al resolver agunas ecuaciones

diferenciales se pueden agrupar los términos de tal modo que resulten combinaciones fáciles de integrar. Ejemplo.

Resolver la ecuación diferencial (x3 xy2) dx (x2y ya) dy = O.

+

+

+

(2')

.. E n es t e caso, Tu .tM = 2 .~y, Tx iJN = 2 xy, y S o I u C Ion. se cumple la condición (2); por consiguiente, tenemos una ecuación diferencial exacta: Esta se reduce a la forma du = O mediante una agrupación directa de sus términos. En efecto, escríbámosla en la Iorrna x.ldx

+ xy

(y dx

+ x dy) + y.1 dy = O.

Aqui x3 dx=d

XY(!ldx

(~').

+ xdy)=

y3dY=d( Por lo tanto,

la ecuación d ( ~. )

o bien, asi d

=d(

(x~)'),

~').

(2') se puede escribir

así

+ d ( (X~): ) + d ( ~. ) = O,

[~+ 4

(XII)'

Por consiguiente, la integral y de la ecuación (2'), es:

x'

xyd (xy)

2

+ y'4 ] -,general

O

de la ecuación

(2") (2/1),

+ 2(xy)~ + y·=C.

En algunos casos. por cierto muy excepcionales, cuando (1) no representa una ecuación diierencial exacta, se con55

sigue. hallar' una. Iuncién ~1(X, y) tal que al multiplicar el primer miérnhro !le- (1) por ella, resulta una diferencial (ola";

+ ",N dy.

dx

dU=J.LM

(4)

Tal función fL(x, y) se llama factor integrante, la definición de [actor integrante se llene i)

Según

t)

= ilx

dy (fLM)

(",N)

o hien N~-Mi!J.!..=(~iJx i)y

(IN) i)x

al}

J.L,

de donde N

iJ In

l' _ M

iJx

a In l' = aM _ 2!!... iJl}

dy

(5)

iJx -

Para hallar el factor integrante, hemos obtenido una ecuación en derivadas parciales. Indiquemos unos casos particulares en que fácilmente se- puede hallar la solución de la ecuación (5), o sea, el factor integrante. 1. JI = J.I (x). En este caso, ~~ = O Y [a ecuación (5) toma la forma iJM

dlnl'

--¡¡;-

aN

Tu-a:
(x). (2x2y 2!J 5) dx (2.~ 2x) d!! =O, ¡I =

(g')

-1-

$ (y').

Haciendo g' = p, dlíerenciando y sustltuyendo .dy por p d x, reducimos esta ecuación. ,a otra que considerada en x como función de p es lineal. Resolviendo esta última x = r ip, e), obtenemos la solución genera] de la ecuación inicial en íórma paramétrica: ' x=r(p, e) g=r (p, e) q> ()P

} (p p + 'e,,()

es un parámetro).

Además. la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares (véase § 11) de la forma y = .p(c)x $(c), donde e es una ra iz de la ecuación e = ~ (x, a).

Eliminando el parámetro la ecuación diferencial

"a" entre

(2) (1) Y (2). obtenemos

F(x. y. Y')'PO.

(3)

que expresa una propiedad común de todas las curvas de la familia (1). La ecuación (3) es la ecuación diferencial buscada de la familia (1). Si una familia monoparamétrica de curvas se determina por la ecuación O).

di

364. u=C,lnx+Czlnx

+

(1-

2

+ (In x + }

' } '

(x>

1),

1) y ~ O.

!/'(I +2Iny/= u"eV',(y'

+ 2) ...

l. 1.

367.'

X

_..!..

=G., +C,(I

2

sen

21) } ,

2(1 - y)!I' = 1 + y".

yo: 1- C, sen2t

1

x~~lnt+~ 3.68.

I

3

y"t _ 2y'y~' + 3 =O.

'

y=-;¡-/+Tt' Verificar que las funciones dadas son .Ias. soluclonés generales de las ecuaciones correspondlentes:

369. y=C,senx+C2cosx, 370. y=..!..(C,e' +C:¡e-·). JC

y"+y=O. xy" 2y' - xy =0.

+

371. y=C,x+C21nol". 372. y373. x

x2(1 -

lI(x + C,)Z + C.. + C. = y3 + C,II.

yy" y"

374. :c+C.=lnsen(y+C,),

+ .~y' -

+!/

y=O.

= 1.

+ 6yy'> = O. y"=y'(I+y")

.

• senl

f -,-di.

375. y=C,x+C.x

o .t sen

In x) y"

x . y" - x COS x . y'

+ cos x . y = O.

Verificar que las relaciones dadas son integrales nerales o particulares) de las ecuaciones indicadas:

(ge-

3

C.)2= l.

y"=(1 yV'=1.

376. (x- C,)2+(y_ 377. tr=I+(I-xJ2,

378. sen (y - CJ =c'-c"

y" = y' (1

379. C,x+C.=ln(C,y-I), 380. Y In y ~ x

•

+ J el' di.

+ y")"'i.

+ y'.).

yy"=y"+y' y (1

.

+ In y) y" + yr = 2xye".

o R.EDUCCION DEI. OR.DEN DI! LA ECLJACION Señalemos otros tipos de ecuaciones permiten reducir el orden. ). ¡¡"'y=O, y(O)=y'

y"(n)=O.

(0)=0, u(n)=y"(n)=O.

762. ylV - ¡,'U = O, y (O)= U' (O) = O. y (n) = y' (n) =O. 763. y'"

+ ay"

- a2y' - a'g= O,

g (O)=-Ü.

1

+~, [1(1)=0. 2U'" + 2y" - 2y' + U = cos2x,

g'(O) = J

764. UIV y(O)-

u(n)=~,

y'(O)

=~,

U'(n)=fs..

N o t 8. Los valores propios de los problemas estudiados anteriormente forman una sucesión numérica ere143

dente. Si los coelicientes de la ecuación diferencial lienen un punlo singular en la Frontera del dominio Iundarnental o si el dominio Iundarnenlal es inlinllo, 'por ejemplo. Iodo el eje numérico. el espectro. o sea. el conjunto de los valores propios puede tener otrn estructura En particular. puede haber espectros Que contengan todos los números de algún intervalo de vnlores h. denominados espectros continuos. Por ejemplo, supongamos que se necesita resolver la ecuación r/' + J,y = O para el intervalo - 00 < < Jo: < + 00 con las "condiciones de contorno": y(x) tiene que estar acotada en el infinito. Está claro que, en este caso, cualquier número J. no negativo es un valor propio al cual le corresponden las funciones propias sen x y tOS Vig. Al resolver los problemas de la física matemáttca que dan lugar a problemas de determinación de los valores propios, frecuentemente resultan ecuaciones diferenciales de la íorma

vr

(p (x) y'l' - q (xly

+ J.p~x) IJ =0

(4)

tales que en puntos finitos del dominio fundamental puede haber singularidades de la ecuación diferencial: por ejemplo: se anula el coeficiente p(x). Para estos puntos stngulares. las condiciones a satisfacer aparecen del carácter mismo del problema; por ejemplo: que la solución sea continua o acotada, o bien que sea infinita pero de oro den no superior a un orden prefijado. Estas condíclones desempeñan el papel de condiciones de contorno. Un ejemplo tipico es la ecuación de Besset (xy')'

+:» "' + J..xy =0,

(51

que aparece en los problemas de la física matemátlca. En este caso, p(x) "'" x y ya no se cumple la suposición hecha anteriormente de que sea p(x) > O en todo el dominio fundamental O."; x.s; 1, puesto que p(O) = O. Para, la ecuación de Bessel, x = O es un punto singular. La. exigencia 0 lim x?q(x).

xp (xl.

