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• mayerly yela

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Parte B Problemas de aplicación

23. Cercar un terreno para jardín El dueño de una propiedad desea cercar un terreno para jardín adyacente a un camino, como se ve en la figura. La cerca junto al camino debe ser más robusta y cuesta $5 por pie, pero la otra cerca cuesta sólo $3 por pie. El jardín ha de tener un área de 1200 pies2. (a) (b) (c)

Encuentre una función que modele el costo de cercar el jardín. Encuentre las dimensiones del jardín que reduzcan al mínimo el costo de cercar el jardín. Si el dueño tiene a lo sumo $600 para gastar en la cerca, encuentre el rango de longitudes que puede cercar a lo largo del camino.

Solución (a)

El modelo que buscamos es una función el costo de cercar el jardín. Sabemos que el área del jardín rectangular, por lo tanto:

Área=ancho x longitud Hay dos cantidades que varían: ancho y longitud. Como la función que buscamos depende sólo de una variable, hacemos

x=ancho del jardín Entonces debemos expresar la longitud en términos de x. El área se fija en 1200 pies2, de modo que la longitud está determinada una vez que escojamos el ancho. Si hacemos que la longitud sea y, entonces

a=x∗y

a 1200 y= = x x El modelo es la función A que da el área del jardín para cualquier ancho x.

Área=ancho x longitud A ( x )=5 x+ 3 x +6 y A ( x )=8 x+ 6 y 1200 A ( x )=8 x+ 6 x 7200 A ( x )=8 x+ x

( )

El área que ella puede cercar está modelada por la función

A ( x )=8 x+ (b)

7200 x

Para tener el mínimo coste efectuamos la derivada e igualamos a 0

d 7200 ( A )=8− 2 dx x 7200 0=8− 2 x 7200 8= 2 x 2 8∗x =7200 7200 x 2= 8 2 x =900

√ x 2=√ 900 x=30 1200 1200 = =40 x 30 y=40 y=

El ancho a lo largo del camino es de 30 pies, la longitud es 40 pies. (c)

8 x+

7200 =600 x

8 x 2−600 x+ 7200=0 x 1=15 x 2=60 El intervalo entonces es, para las longitudes de la carretera es 15 pies a 60 pies.