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EJERCICIOS TIPO TEMA 1: ONDAS MECÁNICAS 1. Velocidad de las ondas. Una cuerda uniforme tiene una masa de 0.300 kg y l

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EJERCICIOS TIPO

TEMA 1: ONDAS MECÁNICAS

1.

Velocidad de las ondas. Una cuerda uniforme tiene una masa de 0.300 kg y longitud de 6.00 m. La cuerda pasa sobre una polea y sostiene un cuerpo de 2.00 kg. Halle la velocidad de un pulso que viaje a lo largo de esta cuerda. Sol. 19.8 m/s.

2.

Velocidad de las ondas. Un alambre de cobre (ρ=8.90x10 kg/m ) de 80.0 cm de largo y 2.10 mm de diámetro se estira entre dos postes. Un ave se posa en el punto central del alambre, enviando un pequeño pulso de onda en ambas direcciones. Los pulsos se reflejan en los extremos y regresan a la ubicación del ave 0.750 segundos después de que ésta se posó. Determine la tensión en el alambre. Sol. 353 N

3.

a) Hállese la rapidez del sonido en agua, que tiene un módulo de elasticidad de 2.1x10 N/m a una 3 3 temperatura de 0ºC y una densidad de 1.00x10 kg/m . Sol. 1.4 km/s

4.

Velocidad de las ondas. La ecolocalización es una forma de percepción sensorial que usan animales como los murciélagos, las ballenas y los delfines. El animal emite un pulso de sonido (una onda longitudinal) que, después de reflejarse en los objetos, regresa y es detectado por el animal. Las ondas de ecolocalización pueden tener frecuencias de aproximadamente 1000,000 Hz. a) Estime la longitud de onda de una onda de 3 3 9 2 ecolocalización de un animal marino (ρ=1.025x10 kg/m , B=2.0x10 N/m ). b) Si un obstáculo está a 100 m del animal, ¿cuánto tiempo después de que el animal emite una onda se detecta su reflexión? Sol. a) 14 mm; b) 0.14 s

5.

Pulso de onda. Un pulso de onda transversal viaja hacia la derecha a lo largo de una cuerda, con una rapidez v=2.4 m/s. En t=0 la forma del pulso está dada por la función

3

3

9

D  x, t  

2

4.0 m 3

x 2  2.0 m 2

donde D y x están en metros. A) Grafique D versus x en t=0, desde x=-10 m hasta x=+10 m. b) Determine una fórmula para el pulso de onda en cualquier tiempo t, suponiendo que no hay pérdidas pr fricción. C) Grafique D(x,t) versus x en t=1.00 s. d) Repita las partes b) y c) suponiendo que el pulso viaja hacia la izquierda. Sol.

t = 0 sec 2.0

D (m)

1.5 1.0 0.5 0.0 -10

-5

0

x (m)

5

10

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TEMA 1: ONDAS MECÁNICAS

t = 1.0 sec, moving right 2.0

D (m)

1.5

D  x, t  

1.0

4.0 m3 2

 x   2.4 m s  t 

 2.0 m 2

0.5 0.0 -10

-5

0

5

10

x (m)

t = 1.0 sec, moving left 2.0

D (m)

1.5 1.0

D 0.5

4.0 m 3 2

 x   2.4 m s  t 

 2.0 m 2

0.0 -10

-5

0

5

10

x (m)

6.

Ondas armónicas. Una onda está dada por D(x,t)=(5.0 mm) sen(2.0x-20.0t), donde x está en metros y t en segundos. ¿Cuál es la rapidez de la onda? Sol. 10 m/s

7.

Ondas armónicas. El extremo izquierdo de una cuerda larga, horizontal y estirada oscila transversalmente en MAS con frecuencia f=250 Hz y 2.6 cm de amplitud. La cuerda está bajo una tensión de 140 N y tiene una densidad lineal µ=0.12 kg/m. En t=0, el extremo de la acuerda tiene un desplazamiento hacia arriba de 1.6 cm y está bajando. Determine: a) la longitud de onda de las ondas producidas y b) la ecuación de la onda viajera. Sol. a) 14 cm; b) D(x,t)=0.026 sen(45x-1570t+0.66)

8.