),'... 0

(18)

Supongamos que PI y fJ2 son las raíces ele la ecuación dcrer rnlnativa (17)_ Distinguiremos tres casos: 1. Si I~ diferencia PI - P? no es un número entero o cero. se pueden construir dos soluciones de la forma (16): y, =);1"

.. ..

~ tkX' k=O

!h = :&1 ~

h=l)

AkXk

(co ~ O).

(Ao

* O).

2 Si la dHerencia PI - [>2 es un número entero positivo. por lo general. solamente se puede construir una Serie (solución de la ecuación (1»: (19) 3. Si In ecuación (17) posee una raíz múltiple PI = P2. también se puede construir solamente una serie (la solución (19». Está claro que en el primer caso las soluciones y, (x) e Y2.(X) construidas son linealmente independientes (o sea, la razón de las mismas no es constante). En el segundo y tercer casos. se ha construido solamente una solución (19) Señalemos, sin exponer la demostración, que si la dilerenvia PI - P2 es un número en-

100

tero positivo o cero, además solución de la forma

~

Y. = Ay, (xl In x Vemos.

pues,

complementarlo

(19l habrá. una

de la solución

+ x'" .1>00 ~ Akxt. Y2(X)

que ahora de la forma

contiene

(20) un sumando

Ay, (xl In x, donde 11' (xl se expresa en la O b s e r v. a ció n. Puede en (20l sea igual a cero. y expresión en íorma de una zada. ·Ejemplo

1. Resolver 2x2y"

S o 1 u ció

la ecuación

+ (3.. -

2x2, u'>: (x

n Escribamos

Y"

íorrna (19). ocurrir que la .constante A entonces, para Y2 resulta liná serie de potencias generali-

+ ~.,2x' - _2x'

+ 1) Y =O.

(1)

(1) en la ícrma y' -

.:..±..!. 2x'

y

=

°

(2)

o bien (3) Busquemos

la solución

11 (x) en la íorma ec

tI (xl = x· ka{) ~ c,«

•

Para

hallar

p escribimos

(4)

(C.oFO).

la ecuación

determinativa (5)

donde aú c=

r~I~O 3- 2.' -2= "23 '

K

b = 11m ( --, ... 0

+ ¡) =--,I 2

2

o sea, 3 I p(p-I)+'2p-'2=O'

o bien,

151

De aquí.

De acuerdo a la regla expuesta tomamos (x> O).

.. y,(x) = ~~ A •. t..o

(6)

rt.

Para Hallar los cceíicientes CO. C, •.... Cn. ... sustituimos Y, (x) Y sus derivadas (x) e Y~(x) en la ecuación (1). Se tiene

g;

(7)

-

.. (

1) (

1)

t(x) = ~ k+ '2 k - '2 C.x .2"

Después de las trnnstormacícnes,

-

~k(2k+3)C.x

-

(8) loma la forma

..+! ·-~2(k+I)C.x

•...;

'=0.

(9)

Como se busca una solución para x> O. se puede si mpll ficar por x~'" y obtenemos:

152

De aqui, hallamos los coeficientes:

Haciendo

las relaciones

x' x~

1·5C,-2·ICo=O 2· 7C2 - 2 . 2C,

x3

3 • 9C9

x"

ti

(2n

para la determinación

=O

2 • 3C~ = O

-

+ 3) C. -

en la primera

de

(II)

2IlC._1

ecuación

=O

de las

relaciones

(11)

2

Co = l. obtenernos, C, = 7;' De la segunda De la tercera Fácilmente

ecuación

De este

que

2"

(II=I, 2, 3, ... ).

... (2,.+3)

-n

t7 .

Cj = 5 .~. 9'. etc.

ecuación. se observa

e = 5.7.9

C2 =

se tiene

modo. Y,

(X)=.J[I

+~

5.7.9

k_O

De modo análogo se hallan Resulta que para Ao = l.

.~~);2k+3)]'

también

los coeficientes

(12) AA.

A,=I, de modo que (13) La solución

general

de la ecuación (1) es:

y (x) = Ay, (x) donde YI(")

+ By, (x),

A y B son constantes arbitrarias y las funciones e !/2(X) están dadas por las iórmulas (12) y (13). 153

2. La ecuación de Bessel

Ejemplo

+

x2y"

+ (.~2 -

xy'

p") y = O.

(1)

>

donde p es una constante dada. p O. S o i u ció n. Escribamos (1) en la forma gil

=!..

P (x)

Aquí,

x' - p' +""71 y' + -;t-'-

q (x) = x' -;/'

"

(véanse

(2)

las fórmulas

(15»,

x

de modo Que

ao= lim xp(x)= ...0 b _l' ., ( )_ o-Imxqx--p

y = o.

I

}

(véanse las fórmulas

2

(18».

...0

La

deterrnmauva

ecuación

para pes:

p(p-I)+I·p-p2=O,

bien,

Las raíces de la ecunción

p, =J) P.=-p Buscamos

Bessel zada:

la primera

solución de! una

(1) en forma

(3)

()'_/)2=0

(3) son: ).

(4)

particular de la ecuación de serie de potencias generalí-

~

y =xP

l: Ckx',

(5)

k=U

Reemplazando

~

X2 ~ .~

Ck (k

y, y'

e

y"

+ p) + p-l)

o: bien, después

Iicación por xP:

(ll

en la ecuación Xk+p-2

(1),

resulta

~ + x k~1: el (k+p) xk+p-I + ~ + (x2 - p~ k_O 1. C.~HP=O,

detranslormaciones

elementales

.

y sirnpli-

De aquí. igualando a cero los coelicieníes tencias de x, se tiene. {p' - ¡r)Co=O. [(1 p}2 - pZl

J!'

