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• Loker Torres Gomez

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Grados de libertad En el Método de Elementos Finitos, se separa la estructura en pequeños elementos, lo suficientemente pequeños como para lograr la precisión adecuada en los resultados buscados a partir de los elementos de estudio. Aunque en el análisis de pórticos y cerchas estos elementos no necesitan ser tan pequeños. Al dividir todo el dominio de la estructura en pequeños elementos, estos elementos están unidos por nudos. Estos nudos tienen distintas propiedades según las solicitaciones que se necesiten estudiar. De hecho podría pensarse que son los nudos los que condensan las propiedades de la estructura discretizada. La representación de elementos y nudos está mostrada en la siguiente figura:

Como se dijo, estos nudos tienen diferentes propiedades según la estructura que se desee estudiar. Son en general los nudos los que tienen la propiedad de desplazarse y rotar, y es a los nudos donde llega toda la carga de la estructura.

Las direcciones en las que cada nudo es capaz de rotar y girar son conocidas como grados de libertad del nudo. En el caso más general en el espacio tridimensional un nudo es capaz de rotar en tres direcciones y también de desplazarse en tres

direcciones. Entonces se tendrán un total de seis grados de libertad para el nudo (tres rotaciones y tres desplazamientos rectilíneos) Reducción de grados de libertad Sin embargo, el coste computacional de analizar todas las estructuras con 6 grados de libertad por nudo es demasiado alto. Existen muchas estructuras que no necesitan más que unos pocos grados de libertad por nudo para analizarse satisfactoriamente. Estructuras con 1GDL por nudo Por ejemplo, elementos sometidos a compresión simple pueden analizarse con nudos cuyo desplazamiento sea unidireccional. En el caso de la figura siguiente se analiza la compresión de la torre producto de su peso propio. Cada nudo lleva consigo el peso propio de una porción de la estructura.

Otro ejemplo de análisis de nudos con un solo grado de libertad es el análisis dinámico de estructuras que pueden simplificarse de forma tal que la masa de cada losa se concentre en un solo punto de análisis, teniendo así una simplificación

significativa de la estructura logrando en muchos casos resultados aceptables. En este caso el desplazamiento a analizarse es en el sentido de la aceleración. En la mayoría de los casos la traslación es tan grande comparada con la rotación de las losas, que la rotación se hace despreciable. Notarás en la siguiente figura que la estructura tiene un solo grado de libertad por nudo

Estructuras con 2GDL por nudo Cuando se trabaja con dos grados de libertad, existen dos tipos principales de análisis. El análisis de vigas y el análisis de cerchas en el plano.

Cuando se trabaja con cerchas (figura acá arriba), cada nudo necesita tener la capacidad de desplazarse tanto en el sentido vertical como en el horizontal. Los desplazamientos en los apoyos no se dibujaron debido a que según la configuración del apoyo, estos desplazamientos están restringidos. Al trabajar con vigas el desplazamiento horizontal en general no tiene mucha importancia, ya que las cargas son casi siempre verticales. Debido a esta configuración de cargas es que el desplazamiento vertical es predominante. Sin embargo debido a que una viga trabaja a flexión, la forma de los nudos de medir la magnitud de esta flexión es mediante una combinación de desplazamiento vertical y rotación de los nudos. Es por eso que una viga trabaja con dos grados de libertad por nudo. Estos grados de libertad sin embargo son diferentes a los de cerchas, y en consecuencia las ecuaciones que rigen el comportamiento de estos nudos serán también diferentes. La viga abajo tiene dos grados de libertad al igual que la cercha arriba, pero estos GDL son diferentes a los de la cercha:

(Se ve que en los apoyos no existe la flecha de desplazamiento vertical. Esto es debido a que en los apoyos de este tipo el desplazamiento vertical está restringido). Estructuras con 3GDL por nudo Cuando se analizan pórticos en el plano, se necesitarán tres grados de libertad por nudo. Dos de traslación y uno de rotación en el plano estudiado, como se muestra en la figura. En este caso tanto la rotación como ambas traslaciones son necesarias para formas las ecuaciones de equilibrio de cada nudo (ver siguiente figura).

Seis Grados de Libertad por nudo Finalmente los pórticos en 3d cuentan con 6 grados de libertad por nudo, que es el máximo número de desplazamientos y giros que puede tener un nudo en análisis estructural. El programa SAP2000 y en general cualquier programa de cálculo estructural trabaja con este número de GDL a menos que al programa se le indique lo contrario.

Tipos de apoyo en el plano (2D) Rodillos o patines Los rodillos o patines son apoyos que restringen únicamente el movimiento perpendicular y por lo tanto tienen una sola fuerza de reacción. Se representan por un triángulo con rodillos debajo.

Fuerzas y reacciones: Presentan una única fuerza de reacción que es perpendicular.

Ejemplo:

Un

ejemplo

son

los

apoyos

mediante

cilindros.

Pernos o pasadores Los pernos o pasadores son apoyos que restringen movimientos en dos direcciones. El cuerpo no puede moverse verticalmente ni horizontalmente. Sin embargo puede girar. Se representan con un triángulo con líneas debajo.

Fuerzas y reacciones: Presentan dos fuerzas de reacción, una que impide el desplazamiento sobre cada eje.

Ejemplo: Un ejemplo de este apoyo puede verse en una barra como la siguiente.

Empotramientos Los empotramientos restringen tres grados de libertad. El cuerpo no puede moverse verticalmente, horizontalmente ni rotar.

Para resolver ejercicios de equilibrio es muy importante diferenciar el tipo de apoyo para saber cuales son las fuerzas de reacción que aparecen.