Ondas armónicas. Una onda senoidal que se desplaza en la dirección x positiva tiene una amplitud de 15.0 cm, una longitud de onda de 40.0 cm, y una frecuencia de 8.00 Hz. La posición vertical de un elemento del medio en t=0 y x=0 es también 15.0 cm, como se muestra en la figura. a) Encuentre el número de onda, el periodo, la frecuencia angular, y la velocidad de la onda. b) Determine la constante de fase y escriba una expresión general para la función de onda. Sol. a) 0.157 rad/cm, 0.125 s, 50.3 rad/s, 320 cm/s; b) y=(15.0 cm) cos(0.157x-50.3t).

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9.

TEMA 1: ONDAS MECÁNICAS

Ec. de ondas. Verifique que la onda sinusoidal D(x,t)=A sen(kx-ωt) es solución de la ecuación de onda.

10. Superposición de ondas. En t=0, tres ondas están dadas por D1=Acos kx, D2=(-1/3)Acos3kx y D3=(1/5)Acos5kx, donde A=1.0 m y k=10 m-1. Grafique lasuma de las tres ondas desde x=-0.4 m hasta +0.4 m (Estas tres ondas son los primeros tres componentes de Fourier de una “onda “cuadrada”).

11. Potencia suministrada a una cuerda. Una cuerda tensa para la que µ=5.00x10-2 kg/m está bajo tensión de 80.0 N ¿Cuánta potencia debe ser suministrada para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60.0 Hz y una amplitud de 6.00 cm? Sol. 512 W. ¿Qué pasaría si la cuerda debe transferir energía a razón de 1000 W? ¿Cuál debe ser la amplitud necesaria si todos los demás parámetros permanecen iguales? Sol. 8.39 cm 12. Intensidad del sonido. Los sonidos más débiles que el oído humano puede detectar a una frecuencia de 1 -12 2 00 Hz, corresponden a una intensidad de alrededor de 1.00x10 W/m , el así llamado umbral auditivo. Los sonidos más fuertes que puede tolerar el oído humano a esta frecuencia, corresponden a una intensidad de 2 alrededor de 1.00 W/m , que es el umbral del dolor. Determine la amplitud de presión y amplitud de -5 2 -11 2 desplazamiento asociados con estos dos límites, Sol. a) 2.87x10 N/m , 1.11x10 m; b) 28.7 N/m , 1.11x10 5 m. 13. Intensidad del sonido. Una fuente puntual emite ondas de sonido con una potencia promedio de 80.0 W. a) Hállese la intensidad a 3.00 m de la fuente. b) Encuentre la distancia a la que la intensidad del sonido es -8 2 2 4 1.00x10 W/m . Sol. a) 0.707 W/m ; b) 2.52x10 m 14. Intensidad sísmica. La intensidad de una onda sísmica P que viaja a través de la Tierra y se detecta a 100 6 2 km de la fuente es de 1.0x10 W/m . ¿Cuál es la intensidad de esa onda si se detecta a 400 km de la fuente? 4 2 Sol. 6.3x10 W/m 15. Nivel sonoro. En una esquina congestionada, el nivel de sonido es de 75 dB. ¿Cuál es la intensidad del -5 2 sonido? Sol. 3.2x10 W/m .

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TEMA 1: ONDAS MECÁNICAS

16. Nivel sonoro. Dos máquinas idénticas se colocan a la misma distancia de un trabajador. La intensidad del -7 2 sonido producido por cada máquina en el lugar del trabajador es 2.0x10 W/m . Encuentre el nivel de sonido escuchado por el trabajador a) cuando opera una máquina y b) cuando operan ambas máquinas. Sol. a) 53 dB, b) 56 dB 17. Nivel sonoro. Un trompetista toca con un nivel de sonido de 75 dB. Se agregan tres trompetistas con la misma intensidad. ¿Cuál es el nuevo nivel de sonido? Sol. 81 dB 18. Nivel sonoro. El nivel de sonido de un avión a chorro a una distancia de 30 m es de 140 dB ¿Cuál será el nivel de sonido a 300 m? (Desprecie las reflexiones en el suelo) Sol. 120 dB