+ + pJ~+ p)" + p)2._

p~j 42 pZjC3

I(k

+ p)2 -

pi]

X2

x'

+ Co =.0, + e, =0.' + C2=0,

rjC.

e. + C.-z

(7)

., ,

~

.

o,

La primera de las relaciones (7) se cumple para quier valor del coeficiente Co. De la segunda relación (7) obtenemos: e, = O. De la tercera: C C. c. 2=-(2+p]1

De la cuarta: De la quinta: C _ 4-

-

Es evidente par son iguales

cual-

p'=-Z'(I+P)'

C3 = O. C, (4 ... p)'

Ce

= 2'

p'

que todos a cero: C2k+l =O

e

(-1)' Ca

Para simplificar

...

+ p) (2 + p) . 1 • 2

.

de subíndice im-

(k = O, 1, 2, ... )

de subíndice

= 2;;; (p + I)(p + 2)

(1

los coeficientes

Los coeficientes 2~

po·

e, =·0.

[(2 x3 ((3 x· 1(4

x'

en distintas

(8)

par son de la forma:

(p + k) • kl

los cálculos

(k = 1, 2, ... )

ulteriores,

e0-_' z/lr{v){p+I)' 1

(9)

hagamos (10)

donde T'(v) es la función Gamma de Euler. La función Gamma dé Euler 1'(\'1 se define para lodos los valores positivos (y también para todos los' valores 155

complejos cuyas partes reales sean positivas) siguiente:

r (v¡ ===

.. f e-'

X·-I

del modo (11)

dx.

o

La función Gamma posee las siguientes

propiedades

importantes: 1. I'(-y+ 1) = vf'{v). 2. 1'(1) ... 1. Si k es un número entero positivo, se tiene: 3.

r(v+k+

4.

r(k+t}=k!

I)=(v+

1)(,,+2) ... (v+k)r'(v+

1)

Aplicando (lO) y las propiedades de la función r ocupémonos de la transformación del coeficiente C?~: C

(-1)' ... (1,+ k). kl.i"r

?A0= 2'. (p + 1)(,,+2)

=

(p+ 1) (-1» (p+ k

~+·-.,r

+ 1)

pues, en virtud de la prorledad 3, (p + I)(p + 2) ... ... (p+k)r(p+ 1) es igua a r(p+k+ 1). Ahora, la solución particular de la ecuación de Bessel, que a continuación indicaremos con /~, toma la forma (12)

Esta función se llama

función

de Bessel de primera

especie

de orden p.

La segunda solución particular de la ecuación de Bessel (1) la buscaremos de la forma

..

!I

=x-' ~ C.xo,

(13)

0-0,

donde - p es la segunda ralz de la ecuación determinativa (3). Está claro que esta solución puede obtenerse de la solución (12) sustituyendo p por - p, puesto que en la 166

(1) P está elevado a una potencia par y no varía al sustituir p por - p. Asi, pues, ecuación

Lp(X)

~

(_I)k

= 1.J 'klr(k+

I

p)

*-0

("')2'-_ T '

(14)

Esta función se llama Iuncíén de Bessel de primera especíe de orden - p. Si P no es un número entero, las soluciones J,~(x) y Lp(x) son linealmente independientes, puesto que 'sus de: sarrollos en series eomíenzan con potencias distintas d'e x y, por consiguiente, la combinación lineal a,/p(x)+ + a2J_p(x) puede ser igual a cero idénticamente sólo para a, = O, m =lo O). lntrcduclendo una nueva variable t y una nueva íuncién " según las fórmulas

u=(v) -t I

158

11,

se reducen a la ecuación de Bessel t2~+1

.,2) u =0,

~+(12_ di

dI'

donde a -

i>.

,

«=-2-'

2

m

"'=T'

Cuando e = O y cuando ecuación de Euler. Inlegrar mediante diferenciales:

770. (1

(a -

7

1)' -

P =

= O,

111

series

768. s'>: 2xg=O, 769. 4xy"

Vc

Y=-'-II-'

m'

4b.

.

(2~)

la ecuación

(21) es la

siguientes

ecuacíones

las

y(O)= 1.

+ 2y' + g =O.

+ xl y'

- ny = O.

771. 9x(I-.()y"-12!1'+4y=0.

+

gil XV' + y=O. 773. y"-xy'+y-l =0,

772.

g(O)=y/(Ol=O.

En los ejercicios 774-778 hay que hallar seis términos del desarrollo de JI (x). 774. y"-(I+x2)y=O, y(0)=-2, y/(0)=2. 775. JI"=x2J1-

y',

y(O)=

1,

y' (O)=0.

776. gil - ge'" = O. 777.

s' = X2 + g2.

778. !J' = a" Hallar

+ xg.

las soluciones

1/(0)=0. g(O)=O generales

de las ecuaciones

de

Bessel: 779. 780. 78 J. 782.

X2J1"

+ xy' + (4r - -b-)g

xV' + xg' + (x~ - *) 9 , 1 gil + -;¡ !J' + 9' y = O. y" + L y' + 4y "'" O. x

783. X·y" - 2xg'

+ 4 (x'

- 1) y

=0, O.

= O. IS9

· I

I

784. xY"+2'Y'+-;¡-y=O.

+ ¿ y' + !J = O. V',.+ fv' +4v=O.

785. V" 786.

Demostrar

la justeza

de las siguientes

relaciones:

787. J~(x)=Jp-t(x)-7Jp(x}. 788. l~(x}=-

lp+I(x)+';Jp(x). 2p

789. 1P+I(x) =71

(x) - 1p-J (x) ..

p

+

790. l~ (.~)= Jo (.~) 791. J2(x) -

+

J~ (x).

Jo(x)=2J({(x).

+

792. 13(x) 3J~ (.r) 4J~" (x) = O. 793. x2J~ (~.) = (¡Y - p - x') J o (x) XJI1+1 (x). 794. Comprobar que soluciones de la ecuación

+

VX

J, (2

VX)

y

V:;: Y,

Vx)

son

VX /"i (VX)

son

(2

xV"+y=O. 795. Comprobar soluciones

Vx 1-~ (Vx)

que

I

y

I

de la ecuación 1

xy" +2'y'+-;¡ 796. Comprobar

1

y~O.

que x

C,/p(x) es solución N.o t: a ecuaeíones sencillo al

r IIr(l)

+C.Jp(x)

de la ecuación de Bessel. 3 -. He aqui otro método de. integración de las diferenciales mediante series que resulta más emplearlo a las ecuaciones dlíerencíales no Ji.

ncales. Sea dada la ecuación diferencial y,r.J=f(x, y, y', ... , ylr.-Il) 160

(1)

v las condiciones iniciales

y I,_x. = Yo' y' 1,=,. = !I~. "" yl O. Punto de reposo Inestable

(nodo ines-

table. ¡¡~ 33. 3~). 1811

Ejemplo. Determinar

el carácter

del punto de reposo

(O, O) del sistema d.c =5x Ti

g

Ti= 'fy 2 x+Y

s o I u ció

n. Formamos

I

-1

2

I

6'-

J.: -

"

la ecuación característica

S-A

o bien,

1

-J.

