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• Bernardo Santiago Vasquez

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Oscilaciones Forzadas Bernardo V´asquez Cordero [email protected] Resumen—This document explains the praticipation of fourier series indicating the forced oscillations which are analyzed with differential equations of the second degree, finally an example will be made. Index Terms—Fourier, Forced Oscillations.

I.

II-A.

para solucionar esta ecuaci´on tenemos que sumar una soluci´on general como si la ecuaci´on (2) fuera homog´enea y una soluci´on particular de (2) la cual puede ser determinada por el m´etodo de coeficientes indeterminados.

´ I NTRODUCCI ON

Las Series de Fourier tienen su participaci´on en las ecuaciones diferenciales y claro ejemplo de esto son las oscilaciones forzadas la cuales pueden ser analizadas por ecuaciones diferenciales de segundo orden, para comprender primero se dar´a la teor´ıa de las oscilaciones forzadas en un an´alisis de ecuaci´on diferencial, el cual sera tomado de el libro de Matem´aticas avanzadas para la ingenier´ıa volumen 1 de Erwin Kreyszing, posteriormente se realizara un ejemplo de oscilaciones forzadas con series de Fourier tomado del volumen 2 de dicho libro.

yp (t) = acos(wt) + bsen(wt)

(3)

Derivando, reemplazando,sustituyendo obtenemos los valores de a y b

si II.

soluci´on de la ecuaci´on

p

a = F0

k − mw2 (k − mw2 )2 + w2 c2

(4)

b = F0

wc (k − mw2 )2 + w2 c2

(5)

k/m = w0 entonces

´ M ARCO TE ORICO

Teniendo la figura a continuaci´on.

a = F0

b = F0

m(w02 − w2 ) − w 2 ) 2 + w 2 c2

(6)

wc m2 (w02 − w2 )2 + w2 c2

(7)

m2 (w02

se obtiene la soluci´on general de (2)

y(t) = yh (t) + yp (t)

(8)

Figura 1. Sistema masa/resorte

Los movimientos libres del sistema masa/resorte son movimientos en ausencia de fuerzas externa. pero los movimientos forzados se obtienen se se da un fuerza externa r(t) que act´ue sobre el cuerpo, teniendo a m como masa del cuerpo, my 00 como fuerza de la inercia, cy 0 como la fuerza de amortiguamiento y ky la fuerza del resorte, teniendo as´ı la ecuaci´on: my 00 + cy 0 + ky = r(t)

II-B.

oscilaciones forzadas no amortiguadas

Obtenemos la soluci´on a partir de que si no hay amortiguamiento, entonces c = 0. Suponiendo primero que w2 6= w02 :

(1)

r(t) se la conoce como fuerza de entrada o impulsora correspondiente a la salido o respuesta del sistema. en este caso son entradas peri´odicas y de fuerza senoidal. my 00 + cy 0 + ky = F0 cos(wt)

donde yh (t) es la solucion como si fuera homogenea y yp (t) esta dada por los coeficientes a y b. Tenemos dos tipos de soluciones a ver.

(2)

y(t) = C ∗ cos(w0 t − δ) + yp (t) =

F0 cos(wt) − w2 )

m(w02

F0 tsen(w0 t) 2mw0

(9) (10)

de tal modo que:

II-C.

y 00 + 0,2y 0 + 25y = r(t)

oscilaciones forzadas amortiguadas

Si hay amortiguamiento, entonces c > 0 sabiendo ya que la soluci´on general yh es: yh (t) = e−α∗t (Acos(wt) + Bsen(wt))

donde r(t) se mide en g ∗ cm/s2

(11)

 f (x) =

c (α = 2m > 0) II-C1. amplitud de yp :

Al momento de estudiar la amplitud de yp como una funcion de w, tenemos: yp (t) = C ∗ cos(wt − η)

π 2 π 2

si − π < x < 0 si 0 < x < π

r(t) = (t + 2π)

(15)

(16)

(12) Se busca la soluci´on de estado estacionario y(t) A r(t) se lo puede representar por una serie de Fourier:

La amplitud depender´a del wmax . 2mF0 C ∗ (wmax ) = p c 4m2 w02 − c2

−t + −t +

(13)

r(t) =

4 1 1 (cos(t) + 2 cos(3t) + 2 cos(5t) + ...) π 3 5

(17)

Se considera la ecuaci´on diferencial: II-D.

Oscilaciones forzadas y series de Fourier

y 00 + 0,02y 0 + 25y =

Kreyszing nos dice que las series de Fourier pueden ser aplicadas en ecuaciones diferenciales y nos presenta un ejemplo. An´alogamente de 1 tenemos el sistema el´ectrico:

4 cos(nt) n2 π

(18)

sabesmos que la solucion yn (t) es de la forma

yn = An cos(nt) + Bsen(nt)

(19)

sustituyendo en 18

An =

4(25 − n2 ) 0,08 , Bn = , dondeD = (25−n2 )2 +(0,02n)2 n2 πD nπD (20)

Figura 2. Sistema an´alogo el´ectrico

Nuestra ecuaci´on es: 1 I = E 0 (t) (14) C Procedemos con el ejemplo que Kreyszing nos propone, donde

Ya que la ecuaci´on diferencial es lineal puede esperarse que la soluci´on de estado estacionario sea y = y1 + y3 + y5 + ... se encuentra la amplitud:

LI 00 + RI 0 +

Cn =

p

A2n + Bn2 =

Cuyos valores numericos son m = 1gr, c = 0,02g/s y k = 25g/s2 , C1 = 0,0530 C2 = 0,0088

4 √

n2 π

D

(21)

Figura 3. Entrada y salida del estado estacionario del ejemplo propuesto

Para n = 5 la cantidad de D es muy peque˜na (C5 = 0,51), el denominador de C5 es peque˜no y C5 es tan grande que y5 es el t´ermino dominante en y = y1 + y3 + y5 + ... . Esto implica que el movimiento de estado estacionario es casi una oscilaci´on arm´onica cuya frecuencia es igual a cinco veces la de la fuerza que acusa la oscilaci´on. R EFERENCIAS [1] Kreyszing, Matem´aticas bus,Ohio, Limusa Wiley, [2] Kreyszing, Matem´aticas bus,Ohio, Limusa Wiley,

avanzadas para ingenier´ıa vol I,3ra, Colum2003. avanzadas para ingenier´ıa vol II,3ra, Colum2003.