19. Interferencia. Dos altavoces están a 1.00 m de distancia. Una persona se halla a 4.00 m de un altavoz ¿Qué tan lejos del segundo altavoz debe estar la persona, para detectar interferencia destructiva cuando los altavoces emiten un sonido de 1150 Hz? Suponga que la temperatura es de 20ºC. Sol. A 3.85 m o a 4.15 m del segundo altavoz. 20. Interferencia. Un par de altavoces colocados a 3.00 m de separación son excitados por el mismo oscilador. Un oyente está originalmente en el punto O, situado a 8.00 m del centro de la línea que conecta los dos altavoces. El oyente camina entonces al punto P, que está a una distancia perpendicular de 0.350 m de O, antes que llegue el primer mínimo en intensidad de sonido. ¿Cuál es la frecuencia del oscilador? Sol. 1.3 kHz

21. Batido. Un diapasón produce un tono permanente de 400 Hz. Cuando se golpea el diapasón y se mantiene cerca de una cuerda de guitarra en vibración, se cuentan veinte pulsos en cinco segundos ¿Cuáles son las frecuencias posibles producidas por la cuerda de guitarra? Sol. 404 Hz o 396 Hz 22. Batido. Dos cuerdas idénticas de piano, de longitud 0.750 m, están afinadas cada una exactamente a 440 Hz. La tensión en una de las cuerdas se aumenta luego en 1.0%. Si ahora son golpeadas, ¿cuál es la frecuencia del batido entre las notas fundamentales de las dos cuerdas?. Sol. 2 Hz 23. Ondas estacionarias. Una cuerda de piano mide 1.10 de largo y tiene una masa de 9.00 g. a) ¿Bajo cuánta tensión debe estar la cuerda si debe vibrar a una frecuencia fundamental de 131 Hz? b) ¿Cuáles son las frecuencias de los primeros cuatro armónicos? Sol. a) 679 N; b) 131, 262, 393 y 524 Hz.

24. Ondas estacionarias. Dos ondas que viajan en direcciones opuestas sobre una cuerda fija x=0 se describen mediante las funciones

D1  (0.20m) sen(2.0 x  4.0t ), D2  (0.20m) sen(2.0 x  4.0t ) (donde x está en m, t en s) y producen un patrón de onda estacionaria. Determine: a) la función para la onda estacionaria, b) la amplitud máxima en

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TEMA 1: ONDAS MECÁNICAS

x=0.45 m, c) las posiciones de los nodos, d) la máxima amplitud y dónde ocurre. Sol. a) D=(0.40m)sen(2.0x)0.9cos(4.0t); b) D=(0.31 m)cos(4.0t), c) nº enterox1.57 m, d) 0.40 m, nº enterox0.70 m).

25. Ondas estacionarias. Una nota do mayor en un piano tiene una frecuencia fundamental de 262 Hz, y la primera nota “la” arriba de la “do” mayor tiene una frecuencia fundamental de 440 Hz. a) Calcule las frecuencias de las siguientes dos armónicas de la cuerda de “do”. b) Las densidades de las cuerdas son iguales pero la longitud de la cuerda de la nota “la” es sólo 64% de la longitud de la cuerda de la nota “do” ¿Cuál es la razón entre sus tensiones? 1.16