1=

O,

+ 7 =O.

Sus ralces z, =3 + ¡/2' > O,J-2=3- ¡/:r > O, son reales, dlstlntas y positivas. POr consiguiente. el punto de reposo (O, O) es un nodo tnestable. Determinar el carácter de los puntos de reposo para los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: d"

849.

di= ti d~

3 + x y

=-2%+

I

J. 1

Ji"=-x+3y ti

855.

•

7t-=-x+y 2

ds

852.

-¡¡¡=-

X-Yt

1

!J!...=3x- y 7T= dx 3x+7y d d~ dx

'iii' 854. 190

=2x

+ 5g

856.

.

1

857.

•

= -2x + l'5 y

d" -¡¡=7.t -3g

U

d

ti: =x-3g :: =3x d

_J!_=3y dI

l·

•

1

Ti=-x-y ¡Ix d.

I I

,/: =x+y

di

853.

•

dx =3xdi

J

¡

2y

d

j',=x+y

y

dx

851.

Ji"=-x+ dx 850.

¡ •

•

858. ¿Par:] reposo

\0. O)

tfll~ valores de ~ es estable que sigue?

del sistema

2

di=

de

¡

I

dx

di=-3x+o.y l/y

el punto

x+y

J

.

N o t a. Sea dado un sistema les lineales dx,

de ecuaciones diferenciade coeficientes constantes

homogéneas

..

~

-¡¡f-=-'.JD¡¡X¡ i=t

(i=l.

2•...•

(11;;;;'2).

tt)

(3)

Para este sistema subsisten tipos análogos de dlsposición de I~,; curvas integrales alrededor del origen de coordenadas (punto de ensilladura generalizado. nodo generalizado. ele). En este caso, sí las parles reales de todas las raíces de la ecuación característica del sistema (3) son negativas. el punto de reposo de este sistema X, ES O (i = 1, 2..... lt) es asintótlcamente estable. Si. al menos para una raíz de la ecuación caracteristlca, la parte real es positiva. el plinto de reposo es inestable. Ejemplo. ¿Es estable sistema que sigue?

el punto

de reposo

(O. O. O) del

~; =_X+2j úY=_2y_z Úl

de

dí=!f-Z S o l u ció

n, Formamos -1-'0 O· 1

°

la ecuación

O 1 -2-).-1 I

caraclerlstica

I

=0,

-I-J.

o bien, (1 +t..)(_.2+3'A+3)=0.

Las parles reales de las raíces de la ecuación caracte3. ± 1 -2'Va son nega tiivas. p or ns. uica "'1= - l'• "2.3= - '2 consiguiente. el punto de reposo del sistema dado es asíníóticarnente estable. J91

3. EST.~BILlOAO

SEGUN LA PRI.MEr~A ¡\PROXIMACION

Sea dado un sistema

de ecuaciones

ds¡

(jf=f¡(xl•

x.)

X2 •••••

y sea XI ES O (i = l. 2, ...• mismo, o sea.

tilO, O•...

,0)=0

diferenciales

(í=I,

2, ...•

,¡) un punto

(1)

11)

de reposo

del

(i= 1,2, ... , ,¡).

que las funciones f¡(xl. X2, .•. , x ..) son dilerenciables en el origen de coordenadas una cantidad suficiente de veces. Desarrollando las funciones Ji por la fórmula de Taylor, según las Xt, en un entorno del origen de coordenadas, resulta Se supondrá

dXt

"

,..,

Tt= ~ at/x,

+ Rt (x¡,

/=1

donde a.¡ = dftfO.

xz, ... , x.)

g'x, " ..

O)

•

(1 = 1,2 •...•

Y R, son los termines

n), (2) ínüní-

lésimos de segundo orden con respecto a XI, X2, ••• , En lugar de! sistema (1) consideraremos el sistema dX1

~

di ="" a.¡»¡

(i= l. 2, .. " n)

·(au=collst).

x•.

(3)

1=1

denominado sistema de ecuaciones de t,'ra aproximación para el sistema (1). Subsiste lo siguiente: 1. Si las partes reales de todas las raíces de la ecuación caracteristica

a'I-').. Q.¡ll

an,

a'2

ato

aZ2 - ,.

. '.

a,,?

.a~•. a.n -;.

1=0

(4)

son negativas. las soluciones nulas x,,,,,,O (i= 1,2, "', n) de los sistemas (3) y (2) son asintótica mente estables. 2. Si la parte real de al menos una raiz de la ecuación característica (4) es positiva, la solución nula del sistema (2) es inestable. 192

3. Si las parles reales de todas las raíces de la ecuación característica (4) 110 SOI1 positivas, siendo igual a cero la parte real de al menos una rai~, el estudio de la estabilidad según la primera aproximación es. por lo ge· neral, imposible (comienzan a influir los términos no lineales de RI)' Ejemplo. Estudiar

según la primera ap= O del sistema

la estabilidad,

roxtrnaclón, del punto de reposo x = O. !J x,.,.2x+y-5y;. } g=3x +0+ ~ . = ~;,

(i

S o 1 u ció

11.

El sistema

de primera

J=2x+U,

ü=

~n·

aproximación

(5) es

}

g=k+O;

~

los términos no lineales satisfacen a las condiciones neo cesartas, pues su orden es ;;:: 2. Formamos la ecuación característica para el sistema (6): 2-'.

3

1

1 I t _", = O.

i" -

o bien.

Las raíces de la ecuación caracteristica l•• -

3- 1((3 --2--

son

reales

(i)

> O.

y l.,

3", -

Por

I = O.

i.,= 3

(7)

+ ,'-

2 la •

consiguiente,

la solución nula x = O. !I = O del sistema (5) es inestable. Estudiar la estabilidad. según la primera aproximación. de la solución nula x = O. !J O de los siguientes sistemas:

=

.~ =x 859.

+ 2!1-

sen y'

!i=-.~-3!1+x

i =- x + 30 860. . y=-x-4y+

}

l I:

(" T e - I

+ .(.sen g t -cosy

i:=-2x+8senZy} 86 t. !i = x _ 3!1 + 4x3

,

}

.

.

+

.(= 3x - 22sen '/ X2 862. Y. = sen x - •:>y +' e'-'1

-

y3 } . 19.1

+

1

·i =-1 Ox 4eY - ·1COS!/ 863.. 11= 2'e - 2 -y+'" .... t =e 7 x

864..

865.

