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• Roy Alexander Pito Chirinos

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UNIDAD II ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS I. SEPARACION DE VARIABLES 1. 2. 3. 4. 5.

y '  x3 1  y  , y(0)  3

9.

dy  1  y 2   tan x  , y(0)  3 dx dy  2 y  1cos x , y( )  0 dx x2dx  2 ydy  0, y(0)  2

10.

 11. y ' senx  y ln y , y    e 2

12.

dy x2  dx y (1  x3 )

13.

dy  x2 y  x2 dx dy 1  cos x  dx sen 2 y

6. 1  x3 7. 8.

dr sen  e2 r sen     , r   0 d 3er  er cos 2 2 4dy  ydx  x dy , y(4)  1

ye y '  x  1, y(2)  0 y2

dy x x   , y(0)  1 dx y 1  y

14. y ' x Ln x  y  0 , y(2)  Ln4 15. 1  e x  y y '  e y, y  0  0

dy 3x 2  6 x 2 y 2  , y(3)  1 dx y  x3 y

II. ECUACIONES LINEALES 1.

1 dy 2 y   x cos x x dx x 2

dr  r tan   sec d 8. t  y  1dt  dy  0 dx 9. y  2x  5 y 3 dy dy 10. x 2 1  xy  x dx dy 11. x  3y  2x 2  x 3  4x dx dy 12. x 2  1  x 2  2 x  1  4 xy dx 7.

2 2. y' y  1  cos x y(1)  4

dy  y  e3x dx dy y 4.   2x  1 dx x dy 5.  x 2 e 4 x  4 y dx dy 6. x  2 y  x 3 dx 3.

En los problemas 13 a 19 resuelva el problema de valor inicial indicado.

dy y   xe x dx x dy 14.  4 y  e x  0 dx dy 15. senx  y cos x  xsenx dx dy 3 y 16.   2  3x dx x dy 17. x 3  3x 2 y  x dx dy 18. cos x  ysenx  2 x cos 2 x dx 13.

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y(1)  e  1

y (0) 

4 3

  y   2 2 y(1)  1

y(2)  0 2     15 2 y   32 4

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dy 1  4y dx e  2 x

19.

y(1)  0

III. Ecuación de Bernoulli





1. x 2  y 2  1 dy  xy dx  0

dy y 1 3     x  1 y 2 dx x  1 2 2 dy 4sen y 3.  dx x5  x tgy 2.

dy 3x 2  dx x3  y  1

4.

dy y3   8( x  1)  0 , y(0)  0 dx x  1 dy 6. x.  y  y 2 Ln ( x) dx 5. 3 y 2



  4  x2  y2  dx  4 ydy  0 , y(2)  1

7. 12e2 x y 2  y dx  dx , y (0)  1 8.

IV. Ecuaciones homogéneas

dy x  y  4  dx x  y  6 dy x  y  2 2.  dx x  y  1 1.

3.

dy 3x 2 y  y 2  ; y(1)  2 dx 2 x3  3xy

4. (2 y 2  3x)dx  2 xy dy  0

dy  2 xy 2  0 dx dy 1  x  y  1  2 6.    dx 2  x  2  x y  x y dy 7.  dx x y  x y 5. (1  x 2 y )

y

8. 3

x

dy y2  dx 3 y 3  x

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9.  y  y x 2 y 4  1  dx  2 x dy  0



 dy 6 x  y  12 10.  dx 6 x  y  12

MODELOS POBLACIONALES: 1. Suponga que la población P de bacterias en un cultivo al tiempo t cambia a una razón proporcional a P2 - P. Asuma que P2- P > 0. a) Sea k la constante de proporcionalidad. Escriba una ecuación diferencial para P(t) y obtenga la solución general. b) Encuentre la solución si hay 1000 bacterias al tiempo t = 0 horas. c) Determine la constante k suponiendo además que hay 100 bacterias en t = 5 horas. d) Determine 2. Si el alimento y el espacio vital son ilimitados, algunas poblaciones aumentan a una razón proporcional a la población. Se calcula que la población del mundo en 1900 era de 1600 millones de personas y que para 1950 había aumentado a 2510 millones. ¿Cuál será la población del mundo en el año 2020, suponiendo que hay alimento y espacio vital ilimitados? 3. Un cultivo bacteriano tiene una densidad de población de 100 mil organismos por pulgada cuadrada. Se observó que un cultivo que abarcaba un área de una pulgada cuadrada a las 10:00 A.M. del martes a aumentado a 3 pulgadas cuadradas para el medio día del jueves siguiente. ¿Cuántas bacterias habrá en el cultivo a las 3:00 P.M. del domingo siguiente, suponiendo que la densidad de población cambia a una tasa proporcional a sí misma?, Cuántas bacterias habrá el lunes a las 4:00 P.M.? 4. La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. Su población inicial es 500 y aumenta el 15% en 10 años. ¿Cuál será la población pasados 30 años? 5. En cualquier momento dado la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de tres horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas 10 horas, hay 2000 especímenes. ¿Cuál era la cantidad inicial de bacterias? 6. En un modelo demográfico de la población P(t) de una comunidad, se supone que: en donde dB/dt y dD/dt son las tasas de natalidad y mortalidad, respectivamente: a) Determine P(t) si : b) Analice los casos 7. La ecuación diferencial: en que “k” es una constante positiva, se usa con frecuencia para modelar una población que sufre fluctuaciones estacionales anuales. Determine P(t) y grafique la solución. Suponga que . . 8. El modelo demográfico P(t) de un suburbio en una gran ciudad esta descrito por el problema de valor inicial: , P(0) = 5000, en donde ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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“t” se expresa en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿Cuándo igualará la población la mitad de ese valor límite? 9. Determine una solución de la ecuación logística modificada a, b, c > 0. 10. Un modelo de poblaciones utilizado en las predicciones actuariales se basa en

