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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

FÍSICA II PROBLEMAS DE ONDAS MECÁNICAS INTEGRANTES:

 CHAMORRO ANGELES, Karolainne Kassandra  CRUZ CABRERA, Angela Miquely Etelvina  GONZALES CARBAJAL, Anthony Félix

DOCENTE: 

MG. PAREDES GONZALES, Pedro Enrique

1. La ecuación de cierta onda transversal es: y ( x , t )=( 6,50 mm ) cos 2 π

t ( 28,0x cm − 0,0360 s)

Haciendo la comparación de y (x, t) con la ecuación general: y ( x , t )= A cos 2 π

( xλ − Tt )

(Onda senoidal que se mueve en la dirección +x) y ( x=0 , t ) =A cos ωt= A cos 2 π ft

De la comparación resulta que: A= 6.50 mm λ= 28.0 cm T= 0.0360 s Determine la: a. Amplitud: a=6,50 mm b. Longitud de onda: λ=28 cm c. Frecuencia: f =

1 =27,8 Hz 0,0360 s

d. Rapidez de propagación: v=( 0,280 m ) . ( 27,8 Hz )=7,78 e. Dirección de propagación de la onda: Dado que no hay un signo menos delante de la

t plazo , T

la onda esta viajando en la dirección+ x ( positiva )

m s

2. Una onda senoidal se propaga por una cuerda estirada en el eje x. el deslazamiento de la cuerda en función de tiempo se grafica en la figura mostrada para partículas en x = 0 y en x = 0,0900 m.

a. Calcule la amplitud de la onda: El máximo “y” es 4 mm

b. Calcule el periodo de la onda: P ara otro x eltiempo de un ciclo completo es0,04 s ; este es el periodo .

c. Se sabe que los puntos en x = 0 y x = 0,0900 m están separados por una longitud de onda. Si la onda se mueve en la dirección +x, determine la longitud de onda y la rapidez de onda: Desde y=0 para x=0 y t=0 y desde que la onda e sta viajando e n la d irección+ x entonces : t x − T λ

[ ( )]

y ( x , t )= A sen 2 π

para esa onda y= A para x=0 , t=0 .

De la gráfica , si laonda está viajando enla dirección de+ x y si x=0 y x=0,090 m estándentro de una longitud de onda el pico en t=0,01 s para x=0 se mueve de modo que ocurre en t=0,035 s para x=0,090 m. El pico para x=0 es el primer pico pasado t=0 que c orresponde t x − T λ

[ ( )]

al primer máximoen s en 2 π 2π

y por lotanto ocurren en

( Tt − xλ )= π2 . Si el mismo pico se mueve a t =0,035 s en 1

x 1=0,090 m , entonces: 2π

( tT − xλ )= π2 1

1

t 1 x1 1 Resolver para λ : − = T λ 4 x1 t 1 1 0,035 s = − = −0,25=0,62 5 λ T 4 0,040 s λ=

x1 0,090 m = =0,14 m 0,625 0,625

λ 0,014 m m Entonces v=fλ= = =3,5 T 0,040 s s

d. Si ahora la onda se mueve en la dirección -x, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda. Silaonda está viajando en ladirección−x , entonces t x − T λ

[ ( )]

( x ,t )= A sen 2 π

y el icoen t=0,050 s para

x=0 corresponde al pico t 1=0,035 s para x1 =0,090 m. Este pico en x=0 es el segundo ico pasado elorigen que corresponde a 2 π

( Tt + xλ )= 52π . Siel mismo pico se mueve

a t 1=0,035 s para x 1=0,090 m , entonces:

2π

(

t 1 x1 5 + = T λ 4

)

x1 5 t 1 5 0.035 s x1 0,090m = − = − =0,375 λ= = =0,24 m λ 4 T 4 0,040 s 0,375 0,375 λ 0,24m m Entonces v=fλ= = =6 T 0,040 s s

e. ¿Sería posible terminar de manera definitiva la longitud de onda en los incisos c. y d. si no supiéramos que los dos puntos están separados una longitud de onda? ¿Por qué? no , no sabría qué punto de la onda en x =0 se movió a qué punto en x=0,090 m