U=c'

,

+ 2 sen U ~ -

3

3 x x. = - ~

f¡ = - y i =

í xe'

866.

fJ = 2x

!I-

I

~'

}

+I"..x'

+ li'I sen MU 2x + )..'" - ¡/ - 3y + sen ,r2 = (n - 2m)T' Esta claro que para la estabilidad de la solución de la ecuación el) es necesario y suficiente que sea m = O. 2{)()

Criterto de Mijáiíov. Para que la solución nula y"" O de la ecuación (I) sea estable, es necesario y suficiente que, al variar ~l desde O hasta 00: 1) el vector l(ioo) efectúe una rotación en un ángulo

+

cp = It

i,

o sea, que M ~ vueltas

en dirección

contra-

ria a la de las llguJas de un reloj, 2) el hodogralo de J(ilJ)) no pase por el origen (O, O). De aquí se deduce que, para que la solución de la ecuación (1) sea estable, es necesario que todas las raíces de las ecuaciones '1(00)=0, v(IJ)=O sean reales y se alternen entre si, es decir, que entre cualquier par de raíces de una ecuación haya una raíl de la otra. !J s

la estabilidad de la solución

Ejemplo. estudiar O de );1 ecuación

+ y'" +4y" + y' + y=o.

ylV

s o Iu e í Ó

ll.

nula

Formamos

1" ecuación

caracleristica

f(í.)=}"+i.3+4},'+~+

l.

Se tiene, [(;(1))=(1)'

-1Cú"-4ro'+

iro+ 1,

4(1)'+ 1, v(w)=-(I)3+(I)=ro(I-(I))(1 II(W)= O en la solución x = cp(l) de la ecuacién degenerada (4), ésta es inestable. Si la ecuación degenerada (4) tiene unas cuantas soluciones x = Cf,(I) (i = 1, 2, .. _, m). se debe estudiar la 204

estabilidad de cada una de ellas mediante los criterios' y 11 expuestos. En este caso, el comportamiento de las curvas integrales de la ecuación diferencia I (2) cuando e - O puede ser distinto y depende de la elección de .las condiciones iniciales (del punto inicial (lo, Xo». Es posible también el caso semlestable, cuando al pasar por la curva x = O, las curvas integrales de la ecuación (2) que Re aproximan a la curva IC = lo (el punto inicial (lo, )(.0) tiene que estar situado en el campo de atracción de la solución semieslable x = q¡(IJ; si (lo. )(.0) está situado en el campo de repulsión, la curva integral correspondiente de la ecuación (2) se aleja rápidamente de la curva x = O para lo"¡;; t < 1, Y '1>' (1) < O para I > 1,. entonces. siendo suficientemente pequeño E, las curvas integrales que parten de! punto 205

(to, .to) , perteneciente

al campo de atracción de la raíz próximas a la curva x = cp(t) para (o 11 < (< 110 ó > O; en un entorno del punto 1 =:; 1) éstas se cortan con la curva x = (o (lig. 40). Puede uno convencerse de esto haciendo una prueba directa. Resolviendo I~ ecuación diferencial (5) corno ecuación lineal no homogénea con la condición inicial dada x·I/.t, = xo. hallamos: I-t.

x(/, e)=(xo206

t~+2elo-

2e~e --.-

+ 12 -

2el

+ 2e2,

de donde directamente

se observa

que, siendo I

> lo, o

sea,

l-fo>Q,

Ejemplo

2.

x (t, e) ~ f2 cuando 8 -- O. Lo mismo para la ecuación e ~~

x (e' ~ 2}.

=;o

Aqul, la ecuación degenerada x(eo' - 2) = O liene dos soluciones: 1) x~O. 2) x=ln2. Se tiene iJIU.x) iJx

I

,r.=ij

=(e"-2+

te')

~

I.\'-0'=-1

de modo que la solución x = O es estable; al~; xl

L"I'"

= (e' - 2

de modo que la solución x rada es inestable Hig. 41).

I

(le ro

+ xe-') '.,>=1,,,, = 21n2 > O, = In 2 dé la ecuación degene-

I

),.~, F.g 42

Fi~.41

Ejemplo

3.

e ~~ =(x-t)2.

=

=

La ecuacién degenerada [x - fJo O tiene la ralz x t de segundo orden. Como en un entorno de esta raíz se liene 1(/, x)l!!!(x-fl'>O. '. dx

,"

908. e ~~ =.~(l' 909. e

I~; =

(x -

+ I-

x).

i) (x -

el).

910. e ~~ =x!-(l. dx

911. &/i/=xf, 912. e

I~~

_P_I).

=(x-tl(ln,~

11,< _(91 3. E/i/

I

+ .\,.)2

tí x

914. eTt=x-t+

1.

§ 21. METODO OPERACIONAL y SU APLlCACION LA RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES

PARA

l. LA TRANSFORMACION DE lAPlACE FUNDAMENTALES EL

OOJE1'O

y

SU

y PROPIEDADES

IMAGEN

Se llama fttncl6n.-objelo una función compleja de variable real f (/) que cumple las slgulentes condiclones: 1) !(I)=Opar,,«O:

2) {(/) es continua junto con sus derivadas de orden suficientemente grande en todo el eje l. a excepción de algunos puntos en los que f (1) Y sus derivadas tienen discontinuidades de primera especie, siendo [irrito el número de tales puntos en cada intervalo ¡¡nito del eje t. :J} al aumentar l. el crecimiento del módulo de la función f (t) 110 es superior 111 de al¡::una función exponencial, es decir existen unos números M > O Y so;;;;' O, tales que

I[(/) I < Me'"

(1)

para todos los valores de l. El número So se llama exponente de crecimiento de la función {(I). Se llama imagen de la lunctén-objeto (según Laplace), la función F(p) de variable compleja p = s jo determinada por la lórrnula

+

..

F(p)=

f

di.

{(I)q-P'

(2)

"

siendo Re p > So, donde So es el exponente ele crecimiento de /(t). La condición (1) garantiza la existencia de la inlegral (2). La transformación (2), que hace corresponder a cada Iuncíón-objeto [(tI su función-imagen F(p), se llama translormacior; de Laplace, lo cual se anota escribiendo:

f (1)

* F(p).

Subsiste el siguiente teorema: Si f (1) f (p), en cualquiera de sus puntos de continuidad la función f(1) se determina así:

*

0+1_

¡(1) = ~¡

f

eP'F (p) dp,

(3)

a_l.

donde a+feo

f

0 ..../00

d+ll)

e"'F(p}dp=

11m b ..

f

ePtF(p)dp

+00 o-lb

(la fórmula (3) se denomina fórmula de inversión par a la transformación de Laplace]:

llROPII:J.l1AOES DE LA TRANSFORM.\CION

OE LA.PLACC

1. Propiedad lineal. Para cualesquiera constantes plejas ct. y ~. se tiene al (1) + M (1) =1= aF (p) + po (p) (aquí y a continuación

se supondrá

=1=O(p). 11. Teorema de semeian za. Para r.x>0

como (4)

que 1(1) =1=.F(p).

g(l)

cualquier

constante (5)

Si í'(f) es una

111. Derivació/l de la [unción·obie/o. íunclón-objeto, se tiene

I' Ge

f (O) .• ¡

(t) =1= pF (p) -

(6)

e r al iza ció n. Si l{l) tiene derivadas contínuas hasta el orden n en (O. + (0) siendo f(nl(/) funciónobjeto. se tiene ¡tnl(/)=1=

11

P"F(p) - pr.-lf (O) - p'-Y (O) -

IV. La derivación

de la imagen

multiplicación de la función-objeto mado con el signo menos. es decir,

...