la ecuación de Gompertz:

donde a y b son constantes.

a) Halle P(t) en la ecuación de Gompertz. b) Si P(0)=P0>0, de una fórmula para P(t) cuando t  +  . Sugerencia: Considere los casos para b>0 y b 0. ¿Cuál es su velocidad terminal? Se deja caer una bolsa de lastre de 10 libras desde un globo de aire caliente que se encuentra a una altura de 342 pies y una velocidad asciende a una velocidad de 4 pies/segundo. Suponiendo que no hay resistencia del aire, determine la altura máxima que alcanza la bolsa, el tiempo que se mantiene en el aire y la velocidad con que choca con el suelo.

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52. Un vehículo lunar está cayendo libremente a la superficie de la luna a una velocidad e 1.000 millas/hora. Sus cohetes retropropulsores proporcionan una desaceleración de 33 millas/hora2 cuando son encendidos en el espacio libre. a) Se sabe que la aceleración gravitacional es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia medida desde el centro de la luna. Si el radio de la luna es 1.08 Kilo millas y la aceleración gravitacional es de 13 Kilo millas/hora2, calcule la constante de proporcionalidad. b) ¿ A qué altura sobre la superficie lunar deben ser activados los cohetes retropropulsores para asegurar un descenso “suave" (es decir, v = 0 en el impacto)? 53. Cuando pasa un rayo vertical de luz por una sustancia transparente, la razón con que decrece su intensidad Z es proporcional a Z(t), donde t representa el espesor, en pies, del medio. En agua de mar clara, la intensidad a 3 ft bajo la superficie, es el 25% de la intensidad inicial le del rayo incidente. ¿Cuál es la intensidad del rayo a 15 ft bajo la superficie? 54. Cuando el interés se capitaliza (o compone) continuamente, en cualquier momento la cantidad de dinero, S, aumenta a una tasa proporcional a la cantidad presente: dS/dt = rS, donde r es la tasa de interés anual a) Calcule la cantidad reunida al término de cinco años, cuando se depositan $5000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5$% de interés anual compuesto continuamente. b) ¿En cuántos años se habrá duplicado el capital inicial? c) Con una calculadora compare la cantidad obtenida en la parte a) con el valor de: ,este valor representa la cantidad reunida cuando el interés se capitaliza cada trimestre. 55. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa m en caída sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es en que “k” es una constante de proporcionalidad positiva. a) Resuelva la ecuación, sujeta a la condición inicial . b) Calcule la velocidad límite (o terminal) de la masa. c) Si la distancia “s” se relaciona con la velocidad por medio de ds/dt = v, deduzca una ecuación explícita para s, si también se sabe que . 56. La razón con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se describe con la ecuación diferencial: , “r” y “k” son constantes positivas. La función x(t) describe la concentración del fármaco en sangre en el momento “t”. Determine el valor límite de x(t) cuando . ¿En cuánto tiempo la concentración es la mitad del valor límite? Suponga que x(0) = 0 57. Cuando se tiene en cuenta lo olvidadizo de un individuo, la rapidez con que memoriza está definida por: , en que , A(t) es la cantidad de material memorizado en el tiempo t, M es la cantidad total por memorizar y M-A es la cantidad que resta por memorizar. Halle A(t) y grafique la solución. Suponga que A(0) = 0. Determine el valor límite de A cuando e interprete el resultado. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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58. La cantidad C(r) de supermercados que emplean cajas computarizadas en un país esta definida por el problema de valor inicial: , C(0) = 1,en donde t>0. ¿Cuántos supermercados utilizan el método computarizado cuando t = 10?, ¿Cuántos lo adoptaran después de un tiempo muy largo? 59. La profundidad “h” del agua al vaciarse un tanque cilíndrico vertical por un agujero en su fondo está descrita por: , en donde , y son las áreas transversales del tanque y del agujero, respectivamente. Resuelva la ecuación con una profundidad inicial del agua de 20 ft, y ¿En qué momento queda vacío el tanque? 60. ¿Cuánto tarda en vaciarse el tanque del problema anterior si el factor por fricción y contracción en el agujero es c = 0.6? 