3. Identificamos :v y = Preparar :

∂y λ . v =fλ= ∂t T

∂ 2π 2 πv 2π A cos (x−vt) =+ A . sen ( x−vt) ∂t λ λ λ

(

) ( ) (

)

a. Demuestre que la ecuación: y ( x , t )= A cos ( kx−ωt )

Puede escribirse como: y ( x , t )= A cos A cos 2 π

2π ( x−vt ) λ

( xλ − Tt )= A cosλ2 π ( x− Tλ t )=+ A cos 2λπ ( x−vt )

λ donde : = λf =v se usó . T

b. Use y (x, t) para obtener una expresión para la velocidad transversal vy de una partícula de la cuerda en la que viaja la onda. v y=

∂ y 2 πv 2π = A sen ( x−vt ) ∂t λ λ

c. Calcule la rapidez máxima de una partícula de la cuerda. ¿En qué circunstancias es igual a la rapidez de propagación v? ¿Menor que v? ¿Y mayor que v? La velocidad es mayor cuando el seno es 1 , y esa velocidad es

2 πvA λ λ . E sto seráigual a v si A= ,menor que v si A< λ 2π 2π

y mayor que v si A >

λ 2π

4. Una onda transversal que viaja en una cuerda tiene amplitud de 0.300 cm, longitud de onda de 12.0 cm y rapidez de 6.00 cm/s y se representa con y (x, t) del ejercicio 3.

Datos: A = 0.3 cm λ = 12 cm v = 6 cm/s Representamos la onda transversal que viaja en una cuerda con la ecuación presentada en y ( x , t )= A cos

el ejercicio 3.

2π ( x−vt ) λ

y ( x , t )=( 0.3 cm ) cos

[

2π ( x− ( 6 cm/s ) t ) 12 cm

]

a) En el tiempo t = 0, calcule y a intervalos de x de 1.5 cm (es decir, en x = 0, x = 1.5 cm, x = 3.0 cm, etcétera) de x = 0 a x = 12.0 cm. Muestre los resultados en una gráfica. Ésta es la forma de la cuerda en el tiempo t = 0. Solución: Para t = 0 s. y ( x , 0 ) =( 0.3 cm ) cos

i.

[

2π (x) 12 cm

]

x = 0 cm y ( 0,0 )=( 0.3 cm ) cos 0

ii.

x = 1.5 cm y ( 1.5,0 )=( 0.3 cm ) cos

iii.

[

2π (1.5 cm ) y ( 1.5,0 )=0.212 cm 12 cm

]

x = 3 cm 2π ( 3 cm) 12 cm

]

y ( 3,0 )=0 cm

2π ( 4.5 cm ) 12 cm

]

y ( 4.5,0 ) =−0.212 cm

y ( 3,0 )=( 0.3 cm ) cos

iv.

y ( 0,0 )=0.3 cm

[

x = 4.5 cm y ( 4.5,0 ) =( 0.3 cm ) cos

[

v.

x = 6 cm

[

2π ( 6 cm ) 12 cm

[

2π (7.5 cm ) 12 cm

y ( 6,0 )=( 0.3 cm ) cos

vi.

y ( 7.5,0 )=−0.212 cm

[

2π ( 9 cm ) 12 cm

[

2π (10.5 cm ) 12 cm

]

y ( 9,0 )=0 cm

x = 10.5 cm y ( 10.5,0 )=( 0.3 cm ) cos

ix.

]

x = 9 cm y ( 9,0 )= ( 0.3 cm) cos

viii.

y ( 6,0 )=−0.3 cm

x = 7.5 cm y ( 7.5,0 )=( 0.3 cm ) cos

vii.

]

]

y ( 10.5,0 )=0.212 cm

x = 12 cm y ( 12,0 )=( 0.3 cm ) cos

[

2π (12 cm ) 12 cm

]

y ( 12,0 )=0.3 cm

y

x

t = 0s 6 cm

Gráfica:

12 cm

b) Repita los cálculos para los mismos valores de x en t = 0.400 s y t = 0.800 s. Muestre gráficamente la forma de la cuerda en esos instantes. ¿En qué dirección viaja la onda? Solución: Para t = 0.4 s. y ( x , 0.4 )=( 0.3 cm ) cos

[

2π ( x −( 6 cm/s ) 0.4 s ) 12cm

]

i. x = 0 cm y ( 0,0.4 ) =( 0.3 cm ) cos

ii.