-

r» (O).

(7)

es equivalente a la por el argumento to-

f'{p)"=-If(t)·

(8)

Gen e r a Iiza e í ó n, (p),,= (-1)"

f{r.¡

V. La integración

I"f

(t).

de la función-objeto

división de la imagen por

(9)

se reduce a la

p:

t

J !(I) di="•

o

F(p) p

(10)

') Aqui y 3 continuación, la notación f(O) tiene el significado siguiente: f (O) = 1(+0) = lim f (~~ 0.1 mismo modo. ('(O) .... . x~o+o ... , /(" - )) (01 son abreviaciones de los límltes a la derecha correspondientes. (Nota del r.)

210

VI. La integración de la imagen división de la [unción-objeto por t:

..

f F(p)dp,,= Teorema

posítivo

'1'.

de la tarlallza.

(11)

/~I)

J F(p)dp

(se supone qne la integral VII_

es equivalente a la

es convergente],

Para cualquier número

se tiene: f{i-'t)Fe-PtF(p).

(12)

VIII. Teorema del despíazamienlo (multiplicación de la íunclón-objeto por una función exponencial). Para cualquier número complejo A. se tiene (13) éll (i) F F (p - 1..). IX. Teorema del producto (E. Borel). El producto de dos imágenes F (p) Y G(p) es también una función-imagen, siendo I

J f(-r)g(i-'r)df.

F(p)G(p),,=

(14)

o

La integral que figura en el segundo miembro de (14) lleva el nombre de convolución de las funciones (factores] 1(1) y g(l) Y se denota por

,

(f·g)=

f f('r)g(t-'t)d't. o

El teorema IX afirma que la multiplicación genes es equivalente objeto:

a la convoluci611

F(p) G (p)".. ({-g).

X.

de las imáde las [unciones-

(15)

Para que la imagen es necesario y suficiente que la función-objeto 'ti) sea una combinación lineal de funciones de la forma ¡mél (m es un número entero no negativo. A. es complejo) . Teorema de la imagen

racional.

F(p) sea una función racional

...

211

XI.

Cálculo

de la [unción-objeto

cuando

la imagen

es

una ¡raCclÓtl racional. Supongamos que F (p) es una íracción racional propia, cuya descomposición en fracciones simples es: (16)

donde Mk,. y P. son unos números

complejos.

Entonces, (17)

será una íunción-objeto cuya imagen es la función I'(p). En particular, si lodos los polos de I'(p) son simples, se tiene: (ti) = 1:. M"e"k', (18) donde

•

M. = Res P (p). Pk

¡:~

Si F(p) = ~ es una fracción racional, siendo el grado del polinomio A (p) menor que el del polinomio 8 (p) la Iunción-objeto correspondiente a F (p) es: n

f(I)=

~ I d .-' ~ (ti _ 1)1 lim ~ k k .-)p.dp

(

F(p)(p-

P.)'.

ePI),

(19)

donde IJh son los polos de F(p), n" son sus órdenes de multiplicidad y la suma se extiende a todos los polos. En particular, si todos los polos de F (PI son simples, la fórmula (l~) se simplifica y toma la forma "\.-., A (Pk) Pk' f) (t = J.¡¡¡--"( ).e . ~

p.

Ejemplos: 1. Hallar la imagen de la función unidad (función salto unidad) TJ(1) (Iig. 43): TJ({)= 212

O para { l para

t O.

{20)

de Heavislde

(21)

s o I u ció

n. Según

(2) y (21). si tiene:

w

'](1)*

,.

J• e-p/'l(I)dl=

J

u

o

1 e-P/dL=-¡;(Rep

>0).

Asi, pues,

r¡(i),,=.!.. .

(22)

p

2. Hallar (Hg. 44).

de la función

la imagen

"escalera

regular"

. .0

r-! I

I .....----1 I I

s« 11

I

2a

7 } __

I I

I I I I I

I I I I

fa

~---i

1

1

zr

3r

~f

t

Fig.44

Fig. 43

S o I u e ¡ ó n. Se tiene f (1) Z~) + ...}. Por el teorema

+ '1(1 -

f (1)

I

¡---1

* a (..!. + .!..ep

La expresión entre trica con la razón ésta es convergente

paréntesis

q = e-

de la tardanza,

+

r) resulta

+ .Lp e-2p' + ...).

P'

p

= a ir¡ (1) + '1 (t -

es una progresión

p'.

Como y obtenemos

geomé-

!q! = !e- ,! = e-" < 1,. p

f(l):i=!!..·--I- . • P I -e-P' 3. Hallar la imagen de la [unción es un número complejo arbitrario. S o l u ció n. w

é'

*J u

f(l) = eA', donde

)"

w

e-P/(/.'

di =

I

e-(P-kl'

di = __ 1p-).

u

213

si Re (p - }.)

> O, o

sea. si Re p

iI"*

> Re}"

Así, pues. (23)

P~A'

si 1.= 1. se tiene

En particular.

1

l.

e""'p_l' y si

~=-I. e

4. Hallar

-t

1 ""'p+l' .»

la imagen de la función

,+

Se tiene ch/=.!__,f-.

Solución.

lineal y 1,,, resultados

Aplicando 1

F (p)

en

1 (p-I)'

fracciones

I

-21

1

p+1

1

-3' Hallando f(l) =

-

p-2

p'-p+l'

la función-objeto para cada sumando, obtenemos:

3,3,1, se - T1e +T

12e

I

1+

2fc-l_

-

'3 e"

Va-1

C052

n....!.. +-3-ezsen-r"

+ ,fa-

8. Hallar la Iuncion-objeto, si la imagen es: 2p+3

F(p)= p'+4p'+3p' S o I u ció n. 1" fracciones simples:

Descomponemos

método.

F(p)

en

F(p)='!"_"!"._I __ '!"._IP

Hallando nemos:

2

la Iunción-objeto f(t)=

p+1

para

2

p+3'

cada

l-fe-'-fe-3t-

2" método. Apliquemos la fórmula (20). Como los polos de la función F (p) p,=O, 216

p.=-I,

pa=-3,

sumando,

oble ..

son simples y A (p)= 2p

se tiene

f (1) =

+ 3.

8(p)=pl+

8'(p)=3p2+8p

e"ot

A (pJ B' (PI)

+ B'A (p,) (p,)

ep,1

4p2 +3p.

+ 3.

+ B'A (P.) eP" = (p,) = I - Te-f

- Te-3I.

