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• Yolanda

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Problemas resueltos ondas.

PROBLEMA 1. Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación (en unidades S.I.) y = 0.2 sin (6π t + π x + π / 4 ) Calcular: a) La frecuencia, el periodo, la longitud de la onda y la velocidad de propagación. b) El estado de vibración, velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0,2 m en el instante t = 0,3 s. c) Diferencia de fase entre dos puntos separados 0,3 m. a) Ecuación de la forma y ( x, t ) = A sin (ω t + k x + δ )

Se propaga en sentido negativo del eje X

ω = 2π f = 6π rad/s → f = 3 Hz → T = 1 f = 0.333 s k = 2π λ = π m → λ = 2 m -1

c=

ω k

=

6π

π

= 6 m/s

b) Para x = 0.2 m, t = 0.3 s.

y = 0.2 sin (6π ⋅ 0.3 + π ⋅ 0.2 + π / 4 ) = 0.2 sin (7.069 ) = 0.1414 m dy = 0.2 ⋅ 6π cos(6π t + π x + π / 4 ) = 0.2 ⋅ 6π cos (7.069 ) = 2.666 m/s Velocidad dt d2y Aceleración = −0.2 ⋅ 36π 2 sin (6π t + π x + π / 4 ) 2 dt = 0.2 ⋅ 36π 2 cos (7.069 ) = −50.25 m/s 2

c) Diferencia de fase entre dos puntos separados ∆x = 0.3 m

δ1 = 6π t + π x + π / 4 δ 2 = 6π t + π (x + 0.3) + π / 4

∆δ = δ 2 − δ1 = 0.3 π rad

1

Problemas resueltos ondas.

PROBLEMA 2. La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda tensa está dada por

y = 6 sin (0.02π x + 4π t )

donde x, y están en cm; t en segundos

a) Poner esta ecuación en forma coseno. Determinar su longitud de onda y su frecuencia. b) ¿Cuál es su amplitud? ¿En qué sentido se propaga, y cuál es la velocidad de propagación? c) ¿Cuál es la velocidad máxima de vibración de un punto de la cuerda? ¿Y la aceleración máxima? a) Para ponerla en forma coseno tendremos en cuenta la relación

cos(φ − π / 2 ) = cos φ cos(π / 2) + sin φ sin (π / 2 ) = sin φ

(El seno de un ángulo está atrasado π /2 rad respecto al coseno)

y = 6 sin (0.02π x + 4π t ) = 6 cos(0.02π x + 4π t − π / 2 ) 2π Número de k= = 0.02π cm -1 ondas k λ

λ = 100 cm

b) Amplitud: directamente de la ecuación A = 6 cm. Se propaga en el sentido negativo del eje X.

Frecuencia angular ω Velocidad propagación

2π ω= = 2π f = 4π rad/s T

v=

ω k

=

f = 2 Hz

T = 0.5 s

4π rad/s = 200 cm/s 0.02π cm -1

c) Velocidad de vibración

d y ( x, t ) y& max = 24π cm/s = 6 ⋅ 4π cos(0.02π x + 4π t ) = 24π cos(0.02π x + 4π t ) dt d 2 y ( x, t ) &y&max = 96π 2 cm/s 2 &y& = = −24π ·4π sin (0.02π x + 4π t ) = −96π 2 sin (0.02π x + 4π t ) 2 dt y& =

2

Problemas resueltos ondas.

PROBLEMA 3. La ecuación de una onda transversal que se propaga por una cuerda viene dada por: Calcular:

y = 0.06 sin (0.40π x + 50π t )

(Unidades S.I.)

a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación. Ayuda b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda A− B ⎞ ⎛ A+ B ⎞ c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por sin A − sin B = 2 sin ⎛⎜ ⎟ cos⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante de la interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y que se propaga en sentido contrario?. d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria

a) Se trata de una onda viajera en el sentido negativo del eje X

ω = 50π rad/s

k = 0.40π m -1 ω = 2π f = 50π rad/s → f = ω 2π = 25 Hz → T = 1 f = 0.04 s

k = 2π λ = 0.40π m -1 → λ = 2π 0.40π = 5 m Velocidad de propagación

c=

ω k

=

50π = 125 m/s 0.40π

b) La velocidad transversal en un punto cualquiera de la cuerda.

d y ( x, t ) = 0.05 ⋅ 50π cos(0.40π x + 50π t ) = 2.5π cos(0.40π x + 50π t ) dt

(m/s) 3

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PROBLEMA 3 (continuación) c) Admitiendo que esta onda se propaga a lo largo de una cuerda fija por ambos extremos, ¿cuál será la ecuación de la onda estacionaria resultante de la interferencia de la onda dada con la onda reflejada en el otro extremo y que se propaga en sentido contrario?. d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria c) La onda que se propaga en sentido contrario es

