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• Dario Xavier Aldaz

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Documento de Apoyo Académico

Preparado por: Ing. Daniel Herrera Aráuz, Msc

PERPETUIDADES 1.1. DEFINICIÓN Una anualidad perpetua, o renta perpetua, es una serie indefinida de pagos periódicos iguales, realizados en cada período; y en muchas ocasiones: el período de pago y la capitalización de intereses coinciden. Como rentas perpetuas tenemos los legados a instituciones, como también los costos de mantenimientos en obras públicas, tales como puentes, sistemas de alcantarillado, hospitales, carreteras, etc. Dependiendo de cuando se realice el primer pago, las anualidades perpetuas pueden ser: vencidas o anticipadas. 1.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA Las anualidades perpetuas o perpetuidades tienen la siguiente estructura gráfica:

0

R

R

R

1

2

3

…

Del gráfico se tiene:  R es el valor del pago periódico realizado en cada período.

1.3. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD PERPETUA Por constituir una serie indefinida de pagos, no es posible determinar el Valor Futuro o Monto de una anualidad perpetua.

1.4. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD PERPETUA VENCIDA El Valor Presente, o Valor Actual de una anualidad perpetua, es la suma del Valor Actual, trasladado a fecha de inicio, de los pagos periódicos que conforman dicha anualidad; es decir:

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El Valor Actual de la anualidad vencida es, entonces:

Recordando que, el Valor Actual o Valor Presente de una anualidad vencida, está dado por:

Que se puede escribir como:

Como el número de períodos crece indefinidamente, el segundo término del segundo miembro se aproxima a cero, por lo que el Valor Actual de una anualidad perpetua vencida se tiene:

1.5. VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD PERPETUA ANTICIPADA

R

R

R

R

0

1

2

3

…

Tomando en cuenta el esquema financiero de la anualidad perpetua anticipada, como fecha focal el inicio de la anualidad, se tiene que el Valor Actual de está dado por:

Puede presentarse el caso, en que el primer pago sea diferente a los pagos periódicos de la anualidad perpetua, tal como se indica en el siguiente esquema financiero:

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W

R

R

R

0

1

2

3

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…

Entonces el Valor Actual de este evento financiero está dado por:

1.6. VALOR ACTUAL DE UNA PERPETUIDAD CON PAGOS CADA CIERTO NÚMERO DE PERÍODOS Es común, en la práctica comercial, que los desembolsos periódicos de una anualidad perpetua sean entregados luego de que han transcurrido algunos períodos; por ejemplo si se construye un fondo con capitalización anual para que produzca el dinero necesario para cubrir las operaciones de mantenimiento de una carretera, las mismas que ocurren cada 20 años; en otras palabras: la capitalización del fondo es anual pero se entrega el dinero cada 20 años. Este caso se representa gráficamente de la siguiente manera:

0

R

R

R

1

2

3

…

R

R

R

R

20 W

21

22

23 …

R 40 W

…

Recordando que el Valor Actual de la Perpetuidad está dado por:

Por otro lado, el Valor , que es el desembolso realizado cada cierto número un valor futuro, entonces:

de períodos, genera

Es decir:

Reemplazando este resultado en la expresión del Valor Actual de una perpetuidad se tiene:

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Esta última expresión permite calcular el Valor Actual de una anualidad perpetua, cuando se realizan desembolsos , cada períodos.

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