61. Resuelva la ecuación diferencial de la tractriz : . Suponga que el punto inicial en el eje “y” es (0,10) y que la longitud de la cuerda es S=10 pies. 62. Si se supone que una bola de nieve se funde de tal modo que su forma siempre es esférica, un modelo matemático de su volumen es : , donde S es el área superficial de una esfera de radio r, y k < 0 es una constante de proporcionalidad . a) Replantee la ecuación diferencial en términos de V(t). b) Resuelva la ecuación en la parte a), sujeta a la condición inicial V(0) = Vo. c) Si r(0) = ro, determine el radio de la bola de nieve en función del tiempo t. ¿Cuándo desaparece la bola de nieve? 63. La ecuación diferencial: describe la forma de una curva plana, C, que refleja todos los rayos de luz que le llegan y los concentra en el mismo punto. Hay varias formas de resolver esta ecuación. a) Primero, compruebe que la ecuación diferencial sea homogénea. Demuestre que la sustitución da como resultado: Use un software adecuado o alguna sustitución adecuada para integrar el lado izquierdo de la ecuación. Demuestre que la curva C debe ser una parábola con foco en el origen, simétrica con respecto al eje X. b) Por último, demuestre que la primera ecuación diferencial también se puede resolver con la sustitución . 64. Según la ley de Stefan de la radiación, la rapidez de cambio de la temperatura de un objeto cuya temperatura absoluta es T, es: en donde es la temperatura absoluta del medio que lo rodea. Determine una solución de esta ecuación diferencial. Se puede demostrar que, cuando , es pequeña en comparación con Tm esta ecuación se apega mucho a la ley de Newton del enfriamiento 65. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa m que cae cuando la resistencia que le opone el aire es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea, es : en la que “k” es una constante de proporcionalidad positiva. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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a) Resuelva esta ecuación sujeta a la condición inicial v(0) = v0. b) Determine la velocidad límite, o terminal, de la masa. c) Si la distancias se relaciona con la velocidad de caída mediante ds/dt = v, deduzca una ecuación explícita de s, sabiendo que s(0) = s0. 66. a) Deduzca una ecuación diferencial para describir la velocidad v(t) de una masa “m” que se sumerge en agua, cuando la resistencia del agua es proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea y, al mismo tiempo, el agua ejerce una fuerza de flotación hacia arriba, cuya magnitud la define el principio de Arquímedes (empuje=densidad . gravedad . volumen desplazado). Suponga que la dirección positiva es hacia abajo. b) Resuelva la ecuación diferencial que obtuvo en la parte a). c) Calcule la velocidad límite, o terminal, de la masa que se hunde. 67. a) Si se sacan o “cosechan” h animales por unidad de tiempo (h constante), el modelo demográfico P(t) de los animales en cualquier momento “t” es en donde a, b, h y son constantes positivas. Resuelva el problema cuando a = 5, b = 1 y h=4. b) determinar el comportamiento a largo plazo de la población en la parte a),cuando , y c) Si la población se extingue en un tiempo finito, determine ese tiempo. 68. El ritmo al que cierto medicamento se absorbe en el sistema circulatorio está dx  r  sx dado por dt , donde x(t) es la concentración del medicamento en el flujo sanguíneo en el tiempo t; r y s son constantes positivas. Supóngase que al comienzo no había indicios del medicamento en la sangre: a) Halle x(t) b) ¿Qué le sucede a x(t) a “largo plazo” (a medida que t crece sin límite)? 69. Sea P(t) la población de cierto país en el tiempo t. Supóngase que la tasa de natalidad r y la de mortalidad s del país son constantes y que hay una tasa constante de inmigración m. a) Explique por qué la población de cierto país en el tiempo t. Suponga que la tasa de natalidad r y la de mortalidad s del país son constantes y que hay una tasa constante de inmigración m. dP  (r  s) P(t )  m dt b) Halle P(t) c) Si la población del país era 100 millones en 1990, con una tasa de crecimiento (tasa de natalidad menos tasa de mortalidad) del 2%, y si se permite la inmigración a la tasa de 300.000 personas por año. ¿Cuál será la población en el año 2000? 