Ayuda ⎛ A− B ⎞ ⎛ A+ B ⎞ sin A − sin B = 2 sin ⎜ ⎟ cos⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

y2 ( x, t ) = −0.05 sin (k x − ω t )

La superposición de las dos, llamando y1(x,t) a la primera, es:

Se invierte la fase de la onda reflejada

0.40π m -1 50π rad/s

y1 ( x, t ) = 0.05 sin (k x + ω t ) = 0.05 sin k x cos ω t + 0.05 cos k x sin ω t y2 ( x, t ) = −0.05 sin (k x − ω t ) = −0.05 sin k x cos ω t + 0.05 cos k x sin ω t Suma: y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = 0.10 cos k x ⋅ sin ω t

y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = 0.10 cos(0.40π x ) ⋅ sin (50π t )

Onda estacionaria

A− B ⎞ ⎛ A+ B ⎞ ⎟ ⋅ cos⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Procedimiento alternativo: usando la relación trigonométrica sin A − sin B = 2 sin ⎛⎜

y1 ( x, t ) = 0.05 sin (k x + ω t )

y2 ( x, t ) = −0.05 sin (k x − ω t )

A = k x +ω t

A − B = 2ω t

B = k x −ω t

A + B = 2k x

y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = 0.05 sin (k x + ω t ) − 0.05 sin (k x − ω t ) = −0.10 cos k x ⋅ sin ω t y1 ( x, t ) + y2 ( x, t ) = 0.10 cos(0.40π x ) ⋅ sin (50π t )

d) La distancia entre dos vientres consecutivos de la onda estacionaria es igual que la distancia entre dos nodos consecutivos (puntos donde la amplitud es nula) Hay un nodo si cos(0.40π x ) = 0

0.40π x = (2n + 1) π / 2 (n entero) 2n + 1 Cuando n = 0 → x0 = 1.25 m xn = Posiciones de los nodos 0.80 Cuando n = 1 → x1 = 3.75 m Distancia entre vientres = distancia entre nodos = x1 − x0 = 2.5 m

(Véase que es la mitad de la longitud 4 de onda de las ondas que interfieren)

Problemas resueltos ondas.

PROBLEMA 4 Un diapasón montado sobre una caja de resonancia se golpea con un martillete emitiendo una onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s y alcanza un receptor. Considerando que la onda que alcanza el receptor es una onda plana, se pide: a) Si la sobrepresión máxima producida por la onda sonora en el receptor es igual a p0 = 2⋅10-4 Pa, escribir la ecuación de la onda viajera, explicando la elección que se haga para la fase inicial, y calcular su longitud de onda. b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación 1 p02 indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el I = Ayuda 2ρv receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I? c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB. d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor? Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: ρ = 1.22 kg/m3 a) Onda sonora de 612 Hz que se propaga a 340 m/s. Sobrepresión máxima en el receptor p0 = 5⋅10-3 Pa. ω 612 2π 2π ω 2π f v= k= = = 2π = 3.6π m -1 λ= = = 0.555 m k 340 3.6π v v k

ω = 2π f = 2π ⋅ 612 = 1224π rad/s p( x, t ) = p0 cos(kx − ω t + δ )

Suponemos que se propaga de izquierda a derecha

p(0,0) = p0 cos(δ ) = p0

δ =0

Elegimos como punto inicial el momento p( x, t ) = 2 ⋅10 −4 cos(3.6π x − 1224π t ) en que la presión pasa por un máximo Longitud de onda

λ=

2π 2π = = 0.555 m 3.6π k

( p en Pa) 5

Problemas resueltos ondas.

PROBLEMA 4 (Continuación) b) La intensidad del sonido en función de la presión está dada por la relación 1 p02 indicada en el recuadro al margen. Calcular la intensidad del sonido que percibe el = I Ayuda 2ρv receptor. ¿Cuáles son sus unidades en el S.I? c) Tomando como intensidad de referencia I0 = 10-12 W/m2, calcular el nivel de intensidad en dB. d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor? Dato. Densidad del aire en las condiciones del experimento: ρ = 1.22 kg/m3 b) Nivel de intensidad que percibe el receptor Densidad del aire: ρ = 1.22 kg/m3

Justificación de las unidades S.I.

