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• Vanessita Tarapues

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INDICACIONES Letra: Arial Tamaño: 12 Alineación: Justificada Tema Perpetuidades Problemas resueltos (impares). 1) El testamento del señor Pérez, conocido filántropo, establece que deberá pagarse al asilo de ancianos María Auxiliadora, una renta perpetua de $1000, pagaderos al final de cada año. ¿Cuál es el valor actual de ese legado, suponiendo que se encuentra invertido a 10% de interés efectivo anual?

𝑿 = 𝑽𝑨𝟏 𝑋= 𝑿=

𝑅 𝑖 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎 ( ) 𝟏𝟎𝟎

= $ 10.000,00

3) ¿Qué interés nominal, capitalizable trimestralmente le reconocen a una persona que con depósito de $ 800000 realizado hoy, puede hacer retiros de $ 2000 trimestrales, el primero de ellos dentro de tres meses y en forma indefinida. Aquí.

𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝑽𝑨𝟏 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝒊=

𝑹 𝒊

𝑹 𝟐𝟎𝟎𝟎 = = 𝟎. 𝟐𝟓 % 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎

𝒋= 𝒊∗𝒎 𝒋=

𝟎. 𝟐𝟓 ∗ 𝟒 = 𝟏% 𝒄𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍 𝟏𝟎𝟎

5) Los ex alumnos de una universidad deciden donar un laboratorio y los fondos para su mantenimiento futuro. Si el costo inicial es de $ 150000 y el mantenimiento se estima en $ 3000 anuales, hallar el valor de la donación si la tasa efectiva de interés es del 6 %

𝑿= 𝑾+

𝑹 𝒊

𝑿 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 +

𝟑𝟎𝟎𝟎 𝟔 𝟏𝟎𝟎

𝑿 = $ 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎

7) Ejercicio aquí.

9) Ejercicio aquí.

11) Ejercicio aquí.

13) Una industria recibe dos ofertas de cierto tipo de máquinas, ambas de igual rendimiento. La primera oferta es de $ 480000 y las máquinas tienen una vida útil de 7 años; la segunda oferta es de $ 600000 por máquinas que tienen una vida útil de 10 años. Si el rendimiento del dinero es del 6% efectivo, ¿Qué oferta es la más conveniente?.

𝑋1 = 𝑉𝐴1

𝑋1 =

𝑊 = [(1 + 𝑖)𝑘 − 1]

𝑋2 = 𝑉𝐴2 480000 7

6 [(1 + 100) − 1]

𝑋2 =

𝑊 = [(1 + 𝑖)𝑘 − 1]

𝑋1 = $953.080,14

600000 6 10 [(1 + 100) − 1]

𝑋2 = $758.679,58

15) Demuestre que el Costo adicional 𝑋 para prolongar por 𝑏 años la vida útil de un activo cuyo costo inicial 𝐶 y que debe renovarse después de 𝑘 años, considerando una tasa periódica 𝑖 está dado por: 𝑋=𝐶

[1 − (1 + 𝑖)−𝑏 ] [(1 + 𝑖)𝑘 − 1]

Sea C el costo inicial del activo, entonces el Por otro lado, el costo capitalizado K’ costo capitalizado K del mismo, considerando incluyendo el costo adicional X para prolongar que la renovación luego de k años es igual al su vida útil en b años, con una tasa periódica i Costo inicial con una tasa periódica i está dado está dado por: por:

𝐾=

𝐶 [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ]

𝐾=

𝐶+𝑋 [1 − (1 + 𝑖)−(𝑘+𝑏) ]

Igualando los costos capitalizados:

𝐶 𝐶+𝑋 = [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ] [1 − (1 + 𝑖)−(𝑘+𝑏) ] 𝐶[1 − (1 + 𝑖)−(𝑘+𝑏) ] 𝑋= −𝐶 [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ] 𝑋=

𝐶[1 − (1 + 𝑖)−(𝑘+𝑏) ] − 𝐶[1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ] [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ]

𝑋=

𝐶{[1 − (1 + 𝑖)−(𝑘+𝑏) ] − [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ]} [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ]

𝐶[1 − (1 + 𝑖)−(𝑘+𝑏) − 1 + (1 + 𝑖)−𝑘 ] 𝑋= [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ] 𝐶[(1 + 𝑖)−𝑘 −(1 + 𝑖)−(𝑘+𝑏) ] 𝑋= [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ]

𝑋=

𝐶(1 + 𝑖)−𝑘 [1 − (1 + 𝑖)−𝑏 ] [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ]

𝑋=

𝐶[1 − (1 + 𝑖)−𝑏 ] [1 − (1 + 𝑖)−𝑘 ] (1 + 𝑖)−𝑘

𝑋=

𝐶[1 − (1 + 𝑖)−𝑏 ] [(1 + 𝑖)𝑘 − 1]

17) Las traviesas que usa, en una zona tropical, una compañía ferroviaria le cuesta $ 120, cada una y deben remplazarse cada 5 años. Por medio de un tratamiento químico, puede prolongarse la vida de las traviesas en 4 años. Cuánto debe pagarse por el tratamiento químico considerando una tasa efectiva del 6%. Costo inicial 𝐶 = 120 Tiempo de renovación 𝑘 = 5 𝑎ñ𝑜𝑠 Tiempo de prolongación 𝑏 = 4 𝑎ñ𝑜𝑠 Tasa efectiva anual: 𝑖 = 6% Pago adicional 𝑋 =?