26. Ondas estacionarias. La cuerda de la nota “mi” alta en una guitarra mide 64.0 cm de largo, y tiene una frecuencia fundamental de 330 Hz. Al presionar para que la cuerda esté en contacto con el primer traste, la cuerda se acorta para que emita una nota “fa” que tiene una frecuencia de 350 Hz. ¿A qué distancia está el traste desde el extremo del cuello de la cuerda? Sol. 3.7 cm Deseamos ejecutar una nota en “fa” sostenido, lo cual hacemos al presionar el segundo traste desde el cuello. La frecuencia de la nota “fa” sostenido es 370 Hz. ¿A qué distancia está este traste desde el cuello? ¿Cuál es la separación entre los trastes primero y segundo? Sol. 6.9 cm, 3,2 cm. 27. Ondas estacionarias. Una cuerda de violín de 0.32 m de longitud está afinada para tocar la nota “la” arriba del “do” central a 440 Hz. a) ¿Cuál es la longitud de onda de la vibración fundamental de la cuerda? y b) ¿cuáles son la frecuencia y longitud de onda de la vibración fundamental de la cuerda?, c) ¿Por qué hay una diferencia? Sol. a) 64 cm; b) 440 Hz, 78 cm 28. Ondas estacionarias.¿Cuál será la frecuencia fundamental y los primeros tres sobretonos para un tubo de órgano de 26 cm de longitud a 20ºC, si está a) abierto y b) cerrado? Sol. a) 1320, 1980 y 2640 Hz; b) 990, 1650 y 2310 Hz 29. Ondas estacionarias. Una flauta está diseñada para tocar el “do” central (262 Hz) como la frecuencia fundamental cuando todos los agujeros están cubiertos. ¿Qué distancia debe haber aproximadamente de la boquilla hasta el extremo lejano de la flauta? (Esto es sólo aproximado, pues el antinodo no ocurre exactamente en la boquilla.) Suponga que la temperatura es de 20ºC. Sol. 0.66 m. Para entender por qué los ejecutantes de instrumentos de viento “calientan” sus instrumentos (de modo que estén afinados), determine la frecuencia fundamental de la flauta, cuando todos los hoyos están cubiertos y la temperatura es de 10ºC, en vez de 20ºC Sol. 257 Hz 30. Ondas estacionarias. Un diapasón de frecuencia desconocida se pone en vibración sobe un tubo vertical abierto parcialmente sumergido en agua. La longitud L de la columna de aire se puede ajustar al mover verticalmente el tubo de manera que se oye un pico en la intensidad del sonido cuando dicha longitud es de 0.125 m y de nuevo cuando es de 0.395 m ¿Cuál es la frecuencia del diapasón? Sol. 635 Hz

31. Efecto Doppler Una banda de música está tocando en un camión en movimiento. La banda toca la nota “Do” (262 Hz), pero unos espectadores situados delante del camión la perciben como un “Do” sostenido (277 Hz). ¿A qué velocidad e mueve el camión? Sol. 18.6 m/s 32. Efecto Doppler. La sirena de un auto de policía en reposo emite una frecuencia predominante de 1600 Hz. ¿Qué frecuencia oirá usted si está en reposo y el auto de policía se mueve a 25.0 m/s a) hacia usted, y b)

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TEMA 1: ONDAS MECÁNICAS

alejándose de usted? Sol. a) 1726 Hz; b) 1491 Hz ¿Qué frecuencia escuchará usted si se mueve 25.0 m/s a) hacia el auto y b) alejándose del auto? Sol. a) 1717 Hz; b) 1483 Hz. 33. Efecto Doppler ¿Qué tan rápido tendrá que acercarse una fuente a un observador para que la frecuencia observada sea de una octava por arriba (el doble) de la frecuencia producida? Sol. 0.5vsonido. 34. Efecto Doppler. Un submarino (A) navega a una rapidez de 8.00 m/s, emitiendo una onda de sonar a una frecuencia de 1400 Hz. La rapidez del sonido en el agua es 1 533 m/s. Un segundo submarino (B) está situado de modo que ambos submarinos están navegando directamente uno hacia el otro. El segundo submarino se mueve a 9.00 m/s. a) ¿Qué frecuencia es detectada por un observador que viaja en el submarino B cuando los submarinos se aproximan entre sí? B) Los submarinos por muy poco chocan y se pasan ¿Qué frecuencia es detectada por un observador que viaja en el submarino B cuando ambos submarinos se alejan entre sí? Sol. a) 1416 Hz, b) 1 385 Hz. Cuando los submarinos se aproximan uno al otro, parte del sonido del A será reflejado del B y regresa al A. Si este sonido fuera a ser detectado por un observador en el A, ¿cuál es la frecuencia? Sol. 1432 Hz 35. Efecto Doppler Una onda sonora de 5000 Hz es emitida por una fuente estacionaria. Esta onda sonora se refleja desde un objeto que se mueve a 3.50 m/s hacia la fuente. ¿Cuál es la frecuencia de la onda reflejada por el objeto en movimiento, cuando es captada por un detector en reposo cerca de la fuente? Sol.: 5103 Hz