70. El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo proporcional a la diferencia entre su valor actual y su valor residual de $ 40.000 y valía $ 30.000 después de 4 años. ¿Cuánto valdrá la maquinaria cuando tenga 8 años?. 71. Cierto pozo petrolífero que produce 600 barriles de petróleo crudo al mes se secará en 3 años. En la actualidad, el precio del petróleo crudo es $ 24 por ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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barril y se espera que aumente a una razón constante de 8 centavos mensuales por barril. Si el petróleo se vende tan pronto como se extrae del suelo. ¿Cuál será el ingreso futuro total obtenido del pozo? 72. Un país tiene $ 5.000 millones en moneda corriente. Todos los días cerca de $us. 18 millones ingresan a los bancos y se desembolsa la misma cantidad. Suponga que el país decide que cada vez que llega al banco un billete de dólar, éste es destruido y reemplazado por un nuevo tipo de moneda. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que el 90% de la moneda en circulación sea del nuevo estilo? 73. El jefe de personal de una empresa da como dato que 30 es el número máximo de unidades que puede producir un trabajador diariamente. El ritmo de crecimiento del número de unidades n producidas respecto del tiempo en días por un empleado nuevo es proporcional a 30-n. a) Determine la ecuación diferencial que describe el ritmo de cambio. N´ Nk  30k b) Resolver la EDO N  30  ce  kt c) Calcular la solución particular para un empleado nuevo que produce 10 unidades el primer día y 19 unidades el día 12. c  20 k  0.05 74. La secreción de hormonas que ingresan a la sangre suele ser una actividad periódica. Si una hormona es segregada en un ciclo de 24hrs. Entonces la razón de cambio del nivel de la hormona en la sangre se puede representar por dx  t      cos    kx x(0)  10 dt 12   medio del problema de valor inicial x=cantidad de hormonas contenidas en la sangre en el instante t  = velocidad de secreción media  = cantidad de variación en la secreción K= velocidad de eliminación de la hormona de la sangre    1 Si k  2 Encuentre la cantidad de hormonas en la sangre. 75. La temperatura T (en unidades de 100°F) de un salón de clases de un universidad en un día frio de invierno varia con el tiempo “t” (en horas) de acuerdo con: dT 1-T, si el calefactor esta encendido  dt  -T, si el calefactor esta apagado Suponga que T=0 a las 9:00am, que el calefactor esta encendido de 9 a 10 am, apagado de las 10 a las 11 am, encendido de 11 a 12 del mediodía y así sucesivamente por el resto del día. ¿A qué temperatura estará el salón al mediodía?, ¿y a las 5pm?. 76. La masa inicial de cierta especie de pez es de 7 millones de toneladas. Dicha masa, de dejarse sola, aumentaría a una razón proporcional a la masa, con un constante de proporcionalidad de 2/año. Sin embargo, la pesca comercial elimina una masa de peces a una razón constante de 15 millones de toneladas ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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por año. ¿En qué momento se terminarán los peces? Si la razón de pesca se modifica, de modo que la masa de peces permanezca constante, ¿Cuál debería ser la razón?. 77. Por consideraciones teóricas, se sabe que la luz de cierta estrella debe llegar a la Tierra con una intensidad Io . Sin embargo, la trayectoria de la luz desde la estrella hasta la Tierra pasa por una nube de polvo, con un coeficiente de absorción de 0.1/año luz. La luz que llega a la Tierra tiene una intensidad de ½ Io . ¿Cuál es el espesor de la nube de polvo? (la razón de cambio de la intensidad de la luz respecto del espesor es proporcional a la intensidad. Un año luz es la distancia recorrida por la luz en un año). 78. Una bola de nieve se funde de modo que la razón de cambio en su volumen es proporcional al área de su superficie. Si la bola de nieve tenia inicialmente 4 pulgadas de diámetro , ¿en qué momento tendrá un diámetro de 2 pulgadas?. Desde el punto de vista matemático, ¿en qué momento desaparecerá la bola de nieve? 79. Los únicos isotopos de los elementos desconocidos hohio e inercio (símbolos Hh e It) son radioactivos. El hohio decae en el inercio con una constante de decaimiento de 2/año, y el inercio decae en el isótopo radiactivo del bunkio (símbolo Bu) con una constante de decaimiento de 1/año. Una masa inicial de 1kg de hohio se coloca en un recipiente no radiactivo, sin otras fuentes de hohio, inercio ni bunkio. ¿Qué cantidad habrá en el recipiente después de t años? (La constante de decaimiento es la constante de proporcionalidad en el enunciado de que la razón de pérdida de masa del elemento en cualquier tiempo es proporcional a la masa del elemento en ese instante.)

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