(

)

2

1 p02 1 2 ⋅10 − 4 I= = 4.82 ⋅10 −11 W/m 2 = ⋅ 2 ρ v 2 1.22 ⋅ 340

[I ] = Potencia ≡ watios 2 Área

m

⎛ 4.82 ⋅10 −11 ⎞ ⎟⎟ = 10 log 4.82 ⋅10 −11 + 120 = 17 dB c) Nivel de intensidad LI = 10 log10 ⎜⎜ −12 ⎠ ⎝ 10

(

)

d) En un segundo experimento se vuelve a golpear el diapasón y en el receptor el nivel de intensidad es 20 dB mayor que antes. ¿Cuál es la intensidad que llega al receptor? I′ ⎛ I′ ⎞ ⎛ I′ ⎞ log10 ⎜ −12 ⎟ = 3.7 = 103.7 LI′ = LI + 20 = 17 + 20 = 10 log10 ⎜ −12 ⎟ −12 10 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠

I ′ = 103.7 ⋅10 −12 = 5 ⋅10 −9 W/m 2

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Problemas resueltos ondas.

PROBLEMA 5 Un silbato que emite una frecuencia de 4300 Hz produce una onda cuyo valor máximo de presión por encima de la presión ambiental es 4⋅10-2 Pa. Esta onda se propaga a 344 m/s en el aire. a) Escribir la ecuación de onda. Determinar la longitud de onda. b) ¿Cuál es el nivel de presión sonora?. Presión de referencia pref = 2⋅10-6 Pa. a) Ecuación de onda: consideramos una onda plana en el sentido creciente del eje X y tomamos el origen de modo que la fase inicial sea cero. p(x, t ) = p0 cos(k x − ω t ) p, p0 en Pa, x en m, t en s

p(x, t ) = 4 ⋅10 −2 cos(25π x − 8600π t ) (Pa)

ω = 2π f = 2π ⋅ 4300 = 8600π Hz v=

ω k

k=

ω v

=

8600π = 25π m -1 344

λ=

2π 2π = = 0.08 m 25π k

b) Nivel de presión sonora. Presión de referencia pref = 4⋅10-6 Pa. 2

⎛ p0 ⎞ ⎛ p0 ⎞ ⎛ 4 ⋅10 −2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = 86 dB = 20 log10 ⎜⎜ = 20 log10 LP = 10 log10 −6 ⎟ ⎜ p ref ⎟ ⎜ p ref ⎟ ⋅ 2 10 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

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Problemas resueltos ondas.

PROBLEMA 6 La ecuación del segundo armónico de una onda estacionaria en una cuerda de 10 m de longitud sometida a una tensión de 50 N está dada por

y ( x, t ) = 8 sin (0.2π x ) ⋅ sin (20π t )

x en m, y en cm, t en s

a) Determinar la frecuencia y velocidad de propagación de las ondas viajeras cuya interferencia produce la onda estacionaria en esta cuerda y calcular la densidad lineal de masa. b) Escribir la ecuación de onda del término fundamental. Hallar la máxima velocidad de vibración de un punto de la cuerda en este modo, suponiendo que la amplitud máxima es igual que la del segundo armónico. y (cm) c) Determinar las posiciones de los nodos del cuarto armónico. 10

a) Parámetros de la onda . estacionaria

v=

ω2 k2

k 2 = 0.2π m -1 2π 2π λ2 = = = 10 m k 2 0.2π

=

20π = 100 m/s 0.2π

v=

T

ω2 = 20π rad ⋅ s -1 20π ω f2 = 2 = = 10 Hz 2π 2π µ=

µ

b) Las frecuencias de todos los armónicos son . múltiplos enteros del término fundamental λ 2L Longitud de onda: L = n n λn = 2 n

c) Ecuación 4º armónico

ω4 = 4ω1 = 40π rad ⋅ s -1

y4 ( x, t ) = 8 sin (0.4π x ) ⋅ sin (40π t ) x en m, y en cm, t en s

6 4 2 0 -2

T 50 = 4 = 5 ⋅10 −3 kg/m 2 v 10

f n = n ⋅ f1

λ1 =

ω1 =

2L = 20 m 1

ω2 2

y1 ( x, t ) = 8 sin (0.1π x ) ⋅ sin (10π t ) x en m, y en cm, t en s 2L λ4 = =5m 4

8

-4 -6 -8

x (m)

-10

= 10π rad ⋅ s

-1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

k1 = 2π / λ1 = 2π / 20 = 0.1π m -1

vmax = y&1 ( x, t )]max = 80π cm/s

2π

2π k4 = = = 0.4π m -1 λ4 5 Hay un nodo para cada valor x que verifica

sin (0.4π x ) = 0

x1 = 0 x2 = 2.5 x3 = 5 x4 = 7.5 x5 = 10 (m)

y (cm)

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6

8

-8 -10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x (m) 9

10