𝑋=

𝑋=

𝐶[1 − (1 + 𝑖)−𝑏 ] [(1 + 𝑖)𝑘 − 1]

6 −4 120 [1 − (1 + 100) ] 6 5 [(1 + 100) − 1]

= $73,76

R: El pago adicional será de $73,76

19) Se espera que el nuevo puente tenga un costo inicial de $25 millones, este puente deberá repavimentarse cada cinco años a un costo de $ 1 millón, los costos anuales de operación e inspección se estiman en $ 50000. Determine el costo capitalizado del puente considerando que el dinero rinde al 8%.

Costo inicial del puente

𝐾𝟏 = 25´000,000 Costo capitalizado del pavimento

𝐾2 = 𝑉𝐴2 𝐾2 =

𝑤 = [(1 + 𝑖)𝑘 − 1]

1´000.000 8 5 [(1 + 100) − 1]

𝐾2 = 2´130.705,68 Costo capitalizado de mantenimiento

𝐾3 = 𝑉𝐴3 𝐾3 =

𝑅 50000 = 8 𝑖 100

𝐾3 = 625.000,00

COSTO CAPITALIZADO TOTAL

𝑲 = 𝑲𝟏 + 𝑲𝟐 + 𝑲𝟑 𝑲 = 25´000,000 + 2´130.705,68 + 625.000,00 𝑲 = 𝟐𝟕´𝟕𝟓𝟓. 𝟕𝟎𝟓, 𝟔𝟖

R: El Costo capitalizado total es de 27’ 755.705,69

Problemas propuestos (impares). 1) Se requiere construir un fondo que permita disponer de una renta perpetua de $ 500 mensuales, cuál debe ser el valor en el fondo sí reconoce un rendimiento del 10% capitalizable mensualmente? - Gráfica en formato de imagen.

- Cálculos: 𝑉𝐴 =

𝑅 500 = 𝑖 ( 10 ) 1200

𝑉𝐴 = 60.000,00 R: El valor del fondo es de $60.000,00 3) Qué cantidad es necesaria para patrocinar una serie de conferencias trimestrales que cuestan $ 3500, si las mismas se llevarán a cabo al principio de cada trimestre y en forma indefinida, suponiendo intereses al 5% convertible trimestralmente.

𝑉𝐴 =

𝑅 3500 +𝑊 = + 3500 5 𝑖 (400)

𝑉𝐴 = 280000 + 3500 𝑉𝐴 = 283.500,00 R: La cantidad necesaria es de $283.500,00

5) Encontrar el valor de la renta trimestral perpetua de un depósito de $ 20000 si se empieza a pagar a luego de 3 años de haber realizado el depósito tomando el 8% capitalizable trimestralmente.

𝑉𝐴 =

20000 =

𝑅 𝑖(1 + 𝑖)𝑘 𝑋

8 8 2 (1 + 400 400)

20000 =

𝑋 0,024

497,35 = 𝑋 R: El valor dela renta trimestral perpetúa es de $497,35

7) Una persona quiere construir un fondo para otorgar un premio anual de $ 20000 en forma indefinida; para ello deposita el día de hoy $ 150000 en una corporación que reconoce el 8% anual. Cuánto tiempo debe dejar en depósito el dinero antes de empezar la entrega del premio anual indefinido?

R: 7,64años.

9) Genoveva está evaluando la posibilidad de comprar un equipo dental nuevo, tiene dos opciones la primera plantea pagar cuotas mensuales en $200 a perpetuidad y adicionalmente pagos anuales de $500 a perpetuidad. La segunda opción plantea pagos mensuales de $200 cada mes durante los primeros cinco años, y luego pagos a perpetuidad de $700 cada dos años. Considerando una tasa de

interés del 12% anual capitalizable mensualmente, cual es la mejor opción en términos económicos. aquí.

R: Opción 1: $ 23.942,44; Opción2: $ 11.586,15; la segunda opción

11) Para mantener en buen estado las carreteras vecinales, la junta vecinal decide establecer un fondo para proveer las reparaciones futuras que se estiman en $ 350000 cada 10 años. Hallar el valor del fondo con la tasa efectiva del 6%.

𝑽𝑨 = 𝑽𝑨 =

𝑾 [(𝟏+𝒊)𝒌 −𝟏]

𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟔 𝟏𝟎 [(𝟏+𝟏𝟎𝟎) −𝟏]

= $ 442.563,09

R: $ 442.563,09

13) Ejercicio aquí.

15) Ejercicio aquí.

17) Ejercicio aquí.

19) Ejercicio aquí.

Leer bien lo que se les pide.