En los siguientes ejercicios hay que hallar la imagen de la función-objeto

dada:

915.P-2/+2. 916.

+ .41 + 41. 2

/3

917. (1-2)",)(1-2).

918. te:", 919. (1

+ 2) I~t.

920. eh' [11. 1)2el-t 1](1- 1)

921. (t -

922. eol sen ~t. 923. 924.

eSI cos 31 cos 41. e' r.-a, sen (1- a) r¡ (t - a).

925. e'il sen (1 926.

927.

+ f).

eal cos (1 + ~J, ~ > O.

se;1 t

928 . e

-~t

. sen t t'

929. sen 51 sen 21. 930. sen" 21. 931. lehl. 932. I sen t. 933.

tOS

21 cos 4.t.

934. ros' 41. 217

En los siguenles

y hay que hallar 935.

936. (p' _

1 944. ,,'-1

+St>

.'l' (a

es una constante).

.

Pl-'!P

945. p'+4

• ('

-7

kl

•

F"

946.

938.

2 (p-I)(,,-31'

947. p'+9p'+'np+25

939.

31'+ 19 ?p+Sp+ 19 •

940. (p' + 941. (p -

2.

ejercidos están dadas las imágenes Iunciones-objeto correspondientes:

~fJ+3

11'+ 41"

p'+a2

937.

las

,,'+9

.

(p+

948.

I p + 1» • 1 1)1 (p +

949.

I)'(p

+ 2)'

~p+5 1"-6/1+

12 •

+

3.

p'

21"-

3

=i »

2) .

942.

2p' - 2112p 1" -3p·+ 2 •

943.

1 1'1+1'+1

950.

• -/,-,-

•

ECUACIONES LINEALES DE COEFICI_ENTES CONSTANTES

Sea dada una ecuación diferencial orden de coeficientes constantes

lineal

de segundo

+

x" (/) alx' (/) + a1x (/) =f (1), Y las condiciones iniciales x(O) = .tQ, X'IO) = XI. Se supondrá que la (unción ((I) y la solución junto con sus derivadas hasta el segundo clones-objeto. Hagamos las notaciones: x (1) =? X (p),

1(1)

*

orden

+

iniciales

+ +

(p' alP+ aJ X (p)=F(P)+ Xo(p al) XI' Resolviendo la ecuación (3), hallamos la solución racional X (p) = F (p) x, (p +4,) +%, .

+

218

x(f)

son [un-

F(p).

Para la ecuación (1) Y las condiciones In ecuación operacional Ieridrá la Iorrna

p'

(1)

+ a,p + a,

(2). (3)

ope(4)

Hallando la función-objelo para X (p), obtenernos la solución de la ecuación (1) que cumple las condiciones iniciales (2). Análogamente se puede resolver cualquier ecuación de n-ésimo orden de coeficienles constantes con las condiciones iniciales para I = O. Ejemplo

J. Resolver

la ecuación

x"-5.~'+4x=4,

.\'(0)=0,

s o I u ció n. Como 4

'*~y p

-"o = .t(0) = O x, = x'(O) = 2, tendrá la forma

por la condición.

ecuación

operacional

la solución operacional X(p)

Descomponemos ples:

como, la

+ 4) X (p) = ~ + 2. p

(¡? - 5p De aquí. hallamos

x'(0)=2,

2p+ 4 1'(1"'-51'+4)'

=

el segundo X(p)=-'-

miembro,

Pasando cada:

a la Iuncióu-objeto,

Ejemplo

2. Resolver

sim-

2_+_I_.

__ f1

en fracciones

p-l

1'-4

obtenemos la solución

x (/) = I _ 2e'

bus-

+ e".

la ecuación

x' +4x' +4x=8e-2t,

x(O)= 1,

x'(O)= 1.

Solución, Como 8e-2'* P~2 y según la condición Xo Xl = 1, la ecuación operacional tendrá la forma

=

(p2

+ 4p + 4) X (p) =

y, por consiguiente,

p! 2 + p + 4 + 1,

la solución X(

)_ P -

operacional

será:

,,'+ip+ 18 (p+2)' . 21~

el

Descomponiendo ples tendremos:

X (p) =

segundo

(I'!

+ (/>!

2)3

Pasando problema

a la Iunclón-objeto, planteado:

Resolver

las siguientes

miembro

en fracciones

+ l' -~2 .

2)'

+ 31e- + e21

2t•

ecuaciones:

951. x'+3 .. =e-~I,

x(O)=O,

952. x' - 3x= 313 + 312+ 21 + l. 953. x' - x = cos I - sen 1,

+ x =2sen i, + 6.'1 = te:".

.'1(0)= -l.

(O) = O.

Ji

x (O) = O.

t.

x (O) = -

955. 2.'1'

956.. v" + 4x' +3 .. = l.

x(O)=3,

957. x"-2x'+Z.~=I>

x(O)=t.

958. x"-5x'+6x=12,

x(0)=2,

959. x"

+ 3x'

960. s" - 2.1"

+ l = O.

x (O)

.'1'(0)=0.

=

x'(O)

= x'

-2.

x'(O)=O.

961. x"+3x'+2.1'=

10) = ~.

+ t. x(0)=4, x'(0)=-3. + 71 + 3/'. ,~(O)=x'(O)= -1,

963. x"-7x'=-(141+5),

+ 2x' =6/z,

x(O)=Z, x (O)= 0,

x'(0)=8.

x' (O) =

%. I

965. x"+6x'=I,

x(O)=O,

x'(O)=-'36'

966.x" +x=2e'.

x(6)=

x'(0)=2.

961. 7x"+

968. x"-

+..

2t2

962. \"" - 2.\" - 3.r =3

964.. v"

x'(O)=

t = O, x (O)=0.

-

la solución del

obtenemos

x (1) = 4f-e-21

954. x'

1,

14.t'=(t-f)e-?/, 4x'+4x=(I-

x(0)=2,

xl(O)=-k

1)e2/• .1'(0)=0,

x '(0)= t.

t

969. 4x" - 4.~'

sim-

+.\'= eY,

x (O) = -2,

.~' (O) = Q.

970. x"

+ 3x' + 2x =e-' + e-21,

x (O) =2, x' (O) = -3.

=f.

971. x" - x' - 6x= 6eS' + 2e-'''. ;.;(0)=0,

+

.~'(O)

+

972. x" 4x' 4:0:= I'e-", .1' (O) = x' (O) =O. 973. x"-x'=2sené, .«0)=2, .~'(O)=O. 974. x"

+ 9x = 18 cos 3i.

975. x" +4x=4

cos2/-

x (O) =O. 1 "fscII21,

976. x"+2x'+3x=/cosl,

x(O)=-T'

977. x"-2x'+10.~=cos3f, 978. x" -

,t'

(O)

= 9.