[

[

[

2π ( 3 cm−( 6 cm/s ) 0.4 s ) 12 cm

[

]

y ( 1.5,0.4 )=−0.0131cm

y ( 3,0.4 )=0.203 cm

]

y ( 4.5,0 .4 ) =0.3 cm

x = 6 cm

[

2π ( 6 cm−( 6 cm/s ) 0.4 s ) 12 cm

]

y ( 6,0.4 ) =0.221 cm

x = 7.5 cm

y ( 7.5,0.4 )=( 0.3 cm ) cos

vii.

]

2π ( 4.5 cm−( 6 cm/s ) 0.4 s ) 12 cm

y ( 6,0.4 ) =( 0.3 cm ) cos

vi.

2π ( 1.5 cm−( 6 cm/s ) 0.4 s ) 12 cm

x = 4.5 cm

y ( 4.5,0 .4 ) =( 0.3 cm ) cos

v.

y ( 0,0.4 ) =−0.221 cm

x = 3 cm

y ( 3,0.4 )= ( 0.3 cm ) cos

iv.

]

x = 1.5 cm

y ( 1.5,0.4 )=( 0.3 cm ) cos

iii.

2π ( 0 cm−( 6 cm/s ) 0.4 s ) 12 cm

x = 9 cm

[

2π ( 7.5 cm−( 6 cm/s ) 0.4 s ) 12 cm

]

y ( 7.5,0.4 )=0.0131 cm

y ( 9,0.4 ) =( 0.3 cm ) cos

viii.

[

2π ( 9 cm−( 6 cm/s ) 0.4 s ) 12 cm

y ( 9,0.4 ) =−0.203 cm

x = 10.5 cm

y ( 10.5,0.4 )=( 0.3 cm ) cos

ix.

]

[

2π ( 10.5 cm−( 6 cm/ s ) 0.4 s ) 12 cm

]

y ( 10.5,0.4 )=−0.3 cm

x = 12 cm

y ( 12,0.4 )= ( 0.3 cm) cos

[

2π ( 12 cm−( 6 cm/s ) 0.4 s ) 12 cm

]

y ( 12,0.4 )=−0.221 cm

Gráfica: y

x

t = 0.4s 12 cm

6 cm

 Se dirige hacia +x. Para t = 0.8 s. y ( x , 0.8 ) =( 0.3 cm ) cos

i.

[

2π ( x−( 6 cm/ s ) 0.8 s ) 12 cm

]

x = 0 cm

y ( 0,0.8 )=( 0.3 cm ) cos

ii.

[

2π ( 0 cm−( 6 cm/ s ) 0.8 s ) 12 cm

]

y ( 0,0.8 )=0.0262 cm

x = 1.5 cm

y ( 1.5,0.8 )=( 0.3 cm ) cos

[

2π ( 1.5 cm− ( 6 cm/s ) 0.8 s ) 12 cm

]

y ( 1.5,0.8 )=−0.193 cm

iii.

x = 3 cm

y ( 3,0.8 )=( 0.3 cm ) cos

iv.

[

2π ( 4.5 cm− ( 6 cm/s ) 0.8 s ) 12 cm

[

[

y ( 4.5,0 .8 )=−0.230 cm

]

2π ( 7.5 cm− ( 6 cm/s ) 0.8 s ) 12 cm

y ( 6,0.8 )=−0.0262cm

]

y ( 7.5,0.8 )=0.193 cm

x = 9 cm

[

2π ( 9 cm−( 6 cm/s ) 0.8 s ) 12 cm

]

y ( 9,0.8 )=0.3 cm

x = 10.5 cm

y ( 10.5,0.8 )=( 0.3 cm ) cos

ix.

]

2π ( 6 cm−( 6 cm/ s ) 0.8 s ) 12 cm

y ( 9,0.8 )=( 0.3 cm) cos

viii.

y ( 3,0.8 )=−0.3 cm

x = 7.5 cm

y ( 7.5,0.8 )=( 0.3 cm ) cos

vii.

]

x = 6 cm

y ( 6,0.8 )=( 0.3 cm ) cos

vi.

2π ( 3 cm−( 6 cm/s ) 0.8 s ) 12 cm

x = 4.5 cm

y ( 4.5,0 .8 )=( 0.3 cm) cos

v.

[

[

2π ( 10.5 cm− ( 6 cm/s ) 0.8 s ) 12 cm

]

y ( 10.5,0.8 )=0.230 cm

x = 12 cm

y ( 12,0.8 )=( 0.3 cm ) cos

[

2π ( 12cm−( 6 cm/s ) 0.8 s ) 12 cm

]

y ( 12,0.8 )=0.0262 cm

Gráfica: y

t = 0.8s

x

6 cm 12 cm

Se dirige hacia +x.

5. Un extremo de una cuerda horizontal se conecta a una punta de un diapasón eléctrico que vibra a 120 Hz. El otro extremo pasa por una polea y sostiene una masa de 1.50 kg. La densidad lineal de masa de la cuerda es de 0.0550 kg/m. a) ¿Qué rapidez tiene una onda transversal en la cuerda? Datos:  μ = 0.0550 kg/m  m = 1.50 kg

W = 1.50 * 9.8

W = 14.7 N

Solución:  Utilizamos la siguiente fórmula: v=

√

F μ

 Se tiene el peso de la masa, que consideraremos como la fuerza. v=

√

14.7 0.0550

v=16.348 m/s

b) ¿Qué longitud de onda tiene? Datos:  v = 16.348 m/s  f = 120 Hz Solución:  Se utiliza la siguiente formula: λ=

v f

 Reemplazando los datos en la formula. λ=

16.348 120

λ=0.136 m

c) ¿Cómo cambian las respuestas a los incisos a) y b), si la masa se aumenta a 3,00 kg? i. Para hallar la rapidez de la onda transversal en la cuerda (Inciso a) Datos:  μ = 0.0550 kg/m  m = 3 kg

W = 3 * 9.8

W = 29.4 N

Solución:  Utilizamos la siguiente fórmula: v=

√

F μ

 Se tiene el peso de la masa, que consideraremos como la fuerza. v=

√

29.4 0.0550

v=23.12 m/s

ii.

Para hallar la longitud de onda (Inciso b)

Datos:  v = 23.12 m/s  f = 120 Hz Solución:  Se utiliza la siguiente formula: λ=

v f

 Reemplazando los datos en la formula. λ=

23.12 120

λ=0.193 m

6. Un alambre delgado de 75.0 cm tiene una masa de 16.5 g. Un extremo está amarrado a un clavo y el otro extremo está amarrado a un tornillo que puede ajustarse para variar la tensión en el alambre.

a) ¿A qué tensión (en newtons) debe ajustarse el tornillo para que la onda transversal cuya longitud de onda es de 3,33 cm registre 875 vibraciones por segundo? Datos:  Lcuerda = 75 cm

Lcuerda = 0.75 m

 mcuerda= 16.5 g

mcuerda= 0.0165 kg

 λ = 3.33cm

λ = 3.33 * 10-2 m

 f = 875 Hz Solución:  Para hallar la tensión se utilizará la siguiente formula. F=μ v 2…….(1)

 Entonces primero hallamos μ. μ=

m cuerda Lcuerda

μ=

0.0165 0.75

μ=0.022 kg/m

 En segundo lugar, encontramos v. v=λf v=3.33∗10−2∗875 v=29.1 m/s

 Reemplazando los valores de μ y v en la fórmula 1. 2

F=0.022∗ ( 29.1 ) F=18.6 N

La tensión pedida es 18.6 N. b) ¿Con qué rapidez viajaría esta onda? Datos:  λ = 3.33cm

λ = 3.33 * 10-2 m

 f = 875 Hz Solución:  Para hallar el valor de v. v=λf v=3.33∗10−2∗875 v=29.1 m/s