I O, .1:'(0)="8'

,1'(0)= I

x(O)=1.

;.;/(0)=0. X'(O)=~~.

+ 5x = 2e" (sen r + cos 1), x (O)= 1,

4,t'

x'(0)=2. 979. x'" - x" 980,

.,IN -

= O,

x (O) = 1, x' (O) =3, x" (O) =2,

ü' = 1, x(O) =0,

981. x'''+x''-2x=5e',

x'(O) = -

x(O)=O,

x'(O)

+,=

x"(O) = O. 1,

.t"(0)=2. 982.

x"

98:1.

.1'''

984. x"

+ x = l! V2 sen ('1 + T)'

.~(O)= O, x'(O) = -4.

+ 4x =2 CO~2 l. 1: (O) = O, x' (O) = O. +.\" = 1, .\'(0) = O. x'(O) = l.

a. SISTeMAS DE 6.CU¡\CIONES DIFEREO\'CIALI'S LI;>;t,¡\LES Supongamos que se necesita hallar la solución de un sistema de dos ecuaciones' dilerenciales lineales de coeficientes constan les

d; =a,x + b,U + t. (1) tly

+ /).¡U + t, (t),

(1)

Tt = a~.t que cumple

las condiciones

x (O)= xu.

iniciales U (0)=

Yo.

(2) 221

Consideremos lag imágenes de las Iunctiones incógnitas. de sus derivadas y de las funciones " (1). (1):

'2

x(I),*X(p).

y (i),* y (p):

x' (/) '* pX (p) - xo, ;1 (/) '* F, (p), )' formemos

el sistema

pX (p)~aIX (p) pY (p)=uzX (p)

y' (I) '* pY (p) - Yo; f2 (t).;e F2 (p)

operacional

+ blY (p) + F, (p) + Xo

}

+ b2Y (p) + F2 (p) + Yo'

(3)

Este es un sistema algebraico lineal de dos ecuaciones con dos incógnilas X(p) e Y(p). Resolviéndolo, se halla X (I}) e y (p), y pasando luego a las Iunciones-objeto se obtiene la solución x(l}, y(l) del sistema (1) que cumple las condiciones iniciales (2). Análogamente se resuelven los sistemas lineales de la forma:

z.... Ejemplo.

}

ti; =-Zx-5y-37t d

que cumple

la condición

·pX(p)=

inicial x(O) = O, grO) = O.

-7X(p)+

pY(p)= - 2X(p)Resolviéndolo,

•

'*~, - 37/9

S o I u ció n. Como 5 el sistema operacional tendrá

222

Il).

Hallar la solución del sistema Tt=-7x+y+5 !Ix

X(p)=

0

-

!; y

Xo

= YrO,

la forma Y(p)

+~

5Y(p)-pi

} 37

•

resulta

+

Sp' 25p - 37 p'(p'+1,2p+37)

,

Y(p)=

- 47 P - 269 pi(p'+12p+37)'

Descomponemos simples

los

y

segundos

t

(p)

=-¡; -

J

J

1

7

miembros

7

en

fracciones

p+5

-¡;t- p'+ 12p+37

o bien X{p)=-¡;--¡;tY(p)=-¡;-prPasando buscada:

p+6

(P+6)'+ p+6

(p+6J'+1

En los siguientes temas de ecuaciones

~;+ y=O

985, d

,!t +x=O

}

.

x(0)=2,

~~+x- 2Y=0} *+X+4Y=0

=: = -

y d~ =2(x+y)

~~+ 2y=

988. d

989.

+ e-6/ sen t

la solución }

.

ejercicios hay que resolver por el método operacional:

986. d

d~

I + (p+6J'+-"

a las funciones-objeto se obtiene

x (i) = I - f - e-G1 cos I Y (1) = J - 7f - e-G1 cos f

987.

J'

}.

'

los siso

y(O)=O.

x(O)=y(O)=

l.

x (O) = Y (O) = 1.

31 } .

x(0)=2,

y(0)=3.

-2x=4

~~+x=y +e' } dy _ ,,x Tt+y-x+e

(O) = Y (O) = 1. 223

e dx dy -;¡¡-+Tt=U+ 990.

d

2

'}

d

d~

•

x(O)= y (O)

+%+2U=cost

= O.

a«

-;¡¡-=y-z tly 991. dT=x+U

.. ~(O) =1, y(0)=2,

z(0)=3.

dz

Tt=x+z dx

Tt=4y+z dy

992.Tt=z

• .1'(0)=5,

y(O)=O,

2(0)=4.

dz

Tt=4y

993.

~;+ 2 ~ + x + U + 2 = O dx dlJ Tt + liT + x + z = O ti.

•

x(O)=y(O)= 2(0)= -2,

dlJ

l.

Tt-2T1-V=0 ~~ 994. d'x

~~ - 2x dy

+ 2y

= 1 - 21

J ,

drf+2Tt+x-0

x (O) = y (O) = =x' (O) = O.

(:;~=y}

995•

.!!:J!...._ dI')

.x(O)=U(O)=I.

x(0)=2.

~:. =X-4V} 996. d'!I

•

di'=-.t+y

di'

221

V'(O)=O.

d"

+ -¡¡¡-=

I

y (O)=0, -

x'(O)=-

d'x dy -;¡¡;+ TI = e, - x

997. ti'!!

x' (O)=2.

-x

J

V3,

Va

y'(O)=T'

x (O) = 1. y (O) = O, •

x'(0)=2,

y' (O) "" _1.

.!!2. + x + ti ... dI"

998. ~-4.~

5

x (O) .". Y (O) =x' (0:':=0 =y'(O)- .

}

_ 3y= - 3

•

dI'

999.

ss: dI + 4y + 2x = 41 + l} .!JL+x-y=-;¡ dI

u: +y dt +x _ ,ft

1000. dy

a ('

•

X (O)

= !J (O) =O.

2x - O 2y = _ 5e' sen

}, x(O)= 2. y (0)=3 . I

RESPUESTAS

33. Si. 34. No. 35. SI. 36. No. 37. Si. 38. Si. 311. Nl>. 40. Véase la Ilg. 15. 45. V•• se la fíg 5L. 41. Véase l. ng. 46. 47. Véase l. Hg. 52. 48. Vense J. llg. 53. 42. Véase la rlg. 47. 43. Véase Ja lig. 48.

49.

H. Véase la lig. 49.

ón.

45. Véase l. fig. 50.

51. Véase la ligo 56.

r.·-I

K-O

fjg. 45 226

11:1

Véase la IIg. 54. Vénse la ligo 55.

{Y I

IS'

Fig.oI7

227

FIII. 48

FIg. 49

228

Fig.50

fig.51

229

Flg.52

Fig.53

230

y

•

\ Fi.t. 54

y~

231

1

- "i26

(33 - 14x x" X~ y,(X)=T+20'

+ 42x' -

7x' - 2.